(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được
hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được
mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc
biệt quan trọng. Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào
mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh. Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận
kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất.
Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ
đáng kể và gây khơng ít khó khăn cho học sinh. Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh
gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số
nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD
và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Tốn, địi hỏi học sinh khơng những phải có
kiến thức sâu, rộng mà cịn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài tốn
một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài
tốn về cực trị của hàm số, tơi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12
giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cận
nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất
lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, tìm tịi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ
đề “Cực trị hàm số”.
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và 12A9.
V. Phạm vi nghiên cứu: Các dạng tốn: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của tham số m để

hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm
VI. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra thực tiễn.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
VII. Cấu trúc của SKKN
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
1

download by :


V. Phạm vi nghiên cứu
VI. Phương pháp nghiên cứu
VII. Cấu trúc của SKKN
B. Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
II. Một số dạng toán
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận
II. Đề xuất
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số xác định trên tập hợp

và

được gọi là một điểm cực đại của hàm số
sao cho:

chứa điểm

.

Khi đó

được gọi là giá trị cực đại của hàm số
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số

sao cho:
Khi đó

nếu tồn tại một khoảng

.
nếu tồn tại một khoảng

chứa điểm

.
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì người ta nói rằng hàm số
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp

đạt cực trị tại điểm

.

2

download by :


Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị )
của hàm số.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm . Khi đó , nếu có đạo hàm tại điểm thì
.
Chú ý :
Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm
nhưng hàm số
khơng đạt cực trị tại điểm .
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng , hoặc tại đó
hàm số khơng có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng
chứa điểm và có đạo hàm trên các

khoảng

và

. Khi đó :

Nếu

.

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

0

Nếu

.

thì hàm số đạt cực đại tại điểm

0

Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng
có đạo hàm cấp hai khác tại điểm .
Nếu
thì hàm số
đạt cực đại tại điểm .
Nếu
Chú ý :
1. Nếu

.

thì hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

là một điểm cực trị của hàm số

2. Trong trường hợp

thì điểm

khơng tồn tại hoặc

chứa điểm

,

và

.
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
thì định lý 3 không dùng được.

4.Tịnh tiến đồ thị
3

download by :

Cho hàm số
a) Nếu tịnh tiến

có đồ thị
. Khi đó, với số
ta có:
theo phương của
lên trên
đơn vị ta được đồ thị hàm số

b) Nếu tịnh tiến

theo phương của

c) Nếu tịnh tiến
d)Nếu tịnh tiến

theo phương của
theo phương của

e) Đồ thị của hàm số

xuống dưới

đơn vị ta được đồ thị hàm số

qua trái đơn vị ta được đồ thị hàm số
qua phải
đơn vị ta được đồ thị hàm số

có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên phải Oy, bỏ đồ thị

(C) bên trái Oy, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên phải Oy qua Oy.
f) Đồ thị của hàm số

có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên trên Ox, bỏ đồ thị

(C) bên dưới Ox, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên dưới Ox qua Ox.
g) Đồ thị của hàm số
thị

có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số

theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

h) Đồ thị của hàm số
đồ thị

rồi tịnh tiến đồ

có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số

rồi tịnh tiến

theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

i) Đồ thị của hàm số

có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a

đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
k) Đồ thị của hàm số

có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox

qua

trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
5. Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị
a) Nếu đồ thị hàm số
có n điểm cực trị có hồnh độ dương(các điểm cực trị nằm bên
phải Oy) thì đồ thị hàm số

có

b) Nếu đồ thị hàm số
thì đồ thị hàm số

điểm cực trị.

có n điểm cực trị và phương trình
có

có m nghiệm bội lẻ

điểm cực trị.

c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số
d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị khơng thay đổi.

II. Một số dạng toán:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số

Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị

tuyệt đối liên quan đến
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.

4

download by :


Câu 1. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

Ta thấy đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số

Lời giải
có 1 điểm cực trị có hồnh độ dương nên đồ thị hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau:

1. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

2. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

3. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

1. Đồ thị hàm số
điểm cực trị
2. Đồ thị hàm số
hàm số

Lời gải
có 2 điểm cực trị có hồnh độ dương nên hàm số
có 3 điểm cực trị và phương trình

có 5

có 2 nghiệm đơn nên

có 5 điểm cực trị.

3. Đồ thị hàm số
hàm số

có 5 điểm cực trị và phương trình

có 2 nghiệm đơn nên

có 7 điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số

. Đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới

1. Tìm m để hàm số

có 5 điểm cực trị.

2. Tìm m để hàm số

có 7 điểm cực trị.

3. Tìm m để hàm số

có 5 điểm cực trị.
Lời giải

Ta có BBT của hàm số

5

download by :

x

-∞

f'(x)

-1

-2
+

0

-

1. Đồ thị hàm số

0

1
+

0

+∞

2
-

0

+

có được bằng cách:

+ Vẽ đồ thị hàm số

.

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương của Ox sang phải hoặc trái

được đồ thị hàm số

.

Ta thấy: Hàm số
có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương
trị
có 5 điểm cực trị với mọi m.
2. Đồ thị hàm số

có 5 điểm cực

có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương của Ox sang phải hoặc trái

được đồ thị hàm số

đơn vị

.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
hàm số

đơn vị

nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị

.

Từ đó ta thấy: để hàm số
có 7 điểm cực trị thì hàm số
phải
có 3 cực trị dương
tịnh tiến đồ thị hàm số
theo phương của Ox sang phải lớn
hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị
Vậy
.
3. Để hàm số
có 5 điểm cực trị thì hàm số
phải có 2 cực trị dương
tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn:
 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị
 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị
Vậy
Câu 4. Cho hàm số

. Đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới

1. Tìm m để hàm số

có 5 điểm cực trị.

2. Tìm m để hàm số

có 5 điểm cực trị.

3. Tìm m để hàm số

có 3 điểm cực trị.
6

download by :


Lời giải
Ta có BBT của hàm số
x

+∞

f'(x)

0
+

0

1
-

3

0

-

CĐ

1. Đồ thị hàm số

0

+∞
+

CT

có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số
.
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số

bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số
theo phương của Ox sang phải hoặc trái

được đồ thị hàm số

đơn vị

.

Ta thấy: Hàm số
có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương
có 3
điểm cực trị
có 3 điểm cực trị với mọi m. Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm số
có 5 điểm cực trị.
2. Đồ thị hàm số

có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương của Ox sang phải hoặc trái

được đồ thị hàm số

đơn vị

.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số

nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số

.
Từ đó ta thấy: để hàm số
có 5 điểm cực trị thì hàm số
phải
có 2 cực trị dương
tịnh tiến đồ thị hàm số
theo phương của Ox sang phải lớn
hơn 0 đơn vị
Vậy
3. Để hàm số
có 3 điểm cực trị thì hàm số
phải có 1 cực trị
dương

tịnh tiến đồ thị hàm số

Vậy
Dạng 2: Cho đồ thị
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số

theo phương của Ox trái nhỏ hơn 3 đơn vị

Hỏi số điểm cực trị của hàm số
hãy tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị

với trục hồnh.

+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của

và biểu thức của

để xét dấu

.

7

download by :


Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số
số

Số điểm cực trị của hàm

là

A.

B.

Ta thấy đồ thị hàm số
tại hai điểm là và
Bảng biến thiên

Vậy hàm số

có

có

C.
Lời giải.
điểm chung với trục hồnh

D.
nhưng chỉ cắt thực sự

điểm cực trị. Chọn A.

Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của
có điểm chung với trục hồnh nhưng cắt và "băng
qua" ln trục hồnh chỉ có điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và "băng qua" trục hồnh từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số
A.

C.

B.
D.
Lời giải.

Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

8

download by :



Từ
và
suy ra
trên khoảng
nên
mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm
và
là các nghiệm bội lẻ nên
qua nghiệm đổi dấu; các

nghiệm
là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy
tiếp xúc với trục hồnh tại
điểm có hồnh độ bằng nên qua nghiệm khơng đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và
đồng thời đồ thị
hàm số

như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số
A.
B.

là
C.
Lời giải.

Dựa vào đồ thị, ta có

D.
Bảng biến thiên của hàm số

Xét

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số

có

Chú ý: Dấu của

điểm cực trị. Chọn C.
được xác định như sau: Ví dụ chọn


 Theo giả thiết
Từ

và

suy ra

trên khoảng
9

download by :


Nhận thấy
Nghiệm
qua nghiệm

là các nghiệm đơn nên
là nghiệm kép nên

đổi dấu khi qua các nghiệm này.

không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ

vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của

Dạng 3: Cho đồ thị
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số

Hỏi số điểm cực trị của hàm số
hãy tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị

với trục hồnh.

+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của

và biểu thức của

để xét dấu

.

Chú ý: * Nếu trong khoảng

đồ thị hàm số

nằm trên đồ thị hàm số

thì

* Nếu trong khoảng

đồ thị hàm số

nằm dưới đồ thị hàm số

thì

Câu 1. Cho hàm số

có đạo hàm trên

Số điểm cực trị của hàm số
A.
B.

Đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới

là
D.

C.
Lời giải.

Ta có
Dựa vào đồ thị hàm số
nhất. Suy ra hàm số

Câu 2. Cho hàm số
dưới. Hỏi hàm số

A.
C.

suy ra phương trình
có

có

nghiệm đơn duy

điểm cực trị. Chọn A.
có đạo hàm trên

Đồ thị hàm số

như hình vẽ bên

đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

B.
D. Khơng có điểm cực tiểu.
Lời giải.

Ta có
10

download by :

Suy ra số nghiệm của phương trình
và đường thẳng

chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

Dựa vào đồ thị ta suy ra
Lập bảng biến thiên cho hàm

ta thấy

đạt cực tiểu tại

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
nằm phía dưới đường

nên

Câu 3. Cho hàm số

A.

ta thấy đồ thị hàm

mang dấu

có đạo hàm trên

Hàm số

Chọn B.

Đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới.

đạt cực đại tại
.

B.

.

C.
.
Lời giải.

D.

.

Ta có
Suy ra số nghiệm của phương trình

chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

và parapol

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Bảng biến thiên

đạt cực đại tại

Chọn C.
11

download by :


Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
nằm phía trên đường

nên

mang dấu

Nhận thấy các nghiệm

là các nghiệm đơn nên qua nghiệm

Câu 4. Cho hàm số

có đạo hàm trên

dưới. Hàm số

A.

ta thấy đồ thị hàm

Đồ thị hàm số

đổi dấu.
như hình vẽ bên

đạt cực tiểu tại điểm

B.

C.
Lời giải.

D.

Ta có
Suy ra số nghiệm của phương trình
và đường thẳng

chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

đạt cực tiểu tại

Chọn B.

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
nằm phía trên đường

nên

ta thấy đồ thị hàm

mang dấu

Dạng 4: Cho biểu thức
Hỏi số điểm cực trị của hàm số
Phương pháp:
+ Tính đạo hàm của hàm số
12

download by :


+Từ biểu thức của
Câu 1. Cho hàm số

và

hãy xét dấu
có đạo hàm

đạt cực đại tại
B.

A.

rồi suy ra số điểm cực trị của
với mọi

C.
Lời giải.

Hàm số

D.

Ta có
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
Câu 2. Cho hàm số
số

đạt cực đại tại

có đạo hàm

với mọi

có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.

C.
Lời giải.

A.

Chọn D.
Hàm

D.

Ta có
Ta thấy
là nghiệm kép
Câu 3. Cho hàm số
A.

hàm số

có

và

là các nghiệm đơn cịn

điểm cực trị. Chọn B.

có đạo hàm

có bao nhiêu điểm cực đại ?
B.

C.
Lời giải.

với mọi

Hàm số

D.

Ta có

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số

đạt cực đại tại

Chọn B.

13

download by :


Câu 4. Cho hàm số

có đạo hàm

với mọi

có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.

C.
Lời giải.

A.

Hàm số

D.

Ta có

Ta thấy

và

là các nghiệm bội lẻ

Câu 5. Cho hàm số

hàm số

có

có đạo hàm

với mọi

có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.
C.

Lời giải.

A.

điểm cực trị. Chọn B.
Hàm số

D.

Ta có

Ta thấy
cực trị. Chọn C.
Dạng 5: Cho biểu thức

và

Câu 1. Cho hàm số

có đạo hàm

bao nhiêu số ngun
A.
B.

Tìm

để hàm số

để hàm số

Do tính chất đối xứng qua trục
có

đều là các nghiệm đơn

hàm số
có

có

điểm cực trị
với mọi

có

điểm

Có

điểm cực trị ?
D.

C.
Lời giải.
của đồ thị hàm thị hàm số

nên yêu cầu bài tốn

điểm cực trị dương.

Xét

Do đó

có hai nghiệm dương phân biệt

14

download by :


Chọn B.
Câu 2. Cho hàm số

có đạo hàm

Có bao nhiêu số nguyên
A.
B.

với mọi

để hàm số
C.
Lời giải.

có

điểm cực trị ?

D.

Xét
Yêu cầu bài tốn

có hai nghiệm trái dấu
Chọn B.

Câu 3. Cho hàm số
nhiêu số nguyên
A.

có đạo hàm

thuộc đoạn
B.

với mọi

để hàm số
C.
Lời giải.

có
D.

Có bao

điểm cực trị ?

Xét
 Nếu
thì hàm số
có hai điểm cực trị âm (
chỉ có cực trị là
Do đó,
khơng thỏa u cầu đề bài.
 Nếu
thì hàm số
khơng có cực trị. Khi đó, hàm số
Do đó,
khơng thỏa u cầu đề bài.
 Khi

thì hàm số

Để hàm số

có

có hai điểm cực trị là
điểm cực trị thì hàm số

). Khi đó, hàm số
chỉ có

cực trị là

và
phải có hai điểm cực trị trái dấu

Chọn C.
Câu 4. Cho hàm số
bao nhiêu số nguyên âm
A.
B.

có đạo hàm
để hàm số

với mọi
có đúng

C.
Lời giải.

Có

điểm cực trị ?
D.

Xét
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
15

download by :


Trường hợp 1. Phương trình

có hai nghiệm âm phân biệt

Trường hợp này khơng có giá trị thỏa u cầu bài tốn.
Trường hợp 2. Phương trình
vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
Chọn A.
Dạng 6: Cho đồ thị
Câu 1. Cho hàm số

Hỏi số điểm cực trị của hàm số
có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình

bên. Đồ thị của hàm số

có bao nhiêu điểm cực đại,

bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
B. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
C. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
D. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị, ta có

và

Ta có

Bảng biến thiên

16

download by :


Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận
Câu 2. Cho hàm số

có

điểm cực đại,

điểm cực tiểu. Chọn C.

có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình

vẽ bên. Hàm số
A.
C.

có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.
D.
Lời giải.

Dựa vào đồ thị ta thấy

đạt cực trị tại

Suy ra

Ta có




Dựa vào đồ thị suy ra:
 Phương trình
có hai nghiệm
 Phương trình
Vậy phương trình

có một nghiệm
có

có
Câu 3. Cho hàm số

(nghiệm kép) và

nghiệm bội lẻ là

và

Suy ra hàm số

điểm cực trị. Chọn B.
có đạo hàm trên

và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm

cực trị của hàm số

17

download by :


A.

B.

C.
Lời giải.

D.

Ta có

Dựa vào đồ thị ta thấy:

có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số
phương trình


Vậy hàm số

có

Câu 4. Cho hàm số
số

có

điểm cực trị).

vơ nghiệm.

điểm cực trị. Chọn B.

có đạo hàm trên

và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm

có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng

A.

B.

Đồ thị hàm số

C.
Lời giải.
có được bằng cách

 Tịnh tiến đề thị hàm số

lên trên

 Lấy đối xứng phần phía dưới

D.

đơn vị ta được

của đồ thị hàm số

qua

ta được

Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra tọa độ các điểm cực trị là
tổng tung độ các điểm cực trị bằng
Chọn C.
Dạng 7: Cho bảng biến thiên của hàm
Hỏi số điểm cực trị của hàm
Câu 1. Cho hàm số

Hàm số

xác định, liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau

đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
18

download by :

A.

.

B.

.

C.
.
Lời giải.

D.

.

Ta có
Do đó điểm cực tiểu của hàm số
Vậy điểm cực tiểu của hàm số

trùng với điểm cực tiểu của hàm số
là

Chọn C.

Câu 2. Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số
A.
Lời giải. Ta có

có bao nhiêu điểm cực trị ?
C.

Vậy

B.

có duy nhất nghiệm bội lẻ

Câu 3. Cho hàm số

nên hàm số

D.

có

điểm cực trị. Chọn B.

có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số
A.
B.

C.

Lời giải.

D.

Ta có


khơng xác định
Bảng biến thiên

19

download by :


Vậy hàm số

có

Dạng 8: Cho biểu thức

điểm cực trị. Chọn B.
Tìm

để hàm số

có

Câu 1. Cho hàm số
giá trị của

với

để hàm số

A.

có

B.

có

D.

Lời giải.
Hàm số
hai

cực

trị

là tham số thực. Tìm tất cả các

điểm cực trị.
C.

Ta có

điểm cực trị

dương

có

có

hai

điểm cực trị

nghiệm

hàm số

dương

phân

biệt

Chọn C.

Câu 2. Cho hàm số

với

giá trị nguyên của tham số
A.

B.
Để

có

điểm cực trị

là tham số thực. Có bao nhiêu

để hàm số
có điểm cực trị ?
C.
D.
Lời giải.
có nghiệm phân biệt.

Xét

Do đó

phương trình

có hai nghiệm phân biệt khác
Chọn C.

Câu 3. Cho hàm số bậc ba

có đồ thị nhận hai điểm

và

làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
20

download by :


Ta có
Hàm số

có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng

hàm số

có

Đồ thị hàm số

và

và điểm cực trị

cắt trục hồnh tại

đồ thị hàm số

Từ

điểm cực trị.

có điểm cực trị

nên đồ thị

và một điểm cực trị dương

điểm ( điểm có hồnh độ âm,

cắt trục hồnh tại

điểm có hoành độ dương)

điểm phân biệt.

suy ra đồ thị hàm số

Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị

thuộc góc phần tư thứ

có

điểm cực trị. Chọn B.

rồi suy ra đồ thị

, tiếp tục suy ra đồ thị

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
A.
hoặc
B.
hoặc
C.
D.
hoặc
Lời giải
Xét hàm số

có ba điểm cực trị.

Ta có:
x
y'

0

-2

-∞
+

0

-

+∞

0

+
+∞

m+1
y
m-3
-∞

Do số điểm cực trị của hàm số

bằng tổng số điểm cực trị của hàm số

và số nghiệm của phương trình
(khơng kể
nghiệm bội chẵn). Khi đó u cầu bài tốn trở thành (*) có một nghiệm (khơng kể nghiệm 0 và –
2 là các nghiệm bội chẵn và cũng là các điểm cực trị của hàm số
).
Dựa vào bảng biến thiên ta có:

. Chọn D.

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
A.

11.

Xét hàm số
Do hàm số
hàm số

để hàm số

có 5 điểm cực trị?
B. 10.
C. 7.
Lời giải
.
có tối đa 2 điểm cực trị và phương trình

D. 9.

có tối đa 3 nghiệm nên để

có 5 điểm cực trị thì phương trình

có 3
21

download by :


nghiệm phân biệt ( vì khi
trị).
Ta có:

có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số

cũng có 2 điểm cực

Để thỏa mãn u cầu bài tốn thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Chọn D.
Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
.
Bổ đề: Cho hàm số
có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và
với
a)
b)

Giả sử

Đặt

Khi đó:

Nếu
Nếu

a) Vì

thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0.
thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
Chứng minh
liên tục trên D và
nên
sao cho

và
nên
có nghiệm đơn
đổi dấu khi x qua x0. Ta có BBT:
x

a

x0

g'(x)

Vì

b

+
+

g(x)

0
-

Suy ra

đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0. Vì

cùng dấu với dấu của
a)

Chứng minh tương tự.
Áp dụng 2 bổ đề trên vào bài tốn cực trị ta có:
KQ1: Cho hàm số
có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và
với

Đặt

nên dấu của

Giả sử
Khi đó:

a)
b)

hàm số đạt cực tiểu tại x0.
hàm số đạt cực đại tại x0.
Chứng minh
a)
Ta có: từ giả thiết

Nếu
thì theo bổ đề 1 f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
điểm cực tiểu của hàm số f(x).

là

22

download by :




Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh
. Thật vậy, giả sử
khi đó, theo bổ đề 1 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
là điểm
cực đại của hàm số f(x) trái giả thiết. Vậy
.
b)
Chứng minh tương tự.
KQ2: Cho hàm số
có đạo hàm trên D và
Nếu
thì điều
kiện cần để f(x) đạt cực trị tại x = x0 là h(x0) = 0.
Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
đạt
cực tiểu tại
A.
2018
B. 2019
C. 3016
D. 3015
Lời giải
Đặt
TH1: Xét

có nghiệm
Với m = -1
TH2:
Khi đó
đạt cực tiểu tại

khơng là cực tiểu.
Chọn B.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số
A. 2
B. 3

C. 1

đạt cực tiểu tại x=0.
D. 4

Lời giải
Đặt
Điều kiện cần để HS đạt cực tiểu tại x = 0 là
Với
là cực tiểu. Chọn A.
Câu 3. (Đề thi chính thức năm 2018). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
đạt cực tiểu tại
A.
3
B. 5
C. 4
D. Vô số

Lời giải
Đặt:

TH1: Xét
+ Với m = 2

có nghiệm
là cực tiểu.

+ Với m = - 2
TH2:

khơng là cực tiểu.
Khi đó
23

download by :


đạt cực tiểu tại
Vậy

Vì
Chọn C.

Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên

để hàm số
đạt cực đại tại

A. 4

B. 2

C. 6
Lời giải

D. 8
Đặt:

Điều kiện cần đề HS đạt cực đại tại x = 1 là
Với

là cực đại. Chọn B.

III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Để thực hiện đề tài này tơi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên cứu lời
giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với phương pháp đã đưa ra để giúp học sinh
giải quyết bài toán tốt hơn.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho học sinh
học tốt các nội dung về cực trị của hàm số thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý
thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp giải toán . Nắm vững các yếu tố trên sẽ
giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn.
Đề tài này đã được thực hiện trong các buổi dạy chuyên đề tại 2 lớp 12A5 và 12A9. Trong quá
trình học đề tài này, bước đầu học sinh thấy khó khăn nhưng qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài
tốn có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho
học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt,
sáng tạo kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Kết luận:
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài
liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về cực trị của hàm số người học sẽ có cái nhìn sâu
sắc hơn khi giải tốn; đồng thời, tìm được phương pháp giải phù hợp với các bài tốn về các nội
dung này.
Đối với học sinh thì một số dạng toán về cực trị của hàm số là tương đối khó, nhất là đối
với những em có lực học trung bình trở xuống. Vì vậy, đề tài này nhằm cung cấp thêm cho các em
một phương pháp tiếp cận lời giải bài tốn, giúp các em có cách nhìn nhận bài tốn theo nhiều
hướng khác nhau từ đó phát triển được tuy duy sáng tạo của học sinh.
Ở cấp độ trường trung học phổ thông Lê Lợi, là hiệu trưởng nhà trường đồng thời trực tiếp
giảng dạy mơn Tốn lớp 12 nhiều năm liền, tơi nhận thấy đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần
nào chất lượng bộ mơn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và
24

download by :


học; giúp học sinh giải quyết một số dạng toán về cực trị của hàm số tốt hơn, góp phần tích cực
vào việc ơn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. Đề xuất :
Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của học sinh.
Cần tìm nhiều phương pháp để giải quyết một bài tốn từ đó tìm cách giải đơn giản giúp học sinh
tiếp thu bài tốt hơn và gây hứng thú trong quá trình dạy và học.
Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về cách dạy bài học
khó để tìm ra những cách giải hay.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong q trình giảng dạy,
chắc chắn cịn mang tính chủ quan của bản thân, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của
các thầy cơ giáo,đặc biệt là các em học sinh để bài viết được hoàn thiện hơn và áp dụng thiết thực
vào quá trình giảng dạy. Xin trân trọng cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019.
Tơi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

PHỤ LỤC
25

download by :