(SKKN mới NHẤT) SKKN khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề giới hạn cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
---------o0o--------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
KHẮC PHỤC NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP
TRONG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Người thực hiện:

Trần Thị Hà

Chức vụ:

Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

Năm 2018

download by :


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Ở trường phổ thơng, dạy Tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học
sinh, có thể xem giải Tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy
học giải Toán có vai trị đặc biệt trong dạy học Tốn ở trường phổ thơng. Các

bài tốn là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học
sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt
động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học
Tốn. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Tốn có vai trị quyết định đối
với chất lượng dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Tốn ở trường phổ
thơng có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Tốn của
học sinh cịn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những
nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát
hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học
Tốn. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp
sai lầm.
Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai
lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Nhiều nhà khoa học
đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong q trình
giảng dạy Tốn, chẳng hạn, G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở
những sai lầm và những thiếu sót của mình”, cịn A. A. Stơliar thì nhấn mạnh
rằng: “Khơng được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học
sinh” . Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải Tốn
là cần và có thể khắc phục được.
Vì những lý do trên đây, tơi chọn đề tài là: “ Khắc phục những khó
khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề Giới hạn cho học sinh
trung học phổ thông ”

download by :

1


1.2. Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu mợt sớ khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải
toán chủ đề Giới hạn và đề xuất một số biện pháp khắc phục góp phần nâng cao
chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề Giới hạn , đặc biệt đối với những học sinh
yếu kém.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ chọn nghiên cứu những khó khăn, sai lầm
thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Giới hạn và biện pháp khắc
phục.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các
vấn đề liên quan đến đề tài.
1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều
tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn và các biện pháp
khác.
1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau q trình
giảng dạy.

2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Giải tích là nội dung mới và khó đối với lớp học sinh lớp 11. Trước đó
học sinh đã học nhiều năm về Đại số; nhưng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo hàm
thì các em mới được làm quen từ đầu.
Tư duy các vấn đề thuộc về Giải tích và kỹ thuật giải quyết các bài tốn
Giải tích có phần khác với Đại số. Học sinh chuyển từ sự làm việc trên những
đối tượng hữu hạn sang những đối tượng vơ hạn, địi hỏi trí tưởng tượng và tư
duy trừu tượng phải phong phú và ở mức độ cao hơn.
Sự thay đổi chương trình và sách giáo khoa mơn Tốn trong thời gian qua
đã tạo ra sự thiếu ổn định và gây nên những khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng
dạy trên lớp. Mặc dù đã có những đợt bồi dưỡng thường xuyên theo chu kỳ, những
đợt tập huấn về chương trình mới, nhưng thực ra vẫn chưa đủ để làm cho giáo viên

download by :

2


có những cái nhìn sâu sắc về bản chất vấn đề, hình dung rõ những điểm, lí do và
mức độ thay đổi về chương trình và nội dung sách giáo khoa. Bản lĩnh, trình độ và
tư duy phê phán của giáo viên nhiều lúc chưa thể giúp họ tự mình vượt qua, tìm
lời giải đáp thoả đáng đối với những chỗ còn phân vân, cấn cái.
Nhiều kiến thức đã thay đổi cách trình bày, nhưng khi giảng dạy, giáo viên
vẫn chưa kịp cập nhật theo chương trình mới, vẫn có tình trạng cũ, mới xen kẽ.
Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hoạt động hoá người học cần
được tiến hành triển khai trong quá trình dạy về Giới hạn và Đạo hàm ở lớp 11
nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội kiến thức một cách vững vàng, chủ động cho
học sinh.
2.2.

Thực trạng của vấn đề
Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tư

duy mang tính biện chứng hơn. Do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn sai
lầm khơng thể tránh khỏi. Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có
ích trong việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức
đã biết trước đây. Vì vậy trong quá trình dạy và học Tốn ở trờng THPT, việc
tìm hiểu những khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để
chiếm lĩnh một tri thức toán học được đưa ra giảng dạy là bước đầu không thể
bỏ qua trong quá trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu quả nhằm
giúp học sinh nắm vững tri thức đó. Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác
các tình huống sai lầm làm học sinh hay mắc phải trong học tập cũng chính là

q trình phát huy TTCNT của học sinh.
+ Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý do phát sinh và
bản chất của tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà các nhà khoa học
đã gặp phải trong quá trình xây dựng và phát triển tri thức này. Đây là cơ sở cho
việc xác định nguồn gốc khoa học luận của những khó khăn mà học sinh phải
vượt qua để nắm vững tri thức đó.
+ ở mức độ tri thức cần dạy, thơng qua việc phân tích chư ơng trình và SGK
sẽ làm sáng tỏ những đặc trưng của việc dạy một tri thức trong quá trình chuyển

download by :

3


hóa sư phạm. Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm
của những khó khăn mà học sinh thường gặp.
Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán
học, giáo viên có thể dự đốn được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi
lĩnh hội tri thức này.
+ Ta nói rằng có một chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta
đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết.
+ Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không cần
phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang xét hay thay đổi quan
niệm hiện hành.
Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắc
chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm
và chủ nghĩa hành vi, mà cịn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ
trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là
sai lầm hoặc đơn giản là khơng cịn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức
mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ

được tạo nên từ những chướng ngại.
Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có
thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm
ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm,
phân tích ngun nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó
khăn sai lầm đó trong q trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý
nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt
động nhận thức của học sinh góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó
khăn sai lầm:
2.3.1. Khó khăn sai lầm về kiến thức, bao gồm:

download by :

4


a) Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm bản chất của khái niệm, định lý
Nếu xét Giải tích ở trờng THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rất
khó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng
cũng như các khía cạnh tinh vi trong lập luận xung quanh vấn đề này, nếu như
muốn nắm vững được bản chất đích thực vấn đề này. Cịn bấy lâu nay khi tìm
Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh vẫn đang cịn nặng về thuật tốn, nói
cách khác là thiên về cú pháp mà còn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn ngay sau khi
học xong khái niệm giới hạn hàm số (mà chưa học đến các định lý về giới hạn và
hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm giới hạn của f(x) khi x
đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó

a rất

f(x) =f(a) điều này phản

ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu: lim.
VÝ dơ1:

Tính

với cách nghĩ như vậy nên việc tìm

giới hạn chỉ là thay x = 9 vào
vậy dẫn đến cho rằng

để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như
không tồn tại.

Để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn các định
nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tượng không thõa mãn một
trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua đó làm sáng tỏ cho
học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm hay định lí, chẳng hạn:
Ví dụ2:

Tính

(?): Học sinh cho rằng:
vậy

= f(9) =

=0

=0

(!): Thực ra thì hàm số f(x) =
vì tập xác của hàm số f(x):
Do đó khơng thể áp dụng định nghĩa

khơng có giới hạn tại x = 9
, tức tập xác định là K =

.

f(x) được không thể lấy bất kỳ dãy

nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là:

xn

K, xn

9 mà

9, nên hàm số đã cho khơng có giới hạn tại x = 9.

b) Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai cơng thức, kí hiệu...)

download by :

5

Với SGK ở phổ thông của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là

để viết

Giới hạn vơ cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu
có thể được hiểu theo các cách khác nhau như +
hai +

và -

hoặc -

này,

hay hỗn hợp cả

, chẳng hạn xét:

Ví dụ 3: - Với lim n2 =

, kí hiệu

- Với lim (-n) =

được hiểu là +

, kí hiệu

- Với lim (-1) nn =

.

này được hiểu là -

, kí hiệu

.

ở đây được hiểu là cả -

và +

.
Vì vậy, nên khi xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng,
giới hạn +
un = -

hay giới hạn -

tức là

un = +

hoặc

. Do R là một tập hợp sắp thứ tự nên không thể kết luận chung

chung giới hạn là

hay viết

un=

. Cụ thể, xét giới hạn vô cực của dãy
(-1)nn không tồn tại.

un = (-1)n theo như phân tích này thì:
Bản chất của +

và -

khơng phải là những số thực cụ thể rất lớn nào

đó, mà đúng ra nói đến lân cận của +
là khoảng (-

; a) với

tức là khoảng ( a, +

) và lân cận của -

R, do đó khơng thể thực hiện các qui tắc hay phép

tốn đại số trên chúng.
Chẳng hạn:

nếu

= L và

Nhưng khơng thể viết:

=+
.

Nhưng kết quả giới hạn ( nếu có) của dãy số u n có thể là: Giới hạn hữu hạn (
0, hằng số L 0 ) hoặc Giới hạn vơ cực (
-

), nên ta có thể xem kí hiệu +

và

như là giới hạn của dãy số. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn

lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi các
phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như:
(+

)-(+

) = 0 ?; 0.

= 0 ?...

download by :

6

Ví dụ 4:

Tính

Học sinh A:

=

Học sinh B:

=

;
;

Học sinh C:
=

.

c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một khái niệm cho trường
hợp suy biến. Trong lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tương tự:
Ví dụ 5:

Tính tổng: S = 1- 1 + 1 – 1 +...

Cách 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0

Cách 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = 1
Cách 3: S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1... = -1 + (1 -1) + (1 -1) +... = -1
Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu ra cách tính tổng như sau:
S = 1 - 1 + 1 – 1 +...

S – 1 = -1 + 1 – 1 +...

-S =S-1

S =

Bình luận: Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn
các số hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng
không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng.
2.3.2. Khó khăn sai lầm về kĩ năng, bao gồm:
Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, của học sinh
cịn yếu. Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc lập
suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tịi lời giải cho các bài tốn, tự mình giải quyết các
nhiệm vụ học tập, cịn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cơ, sách giải bài tập, thiếu

download by :

7


tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý dạng bài
tập cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khn, không phát huy kỹ
năng sáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên khi giải
tốn thường gặp các khó khăn sai lầm.
a) Khó khăn sai lầm khi vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức

Ví dụ 6:

Tính

(?): Học sinh cho ngay kết quả:

=

(!): Nhưng đúng ra kết quả này không tồn tại mà lúc này ta phải phân biệt
ra:

=-

và

=+

, vậy

khơng tồn tại. ở ví dụ này

thì ta thấy:
+ Điểm a = 1 là điểm “giáp ranh’’ cho nên khi x
(xn – 1) mang giá trị âm; còn khi x
+ Điểm a

1 các dãy xn

tức là các dãy

tức là các dãy ( xn -1) mang giá trị dương.

a, (a

1) thì ta thấy rằng dù cho x

a+ hay

x

a- thì các dãy (xn -1) khơng đổi dấu.
Ví dụ 7:

Tính

(?):

=

= 0+0+... +0 = 0

(!): Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong
lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn
đến sai lầm. Lời giải đúng là:
Ta có:

1+2+….+n =
=

do đó:

=

=

=

(!): Nhận xét: Tổng vơ hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn
0 (tức là các phép tốn giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và được
sử dụng cho hữu hạn các số hạng ).
Vì vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để

download by :

8


tính tốn các tổng vơ hạn các đại lượng có giới hạn 0.
Ví dụ 8:

Tính

(?): Khơng tồn tại Giới hạn vì dãy số đang xét có: u1 = 1, u2 =

, u3 =

,…

không tăng cũng không giảm.
(!): Lời giải đưa ra khơng đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn
chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn.

Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không
ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số. Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ
dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số
hạng từ (

-1) trở về trước không cần quan tâm. Sự quan tâm tới những số

hạng đầu tiên của dãy chỉ giúp cho sự phán đoán mà thơi, lời giải đúng như sau:
Vì

và

= 0 nên

= 0.

Ví dụ 9: Tính
(?): Học sinh đã áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất:
Nếu

un= L và

vn=

Tức: Với un = (-1)n, vn =

thì
thì

.

(!): Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là

(-1)n khơng có giới hạn,

do un = (-1)n là dãy bị chặn nhưng khơng có giới hạn.
Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa hai đại lượng có cùng giới hạn đó
là:
do

=

=0

nên

= 0.

Bình luận: Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu đối với học
sinh (thậm chí đối với cả giáo viên), khi dạy khái niệm giới hạn giáo viên không quan
tâm tới giải thích tập xác định của hàm số có vai trị trong tính giới hạn như thế nào?

download by :

9


Ví dụ 10: Tính
Có học sinh lập luận: Ta có

và

.

Vậy theo định lí về giới hạn của tổng hai hàm số thì:
= 0.
Thực ra những hàm số f(x) =
bởi lẽ biểu thức

khơng có giới hạn tại x = 1

chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập

xác định của f(x) là K=
thể lấy bất kì dãy

. Do đó khơng thể định nghĩa

nào với

,

mà

được, vì khơng

dần tới 1 được.

Học sinh áp dụng định lí nhưng khơng hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí.
Ví dụ 11:

Tìm giới hạn

I=

(?): Ta có

,...,

.

Nên I = 0 + 0 +...+ 0 = 0
(!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thư ơng các dãy chỉ phát biểu
cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp
dụng cho tổng vô hạn.
Lời giải đúng là: Đặt

,

ta có:

download by :

10


2nAn

=

= 2sin

Nên

,

chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.
Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi của hàm
số cho bởi nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng,

Ví dụ 12: Tìm giới hạn của hàm số f(x) =

Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do

do đó

.

Thực ra lời giải đúng phải xét giới hạn bên phải, bên trái tại x = a.

b) Khó khăn sai lầm về kĩ năng biến đổi
Ví dụ 13:

Tìm

(?): Học sinh giải:
= x+1

=

= 2,

Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất

= x+1 dấu

bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hồn toàn khác nhau.

download by :

11


(!): Ta hiểu bản chất là chọn dãy xn
Khi đó

=

Ví dụ 14:

1, xn 1

= xn+1

= 2.

Tìm

(?): Học sinh biến đổi là:

=

=

=

(!): Thực ra ở đây học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu
căn dạng

, kết quả trên chỉ đúng khi x

Ta có:

+

nên phải biến đổi,

và

Khiđó:

=

=

Bình luận: Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải là khi đã định hướng
phân chia ra hai trường hợp x

và x

một trong hai trường hợp thường là với x
thay đổi dấu và kết luận là của trường hợp x

rồi nhưng khi biến đổi chỉ xét có
ra đến kết quả, lấy kết quả này
, nhưng qua ví dụ này kết

quả lại khơng như vậy. Mặt khác nếu khơng dùng kí hiệu dạng chung chung
mà phân ra hai loại rõ ràng x

hoặc x

thì chắc chắn học sinh sẽ đỡ gặp những

khó khăn sai lầm nh ư trên.
c) Khó khăn sai lầm về định hướng kĩ năng tính tốn

download by :

12


Ví dụ 15: Tính
(?):
Thực hiện:

=

đến đây gặp dạng vơ định

=

và học sinh tính tốn tiếp để khử dạng vơ định này

bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng
phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính tốn, khi đó dễ gì đi đến kết
quả đúng.
(!): Khi tìm giới hạn, một số học sinh khơng có thói quen định hướng và xác
định dạng, trước khi biến đổi tính tốn đại số, nếu ngay từ đầu xác định được
khi n

thì tử số và mẫu số đều có dạng vơ định (

-

) thì ta phải khử

dạng vơ định này trước, cụ thể:
Tính:

==

Bình luận: Khi tìm giới hạn, một số học sinh khơng có thói quen xác định
đúng dạng thuộc lọai vơ định nào trước khi định hướng biến đổi tính tốn đại
số, do đó xem các dạng: (-

) + (-

) đều thuộc dạng vô định là (

), (+
)-(

) + (+

), (+

) - (-

), (-

) - (+

), nên hay áp dụng các kỹ thuật tính

tốn khử dạng vơ định này để giải. Đơi khi việc áp dụng cho phép tính được kết
quả giới hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vơ định loại
khác nữa, chẳng hạn:
Ví dụ 16:

Tìm

(x2 – x) =

=

download by :

=+

;

13


Ví dụ 17:

Tìm

nếu cứ thực hiện biến đổi
(dạng

)

Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất và kết hợp với các
bảng kết quả phép tốn vơ cực đã lập thì sẽ có ngay đáp số:
Ví dụ 18:

(x2 – x) =

Ví dụ 19:

=

x2 -

x=+
x=+

Hoặc có thể xét như sau, cụ thể:

(x2 – x) =

Ví dụ 20:
Ví dụ 21

=

d) Sai lầm trong giải tích do quen với tính hữu hạn trong đại số:
Các đối tượng trong môn đại số gắn liền với q trình hữu hạn, trong khi đó các
vấn đề trong giải tích thường liền với q trình vơ hạn. Vì vậy, tính hữu hạn của
đại số có thể khiến học sinh gặp khó khăn trong nhận thức hay sai sót khi xem
xét các vấn đề trong giải tích.
Ví dụ 22: Đối với bài tốn: tính lim

(Đại số và giải tích 11- sách

chỉnh lí hợp nhất 2000)
Học sinh có thể giải như sau:
lim

= lim

+ lim

+... + lim

= 0.

Do đó, khi dạy định lí phép tốn về giới hạn giáo viên cần lưu ý “tính hữu hạn”
nêu trong định lí, định lí khơng áp dụng được cho các biểu thức có số phép tốn

là vơ hạn.
e)Sai lầm do vận dụng máy móc các phép tốn trong đại số vào giải tích:
Ví dụ 23: Khi tính

lim

Có học sinh giải như sau:

download by :

14


Vì lim

= lim

+ lim

Ngồi ra, ta có:
lim

với

= 0 tương tự, ta có lim

Kết luận: lim

(1)
n và lim

=lim

= 0 nên

=0

= 0+0 = 0

Bình luận: phải chứng tỏ lim

và lim

tồn tại trước rồi ta mới có

(1).
Khi dạy các định lí phép tốn về giới hạn giáo viên cần lưu ý học sinh “tính tồn
tại” nêu trong định lí.
2.4. Kiểm nghiệm
2.4.1 Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tốn
tìm giới hạn như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách
phân tích một bài tốn tìm giới hạn để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở
giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy
luận, trong các bước tìm giới hạn rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tìm
giới hạn trong sách giáo khoa Đại số và Giải Tích Lớp 11 và một số bài trong
các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm trước thì các em đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2.4.2 Kết quả thực nghiệm:

Sáng kiến được áp dụng đối với hai đối tượng lớp 11A6( Lớp đối chứng)
và 11A1 (Lớp thực nghiệm) có lực học tương đương nhau. Cách kiểm nghiệm:
Cho học sinh hai lớp làm cùng một đề kiểm tra chương IV – Giới hạn.

download by :

15


Kết quả như sau:
Không mắc sai lầm trong

Mắc sai lầm trong quá trình tìm

quá trình tìm giới hạn

giới hạn

11A6

55%

45%

11A1

80%

20%

Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho
thấy: mục đích thực nghiệm đã được hồn thành, tính khả thi và hiệu quả của
các quan điểm đã được khẳng định. Thực hiện các quan điểm đó sẽ góp phần
phát huy tính tích cực, tự giác học tập của học sinh, đồng thời góp phần quan
trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học mơn Tốn cho học sinh ở trường
THPT.

download by :

16


3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
3.1. KẾT LUẬN:
Dự đoán, phát hiện nguyên nhân và hướng khắc phục những khó khăn sai
lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn có ý nghĩa rất lớn trong q trình dạy
học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm
yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát
huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau
rồi thêm kiến thức về tính giới hạn. Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết
quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào
các trường đại học, cao đẳng...
3.2. ĐỀ XUẤT:
Bộ giáo dục nên đưa thêm nhiều bài tập mà học sinh hay mắc sai lầm khi
làm toán vào trong chương trình sách giáo khoa và trong các kỳ thi học sinh
giỏi, thi THPT Quốc gia để học sinh được tìm tịi về những sai lầm thường mắc
khi giải tốn giúp các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài
tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2018.

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là sáng SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Trần Thị Hà

download by :

17


Tài liệu tham khảo
1. Khu Quốc Anh ( chủ biên) (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11 môn Toán, Nxb Giáo dục.
2. Lê Quang Anh (chủ biên), Giới hạn dãy số, Nxb Đồng Nai.
3. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thành Quang (1996), Sai lầm phổ
biến khi giải toán, Nxb Giáo dục.
4. Trần Thị Hà (2009 ), Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học vinh.
5. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn
Tiến, Vũ Viết Yên, Đại Số và Giải Tích 11, Nxb Giáo dục
6. Nguyễn Văn Mậu (2001), Giới hạn dãy số và hàm số, Nxb Giáo dục.
7. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi
giải toán, Nxb Hà Nội.
8.Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ (1995), Phương pháp giải tốn
Đại số và Giải tích lớp 11, Nxb Giáo dục.

download by :

18


MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận

3

2.2.Thực trạng của vấn đề

3

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện

4

2.4. Kiểm nghiệm

15

3. Kết luận và đề xuất

17

Tài liệu tham khảo

18

download by :

19