(Luận văn thạc sĩ file word) Một số mở rộng phương pháp Korpelevich cho bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

ĐỖ MẠNH CƯỜNG

MỘT SỐ MỞ RỘNG
PHƯƠNG PHÁP KORPELEVICH CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Hướng dẫn 1: TS. Nguyễn Song Hà
Hướng dẫn 2: TS. Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2021


ii

LỜI CẢM ƠN
Tôi muốn gửi lời cảm ơn và biết ơn chân thành của mình tới tất cả những
người đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi về chuyên môn, vật chất và tinh thần trong q
trình thực hiện luận văn.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Song Hà và TS. Đinh
Diệu Hằng, người đã hướng dẫn, nhận xét và giúp đỡ tôi rất nhiều trong
suốt quá trình thực hiện và hồn thiện luận văn.
Tơi cũng xin cảm ơn các Thầy Cơ giáo, các phịng ban chức năng, Khoa

Toán-Tin thuộc trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những
người đã trực tiếp giảng dạy, đã động viên và giúp đỡ tơi trong suốt q
trình học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K12A6, lớp K13A, gia đình bạn bè
và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn này.
Tác giả
Đỗ Mạnh Cường


Mục lục

Trang bìa phụ
Lời cảm ơn

i
ii

Mục lục

iii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

iv

Danh sách bảng

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thfíc chuẩn bị
2
1.1. Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Phép chiếu mêtric................................................................................ 11
1.4. Ánh xạ đơn điệu và liên tục............................................................15
Chương 2. Phương pháp kiểu Korpelevich cho bài tốn bất đẳng
thfíc biến phân
18
2.1. Mơ hình bài tốn................................................................................. 18
2.2. Phương pháp EGM và PCM.........................................................23
2.3. Phương pháp SEGM........................................................................30
2.4. Phương pháp MSEGM....................................................................37
Kết luận chung và đề nghị

43

Tài liệu tham khảo

44


Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

H

Không gian Hilbert thực

Rn

Không gian thực hữu hạn chiều

co(C)

Bao lồi của tập C

cl(C)

Bao đóng của tập C

C\D

Phần bù của tập hợp D trong C

⟨x, y⟩

Tích vơ hướng của hai véctơ x và y

∥x∥

Chuẩn của véctơ x

∀x

Với mọi x

F :X→Y

Ánh xạ đơn trị từ X vào

YF :X ⇒ Y
PC(x)

Ánh xạ đa trị từ X vào Y
Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

α↓0

α giảm dần về 0

∇f (x)

Gradient của ánh xạ f tại x

∂f (x)

Dưới vi phân của ánh xạ f tại x

xn → x

Dãy {xn} hội tụ mạnh đến x khi n → +∞

xn ⇀ x

Dãy {xn} hội tụ yếu đến x khi n → +∞

(VIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Sol(VIP(F, C)) Tập nghiệm của bài toán (VIP) với ánh xạ giá F
và miền hữu hiệu C
(EGM)

Phương pháp đạo hàm tăng cường

(PCM)

Phương pháp chiếu co

(SEGM)

Phương pháp dưới đạo hàm - Đạo hàm tăng cường

(MSEGM)

Phương pháp dưới đạo hàm - Đạo hàm tăng cường cải biên


Danh sách bảng

2.1 Kết quả tính tốn cho phương pháp (EGM) tương ứng với các
giá trị τ thay đổi..........................................................................28
2.2 Kết quả tính tốn cho phương pháp (SEGM) tương ứng với

các giá trị τ thay đổi.......................................................................37
2.3 Kết quả tính tốn cho phương pháp (MSEGM) tương ứng với
các giá trị αk thay đổi.....................................................................42


Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân (viết tắt là (VIP)) được đề xuất lần đầu
tiên vào những năm đầu thập niên 60 ở thế kỉ trước bởi Stampacchia và
đồng sự (xem [5, 8, 12] cùng các tài liệu dẫn). Kể từ đó, bất đẳng thức biến
phân cùng nhiều bài toán liên quan đã thu hút được sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Trong suốt hơn sáu thập
niên qua, bài toán này đã và đang được nghiên cứu theo nhiều hướng khác
nhau. Một trong số đó là việc xây dựng và đề xuất các phương pháp hữu
hiệu xấp xỉ nghiệm của bài tốn. Điều đó đóng vai trị vơ cùng quan trọng
cho việc vận dụng lí thuyết này vào giải quyết những vấn thực tiễn đặt ra.
Bất đẳng thức biến phân được chỉ ra là một công cụ quan trọng và thống
nhất trong nghiên cứu nhiều bài tốn lí thuyết như: bài toán tối ưu, bài toán
cân bằng, bài toán bù, bài tốn điểm bất động, phương trình tốn tử loại
đơn điệu ... cùng nhiều bài tốn thực tiễn như: xử lí tín hiệu, xử lí ảnh, phân
phối băng thơng, tối ưu trong kinh tế, mạng giao thơng, ...
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu mơ hình bài tốn (VIP) cùng
một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ kiểu Korpelevich. Bên cạnh đó,
chúng tơi sẽ xây dựng các ví dụ số đơn giản nhằm minh họa và làm rõ hơn
các vấn đề lí thuyết mà luận văn sẽ đề cập.
Với mục tiêu như vậy, ngoài phần mở đầu, luận văn gồm có hai chương,
kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1, hệ thống lại một số kiến thức cơ
bản của giải tích lồi và giải tích hàm trong khơng gian Hilbert thực nhằm
phục vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn.
Chương 2, dành để giới thiệu lớp bài toán nghiên cứu cùng một số bài tốn

liên quan quen thuộc. Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày ba phương pháp
kiểu Korpelevich tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn (VIP) cùng các ví dụ số
minh họa cụ thể.


Chương 1

Kiến thfíc chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụ
cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu trúc của
chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày một số khái
niệm và tính chất cơ bản trong khơng gian Hilbert thực. Mục 1.2 trình bày
về tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi cùng một số tính chất liên quan.
Khái niệm và tính chất cốt yếu về phép chiếu mêtric được cụ thể hóa trong
Mục 1.3. Phần cuối chương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu về các ánh xạ loại
đơn điệu và liên tục.
1.1.

Không gian Hilbert thực

Mục này chúng tôi dành để hệ thống lại một số khái niệm cùng các tính
chất cơ bản trên khơng gian Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian véctơ thực. Hàm số
⟨., .⟩ : H × H
(x,y)
→

R

⟨x,y⟩

›→

được gọi là tích vơ hướng của hai véctơ x và y nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
(i) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ với mọi x, y ∈ H,
(ii) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ với mọi x, y, z ∈ H,
(iii)⟨αx, y⟩ = α⟨x, y⟩ với mọi x, y ∈ H, α ∈ R,
(iv)⟨x, x⟩ ≥ 0 với mọi x ∈ H và ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0.
Không gian véctơ thực H với một tích vơ hướng xác định như trên được
gọi là khơng gian tiền Hilbert.
Ví dụ 1.1. Tích vơ hướng của véctơ x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn và véctơ
y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn trong không gian hữu hạn chiều Rn xác định bởi
⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn.


8

Khơng gian Rn cùng với tích vơ hướng xác định như trên là một khơng gian
tiền Hilbert.
Ví dụ 1.2. Xét L2[0, 2π] là khơng gian các hàm số thực bình phương khả
tích trên [0, 2π], tức là
∫ 2π
|x(t)|2 dt < +∞, ∀x = x(t) ∈ L2[0, 2π].
Tích vơ hướng của x = x(t) ∈ L2[0, 2π] và y = y(t) ∈ L2[0, 2π] xác định bởi
⟨x, y⟩
=

x(t)y(t)dt
∫

0 2π

và L2[0, 2π] là một không gian tiền Hilbert.
Mệnh đề 1.1. (Bất đẳng thức Schwarz)
Trong khơng gian tiền Hilbert H ta ln có
|⟨x, y⟩| 2 ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩, ∀x, y ∈ H.
Chứng minh. Hiển nhiên y = 0 bất đẳng thức đúng. Giả sử y ̸= 0 và với mọi
λ ∈ R ta có
⟨x + λy, x + λy⟩ ≥ 0.
Điều này dẫn đến

2

⟨x, x⟩ + 2λ⟨x, y⟩ + λ ⟨y, y⟩ ≥ 0.
⟨x, y⟩ và thay vào bất đẳng thức trên ta nhận được
Chọn λ =
− ⟨y, y⟩
|⟨x, y⟩|2
⟨x, x⟩ −
≥ 0.
⟨y, y⟩
Từ đây suy ra điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian tiền Hilbert. Hàm số ∥.∥ : H → R
xác định bởi
√
∥x∥ = ⟨x, x⟩, x ∈ H,
(1.1)
là một chuẩn trên H và chuẩn này gọi là chuẩn sinh ra bởi tích vơ hướng.
Chứng minh. Hiển nhiên, từ (1.1) và điều kiện (iv) trong định nghĩa tích vơ

hướng, ta có ∥x∥ ≥ 0 và ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0.


Tiếp theo, với mọi x ∈ H và λ ∈ R ta thấy
√
√
∥λx∥ = ⟨λx, λx⟩ = |λ| ⟨x, x⟩ = |λ|∥x∥.
Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức Schwarz, với mọi x, y ∈ H ta có
∥x + y∥ 2= ∥x∥ 2+ 2⟨x, y⟩ + ∥y∥ 2 ≤ ∥x∥ 2 + 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥2
= (∥x∥ + ∥y∥)2.
Suy ra ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Mệnh đề 1.3. (Quy tắc hình bình hành)
Trong khơng gian tiền Hilbert H ta ln có
∥x + y∥ 2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H.
Chứng minh. Ta có
∥x + y∥ 2 = ∥x∥ 2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H,
và
∥x − y∥ 2 = ∥x∥ 2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H.
Cộng hai vế các đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert H đầy đủ với chuẩn xác định bởi
(1.1) được gọi là một không gian Hilbert.
Nhận xét 1.1. [1]
Cho H là một khơng gian định chuẩn thực. Nếu quy tắc hình bình hành
bảo đảm đối với chuẩn, tức là
∥x + y∥ 2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H.
thì trên H tồn tại một tích vơ hướng sao cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2.
Như vậy, một không gian Hilbert là khơng gian định chuẩn có chuẩn thỏa
mãn quy tắc hình bình hành.
Ví dụ 1.3. [1]
Các khơng gian lp, Lp[a, b] (1 ≤ p < +∞) là không gian Hilbert khi và chỉ

khi p = 2.


Ví dụ 1.4. Xét khơng gian C[1, 2] với chuẩn
∥x ∥ = max |x(t)|, x = x(t) C[1, 2].
1≤t≤2
∈
Chuẩn này khơng thỏa mãn quy tắc hình bình hành và vì thế C[1, 2] không
là không gian Hilbert. Thật vậy, chọn x = x(t) := 2 và y = y(t) := t với
mọi t ∈ [1, 2]. Khi đó, ta có
∥x∥ = 2 và ∥y∥ = max |t| = 2.
1≤t≤2

∥x + y ∥ = max |2 + t = 4
1≤t≤2
|

Mặt khác, ta lại có
và

∥x − y∥ = max |2 − t| =
1≤t≤2
1.

Do đó, ta nhận được
∥x + y∥2+ ∥x − y∥ 2 = 17.
Tuy nhiên
2

2

2 ∥x∥ + ∥y∥ = 16.
Định nghĩa 1.3. Dãy {xn} các phần tử trong không gian Hilbert H được
gọi là
(i) hội tụ mạnh đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu
lim ∥xn − x∥ = 0,

n→+∞

và kí hiệu là xn → x.
(ii) hội tụ yếu đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu
n lim ⟨xn,
→+∞

y⟩ = ⟨x, y⟩, ∀y ∈ H,

và kí hiệu là xn ⇀ x.
Nhận xét 1.2. Một dãy hội tụ mạnh là hội tụ yếu. Tuy nhiên, khẳng định
ngược lại nói chung khơng đúng. Chẳng hạn, dãy {en} (hệ trực chuẩn) trong
khơng gian l2 là một dãy có tính chất như vậy. Ngồi ra, trên khơng gian hữu
hạn chiều, sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương.


Mệnh đề 1.4. Trong không gian Hilbert H nếu các điều kiện sau bảo đảm
xn ⇀ x và ∥xn∥ → ∥x∥ thì xn → x.
Chứng minh. Với mọi n ∈ N ta có
∥xn − x∥2 = ∥xn∥ 2 + ∥x∥ 2 − 2⟨xn, x⟩.
Từ giả thiết suy ra ∥xn∥2 → ∥x∥2

và ⟨xn, x⟩ → ∥x∥2 .

2

Do đó, ta nhận được

∥xn − x∥ → 0.

Hay suy ra xn → x.
Mệnh đề 1.5. (Điều kiện Opial)
Cho dãy {xn} trong không gian Hilbert thực H. Nếu xn ⇀ x thì ta ln có
lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y∥, ∀y
n→+∞

n→+∞

x.

Chứng minh. Do xn ⇀ x nên dãy {xn} bị chặn và vì thế cả hai giới hạn trong
bất đẳng thức cần chứng minh là tồn tại hữu hạn. Mặt khác, ta có
2

2

2

2

∥xn − x∥ = ∥xn − y + y − x∥ = ∥xn − y∥ + ∥y − x∥ − 2⟨xn − y, y − x⟩.
Cho n → +∞ ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.4. Tập con C trong không gian Hilbert thực H được gọi là
(i) tập bị chặn nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại số thực dương M sao cho

∥x∥ ≤ M .
(ii) tập đóng nếu với mọi dãy {xn} ⊆ C, xn → x thì ta đều có x ∈ C.
(iii)tập mở nếu tập phần bù H\C = {x ∈ H : x ∈/ C} là đóng.
(iv) tập compact nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C đều tồn tại một dãy con
{xnk }
thỏa mãn xnk → x và x ∈ C.
Chú ý 1.1. Tập ∅ và H là tập vừa mở vừa đóng.


Ví dụ 1.5. Dưới đây là một vài ví dụ minh họa đơn giản cho các khái niệm
nêu trên.


(i) Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính r > 0 có dạng
S(x0, r) = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : ∥x − x0∥ < r}
là tập mở bị chặn.
(ii) Hình cầu đóng tâm x0 ∈ Rn bán kính r > 0 có dạng
S[x0, r] = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : ∥x − x0∥ ≤ r}
là tập đóng bị chặn và nó cũng là tập compact.
(iii)Đa diện lồi

n
Σ
∆ = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R : xi ≥ 1}
n

i=1

là tập đóng khơng bị chặn.
Để thuận tiện cho việc trình bày những nội dung tiếp theo, kể từ đây ta

ln kí hiệu H là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ⟨., .⟩ và chuẩn
sinh bởi tích vơ hướng này là ∥.∥ nếu khơng nói gì thêm.
1.2.

Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.5. Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với
mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.
Hay nói cách khác, tập C ⊆ H là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì thuộc nó.
Ví dụ 1.6. Các nửa khơng gian đóng, các hình cầu đóng trong H dưới đây
là các tập lồi
∆ := {x ∈ H : ⟨a, x⟩ ≤ α},
B[x0, r] := {x ∈ H : ∥x − x0∥ ≤ r},
trong đó a, x0 ∈ H là các phần tử cố định, α và r > 0 là các số thực.
Một vài tính chất cơ bản về tập lồi được phát biểu trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.6. Trong khơng gian Hilbert H, ta ln có


(i)

Giao của một họ tùy ý các tập lồi là lồi.

(ii)

Tổng của hai tập lồi là lồi.

(iii)

Nếu C là tập lồi thì αC cũng là tập lồi với mọi số thực α.

Định nghĩa 1.6. Véctơ x ∈ H được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ xi ∈ H
m
Σ
(i = 1, 2, . . . , m) nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, 2, . . . , m) với λi = 1 sao cho
i=1

x=

m
Σ

λ ixi.

i=1

Mệnh đề 1.7. [1]
Cho C ⊆ H là tập lồi và x1, x2, . . . , xm ∈ C. Khi đó, C chứa tất cả các
tổ hợp lồi của x1, x2, . . . , xm.
Định nghĩa 1.7. Cho C là tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực
H. Hàm f : C → R được gọi là
(i) hàm lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
(ii) hàm lồi chặt nếu với mọi x ̸= y ∈ C và với mọi λ ∈ (0, 1) ta có
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).
Nhận xét 1.3. Nếu f là một hàm lồi thì giá trị của nó tại một tổ hợp lồi
nào đó của hai điểm bất kỳ x, y khơng lớn hơn giá trị nhận được khi lấy cùng
tổ hợp lồi như thế của hai giá trị f (x), f (y). Về mặt hình học, đồ thị của
hàm lồi khơng khi nào nằm cao hơn dây cung nối hai điểm bất kỳ của nó.

Tập các điểm nằm về phía trên đồ thị của một hàm lồi, còn gọi là tập trên đồ
thị của f , kí hiệu và xác định bởi
epi(f ) := {(x, r) ∈ H × R : f (x) ≤ r}
luôn là một tập lồi.
Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là lồi. Tuy nhiên, khẳng định ngược lại nói
chung khơng đúng. Chẳng hạn, xét hàm số f : R → R xác định bởi

 0 nếu x < 0,
f (x) = 
x nếu x ≥ 0.


Ví dụ 1.7. Hàm chuẩn ∥ · ∥ : H → R là một hàm lồi. Thật vậy, ta luôn có
∥λx + (1 − λ)y∥ ≤ λ∥x∥ + (1 − λ)∥y∥, ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ [0, 1].
Ví dụ 1.8. Hàm f : R2 → R xác định bởi
1
f (x) = ⟨x, Q(x)⟩ + ⟨b, x⟩, x ∈ R2,
2
trong đó
Q=

2 1
!1 2

và b = (1, 1)

là hàm lồi.
Định nghĩa 1.8. Cho f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ H.
(i) Phần tử x∗ ∈ H được gọi là dưới gradient của hàm f tại điểm x¯ ∈ C
nếu

f (x) − f (x¯) ≥ ⟨x∗ , x − x¯⟩,

∀x ∈ C.

(ii) Tập tất cả các dưới gradient của f tại x¯ được gọi là dưới vi phân
của f
tại x¯, kí hiệu là ∂f (x¯), tức là
∂f (x¯) = {x∗ ∈ H : f (x) − f (x¯) ≥ ⟨x∗ , x − x¯⟩, ∀x ∈ C}.
(iii)Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (x¯) ≠

∅.

Ví dụ 1.9. Cho f : R → R xác định bởi
f (x) = x2 + |x − 1|.
Khi đó, dưới vi phân của hàm f là
 {2x − 1} nếu x <

∂f (x) =

1,

{[1, 3]}
nếu x = 1,

{2x + 1} nếu x > 1.

Định nghĩa 1.9. Cho f : C → R là hàm xác định trên C ⊆ H. Khi đó, hàm
f được gọi là
(i) khả vi Gâteaux tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗
trên C thỏa mãn

f (x + αy) − f
= ⟨x∗, y⟩, ∀y ∈ C.
lim
(x)


α↓0

α


Toán tử x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x và thường được kí
hiệu là fG′ (x) hoặc ∇f (x).
(ii) khả vi Gâteaux nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ C.
(iii)khả vi Fréchet tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗
trên C thỏa mãn
lim

∥y∥→0

|f (x + y) − f (x) − ⟨x∗,
= 0.
y⟩|
∥y∥

Toán tử x∗ được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và thường được kí
hiệu là fF′ (x) hoặc f ′ (x).
(iv) khả vi Fréchet nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ C.
Nhận xét 1.4. [1] Nếu f : C → R khả vi Fréchet tại x ∈ C thì nó cũng khả
vi Gâteaux. Khẳng định ngược lại nói chung khơng đúng.

Mối liên hệ giữa dưới vi phân và tính khả vi Gâteaux (hoặc khả vi Frétchet)
được phát biểu trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.8. [1]
Cho f : H → R là hàm lồi. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ H với Gf ′ (x) = x∗ và f khả dưới vi
phân
tại x thì
∂f (x) = {x∗}.

(ii) Nếu f là hàm liên tục tại x ∈ H và ∂f (x) chỉ gồm một phần tử duy nhất
x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và
f ′ G(x) = x∗ := ∇f (x).
Mệnh đề 1.9. [1]
Cho C là tập con lồi mở khác rỗng của H. Cho f : H → R là hàm khả vi
Gâteaux (Fréchet) trên H. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi
f (y) ≥ f (x) + ⟨∇f (x), y − x⟩, ∀x, y ∈ C.
(ii) f là hàm lồi chặt trên C khi và chỉ khi


f (y) > f (x) + ⟨∇f (x), y − x⟩, ∀x ̸= y ∈ C.


1.3.

Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.10. Cho F : H → H là ánh xạ xác định trên H. Ánh xạ F
được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại L > 0 sao cho
∥F (x) − F (y)∥ ≤ L∥x − y∥, ∀x, y ∈ H.

(1.2)

Nếu (1.2) đúng với L = 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ khơng giãn cịn
nếu (1.2) đúng với 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ co.
Ví dụ 1.10. Xét ánh xạ F : R2 → R2 xác định bởi
F (x) = A(x) + b, ∀x = (u, v) ∈ R2,
trong đó A là ma trận vng có dạng
A=

a!
∈,
−a 0
0

a

R,

và b = (b1, b2) ∈ R2. Khi đó, với mọi x, y ∈ R2, ta có
∥F (x) − F (y)∥ = ∥A(x) − A(y)∥ = ∥A(x − y)∥ = |a|∥x − y∥.
Do đó, F là ánh xạ |a|-liên tục Lipschitz. Hơn nữa, ta thấy rằng:
(i)

Nếu |a| < 1 thì F là ánh xạ co.

(ii)

Nếu |a| = 1 thì F là ánh xạ khơng giãn.

(iii)

Nếu |a| > 1 thì F khơng phải là ánh xạ co, không giãn.

Mệnh đề 1.10. [1]
Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn
tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
∥x − y∥ = d(x, C),
với d(x, C) = inf ∥x − z .
z∈C
∥
Chứng minh. Nếu x ∈ C thì chọn y = x. Nếu
x ∈/

C, khi đó vì C đóng nên

d := inf ∥x − z∥ > 0 và tồn tại một dãy {yn} ⊂ C sao cho
z∈
C

∥x − yn∥ → d.


Để ý rằng
∥yn − ym∥2 = ∥(x − yn) − (x ym) 2
ăy + y 2
2
2
2
= 2x yn + 2∥x − ym∥ − ∥2x − (yn + ym)∥

2
2
m
= 2x yn + 2x ym 4 ăx n
ă
2
2x yn + 2x ym 4d , ∀m, n ∈ N,
yn +
2

(vì C là tập lồi nên
ym
ta nhận được

2

2

∈ C). Cho m, n → +∞ trong bất đẳng thức trên
2
∥yn − ym∥ → 0.

Điều này suy ra {yn} là dãy Cauchy trong không gian Hilbert H. Do đó, tồn
tại giới hạn của dãy trên và giả sử rằng
yn → y.
Vì C là tập đóng nên y ∈ C. Hơn nữa, ta lại có
∥x − yn∥ → ∥x − y∥.
Từ đó dẫn đến d = ∥x − y∥.
Cuối cùng, giả sử tồn tại z ∈ C thỏa mãn ∥x − z∥ = d. Khi đó, ta có
∥y − z∥2 = ∥(x − y) − (x − z)∥2

2

2

= 2∥x − y∥ + 2∥x − z∥ − ∥2x (y + z)
ăy + z 2
ă
2
2
= 2x y + 2x z 4 ă x
2
ă
2d2 + 2d 2 − 4d 2 = 0.

2

Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất.
Chú ý 1.2. Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.10 còn được gọi là xấp xỉ tốt
nhất của x ∈ H bởi C.
Định nghĩa 1.11. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Ánh xạ
PC : H → C xác định bởi
PC(x) = {y ∈ C : ∥x − y∥ = d(x, C), ∀x ∈ H}


được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.


Ví dụ 1.11. [1]
Giả sử C := {x ∈ Rn : ⟨x, u⟩ ≤ ζ} là nửa khơng gian đóng trong Rn với
ζ ∈ R và u ∈ Rn là phần tử cố định. Khi ấy, ta có

(i) Nếu u = 0 và ζ ≥ 0 thì C = Rn và PC = I.
(ii) Nếu u = 0 và ζ < 0 thì C = ∅.
(iii)Nếu u ̸= 0 thì C
∅ và với mọi x ∈ Rn ta có


P (x) =

x

x +

C

ζ − ⟨x, u⟩
2

∥u∥

nếu ⟨x, u⟩ ≤ ζ,
u

nếu ⟨x, u > ζ.
⟩

Ví dụ 1.12. [1]
Cho C := {x ∈ Rn : ∥x − x0∥ ≤ r} là hình cầu đóng tâm x0 ∈ Rn và bán
kính r > 0. Khi ấy, với mọi x ∈ Rn ta có


P



x

(x)
=
x

C

0

nếu ∥x − x0 ∥ ≤ r,

+r

x − x0

nếu ∥x − ∥ > r.
x0

Mệnh đề 1.11. [1]
∥x − x0∥
Cho C ⊆ H là tập con lồi đóng khác rỗng. Khi đó, y = PC(x) là hình chiếu
của x trên C khi và chỉ khi
y ∈ C : ⟨y, z − y⟩ ≥ ⟨x, z − y⟩,

∀z ∈ C.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.10, ta thấy
y = PC(x) ⇔ ∥x − y∥ = inf ∥x − z∥.
z∈
C

Mặt khác, với mọi z ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có

uλ = λz + (1 − λ)y ∈ C,
(vì tính lồi của C) và vì thế ta nhận được y = PC(x) khi và chỉ khi
∥x − y∥ ≤ ∥x − uλ∥,
Bất đẳng thức này tương đương với

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).


2

∥x − y∥ ≤ ∥x − y + λ(y − z)∥

2


2

hay

2

= ∥x − y∥ + λ2∥y − z∥ + 2λ⟨x − y, y − z⟩, ∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0,

1).

2
⟨x − y, z − y⟩ λ
,
∥y
−
z∥
≤
2
Từ đây suy ra y = PC(x) nếu và chỉ nếu

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

⟨x − y, z − y⟩ ≤ 0, ∀z ∈ C.
Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian H. Khi
đó, phép chiếu mêtric PC là ánh xạ không giãn, tức là
∥PC(x) − PC(y)∥ ≤ ∥x − y∥,

∀x, y ∈ H.

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.11 ta có
⟨PC(y) − PC(x), x − PC(x)⟩ ≤ 0,
và
⟨PC(x) − PC(y), y − PC(y)⟩ ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được
⟨PC(x) − PC(y), −(x − PC(x)) + (y − PC(y))⟩ ≤ 0.
Bất đẳng thức này suy ra
∥PC(x) − PC(y)∥ 2 ≤ ⟨PC(x) − PC(y), x − y⟩

≤ ∥PC(x) − PC(y)∥∥x − y∥.
Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.2. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian H. Khi
đó, tính chất sau bảo đảm
2

2

2

∥PC(x) − z∥ ≤ ∥x − z∥ − ∥PC(x) − x∥ ,

∀x ∈ H, ∀z ∈ C.

Chứng minh. Trước hết để ý rằng
⟨PC(x) − PC(z), x − z⟩ = ⟨PC(x) − PC(z), x − PC(x)⟩


+ ⟨PC(x) − PC(z), PC(x) − PC(z)⟩
+ ⟨PC(x) − PC(z), PC(z) − z⟩
= ⟨PC(x) − PC(z), x − PC(x)⟩
2

+ ∥PC(x) − PC(z)∥ .
Vì ⟨PC(x) − PC(z), x − PC(x)⟩ ≥ 0 (Mệnh đề 1.11) nên
⟨PC(x) − PC(z), x − z⟩ ≥ ∥PC(x) − PC(z)∥ 2.
Từ đó suy ra
2
∥x − z∥
= ∥[x − PC(x)] + [PC(x) − PC(z)] + [PC(z) −

z]∥

2

2

= ∥PC(x) − PC(z)∥ + ∥[x − PC(x)] − [z − PC(z)]∥

2

+ 2⟨PC(x) − PC(z), [x − PC(x)] − [z − PC(z)]⟩
2

= ∥PC(x) − z∥ + ∥x − PC(x)∥

2

+ 2⟨PC(x) − PC(z), x − z⟩ − 2∥PC(x) − PC(z)∥

2

≥ ∥PC(x) − z∥2 + ∥x − PC(x)∥ 2.
Ta có điều cần chứng minh.
1.4.

Ánh xạ đơn điệu và liên tục

Trong phần này, chúng tơi sẽ nhắc lại một vài khái niệm và tính chất cơ
bản về ánh xạ (toán tử) loại đơn điệu.
Định nghĩa 1.12. Cho C ⊆ H là tập con khác rỗng và F : C → H là ánh

xạ xác định trên C. Ánh xạ F được gọi là:
(i)

giả đơn điệu trên C nếu
⟨F (y), x − y⟩ ≥ 0 ⇒ ⟨F (x), x − y⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ C.

(ii)

đơn điệu trên C nếu
⟨F (x) − F (y), x − y⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ C.

(iii)

(1.3)

(1.4)

đơn điệu chặt trên C nếu
⟨F (x) − F (y), x − y⟩ > 0, ∀x ̸= y ∈ C.

(1.5)