góc giữa 2 mặt phẳng (2)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn





Phương pháp:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+ Xác định giao tuyến
( ) ( )
∆ = ∩
P Q

+ Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
+ Xác định các đoạn giao tuyến thành phần:
( )

( )

( ) ( )
( );( ) ;
( ) ( )
= ∩

⇒ =

= ∩

a R P

P Q a b
b R Q

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với
1
.
2
=
AH HB
Bi
ế
t góc gi
ữ
a
m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính góc gi
ữ
a
a)
SD và (ABCD).
b)
(SAB) và (SAC).

Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi tâm O, c
ạ
nh a,

0
120 .
=BAD G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OA. Bi
ế
t các m
ặ
t ph
ẳ
ng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) và góc gi

ữ
a m
ặ
t
ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính góc gi
ữ
a
a)
SD và AC.
b)
(SBC) và (ABCD).
c)
AC và (SAD).
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI).
Hướng dẫn giải:
Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC là tam
giác đều.
Trong ∆ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H
là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ∆ABC đều.
Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH. Để xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với
SH.
Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC, (1)

Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒
SA ⊥ BC, (2).
Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*)
Tương tự, ta cũng có
( )
( )
⊥ ⊥
 
⇒ ⇒ ⊥
 
⊥ ⊃ ⊥
 
AB CH AB CH
AB SCH
SC SAB AB AB CH

Hay AB ⊥ SH, (**).
Từ (*) và (**) ta được SH ⊥ (ABC).

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn

Mà
( )

( )

( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =

⇒ =

∩ =

ABC SAJ AJ
SAJ SCI AJ CI
ABC SCI CI

Do ∆ABC đều nên


0 0 0 0
90 90 30 60
= − = − =CHJ HCJ
V
ậ
y
( )

( )



0
( ),( ) , 60
= = =SAJ SCI AJ CI CHJ
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

Gi
ả
s
ử
hình chóp tam giác
đề
u là SABC. Do
đặ
c tính c
ủ
a hình
chóp tam giác
đề
u t

ấ
t c
ả
c
ạ
nh bên b
ằ
ng nhau, t
ấ
t c
ả
c
ạ
nh
đ
áy
b
ằ
ng nhau. T
ừ

đ
ó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác
đề
u
c
ạ
nh 3a.
G
ọ

i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC). Theo tính
ch
ấ
t
đườ
ng xiên và hình chi
ế
u, vì SA = SB = SC nên HA =
HB = HC
⇒
H là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a
∆
ABC.
a)
S.ABC là chóp tam giác
đề
u nên các c
ạ
nh bên nghiêng
đề

u
v
ớ
i
đ
áy, ta ch
ỉ
c
ầ
n tính góc gi
ữ
a SA và (ABC).
A
∈
(ABC) nên hình chi
ế
u c
ủ
a A xu
ố
ng (ABC) là chính nó. Do
SH
⊥
(ABC) nên H là hình chi
ế
u c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC). Khi

đ
ó,
HA là hình chi
ế
u c
ủ
a SA lên (ABC).
Suy ra,
( )

( )


,( ) SA,
α
= = =
SA ABC HA SAH
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của
∆
ABC đều cạnh 3a nên
3 . 3 2
3
2 3
= ⇒ = =
a
AI AH AI a

Từ đó ta được
0
3 3

os
α α 30
2 2
= = = ⇒ =
AH a
c
SA a

Vậy
( )

0
,( ) 30
=SA ABC

b)
Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD).
Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC.
Mà
( )
⊥

⇒ ⊥

⊥

BC SH
BC SAH
BC AH
.

Lại có
( )

( )

( ) ( )
( ),( ) ,
β
( ) ( )
∩ =

⇒ = =

∩ =

SAH ABC AI
SBC ABC SI AI
SAH SBC SI

Theo câu a,
( )
2
2 2 2
4 3
1 3
3 2

= − = − =





= =


SH SA AH a a a
a
HI AI

Khi
đ
ó,
2 3 2 3
tan
β β
arctan
3 3
3
2
 
= = = ⇒ =
 
 
 
SH a
IH
a

V
ậ

y góc gi
ữ
a m
ặ
t bên và
đ
áy c
ủ
a hình chóp là
2 3
β arctan .
3
 
=
 
 
 

Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng
=
3
SA a
và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các
mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (ABC).
b) (SBD) và (ABD).
c) (SAB) và (SCD).
H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i:

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có
1 2
2 2
= =
a
AO AC
Khi
đ
ó, (SAB)
∩
(ABC) = AB.
Ta có
( ).
⊥

⇒ ⊥

⊥

AB SA
AB SAD

AB AD
Mặt khác,
( )

( )


0
( ) ( )
( ),( ) , 90
( ) ( )
∩ =

⇒ = = =

∩ =

SAD SAB SA
SAB ABC SA AD SAD
SAD ABC AD

b) (SBD) ∩ (ABD) = BD.
Ta có
( ).
⊥

⇒ ⊥

⊥


AB AC
BD SAC
AB SA
Mặt khác,
( )

( )


( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =

⇒ = =

∩ =

SAC SBD SO
SBD ABD SO AO SOA
SAC ABD AO

Xét tam giác vuông SOA ta có:

( )

3
tanS 6 ( ),( ) arctan 6
2
2

= = = ⇒ =
SA a
OA SBD ABD
AO
a

c)
(SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD. Mà AB ⊥ (SAD)
⇒
Sx ⊥ (SAD).
Do
( )

( )


( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =

⇒
= =

∩ =

SAD SAB SA
SAB SCD SA SD ASD
SAD SCD SD

Xét tam giác vuông SAD:
 
( )

0 0
1
tanASD ASD 30 ( ),( ) 30
3 3
= = = ⇒ = ⇒ =
AD a
SAB SCD
SA
a

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
4 ; 4 3
= =
AB a AD a
. Tam giác SAB
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
Tính góc giữa
a) DI và SA. b) (SAI) và (ABCD).
c) SC và (ABCD). d) DI và (SAB). e)
*
SC và (SDI).
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa
(SBC) và (SCD) bằng 60
0

Đ/s: SA = a.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và
3
3
=
a
OB , d
ự
ng SO
⊥
(ABCD) và
6
.
3
=
a
SO Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng:
a)


0
90 .
=ASC

b)

(SAB)
⊥
(SAD).