Exciton trong graphene

1
Exciton trong Graphene

Phạm Văn Điện


Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn Thạc sĩ ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: GS.TS. Nguyễn Ái Việt
Năm bảo vệ: 2012


Abstract. Trình bày những kiến thức tổng quan về Graphene như giới thiệu chung,
cấu trúc tinh thể, cấu trúc vùng năng lượng. Tìm hiểu những kiến thức cơ bản về
exciton (biexciton): đại cương về exciton và biexciton, exciton trong chấm lượng tử
(Exciton loại I và loại II), exciton trong hệ một chiều, exciton và biexciton trong các
lớp đơn của phân tử. Nghiên cứu về các tính chất của Graphene và việc sử dụng thế
Morse trong phương trình Schrodinger để đi tìm lời giải cho vấn đề năng lượng của
exciton trong Graphene. Phân tích kết quả thu được, kết luận và những hướng
nghiên cứu tiếp theo.

Keywords. Vật lý toán; Cấu trúc vùng năng lượng; EXCITON; Nano graphene

Content

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 2010, giải thưởng Nobel, giải thưởng danh giá nhất của khoa học đã tôn vinh
hai nhà khoa học Vật lý gốc Nga với công trình nghiên cứu tìm ra vật liệu Graphene hai
chiều. Đơn giản, chúng ta có thể hiểu Graphene là một tấm than chì cực mỏng, mỏng đến

mức chỉ bằng độ dày một lớp nguyên tử Carbon. Điều đặc biệt là lớp đơn nguyên tử này lại
tồn tại bền vững ở trạng thái tự do.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Sử dụng cơ học lượng tử.
3. Cấu trúc luận văn:
Cấu trúc luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận và những hướng
phát triển của đề tài.
Chƣơng 1: Trình bày những kiến thức tổng quan về Graphene như giới thiệu chung, cấu
trúc tinh thể, cấu trúc vùng năng lượng.

2
Chƣơng 2: Trình bày những kiến thức cơ bản về Exciton (Biexciton).
Chƣơng 3: Nghiên cứu về các tính chất của Graphene và việc sử dụng thế Morse trong
phương trình Schrodinger để đi tìm lời giải cho vấn đề năng lượng của exciton
trong Graphene. Cuối cùng là việc tóm tắt lại những kết quả thu được, kết luận
và những hướng nghiên cứu tiếp theo.
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE

1.1: Giới thiệu chung về Graphene.
Graphene đơn giản chỉ là một lớp đơn nguyên tử của tinh thể than chì Graphite.


Hình 1.4. Hệ hai chiều Graphene 2D
Graphene là một tinh thể hai chiều thực sự có cấu trúc tinh thể dạng tổ ong bán kim loại
có vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc nhau tại mức Fermi, các hạt tải trong Graphene không
có khối lượng với hệ thức tán sắc dạng tuyến tính:

F
E v k



(1.1)

1.2: Cấu trúc tinh thể Graphene
Graphene có cấu trúc mạng lục giác. Có thể coi như mạng lục giác được hình thành từ
2 mạng con lồng vào nhau.

3

Hình 1.10. Mạng lục giác Graphene. Các vectơ
1


,
2


và
3


nối các nguyên tử carbon lân
cận với khoảng cách 0,142 nm. Các vectơ
1
a

và
2
a


là các vectơ cơ sở của mạng Bravais.
Tinh thể Graphene là tinh thể mạng hai chiều, trong đó các nguyên tử Carbon sắp xếp tại đỉnh
các lục giác của mạng tổ ong (honeycomb). Ta có thể xem mạng Graphene là hai mạng tam
giác xếp lồng vào nhau với vector tịnh tiến cơ sở là:
12
3 1 3 1
, , , (1.2)
2 2 2 2
a a a a
   
  
   
   
   


Ba vectơ
1


,
2


và
3


được xác định:

   
1 2 3
3 , 3 , (1.4)
22
x y x y y
aa
e e e e ae
  
      
  
    

Các vectơ cơ sở của ô mạng Bravais được xác định:

 
12
3
3 , 3 (1.5)
2
x x y
a
a ae a e e  
    

1.3: Cấu trúc vùng năng lƣợng.
Hamiltonian của electron (điện tử) trong Graphene:

   
'

i, , , , , ,
ij ij
. . (1.8)
j i j i j
H t a b H c t a a b b H c
     

  
     


Ta sẽ thu được:

   
 
   
 
* ' *
1 1 2 2
,,
(1.13)
k k k k k k k k
kk
H t f k a b f k b a t f k a a f k b b

   
    

       



   


4
trong đó:
 
1
ik
f k e









và
 
 
2
(1.14)
ik ik
f k e e











Xét trong liên kết mạnh gần nhất thì nếu
'0t 
, ta có:
 
2
1
(1.18)k t f




suy ra:
   
3 (1.21)k f k

  


Trong đó dấu “+” ứng với dải năng lượng liên kết π, dấu “-” ứng với dải năng lượng
liên kết phản π.
Dùng khai triển
.kp



xung quanh điểm K và K’ ta thu được phổ năng lượng của electron:
 
3
.
2
a
k t k





hay:
 
(1.22)
FF
k v k v k

   




Hình 1.13. Cấu trúc dải năng lượng của tinh thể biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng với
chuyển động của electron.
Chƣơng 2
EXCITON VÀ BIEXCITON

2.1. ĐẠI CƢƠNG VỀ EXCITON VÀ BIEXCITON

5
.Exciton là loại chuẩn hạt được hình thành trong trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống
bởi lực hút Coulomb trong tinh thể (điện môi và bán dẫn) khi tinh thể hấp thụ photon.
Exciton đóng vai trò quyết định tính chất quang của vật liệu.
2.2. EXCITON TRONG CHẤM LƢỢNG TỬ.
2.2.1. Exciton loại I trong chấm lƣợng tử.





(a) (b)
Hình 2.5. Mô hình chấm lượng tử loại I (a) và cấu trúc thế giam nhốt (b).
Xét ở bậc gần đúng thấp nhất (gần đúng cấp không), ta có năng lượng của exciton :
2
22
0
2 R
EE
gI




. (2.8)
2.2.2. Exciton loại 2 trong chấm lƣợng tử

(a) (b)
e
r


h
r


g
E

_
+
R
E
R



e
r


h
r


+

R
E
g
E
0
R
1
R
2
_

6
Hình 2.7. Mô hình chấm lượng tử loại II(a) và cấu trúc thế giam cầm (b)
Năng lượng gần đúng bậc không của exciton loại II là
2
*
22
21
*
22
0
2)(2 RmRRm
EE
he
gII






. (2.11)
Từ (2.8) và (2.11) tìm được mối liên hệ của năng lượng bậc không giữa exciton loại I
và exciton loại II.
**
0
0
11
1
he
II
I
mm
E
E M M



, (2.12)

Chƣơng 3
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GRAPHENE

3.1. Các tính chất vật lý của Graphene
Về căn bản, nó cứng hơn thép, rất dễ kéo căng, và có thể dùng làm một chất dẫn dẻo.
Độ dẫn nhiệt của nó cao hơn nhiều so với độ dẫn nhiệt của bạc.
Graphene trong thực tế hầu như là trong suốt, trong vùng quang học nó hấp thụ chỉ
2,3% cường độ ánh sáng, độc lập với bước sóng trong vùng quang học.

3.2. Năng lƣợng của biexciton trong Graphene
3.2.1. Năng lƣợng của exciton trong Graphene
Theo cơ học cổ điển, năng lượng của hệ gồm electron và lỗ trống tương tác.

22
12
( ) (3.1)
22
eh
pp
E U r
mm
  

Hamiltonian của hệ có dạng:

22
22
12
( ) (3.2)
22
eh
H U r
mm
     



7
Từ đó xét trong gần đúng khối lượng hiệu dụng ta có phương trình Schrodinger cho

hệ“điện tử - lỗ trống” chuyển động trong bán dẫn:

   
22
22
12
( ) , , , (3.3)
22
e h e h
eh
U r r r E r r
mm


     



   

trong đó:
excg
E E E
. Chuyển phương trình sang hệ tọa độ khối tâm và chuyển động tương
đối của hai hạt có dạng:

22
22
( ) (3.4)
2 2( )

rG
eh
H U r E
mm



      





Phương trình (3.6) là phương trình Schrodinger của hạt tự do có khối lượng Trong cơ học
lượng tử bài toán này đã được giải và thu được năng lượng:

22
(3.10)
2
G
hK
E
M


Cuối cùng ta có các mức năng lượng excitons cho vật liệu hai chiều:

4 2 2
ex
2

22
0
1
0,1,2,3, (3.13)
22
1
2
cg
e h K
E E n
hM
n


   





Áp dụng các tính toán cho lý thuyết mạng hai chiều ta tính được năng lượng liên kết
exciton
B
E
đối với vật liệu Graphene nanoribbons (GNRs). Năng lượng exciton cho giả hạt
được định nghĩa:

ex
(3.14)
c g B

E E E

B
E
là năng lượng liên kết của exciton.

4
22
22
2
0
1 13,6
( ) 0,1,2,3, (3.15)
2
11
22
B
e
E eV n
h
n m n



    
   

   
   

trong đó:
2
2
0
2
0,511( ) 1
13,6
2 2 137
mc
MeV
eV

   
.

8
3.2.2. Năng lƣợng của biexciton trong Graphene
Trong thực tế chúng ta không có nghiệm giải tích cho bài toán năng lượng của
biexciton trong graphene mà mới chỉ đi tìm lời giải cho bài toán năng lượng của biexciton
trong graphene bằng các phương pháp gần đúng mà thôi.

Thế năng tương tác 2 exciton:

 
2 2 2
2 2 2 2
2
( ) , 3.16
4
e e e

Ur
r
r D r D


  



và D lần lượt là hằng số điện môi và khoảng cách giữa hai tấm graphene(hình 3.6).
Đặt
.r x D
(x không có đơn vị) và chọn đơn vị của năng lượng là
2
e
D

, ta có:
2
( ) .
e
U r y
D


.
Vậy nên:
2 2 2 2
1 2 1
(3.17)

4
y
x
x D x D
  



2
4
6
8
x
0.04
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
XPOTENT

x


Hình 3.7. Thế năng tương tác 2 exciton.
Mô hình thế năng Parabolic

 
 

2
10
( ) 1 (3.18)U x C x x  


9
trong đó :
1
0,04C 
và
0
1,67x 
.
Như vậy ta thấy từ thế năng U(r) được trình bày ở trên, chúng ta sẽ đi xây dựng hàm
thế năng gần đúng dạng parabol
P
U
. Khi đó giải phương trình Schrodinger với thế năng U(r)
được thay thế bởi
P
U
ta sẽ có được năng lượng của biexciton trong graphene.

2
4
6
8
x
0.04
0.02

0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
XPARABOL

x


Hình 3.8. Thế năng Parabol tương tác 2 exciton.
Mô hình thế Morse
Thế năng tương tác Morse 2 exciton (biexciton) được viết như sau:

   
 
00
2
or 1
2 (3.19)
x x x x
M se
V D e e

   


Các thông số trong thế Morse được xác định:
Độ sâu hố thế
1

0,04D 
, khoảng cách 2 exciton
0
1,67x 
,
1


.

2
4
6
8
x
0.04
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
XMORSE

x


Hình 3.9. Thế năng tương tác Morse 2 exciton (biexciton).

10

Giải phương trình Schringer sử dụng thế Morse cho ta năng lượng của biexciton trong
graphene:

2
2
1 1 ax
11
2 0,1,2, , (3.20)
2 2 2
nm
E D D n n n n


   
      
   
   

Với mức trạng thái cao nhất cho bởi:
1
ax
2
(3.21)
m
D
n








Thay các giá trị:
10
,,Dx

ở trên vào biểu thức (3.20) tương ứng với
0n 
, ta có được năng
lượng của biexciton ở trạng thái có bản (mức thấp nhất):
min| 0
0,0236
n
E eV




KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu, tôi đã thu được các kết quả như sau:
 Xây dựng được các mô hình thế năng tương tác 2 exciton (biexciton) là thế Parabol và
thế Morse.
 Chỉ ra được sự khác biệt cơ bản giữa các mô hình tính toán tương ứng với từng dạng
thế năng tương tác 2 exciton nêu trên. Cụ thể: Với việc sử dụng thế năng tương tác
Parabol thì lời giải cho bài toán năng lượng biexciton chỉ thực sự phù hợp tại những
mức trạng thái năng lượng (n) thấp, không phù hợp khi n lớn. Còn với thế Morse cho
ta lời giải cho bài toán năng lượng biexciton trong hệ Graphene 2 chiều phù hợp hơn
ngay cả với những mức trạng thái năng lượng n lớn.
 Sử dụng phương pháp gần đúng và cơ học lượng tử để tìm được phổ năng lượng của

biexciton trong Graphene, từ đó tìm ra năng lượng ở trạng thái cơ bản
min| 0n
E

.

References

[1]. A.Bosacchi, P.Frigeri, M.Minelli, L.Seravalli, G.Trevisi, and S.Franchi (2004),
“Quantum Dot Structures for Optoelectronic Applications, International Workshop on
Photonics and Application”. Hanoi, Vietnam. April 5-8, pp 6-62.
[2]. A.H.CastroNeto, F.Guinea, N.M.R.Peres, K.S.Novoselov and A.K.Geim, (2009),
“The electronic properties of graphene”, Reviews of modern physics, vol 81.

11
[3]. B.Gerlach, J.Wuesthoff (Uni.Dortmund), M.O.Dzero, M.A.Smondyrev (JINR,
Dubna), (1998), “On the exciton binding energy in a quantum well”, Phys. Rev. B58,
10568.
[4]. Cheol-Hwan Park and Steven G.Louie, (2010), “Tunable Excitons in Biased Bilayer
Graphene”, Nano Lett, 10 (2), pp 426–431.
[5]. F. C. Spano, Vladimir Agranovich, and Shaul Mukamel (1991), “Biexciton States
and Two-Photon Absorption in Molecular Monolayers”, J. Chem. Phys. 95 (2), pp 400-
1405.
[6]. Hartmut Haug, Stephan W.Koch, (2004), “Quantum theory of the Optical and
Electronic properties of Semicondctors”, World Scientific.
[7]. J.H.Grönqvist, T.Stroucken, G.Berghäuser, S.W.Koch, (2011), “Excitons in
Graphene and the Influence of the Dielectric Environment”, arXiv:1107.5653v1.
[8]. L.Banyai, S.W Kock (1993), “Semiconductor Quantum Dots”, World Scientific
Publishing Company, Singapore, pp 6-46.
[9]. Leo Kouwenhoven and Charles Marcus (1998), “Quantum Dots”, Physics World, pp

5-37.
[10]. Oleg L.Berman, Roman Ya.Kezerashvili and Yurii E.Lozovik, (2008), “Collective
properties of magnetobiexcitons in quantum wells’ and graphene superlattices”, Russian
Academy of sciences, pp 5-8.
[11]. Oleg L.Berman, Roman Ya.Kezerashvili and Yurii E.Lozovik, (2009), “Bose-
Einstein condensation of quasiparticles in graphene”, Physics Department, New York City
College of Technology, The City University of New York, pp 2-10.
[12]. Paul Holister, Cristina Román, Tim Harper (2003), “Quantum Dots”, Phyics.Rev, pp
3-6.
[13]. Raoul Dillenschneider and Jung Hoon Han (2008), “Exciton formation in graphene
bilayer”, Seoul National University, Seoul 151-747, Korea, pp 2-7.
[14]. R.Bose, H.T.Johnson (2004), “Coulomb Interaction Energy in Optical and
Quantum Computing Applications of Self-Assembled Quantum Dots”, Microelectronic
Engineering 75, pp 3-53.

12
[15]. To Thi Thao and Nguyen Ai Viet (June 2004), “Binding energy of exciton in
quantum dots with the central cell correction depending on the dot sizes”, Vietnamese
Academy of Science and Technology, Vol 14, No 2, pp 4-8.
[16]. T.T.T.Van, V.T.Hoa, N.P.Duc, N.V.Thanh and N.A.Viet (2007), “Morse effective
potential for interaction between two excitons in semiconductors”, Communicatons in
Physics, Vol.1, No 2, pp 1-5.