Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tích phân đặc biệt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (175.63 KB, 22 trang )
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ...2
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...2
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...3
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….3
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….3
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…3
2.1. Cơ sở lí
luận..............................................................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...3
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........20
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….…………………...……….……………....20
3.1. Kết luận………………………………………………………………..20
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………21
1
1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Nền giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo
dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Một
trong các nội dung đổi mới đó là thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi
THPT Quốc Gia . Đối với bộ môn Toán, từ năm 2017 thay hình thức thi tự luận
được tiến hành lâu nay bằng hình thức thi trắc nghiệm. Hình thức này là mới đối
với thầy và trò, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay.
Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và
nội dung. Trong đề thi không còn nhiều câu hỏi hóc búa, đòi hỏi phải suy luận
và tính toán dài dòng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới không
quá khó nhưng yêu cầu học sinh khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các vấn đề.
Chủ đề tích phân là một trong những chủ đề quan trọng ở chương trình
toán giải tích lớp 12, đồng thời là một nội dung trong kì thi THPTQG. Thông
qua đề minh họa của Bộ Giáo Dục chúng ta thấy: Ngoài những câu hỏi yêu cầu
tính toán tích phân thông thường giống như lâu nay vẫn gặp trong đề thi tự luận,
còn xuất hiện những dạng bài tập mới như các bài toán thực tế, hoặc cách hỏi
mới đó là các bài tập yêu cầu tính tích phân nhưng không cho biểu thức. Thực
chất để giải quyết những câu hỏi như trên học sinh vẫn sử dụng các công thức,
phương pháp quen thuộc đã học. Nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học
sinh khá bối rối khi gặp các bài tính tích phân không cho biểu thức, các em
không biết tính như thế nào, hay dùng phương pháp nào để tính.
Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp 12
giải một số bài tích phân đặc biệt ”. Để giúp học sinh không còn bị lúng túng
khi gặp các câu hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính
chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán. Đồng thời tạo được sự hứng thú,
phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như
các môn học khác.
2
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh
củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo. Đồng
thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.
- Phân loại các dạng bài tập tính tích phân hàm ẩn.
- Đưa ra một số bài tập để học sinh tự luyện.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
- Các tính chất của tích phân.[1]
- Các phương pháp tính tích phân.[1]
2.2. Thực trạng vấn đề.
3
Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập tích phân mà biểu thức tính tích
phân có công thức rõ ràng, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương
pháp giải rõ ràng, một số bài các em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính
Casio. Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập yêu
cầu tính tích phân nhưng không biết biểu thức tính mà chỉ biết một số tích chất
của nó. Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá
trình tìm lời giải, các em không biết phải biến đổi như thế nào hay phải sử dụng
công thức nào, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập, đưa ra dấu hiệu và phương pháp giải tương ứng.
- Đưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ
dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng. Giúp cho
các em làm quen dần với dạng bài tập này. Dần hình thành kỹ năng giải toán
cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận
thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ
tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Các bài toán tích phân đặc biệt.
Dạng 1: Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân.
Ví dụ 1. Cho
3
3
3
0
0
0
f x dx 2 và �
g x dx 5 . Tính I �
3 f x g x �
dx . [2]
�
�
�
�
Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng hai công thức sau:
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
dx �
f x dx �
g x dx; �
kf x dx k �
f x dx với k ��.
�
�f x g x �
�
�
Lời giải:
4
3
3
3
0
0
0
3 f x g x �
dx 3�
f x dx �
g x dx 3.2 5 1 .
�
Ta có: I �
�
�
3
3 f x g x �
dx 1
�
Vậy I �
�
�
0
Ví dụ 2. Cho
1
3
3
0
0
1
f x dx 3 và �
f z dz 7 . Tính tích phân I �
f t dt . [2]
�
Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng công thức sau
b
b
a
a
f x dx �
f t dt
�
Lời giải:
Ta có:
1
1
3
3
0
0
0
0
f t dt �
f x dx 3 ; �
f t dt �
f z dz 7 .
�
3
3
1
3
1
0
0
1
f t dt �
f t dt �
f t dt 7 3 4 . Vậy I �
f t dt 4 .
Suy ra: I �
b
2 f x 3g x �
�
Ví dụ 3. Cho hàm số f x , g x liên tục trên a; b và �
�
� 4 ,
a
b
f x dx 5;
�
a
b
g x dx . [3]
Tính tích phân I �
a
Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng hai công thức sau:
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
dx �
f x dx �
g x dx; �
kf x dx k �
f x dx
�
�f x g x �
�
�
với k ��.
Và coi I là ẩn của phương trình bậc nhất để giải.
Lời giải:
b
b
b
a
a
a
2 f x 3g x �
f x dx 3�
g x dx 10 3I
�
Ta có: �
�
� 2 �
Suy ra: 4 10 3I � I 2 .
5
b
g x dx 2.
Vậy I �
a
Ví dụ 4. Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1;3 và f 1 1; f 3 7 .
3
f ' x dx . [3]
Tính tích phân I �
1
Phân tích bài toán: Ta sử dụng tính chất
f ' x dx f x C
�
với C là
hằng số.
Lời giải:
3
3
Ta có:
3
f ' x dx f x f 3 f 1 7 1 6 . Vậy I �
f ' x dx 6 .
�
1
1
1
Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.
Trong bài toán ngoài biểu thức f ( x) còn xuất hiện biểu thức f (u ( x))
( biểu thức này có thể nằm ở giả thiết của bài toán hoặc ở tích phân cần tính), và
sự tương ứng về cận nếu ta đổi biến t u ( x) .
Với một số bài tập ngoài phương pháp đổi biến ta còn có thể sử dụng cách
chọn hàm. Cách thức này có thể chấp nhận được đối với hình thức thi trắc
nghiệm. Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử
f ( x ) ax b (a, b ��) . Từ các giả thiết ta tìm được a, b suy ra hàm số f ( x) và
tính tích phân. Với cách này học sinh yếu và trung bình dễ tiếp nhận hơn vì thao
tác tìm hàm f ( x) thường không liên quan đến những phép biến đổi tích phân
phức tạp. Tuy nhiên thường chỉ một số bài tập đơn giản mới chọn được một hàm
thỏa mãn, còn đối với cách 1 thì giải quyết được từ những bài đơn giản đến phức
tạp.
Ví dụ 1. Cho
4
2
0
0
f x dx 26 . Tính tích phân I �
f 2 x dx . [2]
�
Phân tích bài toán: Đặt t 2 x và sử dụng công thức
b
b
a
a
f x dx �
f t dt
�
6
Ta sẽ tìm được tích phân.
Lời giải:
1
Đặt t 2 x � dt 2dx � dx dt . Đổi cận x 0 � t 0; x 2 � t 4.
2
2
4
1
14
26
f 2 x dx �
f t dt �
f t dt
13 .
Ta có: �
2
2
2
0
0
0
2
f 2 x dx 13 .
Vậy I �
0
Ví dụ 2. Cho
6
1
2
f cos 2 x sin 2 xdx . [2]
f x dx 6 . Tính tích phân I �
�
0
4
Phân tích bài toán: Ta có cos 2 x ' 2sin 2 x .
Nên ta đặt t cos 2 x và sử dụng công thức
b
b
a
a
f x dx �
f t dt , ta sẽ tìm được
�
tích phân.
Lời giải:
1
1
Đặt t cos 2 x � sin 2 xdx dt . Đổi cận x � t 0; x � t .
4
6
2
2
6
1
2
1
2
1
�1�
I�
f cos 2 x sin 2 xdx �
f t �
�
dt �
f t dt 3 .
2
2
�
�
0
0
4
6
f cos 2 x sin 2 xdx 3
Vậy I �
4
e4
4
1
f x dx . [3]
Ví dụ 3. Cho �
f ln x . dx 4 . Tính tích phân I �
x
1
e
Phân tích bài toán:
7
Ta có ln x '
1
với mọi x 0 .
x
b
b
a
a
f x dx �
f t dt , ta sẽ tìm được tích
Nên đặt t ln x và sử dụng công thức �
phân.
Lời giải
1
Đặt t ln x � dt dx . Đổi cận x e � t 1; x e 4 � t 4.
x
e4
4
4
1
f ln x . dx �
f t dt �
f x dx � I 4 .
�
x
e
1
1
4
f x dx 4.
Vậy I �
1
Ví dụ 4. Cho hàm số f x liên tục trên 1;2018 , biết
2017
�f x dx 2 và
1
f x f 2018 x , x � 1;2018 . Tính tích phân I
2017
�xf x dx . [3]
1
Phân tích bài toán:
Xét biến đổi tích phân I
2017
�xf x dx
bằng cách đặt x 2018 t và sử dụng
1
công thức
b
b
a
a
f x dx �
f t dt . Ta được phương trình bậc nhất ẩn I
�
khi đó ta
giải được I
Lời giải:
Đặt x 2018 t � dx dt . Đổi cận x 1 � t 2017; x 2017 � t 1.
Khi đó I
2017
1
2017
1
2017
1
�xf x dx � 2018 t f 2018 t dt � 2018 t f t dt
8
Suy ra I 2018
Vậy I
2017
2017
1
1
�f t dt �tf t dt 2018.2 I � I 2018 .
2017
�xf x dx 2018 .
1
Ví dụ 5. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên � thỏa mãn
10
f x 2 x 2 3x 1 . Tính tích phân I �
f x dx . [3]
3
1
Phân tích bài toán:
3
3
Ta đặt x t 2t 2 � f x f t 2t 2 3t 1 .
Khi đó tích phân cần tìm trở thành tích phân hàm đa thức.
Lời giải:
3
2
Đặt x t 2t 2 � dx 3t 2 dt .
Đổi cận: x 1 � t 3 2t 2 1 � t 3 2t 3 0 � t 1 .
x 10 � t 3 2t 2 10 � t 3 2t 12 0 � t 2.
10
2
2
f x dx �
f t 2t 2 3t 2 dt �
3t 1 3t 2 2 dt .
Ta có: I �
3
1
2
1
1
2
9 4 3
�2 135
2
I �
.
9t 3 3t 2 6t 2 dt �
� t t 3t 2t �
1
4
4
�
�
1
10
f x dx
Vậy I �
1
135
.
4
Ví dụ 6. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 thỏa mãn
f x
ln x . Tính tích phân I �f x dx . [3]
f 2 x 1
x
4
x
3
Phân tích bài toán:
9
Thực hiện đổi biến số
dx và tính �ln x dx từ đó ta có được
f 2 x 1
4
�
x
1
4
4
3
3
1
1
4
x
1
I �
f x dx �
f x dx �
f x dx .
Lời giải
�f 2 x 1 ln x � 4 f 2 x 1
4
ln x
�
�
f x dx �
dx �
dx � dx . (1)
Xét I �
x � 1
x
x
1
1�
1 x
�
�
4
4
4
ln x
ln x 4 2ln 2 2.
Ta có: � dx �
ln xd ln x
2 1
1 x
1
2
4
Xét
4
(2)
dx
f 2 x 1
�
x
1
1
dx. Đổi cận x 1 � t 1; x 4 � t 3.
x
Đặt t 2 x 1 � dt
Khi đó
4
�
1
dx
f 2 x 1
x
3
3
1
1
f t dt �
f x dx .
�
4
3
1
1
(3)
f x dx �
f x dx 2ln 2 2 .
Từ (1), (2) và (3) ta có: �
4
4
�I �
f x dx 2ln 2 . Vậy I �
f x dx 2ln 2 2 .
2
3
3
Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần.
1
(2 x 1) f '( x)dx 10 ;
Ví dụ 1. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f '( x) thỏa mãn �
0
1
f x dx. [3]
f 1 f 0 8. Tính I �
0
10
1
2 x 1 f ' x dx 10 ta nghĩ đến
Phân tích bài toán: Từ giả thiết bài toán �
0
công thức tích phân từng phần.
Lời giải
�
�
u x 2 x 1
u ' x 2
�
��
Đặt �
�
v ' x f ' x �v x f x
�
1
Ta có
2 x 1 f ' x dx 2 x 1 f x
�
0
1
0
1
2�
f x dx
0
Suy ra 10 f 1 f 0 2 I � I 1.
Vậy I 1.
Ví dụ 2. Cho F x là một nguyên hàm của f x trên �, F 3 3,
2
3
1
0
F ( x 1)dx 1. Tính I �
x f x dx. [3]
�
Lời giải:
Ta có
2
2
3
1
1
0
F x 1 dx �
F x 1 d x 1 �
F x dx.
�
u x F x �
u ' x f x
�
�
�
�
Đặt �
�
v ' x 1
v x x
�
�
3
1
F x dx x F x 0 �
xf x dx � 1 9 I � I 8.
Suy ra �
3
0
0
Vậy I 8.
Ví dụ 3. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên đoạn 1;0 ,
F 1 1, F 0 0 và
0
0
2 .F x dx 1 . Tính I �
2 . f x dx . [3]
�
3x
1
3 x.
1
Lời giải:
11
�
u ' x f x
u x F x
�
�
�
2 . f x dx . Đặt �
��
Xét �
1 3x
3x
v
'
x
2
v x
2
�
1
�
3ln 2
�
0
3x
0
1 3x
1 �
2 .F x dx
2 F x
3ln
2
1
3x
1
� I 3ln 2 .
8
0
0
1
1
1
23 x f x dx
.I
�
3ln
2
24ln
2
3ln
2
1
1
1
Vậy I 3ln 2.
8
Ví dụ 4. Cho hàm số f x và g x liên tục, có đạo hàm trên � thỏa mãn
2
f ' 0 . f ' 2 �0 , g x . f ' x x x 2 .e . Tính I �
f x g ' x dx . [3]
x
0
Lời giải:
�
u x f x
�
u ' x f ' x
�
�
�
Đặt �
�
v ' x g ' x
v x g x
�
�
2
2
0
0
I f x g x 0 �
f ' x g x dx f 2 g 2 f 0 .g 0 �
x( x 2)e x dx
2
Ta có
�
�g 0 f ' 0 0 �
�g 0 0
��
g x f ' x x x 2 e x � �
�g 2 f ' 2 0 �g 2 0
2
x x 2 e x dx 4.
Vậy I �
0
Dạng 4. Sử dụng một số tính chất đặc biệt của hàm số.
Bằng phương pháp đổi biến số ta chứng minh được các tính chất sau :
+ Hàm số f x là hàm chẵn và liên tục trên a; a (với a 0 ), thì:
a
a
a
0
f x dx .
�f x dx 2�
(1)
+ Hàm số f x là hàm lẻ và liên tục trên a; a (với a 0 ), thì:
12
a
�f x dx 0 .
(2)
a
+ Hàm số f x liên tục và tuần hoàn với chu kỳ T thì:
a T
T
2
T
f x dx �
f x dx �
f x dx .
�
T
a
0
(3)
2
+ Với a 0 và hàm số f x chẵn và liên tục trên t ; t thì:
t
f x
f x dx . (4)
�x dx �
t a 1
0
t
+ Hàm số f x liên tục trên 0; thì:
2
xf sin x dx �
f sin x dx �
f sin x dx .
�
2
0
0
0
(5)
+ Hàm số f x liên tục trên 0;1 thì:
2
2
0
0
f sin x dx �
f cos x dx .
�
(6)
x 2 sin x
dx . [4]
Ví dụ 1. Tính tích phân I �
x
1
1
1
sin x
x2
Phân tích bài toán: Ta có f x
là hàm chẵn, g x
là
x 1
x 1
hàm lẻ. Khi đó ta sử dụng công thức (1), (2).
Lời giải
1
1
1
x 2 sin x
x2
sin x
x2
dx � dx � dx 2� 0 .
Ta có I �
x
1
1
1 x 1
1 x 1
0 x 1
1
1
�1
x2
1 � �x 2
�
x
1
2
x
ln
x
1
Suy ra I 2� dx 2 �
�
� �
�0 2ln 2 1 .
x
1
x
1
2
�
�
�
�
0
0
1
13
x 2 sin x
dx 2ln 2 1 .
Vậy I �
x
1
1
1
1
ln x x 2 1 dx . [4]
Ví dụ 2. Tính tích phân I �
1
2
Phân tích bài toán: Ta có f x ln x x 1 là hàm lẻ. Khi đó ta sử
dụng công thức (2).
Lời giải
2
Ta có f x ln x x 1 là hàm lẻ trên đoạn 1;1 nên theo (2) ta có:
1
I�
ln x x 2 1 dx 0
1
Ví dụ 3. Cho hai hàm số f x , g x liên tục trên 2;2 và f x là hàm chẵn,
g x là hàm lẻ. Biết
2
2
0
2
f x dx 6 , tính tích phân I �
3 f x 2g x �
dx . [2]
�
�
�
�
Phân tích bài toán: Ta có f x là hàm chẵn, g x là hàm lẻ. Khi đó ta
sử dụng công thức (1), (2).
Lời giải
2
2
2
2
2
2
2
0
3 f x 2g x �
dx 3 �
f x dx 2 �
g x dx 6 �
f x dx 0 36 .
�
Ta có I �
�
�
2
3 f x 2g x �
dx 36.
�
Vậy I �
�
�
2
Ví dụ 4. Tính tích phân I
2018
� 1 cos 2 xdx . [4]
0
Phân tích bài toán: Ta có hàm số f x 1 cos 2 x có chu kỳ T=
nên ta áp dụng công thức (3).
Lời giải
14
Ta có: I �1 cos 2 xdx
0
Suy ra I
2
2018
1 cos 2 xdx ... � 1 cos 2 xdx .
�
2017
2018
0
0
0
sin xdx
� 1 cos 2 xdx 2018�1 cos 2 xdx 2018 2 �
2018
I 2018 2 cos x 4036 2 . Vậy I � 1 cos 2 xdx 4036 2 .
0
0
1
1
0
1
f x dx 2018 . Tính tích phân I
Ví dụ 5. Cho �
f x
dx . [3]
�
1 2018
x
Phân tích bài toán: Ta có f x là hàm chẵn nên ta áp dụng công thức
(4), (1).
Lời giải
f x
1
1
1
dx �
f x dx �
f x dx 2018 .
Ta có I �
x
1
2018
1
0
0
Vậy I
1
f x
dx 2018.
�
1 2018
x
1
x sin x
I
dx . [4]
Ví dụ 6. Tính tích phân
�
2
9
4cos
x
0
Phân tích bài toán: Sử dụng công thức số (5).
Lời giải
Đặt x t � dx dt . Đổi cận x 0 � t ; x � t 0.
0
t sin t dt x sin x dx
Khi đó I �
2
9 4cos t
�9 4cos
0
2
x
sin x
�
9 4cos
0
2
x
dx I .
sin x
1
2
I
dx
d
cos
x
ln
5
�
I
ln 5
Suy ra
�
2
�
2
9
4cos
x
4cos
x
9
6
12
0
0
x sin x
dx ln 5.
Vậy I �
2
12
0 9 4cos x
15
2
Ví dụ 7. Tính tích phân I � 4sin x 3 dx . [4]
0 sin x cos x
Phân tích bài toán: Ta sử dụng công thức (6).
Lời giải
Đặt x
t � dx dt . Đổi cận x 0 � t ; x � t 0.
2
2
2
2
2
0
4sin x
4cos t
4cos x
I �
dx �
dt �
dx
3
3
3
sin
x
cos
x
sin
t
cos
t
sin
x
cos
x
0
0
2
2
2
2
4
Khi đó I I � 4sin x 3 dx � 4cos x 3 dx �
dx
2
0 sin x cos x
0 sin x cos x
0 sin x cos x
2
1
� �
dx 2 tan �x �2 4 � I 2 .
Suy ra 2 I 2 � 2 � �
� 4 �0
0 cos
�x �
� 4�
2
Vậy I � 4sin x 3 dx 2
0 sin x cos x
Dạng 5. Một số tích phân liên quan đến f ' x và hàm hợp
4
2
Ví dụ 1. Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x f x x x , x ��, biết
1
f 0 2 . Tính tích phân I �
�
�f x �
�dx . [3]
2
0
2
' 2 f ' x f x nên 2 f ' x f x có
Phân tích bài toán: Ta có �
�f x �
�
2
nguyên hàm là f x .
Lời giải
2 f ' x f x dx �
Ta có �
2x 4 2x 2 dx � f 2 x 52 x 5 32 x3 C .
16
2
Vì f 0 2 � C 4 � f x
2 5 2 3
x x 4.
5
3
1
1
2
�2 5 2 3
� 127
I
f
x
dx
x
x
4
dx
�
�
Khi đó
. Vậy
�
�
�
�
�
�
5
3
30
�
�
0
0
1
2
127
I �
�
�f x �
�dx 30 .
0
f
Ví dụ 2. Cho hàm số f x thỏa mãn 3 f ' x e
f 0 1 . Tính tích phân I
3
x x 2 1
2x
0, x ��, biết
f 2 x
7
xf x dx . [3]
�
0
3
' 3 f ' x f 2 x nên 3 f ' x f 2 x có
Phân tích bài toán: Ta có �
�f x �
�
3
nguyên hàm là f x .
Lời giải
f
Ta có 3 f ' x e
3
x x 2 1
f
3
Suy ra �
�f x �
�e
'
3
x
3
2
2x
0 � 3 f ' x f 2 x e f x 2 x.e x 1 .
2
f x
x 2 1 .e x
'
2
1
�ef
3
x
ex
2
1
C .
Vì f 0 1 � C 0 � f 3 x x 2 1 � f x 3 x 2 1 .
7
7
1
xf x dx �
x. x 1dx
Khi đó I �
2
0
0
3
Vậy I
7
xf x dx
�
0
2
7
4
3 2
7
x 1d x 1 x 1 3
�
8
0
0
3
2
2
45
.
8
Ví dụ 3. Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x 2 xf x 2 x.e x , x ��, biết
2
1
e x f x dx . [3]
f 0 1 . Tính tích phân I �
2
0
Phân tích bài toán
17
'
u x
u x
Sử dụng đạo hàm �
eu x f x �
�
� u ' x e f x e f ' x nên ta có hàm số
u ' x eu x f x eu x f ' x có nguyên hàm là eu x f x .
Lời giải
Ta có f ' x 2 xf x 2 x.e x � e x . f ' x 2 x.e x f x 2 x .
2
2
2
2 xdx x 2 C mà f 0 1 � C 1 � e x f x x 2 1 .
Suy ra e x f x �
2
2
1
�x3
�
e f x dx �
Vậy I �
x 1 dx �3 x �0 34
�
�
0
0
1
1
x2
2
Ví dụ 4. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;1 và
f x , f ' x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0;1 . Tính tích phân
1
f x dx ,
�
3
0
1
�
biết f 0 2; �
�f ' x f
0
1
2
dx 2 �f ' x f x dx .
x 1�
�
[3]
0
Phân tích bài toán: Dựa vào
�f x �0, x � a; b
�b
� f x 0 x � a; b .
�
f
x
dx
0
��
�a
Lời giải: Từ giả thiết ta có
1
�
�
�f ' x f
0
Suy ra
2
1
1
0
0
2
� f ' x f x 1�dx 0
dx 2 �f ' x f x dx � �
x 1�
�
�
�
f ' x f x 1 0 � f ' x f 2 x 1 � f 3 x x C .
1 17
�x 2
�
f x dx �
x 8 dx � 8x � .
Mà f 0 2 � C 8 . Vậy �
�2
�0 2
0
0
1
1
3
2.3.2. Các bài toán tích phân ôn tập.
18
�2
3
khi 0 �x �1
�
f
x
.
I
f x dx . [3]
Bài 1. Cho hàm số �x 1
Tính
�
0
�
2 x 1 khi 1 �x �3
�
Bài 2. Cho hàm số
4
x2 f x
f tan x dx 4; � 2
dx 2 . Tính
�
x
1
0
0
f x , biết
1
1
I �
f x dx. [3]
0
2
16
x dx 1. Tính �f 4 x dx. [3]
f
1
cot xf sin x dx �
Bài 3. Cho biết �
2
4
x
1
4
sin x cos x
dx;
Bài 4. Tính các tích phân: I � x
5 1
6
6
n
sin x
Bài 5. Tính các tích phân: I
dx;
�
n
n
sin
x
cos
x
0
Bài 6. Tính các tích phân: I
2
x 2 sin x
J �x
dx . [4]
2 1
4
2
x
1
8
2
2
cos x
J �
dx. [4]
sin x cos x
0
x sin x
J �
dx. [4]
2
1
sin
x
0
2018
�1 sin 2 xdx;
0
1 �
�1 �
�
Bài 7. Cho f x thỏa mãn f x 2 f � � 3x; x �� ;2 �. Tính
2 �
�x �
�
2
f x dx . [3]
�
1
2
1
f ' x f 2 x dx . [3]
Bài 8. Cho hàm số f x x 4 x 3x x 1 ; Tính I �
4
3
2
0
Bài 9. Cho hàm số f x liên tục trên � thỏa mãn
f x f x 2 2cos 2 x . Tính tích phân
2
f x dx . [2]
�
2
��
0;
Bài 10. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục �
thỏa mãn f 0 0 ,
� 2�
�
19
2
2
2
và
f
'
x
sin x. f x dx . Tính tích phân
�
�
�
�
�dx 4 ;
�
4
0
0
2
f x dx . [3].
�
0
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy môn Toán ở các
lớp: 12B5, 12B2. Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em
rất có hứng thú học và giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân đặc biệt
các em rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng
kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan.
Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và
vận dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên
cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
Kết quả kiểm tra:
Lớp
Điểm yếu
Điểm TB
Điểm khá
Điểm giỏi
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
12B5
0
0
7
14
18
36
25
50
12B2
3
5,9
8
15,7
25
49
15
29,4
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập
trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán
này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
20
3.2. Kiến nghị.
Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp
xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng
cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại,
các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.
Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng
kiến kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để
đồng nghiệp tham khảo, học hỏi. Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến
kinh nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất,
thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý,
xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Mai Văn Ngọc
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất bản giáo dục
năm 2008.
2. Đề thi minh họa môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
3. Đề thi thử THPTQG môn toán của các Sở Giáo Dục, các trường THPT trong
cả nước.
4.Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn
Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất bản giáo dục, năm
2001.
22
