Góc giữa 2 mặt phẳng

Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GĨC
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
②

M
a

d ( M ,a) = MH
Kí hiệu:
.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

M

( a ) là MH , với
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng

(

③

④

( a) .

H



)

d M , ( a ) = MH
Kí hiệu:
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.
d ( a,b) = d ( M ,b) = MH

H



M


H

b
a

( M Î a)

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

a

M


( a) :
mặt phẳng
dé
a, a ù= d é
M , a ù= MH ( M Ỵ a)
ê
ê
ë ( )ú
û
ë ( )ú
û
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
A
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

é
ù
é
ù
é
ù
d ê( a ) ,( b) ú= d êa,( b) ú= d êA,( b) ú= AH a Ì ( a ) , A Ỵ a
ë
û
ë

û
ë
û

H

( a)
và mặt phẳng

Khoảng cách giữa đường thẳng a
song song với
nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến

⑤

(

a

)



⑥

B

H

K

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và cùng vng góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đường vng góc chung của a,b . I J gọi là đoạn vng góc chung của a,b .
c
a
I
a
I


J

b



J

b

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc chung của hai
đường thẳng đó.


B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:

( M ,d) hạ MH ^ d với H Ỵ d .
Bước 1. Trong mặt phẳng
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
a M

M
a

M

A

d

d

H



A
I

K

H K

 Chú ý:

 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:

d ( M ,d) = d ( A,d) = AK

( A Ỵ d) .

d ( M ,d)
d ( A,d)
 Nếu MA Ç d = I , thì:
b. Khoảng cách từ điểm O
Các bước thực hiện:

=

MI
AI

 O

.



( a)
đến mặt phẳng

O

H



( a) .
Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên
- Tìm mặt phẳng
- Tìm

( b)

D = ( a ) Ç ( b)

- Trong mặt phẳng

( b) , kẻ OH ^ D

Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến
 Chú ý:

( b)

( a) .

.
tại H.

 H là hình chiếu vng góc của O lên

 Chọn mặt phẳng

( a) .

d ^ ( a)

A

( a) .

sao cho dễ tìm giao tuyến với

 Nếu đã có đường thẳng

O

I


( a) .

( a ) tại H.
thì kẻ Ox / / d cắt

OA/ / ( a )

thì:

H

(

d O,( a ) = d A,( a )

H



K


2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b
 Trường hợp a  b:
- Dựng mặt phẳng

( a)

b

chứa a và vng góc với b tại B.

B



a
A

K

A

O

) ( ).
d ( O,( a ) )
OI
=
( a ) tại I thì: d ( A,( a ) ) AI
Nếu OA cắt

 Nếu

H



qua O và vng góc với

d


( a ) dựng BA  a tại A.
- Trong
 AB là đoạn vng góc chung.
 Trường hợp a và b khơng vng góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)

( a ) chứa a và song song với b.
- Dựng mp
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M

- Từ M dựng b// b cắt a tại A.
¢
- Từ A dựng AB / / MM cắt b tại B.
 AB là đoạn vng góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng

( a ) ^ a tại O, ( a )

cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vng góc b của b lên

( a)

( a ) , vẽ OH  b tại H.
- Trong mp
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
 AB là đoạn vng góc chung.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b
Cách 1. Dùng đường vng góc chung:
- Tìm đoạn vng góc chung AB của a,b .
-

d ( a,b) = AB

)
d ( a,b) = d ( ( a ) ,( b) )
Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:

Cách 2. Dựng mặt phẳng

( a)

chứa a và song song với b. Khi đó:

(

d ( a,b) = d b,( a )

Cách 3.
3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng
+ Mặt phẳng

( MNP )

( MNP )

đi qua điểm

M ( xM ;yM ;zM ) ,N ( xN ;yN ;zN ) ,P ( xP ;yP ;zP )
:
u
r uuuu
r uuur
n = MN Ù MP = ( A;B;C)
có vtpt
có dạng:

đi qua 3 điểm

M ( xM ;yM ; zM )

A ( x - xM ) + B ( y - yM ) + C ( z - zM ) = 0 Û Ax + By +Cz + D = 0

+ Khoảng cách từ một điểm

I ( xI ;yI ;zI )

đến mặt phẳng

IH = d ( I ,(MNP )) =

AxI + ByI + CzI + D

uuuu
r uuur uuu
r
MN Ù MP .MI
d ( I ,(MNP )) =
uuuu
r uuur
MN Ù MP

(

Cơng thức tính nhanh:

( MNP ) :

)

A2 + B 2 +C 2


uuur uuu
r uuur
AB Ù CD .AC
d ( AB,CD ) =
uuur uuu
r
AB Ù CD

(

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB,CD là:

c) Góc giữa hai đường thẳng AB,CD theo cơng thức:

)

uuur uuu
r
AB .CD
cos( AB,CD ) = uuur uuu
r
AB . CD

( MNP ) :
và
uur uuur uuur
uur uuuur uuur
( ABC ) có vecto pháp tuyến n1 = AB Ù AC ; ( MNP ) có vtpt n2 = MN Ù MP , khi đó:
uu
r uu
r
n1.n2
A1A2 + B1B2 +C 1C 2
cos ( ABC ) ,( MNP ) = uu
r uu
r =
Þ ( ABC ) , ( MNP ) ;
2
2
2
2
2
2
n1 . n2
A + B +C . A + B +C

d) Góc giữa hai mặt phẳng

(

( ABC )

)

(

1

1

1

2

2

2

( MNP ) :
e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
u
r uuuu
r uuur
r
uuur
MNP )
(
n
=
MN
Ù MP , thì:
Tính u = AB và
có vtpt

)

(

sin AB, ( MNP )

)

ru
r
un
.
= r u
r Þ AB, ( MNP ) ;
u.n

(

)

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHĨP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
0
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a

A 2.
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
0
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:

a
B. 5 .

a 5
A. 5

a 5
C. 10 .

a 2
D. 5 .

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A.

arctan

85
17 .

B.

arctan

10
17 .

C.

arcsin

85
17 .

D.

arccos

85
17 .

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A.

arccos

330
110 .

B.

arccos

33
11

C.

arccos

3
11 .

D.

arccos

33
22


Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.

arctan

2 11

110 .

B.

110
11 .

arctan

C.

arctan

2 110
33 .

D.

arctan

2 110
11 .

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi một vng góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam
a2 33
6 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
giác SBC bằng
a 330
A. 33 .

a 330
B. 11 .

a 110
.
C. 33

2a 330
.
33
D.

Câu 7. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vng cân tại B,
0
BA = BC = a , góc giữa mp( SBC ) với mp ( ABC ) bằng 60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
a 3
A. 4 .

a 3
B. 2 .

a 2
C. 3 .

a 6
D. 2 .

0
0

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc, góc OCB bằng 30 , góc ABO bằng 60

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.
A.

arctan

93
6 .

B.

arctan

31
3 .

B.

arctan

93
3 .

D.

arctan

31

2 .

0
0
Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc, góc OCB bằng 30 , góc ABO bằng 60

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).
A.

arcsin

1
35

B.

arcsin

34
35

C.

arcsin

14
35

D.

arcsin

3
7

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)
0
bằng 60 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3
1
3
1
arcsin
arcsin
arcsin
arcsin
4 7.
7.
2 7.
2 7.
A.
B.
C.
D.

Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Góc giữa đường thẳng AC và
mp (OBC ) bằng 600 , OB a , OC a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa
hai mặt phẳng

A.

arcsin

 AMC 

3
35 .

và

 ABC 

bằng:

32
1
34
arcsin
arcsin
35 .
35 .
35 .
B.
C.
D.
KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
arcsin

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vng tại A và B. Biết AD 2a ,
AB BC SA a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng
A.

h

a 6
6 .

B.

h

 SCD  .

a 6
3 .

C.

h

a 3
6 .

D.

h

a
3.

Câu 13. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB a, OC a 3 . Cạnh OA
vng góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h
giữa hai đường thẳng AB và OM.
A.

h

a 5
5 .

B.

h

a 3
2 .

C.

h

a 15
5 .

D.

h

a 3
15 .

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng

 ABCD  ,

SA 2a . Gọi F là trung điểm SC, tính góc  giữa hai đường thẳng BF và AC.
0
0
0
0
A.  60 .
B.  90 .
C.  30 .
D.  45 .
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy và
SA 2a . Gọi M là trung điểm của SC. Tính cơsin của góc  giữa đường thẳng BM và mặt
phẳng
A.

 ABC  .

cos  

21
7 .

B.

cos  

5
10 .

C.

cos  

7
14 .

D.

cos  

5
7 .

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy và

SA a . Tính góc  giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SDC  .
0
0
0
A.  90 .
B.  60 .
C.  30 .

0
D.  45 .

0

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD 120 . Các mặt

phẳng

 SAB 

và

 SAD 

cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối

a3 3
 SBC  theo a.
chóp S.ABCD là 3 . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng

A.

h

a 228
38 .

B.

h

a 228
19 .

C.

h

2 5a
5 .

D.

h

2 5a
19 .

0

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD 120 . Các mặt

2 3a 3
 SAB  và  SAD  cùng vng góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 .
phẳng
Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

A.

h

2 5a
5 .

B.

h

a 3
2 .

C.

h

a 6
2 .

D.

h

a 6
3 .


 SAB 
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a . Hai mặt phẳng
 SAC 

 SBC 

và
cùng vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

Tính góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
0
0
0
0
A.  45 .
B.  90 .
C.  30 .
D.  60 .

a 2
là 2 .

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
A D C

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
0
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A 2.
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .

Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu
của S trên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm của BC
suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.
GI =

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên
0
·
Theo bài SIG = 60 , suy ra

S

1a 3 a 3
=
.
3 2
6

H
C

A

a 3
a
·
SG = GI .tan SIG
=
tan600 =
6
2.

G

I

ïìï AG Ç (SBC ) = I
B
ï
í
AI
ïï

=3
GI
Vì ïỵ
nên d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) .
Gọi H là hình chiếu của G trên (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI). Suy ra
GS .GI
d (G ,(SBC )) =GH =
GS 2 +GI

d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) =

2

a 3
.
a
a
= 22 6 2 =
a
a
4
+
4 12
, suy ra

3a
4 .

[Cách 2] Phương pháp thể tích.
1 1

a a3 3
GI
a 3
a2 3
VS.ABC = . .aa
. .sin600. =
SI =
=
S
=
D SBC
3 2
2
24 ,
cos600
3 , suy ra
6 .
Ta có:
S
a3 3
z
3V
3a
d(A;(SBC )) = S.ABC = 28 =
SDSBC
4
a 3
6
Vậy
.

[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I º O ,

Ox º IA,Oy º IC;Oz/ / GS. (Hình vẽ).
ỉ
ư
a 3
ữ
ữ
Aỗ
;0;0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ 2
ứ,
Khi ú, ố

x

y

A

C
G

B

I


ử
a 3 aữ
ổa ữ
ử Sổ
ỗ
ữ
;0;
ỗ
ỗ
C ỗ0; ;0ữ
ữ
ỗ 6
ỗ
2ữ
ố
ứ, suy ra
ố 2 ữ
ứ; ỗ
ử uur ổ
uur ổ
ỗa 3 ;0;0ữ
a ử
ữ
IA =ỗ
ữ
IC = ỗ

0; ;0ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2
ố
ứ,
ố 2 ứ

uur uu
r uur
ộIC, ISự.IA
ờ
ỳ
3a
ử
uu
r ổ
a 3 aữ
d(A,(SBC )) = ở uur uỷ
=
u
r
ỗ
ữ
IS =ỗ

;0; ữ
ộIC, ISự
4
ỗ
ỗ
2ữ
ờ
ỳ
ố 6
ứ, suy ra
ë
û
.
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
0

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
a
a 5
a 5
a 2
A. 5
B. 5 .
C. 10 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường
thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.

Khi đó, d(GC,SA) = d(GC,(SAH )) = GK . Ta có:

· ,(ABC ) = SAG
( SA
) · = 60 Þ
0

d(GC,SA) = GK =

AG =

a 3
3 ;

SG = AG.tan600 = a, GH = AM =

GS.GH
GS2 +GH 2

=

a
2 , suy ra

a 5
.
5
z

S

S

K

K

y
H

x

H

A

C
G

M
B

C

A
G

N
B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G º O , Ox º GA,Oy/ / NC,Oz º GS (Hình v).
ổ
ử ổa 3 a ử
ử
uuu
rổ a 3 a ữ
a 3
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
u
u
r
Aỗ
;0;0
C
;
;0
GC
;
;0
ỗ
ỗ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ỗ 6 2 ữ
ỗ
ữ
ữ S ( 0;0;a)
ỗ 3
ỗ
GS ( 0;0;a)
ứ, ỗ
ố
ứ
ố 6 2 ÷
ø,
Khi đó, è
;
, suy ra
,


uuu
r uuu
r uur
ộGC, ASự.GS
ờ
ỳ
a 5
ở
ỷ
ử

uuu
rổ a 3
d
(
SA
,
GC
)
=
=
ữ
u
u
u
r
u
u
u
r
ỗ
ữ
AS ỗ
;0;
a
ộGC, ASự
5
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ờ
ỳ
ố 3
ứ suy ra
ë
û
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
arctan

85
17 .

arctan

10
17 .

arcsin

A.
B.
C.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),
· ,(ABCD) = GBK
·
BG

suy ra
.

(

Ta có:

85
17 .

D.

arccos

85
17 .

S

)

AO =

a 2
a 10
1
a 10
SO =
GK = SO =
2 ,

2 ,
3
6 ,

2
a
a 34
OK = OM
OK =
BK =
3
3 , suy ra
6 .
vì
nên

A

D
O

K

B

GK
85
· ,(ABCD) = tanGBK
·
tan BG

=
=
BK
17 .
[Cỏch 2] Phng phỏp ta .

(

G

M
C

)

ổ a 2 ữ
ử
ữ
Bỗ
0;
;0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ứ,
Chn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox º OC,Oy º OD,Oz º OS . Khi đó, è
ỉ

ư ỉ a 10ư
a 2 a 2 a 10 ữ
ữ
ữ
ữ
Gỗ
;
;
Sỗ
0;0;
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
6
6
6
2
ố
ứ; ố
ứ
.
uuu
rổ

a 2 2a 2 a 10 ử
a 2
a 2 r
ữ
ữ
BG ỗ
;
;
=
1
;4;
5
=
.n
ỗ
ữ
ỗ
ữ 6
ỗ
6
3
6 ứ
6
ố
Suy ra
,

(

)

ử a 10
uur ổ a 10 ữ
a 10 r
ữ
OS ỗ
0;0;
=
0;0;1
=
.k
ỗ
(
)
ữ
ỗ
ỗ
2 ữ
2
2
ố
ứ
.
rr
n.k
à ,(ABCD)) = r r = 5 Þ cos(BG
· ,(ABCD)) = 17 Þ tan(BG
· ,(ABCD)) = 85
sin(BG
22

22
17
n. k

.

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
arccos

330
110 .

arccos

A.
B.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình

33
11

C.

arccos

3
11 .

D.

arccos

33
22

(·BG,SA) = (·BG,GE ) .
Gọi M là trung điểm CD. Gọi E = BD Ç AM , suy ra GE / / SA . Suy ra


1
a 3
GE = SA =
3
3 .
Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD nên
Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,
suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD)

Ta có:

AO =

a 2
a 10
1
a 10
2a 2
SO =

GK = SO =
BE =
2 ,
2 ,
3
6 .
3 .

2
a
a 34
a 11
OK = OM
OK =
BK =
Þ BG =
3
3 , suy ra
6
3 .
Vì
nên
Xét tam giác BEG , có
GE =

BE =

2a 2
3 ,

S

a 3
a 11
BG =
3 ,
3 ,

BG 2 +GE 2 - BE 2
33
·
cosBGE =
=
2BG.GE
11 .
suy ra
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,

với Ox º OC,Oy OD,Oz OS .
ổ a 2 ữ
ử
A
ữ
Bỗ
0;
;0
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
2
ứ
Khi ú, ố
ổ
ử
a 2 a 2 a 10 ữ
B
ữ
Gỗ
;
;
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
6
6
6
ố
ứ;
ổ a 10ử
ổa 2
ử
ữ
ữ
ỗ
ữ

ữ
Sỗ
0;0;
A
;0;0
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2
2
ố
ứ, ố
ứ
,
uuu
rổ
a 2 2a 2 a 10ử
a 2
a 2 r
ữ
ữ
BG ỗ
;

;
=
1
;4;
5
=
.n
ỗ
ữ
ỗ
ữ 6
ỗ
6
3
6 ứ
6
ố
suy ra
,

(

)

O

E

D
K

M
C

)

ử a 2
uuu
rổ
a 2 a 10 ữ
a 2 r
ữ
AS ỗ
;0;
=
1
;0;
5
=
.k
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
2 ữ
2
2
ố 2
ứ
. Suy ra

(

G

rr
n.k
à ,SA) = r r = 3
cos(BG
11
n. k

.

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
arctan

2 11
110 .

arctan

110
11 .

arctan

2 110
33 .

arctan

2 110
11 .

A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi O là tâm hình vng ABCD, Gọi E = AC Ç DM suy ra E là trọng tâm tam giác BCD. Gọi
I là hình chiếu của O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy ra hình chiếu H của E

CH 2
=
3.
lên mặt phẳng (SBC) nằm trên đoạn thẳng CI và CI


(

)

· , EK )
(·
SDM ),(SBC ) = (HK
HK / / CM 


HK
^
SM
Kẻ
tại K
, khi đó
Ta có:

SO = SA2 - OA2 =

.
a 110
a 10 EH = 2OI = 2 SOOM
=
2
2
3
3 SO +OM
33
2 ,
.

1
a
2 110
·
· , EK ) = tan HKE
HK = CM = .
=
tan (·

SDM ),(SBC ) = tan(HK
3
6 Suy ra
11
[Cách 2] Phương pháp thể tích.

(

Đặt

(

)

) suy ra sinj

j = (·
SDM ),(SBC )

Ta có
VS.CDM

d(C;SM ) = CM =

=

d(C,(SDM ))
d(C,SM ) .

a d(C;(SDM )) = 3VC.SDM

SSDM
2,

1
a3 10
= .SO.SDCDM =
.
3
24

Tam giác SDM có

SM =

và SD = a 3 , suy ra
suy ra
sinj =
suy ra

a 11
a 5
DM =
2 ,
2

SD SDM =

d(C,(SDM )) =

S

a2 51
8 ,

I

3VC .SDM
a 10
=
SSDM
51

A

d(C,(SDM )) 2 10
=
d(C,SM )
51

2 110
Þ tanj =
11 .

K

H

B

O

M

D

C

[Cách 3]Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox º OC,Oy º OB,Oz º OS .
æ a 2 ử
ữ
Dỗ
0;;0ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ố
ứ
Khi ú,
,
ổ
ổ a 10ử
a 2 a 2 ử
ữ
ữ
ổa ử
ổ

ử
ỗ
a
ữ
ữ
ữ
ữ
Mỗ
;
;0
S
0;0;
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
B
0;
;0
;
C
;0;0
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ

ữ ç
÷ ç
÷ ç
÷
ç
4
2 ø
è 4
ø
è
è
ø
è
ø
2
2
;
,
ư a 2
uuuu
r ỉ
r
a 2 3a 2 ữ
a 2u
ữ
DM = ỗ
;
;0
=
1

;3;0
=
.
x
ỗ
(
)
ữ
ỗ
ữ
ỗ 4
4
4
4
ố
ứ
suy ra
,
ử
uuur ổ
a 2 a 2 a 10 ữ
ữ
SM = ỗ
;
;ỗ
ữ
ỗ
ỗ
4
2 ữ

ố 4
ứ
A
r
a 2
a 2 u
1;1;- 2 5 =
. y.
4
4
uuu
r ỉ
ư
a a ÷ a
ar
BC = ç
;- ;0÷
=
1
;
1
;0
=
.u
(
)
ç
÷ 2
ç
è2 2 ø

2 ;

=

(

z
S

B
O

)

D

M

E
C

x

y


uur ổ
a
a 10ử
a

ar r
ữ
u
r u
r
ữ
SC = ỗ
;0;
=
1
;0;
10
=
.v
ỗ
ữ
ỗ
ữ
n
=
[
x
,
y
] = - 6 5;2 5;- 2
ỗ
2
2
2
2

ố
ứ
,
v
rr
n.k
11
cosj = r r =
r
r r
2 110
51 ị tanj =
.
n. k
k = [u, v] = 10; 10;- 1
11
. Suy ra

(

(

)

)

(

)