(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một số bài toán hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi THPTQG

I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 mơn tốn, chương trình thường
được kết thúc vào khoảng giữa hoặc cuối tháng tư. Thời gian còn lại tới lúc các em
bước vào thi THPTQG còn khoảng 2 tháng. Đây là một khoảng thời gian rất quan
trọng để các em ôn lại các phần kiến thức đã học. Về cơ bản các em phải làm tốt
hai vấn đề:
Vấn đề thứ nhất: Cần lên kế hoạch về thời gian để ôn tập cho từng phần.
Vấn đề thứ hai: Tìm tài liệu để ơn tập và phương pháp ôn tập hiệu quả
Vấn đề thứ nhất các em có thể tự giải quyết được, vấn đề thứ hai tơi nghĩ
đây là một điều khó khăn đối với các em.
Để giúp các em giải quyết vấn đề này đó là lý do tơi chọn đề tài SKKN này.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu này giúp các em có một tài liệu và phương pháp ơn tập
phần Hình học giải tích trong khơng gian hiệu quả vừa đảm bảo thời gian ôn tập
hạn chế vừa đảm bảo cơ bản đủ về nội dung kiến thức và được xắp xếp một cách
hệ thống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiện cứu của đề tài là chất lượng ôn tập của học sinh cuối cấp
chuẩn bị cho thi THPTQG, cụ thể là chất lượng ơn tập phần Hình học giải tích
trong khơng gian lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Với lý do, mục đích như trên, tơi xác định rõ đối tượng nghiên cứu và xây
dựng phương pháp nghiên cứu. Đó là xây dựng nội dung đề tài, áp dụng trong
giảng dạy thực tế hai năm, năm học 2015-2016 và năm 2016-2017. Thống kê kết
quả trước ôn tập và sau ôn tập qua các lần thi thử chất lượng ôn tập thi THPTQG
do trường tổ chức và Sở tổ chức. Từ đó rút ra kết luận, đánh giá hiệu quả đề tài từ
đó chỉnh xửa và hồn thiện đề tài.

download by :

1


1.5. Những điểm mới của SKKN
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong học tập, ôn tập là một phần không thể thiếu. Dạy kiến thức mới luôn
đi kèm với ôn tập. Ôn tập giúp người học hồi nhớ kiến thức, hoàn thiện kỷ năng và
là một phần không thể thiếu trước mỗi kỳ thi.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho thấy một số vấn
đề sau:
+ Học sinh khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp, tài liệu ôn tập.
+ Kết quả thi thử phần kiến thức này ở học sinh không đồng đều, số bài thi
đạt điểm cao ít, rất nhiều bài bị mất điểm ở phần cơ bản do quên hoặc hiểu không
đúng bản chất.
+ Thời gian để xử lý bài toán dài, phát hiện vấn đề cịn chập, xử lý chưa trơi
chảy, kết quả không cao.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
* Giải pháp thứ nhất: Hướng dẫn học sinh ôn tập dựa vào sách giáo
khoa và sách bài tập
+ Ưu diểm: Hệ thống kiến thức cơ bản, đầy đủ.
+ Nhược điểm:
Nội dung kiến thức trang bị cho học sinh tiếp cận lần đầu, không phù hợp với
việc ôn tập nước rút.
Nội dung bài tập không thực sự sát với đề thi hiện tại
Lượng kiến thức chưa được hệ thống lại, học sinh khơng có được cách nhìn
tổng thể cho phần kiến thức này

download by :

2


+ Kết luận: Giải pháp này rất mất thời gian, hơn nữa hiệu quả là không cao.
* Giải pháp thứ hai: Hướng dẫn học sinh tự ôn tập dựa vào hệ thống bài tập
theo chuyên đề đã được học bồi dưỡng
+ Ưu diểm: Dễ thực hiện vì học sinh đã có sẵn tài liệu học
+ Nhược điểm: Kiến thức chưa phải là kiến thức tổng hợp, bài tập chủ yếu
giải bằng kiến thức của bài học trước đó nên khơng phù hợp khi học sinh đã học
xong chương trình.
+ Kết luận: Không đáp ứng được yêu cầu thời gian và trọng tâm kiến thức
Từ những thực tế trên tôi đã nghiên cứu và xây dựng một giải pháp của
SKKN là “ Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một số dạng tốn
hình học giải tích khơng gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi THPTQG”
* Giải pháp của đề tài: “ Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ơn tập giải một
số dạng tốn hình học giải tích khơng gian nhằm nâng cao kết quả ơn thi
THPTQG”

A. Tóm tắt lý thuyết
1/ Tọa độ vectơ, tọa độ điểm
+





M
x

;
y
;
z

OM

x
i

y
j

z
k


M
M M
M
M
M
+

+ AB  ( xB  x A ; y B  y A ; z B  z A )
2/ Các phép toán vectơ

a1  b1
 


a  b  a2  b2
a  b
 3 3
+

download by :

3


 
a
+  b  ( a1  b1 ;a2  b2 ;a3  b3 )

k.a
 ( ka1 ;ka2 ;ka3 )
+
+

  
 
a.b  a . b cos(a ;b )  a1b1  a2b2  a3b3

  a a a a aa 
 a,b    2 3 ; 3 1 ; 1 2 
 
 b 2 b3 b3b1 b1b 2 
+
 
 a; b 

* Lưu ý: Vectơ tích có hướng  



a
b
vng góc vơi hai vectơ và

a1  kb1
 



  a,b   0  k  R : a  kb  a2  kb2


a  kb
3
 3
a
b
+ và cùng phương
 
  

 .c  0
a,b
+ Ba vectơ a, b, c đồng phẳng   
(tích hỗn tạp của chúng bằng 0)

  
+ A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện  AB, AC, AD không đồng phẳng.





a
b
c
a
b
+ Cho hai vectơ không cùng
và vectơ đồng phẳng với
và
 phương
 
 k,l R sao cho c  k a  lb


MA  k MB
+ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k
thì ta có :
x  kxB
y  kyB
z  kz B
xM  A
; yM  A
; zM  A
1 k

1 k
1 k
(Với k ≠ -1)





+ Đặc biệt khi M là trung điểm của AB (k = – 1 ) thì ta có :

xM 

xA  xB
y  yB
z  zB
; yM  A
;z M  A
2
2
2

download by :

4


xA  xB  xC

x G 
3


y  yB  yC

  yG  A
3

z A  z B  zC

z G 
3

+ G là trọng tâm của tam giác ABC
4/ Góc
a. Góc giữa hai vectơ


a.b
A.A'  B .B'  C .C'
cos(a,b )    
a .b
A2  B 2  C 2 . A' 2  B' 2  C' 2

b. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x +
B’y + C’z + D’= 0.
 
n P .nQ
 
A.A'  B.B'  C.C'
cos  cos(n P ,nQ )    

nP . nQ
A2  B 2  C 2 . A' 2  B' 2  C' 2
Ta có :
0
(0 ≤φ≤900)
 
  900  nP  nQ

 hai mặt phẳng vng góc nhau.
c. Góc giữa hai đường thẳng

a  ( a1;a2 ;a3 )
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a  ( a'1 ;a'2 ;a'3 )
(’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
 
a .a'
 
a1 .a'1  a2 .a'2  a3 .a'3
cos  cos(a ,a' )    
a . a'
a12  a22  a32 . a'12  a'22  a'32
d. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng


a  ( a1;a2 ;a3 )
n  ( A;B;C )
() đi qua M0 có VTCP
, mp(α) có VTPT

.
Gọi φ là góc hợp bởi () và mp(α)

download by :

5



sin   cos(a ,n ) 

Aa1 +Ba 2 +Ca 3
A 2  B 2  C 2 . a12  a22  a32

5. Khoảng cách
a. Khoảng cách giữa hai điểm

AB  ( xB  x A )2  ( y B  y A )2  ( z B  z A )2
b. Khoảng cách từ điểm tới mặt
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi
công thức :
d( M 0 , ) 

Ax 0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

c. Khoảng cách từ điểm tới đường


a

Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi qua M0 có VTCP .
 
[M 0 M ,a ]
d( M , ) 

a

d.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :


a
a'
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP , (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP
  
[ a,a' ].MM '
d(  ,') 
 
[a,a' ]

* Lưu ý: Độ dài vectơ


a  a12  a22  a32

6. Diện tích, thể tích
a. Diện tích tam giác
1  
S ABC  [ AB,AC ]
2

b. Diện tích hình bình hành

download by :

6


S ABC

 
 [ AB,AC ]

c. Thể tích hình chóp tam giác
1   
V  [ AB,AC ]. AD
6
.
d. Thể tích hình hộp
  
V  [ AB,AC ]. AD
.
B. Một số dạng bài tập trọng tâm
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ, nhận dạng hình học
Trong phần này học sinh sẽ vận dụng công thức để tìm tọa độ điểm, véc tơ, nhận
dạng hình học. Qua phần này học sinh ơn tập được các phép tốn cũng như cơng
thức trong hình học tọa độ khơng gian
“VD1. Cho tam giác ABC có: A(1; 2; -1); B(3; -1; 2); C( 4; 0; 1). Tìm toạ độ chân
đường cao AH.” [1]
Hướng dẫn
Cách 1:

- Viết phương trình cạnh BC là (d)
- Viết phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với BC là (P)
- Giải hệ hai phương trình (d) và (P) được tọa độ H
Cách 2:
 
- Gọi H(x;y;z); Giải hệ điều kiện B,H,C thẳng hàng và AH  BC ta được tọa

độ H
Cách 3:
- Viết phương trình cạnh BC là (d)

download by :

7


 
- H thuộc (d), H có một ẩn, Giải AH  BC được tọa độ H.

“VD2. Cho A( 1; 0 ;2), B( 2; 1 ;3) , C( -1 ;2 ; 0) , D( 1; 1; 2) , E( 0; -1 ; 6)
a/ CMR: A,B,C,D đồng phẳng.
b/ CMR: A,B,C,E là bốn đỉnh của một hình tứ diện.” [1]
Hướng dẫn
a/ Cách 1:
  
 AB, AC  . AD  0

- Tính 
suy ra A,B,C,D đồng phẳng
Cách 2:

  

 
- Tính AB, AC , AD và chứng minh tồn tại k,l để AB  k AC  l AD suy ra
A,B,C,D đồng phẳng
Cách 3:
- Viết phương trình (ABC), chứng minh D thuộc (ABC)
b/ Hoàn tự như câu a, yêu cầu học sinh có thể giải bằng 3 cách trên
“VD3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a/ Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
b/ Tính thể tích hình hộp.
c/ Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
d/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của D lên đoạn A’C.”[1]
Hướng dẫn
a/ Cách 1:

A'

Để tìm tọa độ điểm nào ta đặt tọa độ điểm đó rồi
giải điều kiện suy ra tọa độ

B'

D'
J

download by : K

C'

8


I

B

C

VD: Tìm C
 
Đặt C(x;y;z), Giải AD  BC ra tọa độ C

Cách 2:
Dùng công thức tọa độ trung điểm ta suy ra
VD: Tìm C: biết B,D suy ra I, biết I,A suy ra C
  
V   AB, AD  . AA '
b/ Tính
c/ Tìm tọa độ trọng tâm của  A ' BD,  B ' CD ' là G1, G2 chứng minh A,C’, G1, G2
thẳng hàng
d/ Giải như VD1
“VD4. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt
là hình
chiếu của A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu
của A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
a/ Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
b/ Chứng minh rằng N1N2  AN3 .

c/ Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để
PQ//M1N1.”[1]
Hướng dẫn
a/ Dùng pp vẽ hình để suy nhanh tọa độ hình
chiếu của một điểm lên trục tọa độ và lên
phẳng tọa độ

mặt
A

* Lưu ý:

M1

O

- Hình chiếu của A lên trục Ox, Oy,
lần lượt có tọa độ là:
 x A ;0;0  ;(0; y A ;0);(0;0;z A )

download by :

Oz
N1

9


- Hình chiếu của A lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx lần lượt có tạo độ
là: ( x A ; y A ;0);(0; y A ; z A );( x A ;0;z A )

 
b/ Tính N1N 2 . AN 3  0 suy ra (đpcm)

c/ Ta tìm ngay tọa độ P,Q bằng cơng thức chia tỷ số. Dùng phép toán PQ cùng

phương M1N1 suy ra k.
Bài tập tự luyện
“Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
   
F =  AB,AC  .( OA+ 3CB )
a/ Tính
.
b/ Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
d/ Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình
chóp.”[1]
“Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a/ Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
c/ Tính các góc của tam giác ABC.
d/ Tính diện tích tam giác BCD.
e/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh
A.”[1]

“Bài 3: Cho






a  ( 0;1; 2 ); b  ( 1; 2; 3 ); c  ( 1; 3; 0 ); d  ( 2; 5; 8 )

  
a,
a/ Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ b, c không đồng phẳng.
  

a,
b,
d
d
b/ Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
đồng phẳng, hãy phân tích vectơ
a, b
theo hai vectơ
.

download by :

10



u   2; 4;11

  
a,
c/ Phân tích vectơ
theo ba vectơ b, c .”[1]
“Bài 4: Cho A(2 ; 3 ; 1), B( 4; 1; -2) , C( 6; 3 ; 7), D( -5; -4; 8)

a/ CMR : ABCD là một tứ diện.
b/ Tính diện tích tam giác ABC ; Thể tích tứ diện D.ABC Từ đó suy ra chiều
cao DH của tứ diện.”[1]
“Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Có đỉnh A trùng gốc toạ độ O,
B(a; 0; 0), D( 0; a; 0), A’(0; 0 ;b) biết a, b > 0. M là trung điểm của CC’.
a/ Tính thể tích tứ diện B.DA’M theo a,b.
b/ Xác định tỷ số a/ b để (A’BD) vng góc với (MBD).”[2]

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Trong khơng gian Oxyz, phương trình dạng Ax
 + By + Cz + D = 0 với
n  ( A;B;C )
A2+B2+C2≠0 là phương trình của mặt phẳng, trong đó
là một vectơ
pháp tuyến của nó.

n  ( A ; B; C )
2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ
làm
vectơ pháp tuyến có dạng :
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
3. Mặt phẳng

 (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và song song hoặc chứa giá của 2 vectơ
a  ( a1 ; a 2 ; a 3 )
b  (b1;b 2 ;b3 )
và
thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :


   a 2 a 3 a 3 a1 a 1 a 2 
n  a ,b   
;
;

b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2

.
II. Khi viết phương trình mặt phẳng:
1. Tìm được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến thì phương trình là:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

download by :

11



n( A;B;C )

2. Tìm được vectơ pháp tuyến
, chưa biết điểm đi qua thì phương
trình là: Ax+By+Cz+m =0 trong trường hợp này từ đk đề bài ta lập một phương
trình là giải được m.
3. Tìm được tọa độ điểm mà chưa tìm được vectơ pháp tuyến, thường sẽ tìm
vectơ pháp tuyến bằng hai cách:
Cách 1: Lấy tích có hướng của 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt
phẳng
Cách 2: Đặt ẩn cho vectơ pháp tuyến
phương trình là tìm ra được A,B,C


n( A;B;C )

, ba ẩn nhưng chỉ cần lập 2

4. Nếu chưa biết cả hai yếu tố điểm và vectơ pháp tuyến thì ta gọi phương
trình mặt phẳng là: Ax+By+Cz+D =0 có 4 ẩn nhưng chỉ cần lập 3 phương trình là
đủ tìm được A,B,C,D
“VD1. Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và
D( -1;1;2).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vng góc với
mp(ABC).”[1]
Hướng dẫn
  
n   AB,AC 

a/ Ta tìm vectơ pháp tuyến bằng cách:
, Điểm đi qua thì chọn A,B
hoặc C đều được.

b/ Điểm đi qua là trung điểm của AC, pháp tuyến chính là AC
  
n   AB,CD 
c/ Điểm là A hoặc B đều được, pháp tuyến là
d/ Điểm là C hoặc D, pháp tuyến là

  
n  CD,n( ABC ) 

download by :

12


“VD2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm M( 2; 5; 3) , N(0; 3; 1) và
vuông góc với mặt phẳng (P): 2x -3y –z +6 =0.”[1]
Hướng dẫn

 
n   MN ,n(P) 
Điểm là M hoặc N, pháp tuyến là
“VD3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của 2 mp: (M): x – 2y +
z – 1 = 0, (N): - x + y + 2z + 2 = 0. Và (Q) vuông góc với giá của véctơ
 4
AB( 1; ;1 )
3

[1]
Hướng dẫn


+ Điểm đi qua là điểm bất kỳ thuộc giao tuyến của (M) và (N), pháp tuyến là AB
+ Lập song phương trình (Q) cần chọn một điểm thuộc giao tuyến của (M) và (N)
thử vào (Q) xem thỏa mãn hay không để KL (Q) tồn tại hay không
“VD4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm
M(2;1;-1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp
với mặt phẳng (P) một góc 450.”[1]
Hướng dẫn
+ Điểm đi qua là M đã biết

2
2
2
n
+ Vectơ pháp tuyến chưa biết, ta đặt là  ( A;B;C ),A  B  C  0

(Chỉ cần lập đủ 2 phương trình là ra A,B,C)
 
n
+ Phương trình thứ nhất có được từ:  i và phương trình thứ hai có được từ
 
cos( n,nP )  cos 450
( phần này học sinh cần biết phương pháp chọn để tìm nhanh A,B,C)

download by :

13

“VD5. Trong không gian Oxyz cho A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A,B đồng thời cách C một khoảng bằng

3 .”[1]

Hướng dẫn
+ Điểm đi qua đã biết là A hoặc B

n  ( A;B;C ), A2  B 2  C 2  0
+ Pháp tuyến chưa biết ta đặt là
 
+ Cần lập 2 phương trình: Phương trình 1 có được từ đk: n  AB , phương trình thứ
hai có từ: d( C,( P ))  3
* Chú ý: Những bài toán lập phương trình mặt phẳng chưa biết vectơ pháp tuyến
mà cho giữ kiện “ Góc” hoặc “ Khoảng cách” thì thường phải đặt ẩn cho vectơ
pháp tuyến, ba ẩn và cần lập được hai phương trình kết hợp phương pháp chọn để
tìm nhanh ba ẩn của vectơ pháp tuyến.
Bài tập tự luyện
“Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0; 1; 2), B( -2; 3; 1),C( 1; 0; 2)”[1]
Bài 2: Tìm phương trình mp(Q) đi qua M( 1; 0 ;3) và song song với mp: 5x - 7y
+3z -8 = 0.
Bài 3: lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua M(1; -2; 5) và vng góc với
đường thẳng AB với A( 0; 5; 3) , B( 1; 2; 4).
Bài 4: Cho A( 1; 2; 1), B( 0; 3; -2) , C( 3; 0; 4) , D( 4; 1; 5) , E( 5; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng qua E và song song với AB , CD.
Bài 5: Cho 4 điểm: A(0; -1; -1) , B( 2; 1; 3), C( -1; -2; 2) , D( -3; 0; -2)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và song song với
AD, BC.

b/ Viết phương trình (Q) đi qua AB và song song với CD.

download by :

14


Bài 6: Cho 2 mặt phẳng (P) : x-2y+3z+1=0

; (Q): 5x+y-z-2=0

a/ CMR: (P) vng góc với (Q).
b/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc toạ độ O và giao tuyến của 2 mặt
phẳng (P) , (Q).
“Bài 7: Cho hình lập phương : ABCDA’B’C’D’ có: A(0; 0; 0) , B( a; 0; 0) , D( 0;
a; 0), A’(0; 0; a).

 1 
AI  AC
4
a/ Tìm điểm I thoả mãn:
b/ Viết phương trình mặt phẳng ( IB’D’).
c/ mp(IB’D’) cắt Ox,Oy tại E,F. CMR: E, I, F thẳng hàng, EF // BD.”[2]
Bài 8: viết phương trình mp (P) đi qua giao tuyến của 2 mp: x+2y+3z-5=0 ; 3x2y-z+1=0 và chắn trên Ox, Oy những đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3); B(0;-1;2),C(1;1;1). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A, gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ (P) đến B bằng
khoảng cách từ (P) đến C.
Bài 10: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến
của 2 mặt phẳng (  ) : 2 x  y  1  0 và (  ) : 2 x  z  0 và tạo với

( Q ) : x  2 y  2 z  1  0 một góc  mà

cos  

2 2
9 .

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng
I. Phương trình đường thẳng:

1. Phương trình tham số của đường thẳng :

 x  x 0  a 1t

 y  y 0  a 2 t (t  R)
z  z  a t
0
3


(1)

a  (a1;a 2 ;a 3 )
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và
là vectơ
chỉ phương của đường thẳng.

download by :

15

2. Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :

x  x 0 y  y0 z  z 0


a1
a2
a3
(2)

a  (a1;a 2 ;a 3 )

Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và
chỉ phương của đường thẳng.

là vectơ

II. Khi viết phương trình đường thẳng
1. Tìm được điểm đi qua và vectơ chỉ phương thì phương trình là (1), (2).
2. Khi tìm được điểm mà chưa biết vectơ chỉ phương ta thường có 2 cách:






u


a,b
+ Cách 1: Tìm 2 vectơ a,b cùng vng góc với ud khi đó d  

+ Cách 2: Đặt ud ( x; y; z ) , có 3 ẩn nhưng chỉ cần lập 2 phương trình là tìm ra

3. Ta cũng có thể tìm 2 điểm đi qua, thường một điểm sẵn có và một điểm
phải đặt ẩn rồi giải ra.( gọi là phương pháp 2 điểm)
4. Ta tìm được 2 mặt phẳng chứa đường thẳng đó, viết phương trình 2 mặt
phẳng đó và suy ra phương trình đường thẳng.( gọi là phương pháp 2 mặt)
“VD1. Trong không gian Oxyz, Cho 2 mặt phẳng (P):x-2y+3z-1=0 và (Q): x+yz+1=0 và điểm A(0; -3; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song
với cả (P) và (Q).”[1]
Hướng dẫn
+ Điểm đi qua là A đã biết
+ Tìm vectơ chỉ phương: Là

  
ud   nP ,nQ 

“VD2. Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x-2y+z=0 và A(1; 2; 1) . CMR A thuộc
(P), Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P).”[1]
Hướng dẫn
+ Điểm đi qua là A

download by :

16



n

+ Vectơ chỉ phương là: P

x y z 1
 
1 . Lập phương
“VD3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): 2 4
trình đường thẳng d đi qua A(3; 2; 1), d vng góc và cắt đường thẳng a.”[1]
Hướng dẫn
Cách 1: Ta dùng phương pháp 2 điểm:
+ Gọi B là giao điểm của d và a, B thuộc a có một ẩn
 
+ Giải đk AB  ua ra tọa độ B, khi đó d là đường AB
Cách 2: Ta dùng phương pháp 2 mặt
+ Lập phương trình (P) chứa a và A
+ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và vng góc với a
+ d là giao tuyến của (Q) và (P) suy ra phương trình d
“VD4.Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng
x 1 y z  2
 
2
1
3
(a):
Viết pt đường thẳng d đi qua giao điểm A của (P) và (a) đồng thời vng góc với
(a) và nằm trong mp(P).”[1]
Hướng dẫn
Cách 1:
+ Tìm điểm: Là giao của a và (P)
  
u   nP ,ua 

+ Tìm vectơ chỉ phương: Là
Cách 2: Phương pháp 2 mặt
+ Mặt thứ nhất chính là: (P)

download by :

17



u
+ Mặt thứ hai là: (Q) đi qua giao điểm của a và (P), có vectơ pháp tuyến là a

+ Khi đó d là giao tuyến của (P) và (Q)
“VD5. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;-1;1) và đường thẳng

:

x y2 z


1
2
2 và (P): x-y+z-5=0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,

0
nằm trong (P) và hợp với (  ) một góc 45 .”[1]

Hướng dẫn
+ Tìm điểm là: A


u(a;b;c)
+ Tìm vectơ chỉ phương: Ta đặt
ba ẩn nhưng cần tìm 2 phương trình,
 
phương trình thứ nhất có được từ u  nP ; phương trình thứ 2 có được từ
cos(  ,d)  cos 450

Chỉ cần 2 phương trình kết hợp pp chọn ta được a,b,c.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x-2y+z=0 và A(1; 2; 1) . CMR A thuộc
(P), Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P).
Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 3; -5)
và song song với đường thẳng (a) là giao tuyến của 2 mp(P): 3x-y+2z-7=0 và (Q):
x+3y-2z+3=0.

x y z 1
 
1 . Lập phương
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (a): 2 4
trình đường thẳng d đi qua A(3; 2; 1) và d vng góc và cắt đường thẳng (a).
 x  1  3t

y  2  t
z  3  t


Bài 4: Trong không gian Oxyz, Cho 2 đường thẳng (a):
và (b) là giao
tuyến của 2 mp sau: (P): x+1=0 ; (Q): x+y-z+2=0 và một điểm A(0; 1; 1).

download by :

18


Viết phương trình đường thẳng d biết d vng góc với (a), đi qua A và cắt (b).
Bài 5: Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng
(a):

x 1 y z  2
 
2
1
3

Viết pt đường thẳng d đi qua giao điểm A của (P) và (a) đồng thời vng góc với
(a) và nằm trong mp(P).

Bài 6: Trong không gian Oxyz, Cho 3 đường thẳng:
x 1 y  2 z  2


1
4
3

d1:

 x  3t


y  1 t
z  5  t


; d2:

và d3 là giao tuyến của 2 mặt phẳng có pt: x-y+4z-3=0 ; 2x-

y-z+1=0.
Viết pt đường thẳng d song song với d1 và cắt cả d2 ; d3 .
Bài 7: Trong không gian Oxyz, Cho A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng d1:
x2 y 2 z 3


2
1
1

; d2:

x 1 y 1 z 1


1
2
1

a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d1
b/ Viết pt đường thẳng d biết d đi qua A, vng góc với d1 và cắt d2.

Bài 7: Trong không gian Oxyz, viết pt đường thẳng d đi qua A(1; -1; 1) và cắt cả 2
đường thẳng sau:

d1:

 x  1  2t

y  t
z  3  t


và d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng có pt: x+y+z-1=0 ; y+2z-3=0.

Bài 7: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P):
y+2z=0 và cắt cả 2 đường thẳng:

d1:

x  1  t

y  t
 z  4t


;

d2:

x  2  t


 y  4  2t
z  1


download by :

19


Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 1; 2) và 2 đường thẳng: d1:

; d2:

x y 1 z 1


2
1
1

x  1  t

 y  1  2t
z  2  t


a/ Viết pt mp(P) qua A đồng thì song song với cả d1 ; d2 .
b/ Tìm 2 điểm M,N lần lượt thuộc d1 ; d2 sao cho A,M,N thẳng hàng.
Bài 9: Trong không gian Oxyz, Cho d1 là giao tuyến của 2 mp có pt: x-8z+23=0 ;
y-4z+10=0; d2 là giao tuyến của 2 mp có pt: x-2z-3=0 ; y+2z+2=0 . Viết pt

đường thẳng d song song với Oz và cắt cả d1, d2.

x 1 y  3 z  2


3
2
1

Bài 9: Trong không gian Oxyz, Cho d1:
pt đường thẳng d qua M(-4; -5; 3) và cắt cả d1 ; d2 .

; d2:

 x  2  2t

 y  1  3t
 z  1  5t


. Lập

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
+ Kết quả kiểm tra chất lượng ôn thi của học sinh trước khi áp dụng đề
tài SKKN
Lớp

Số
HS

12A1 92
12A4

Điểm dưới
TB (<5)
SL
%
18
20%

Điểm TB
(5,6)
SL
%
25
27%

Điểm khá
(7,8)
SL
%
30
33%

Điểm giỏi
(9,10)
SL
%
19
20%

+ Kết quả kiểm tra chất lượng ôn thi của học sinh sau khi áp dụng đề tài
SKKN
Lớp

Số
HS
12A1 92

Điểm dưới
TB (<5)
SL
%

Điểm TB
(5,6)
SL
%

Điểm khá
(7,8)
SL
%

Điểm giỏi
(9,10)
SL
%

download by :

20


12A4

8

10

21

22

36

39

27

29

Từ những kết quả trên cho thấy sau khi SKKN được áp dụng, chất lượng học
sinh được nâng cao rõ rệt. Từ đó cho thấy hiệu quả của đề tài SKKN là tốt, có thể
áp dụng để nâng cao chất lượng giảng dạy của Giáo viên cũng như chất lượng ôn
tập của học sinh.
III. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh thì vai trị của người thầy giữ vị
trí rất quan trọng. Đặc biệt là công tác nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm, viết SKKN

nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn dạy và học nảy sinh.
SKKN này có khả năng ứng dụng cho công tác ôn thi của thầy cô, là tài liệu
tự học cho học sinh cuối lớp 12
SKKN này mới chỉ được viết cho một phần kiến thức môn tốn lớp 12 có thể
mở rộng viết cho các phần kiến thức còn lại.
3.2. Kiến nghị
Đây là một SKKN đã mang lại hiệu quả thiết thực, bản thân tác giả xin kiến
nghị với nhà trường giới thiệu tới rộng rãi tới học sinh khối 12 để các em sử dụng
nâng cao kết quả mơn học.
Nhà trường cần có kế hoạch khuyến khích giáo viên thực hiện SKKN này ở
các bộ môn để nâng cao chất lượng chung của trường.
Cuối cùng xin cảm ơn bạn đọc và xin trân thành lắng nghe các ý kiến đóng
góp của bạn đọc để SKKN của tơi được hồn chỉnh hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2017
ĐƠN VỊ
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

download by :

21


download by :

22