Bài giảng môn toán lớp 12 Toạ độ trong không gian42850
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.19 KB, 4 trang )
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I.Tọa độ của điểm và của vec tơ :
1. Hệ tọa độ : Trong khoâng gian cho ba trục x’Ox; yOy, z’Oz vuông góc với
nhau từng đôi một .
Trên mỗi trục xác định các veùc tơ đơn vị i , j , k
+ Gọi là hệ trục tọa độ Đecac vuông góc Oxyz trong KG hay đơn giản gọi là hệ
toạ độ Oxyz
+ O là gốc tọa độ ; mp(Oxy); (Oxz); (Oyz) là các mp tọa độ
2. Toạ độ điểm: M(x;y; z) OM = x. i + y. j +z. k
3. Toạ độ véc tơ: a = (x;y;z)
a = x. i + y. j + z. k
a = (a1;a2; a3) a = a1 i + a2. j + a3. k
II. Bieåu thức tọa độ của các phép toán vec tơ :
Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)
Định lyù :
a b =(a1 b1; a2 b2; a3 b3)
k. a = (ka1;ka2;ka3)
kR
a cùng phương b ; a 0 b = k. a b1=ka1 ; b2=ka2; b3=ka3
Các kết quả : AB =( xB xA ; yByA;zB zA) ;
AB= (x B x A ) 2 (y B y A ) 2 (z B z A ) 2
M chia đoạn AB theo tỉ số k1
I là trung điểm của AB
( MA = k MB )
x A k.x B
xA xB
x M 1 k
x M
2
y
k.y
z
k.z
y
B
B
y A
y A y B ;z z A z B
;z M A
M
M
M
1 k
1 k
2
2
G là trọng tâm tam giác ABC
1
x G 3 (x A x B x C )
y 1 (y y y ); z 1 (z z z )
B
C
G
A
B
C
G 3 A
3
1
DeThiMau.vn
III.Tích vô hướng :
Cos =
ab
a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos
a1b1 a 2 b 2 a 3 b3
a12 a 22 a 32 . b12 b 22 b32
a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
2
1
AB2 AC2 (AB.AC)
2
Điều kiện 3 điểm thẳng hàng <=> AB và BC cùng phương
IV. Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình :
(xa)2 +(yb)2 +(zc)2 = R2
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S):
a) Tâm I(1;2;1) , bán kính R = 3
b) Tâm I(2;1;3) và đi qua A(3;7;0)
c) Có đường kính AB với A(2;5;6) , B(1;9;11)
Chú ý : Phương trình của mặt cầu ( S) có thể viết dạng :
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2D > 0
Diện tích tam giác ABC :
SABC =
có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = A 2 B2 C2 D
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
a) x2 + y2 + z2 8x + 2y + 1 = 0
b) 2x2 + 2y2 + 2z26x +12y4z6 = 0
Bài tập :
Xác định điểm trong không gian , c/m tính chất hình học ...
1. a) Viết toạ độ các véc tơ sau đây :
a = 2 i + 3 j k ; b = 11 k 4 j +5 i ; c = 2 k + j
1
b) Cho a =(3;2;1) ; b =( ;3;6) ; c =(7;1;0)
2
Tính u = 2 a 5 b + 4 c ; w =12 b 7 c
2.Cho bốn điểm A(4;2;3) ,B(2;1;1) , C(3;8;7) và D(6;2;z)
a) CMR tam giác ABC cân
b) Xác định z để ABD cân tại B
c) Tính diện tích tam giác ABC
3. Cho A(2;4;3) ,B(5;7;1)
a) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB
b) Xác định toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 2
c) Tìm điểm N trên x/Ox cách đều hai điểm A và B
2
DeThiMau.vn
4. Cho A(6;4;2) , B(6;2;0) , C(4;2;2)
a) CMR tam giaùc ABC đều
b) Cho S(3;y;z) .Tìm y, z để S.ABC là hình chóp đều
c) Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC
5. Cho ba điểm A(4;3;2) ,B(2; m ;3) , C( n ;4;2) . Tìm m, n để :
a) Điểm G(2;1;1) là trọng tâm ABC
b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng
c) Tìm giao điểm E của đ. thẳng AG và mp(xOz)
6.Cho ABC có A(1;2;6) ,B(2;5;1) , C(1;8;4)
a) Xác định toạ độ E &F là chân các đường phân giác trong và ngoài góc A của
ABC trên cạnh BC
b) Tính độ dài các đường phân giác đó
7. Cho A(1;1;5) ,B(2;3;7) , C(0;1;4)
a) Xác định toạ độ trọng tâm của ABC
b) Xác định toạ độ D để tứ giác ABCD là hình bình hành
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) biết A(1;0;1) , B(2;1;2), D(1;1;1), C’(4;5;5) . Tính tọa độ các đỉnh còn lại
?
b) biết A(2;3;2), B(1;4;5),A’(0;2;1), D’(5;1;3).Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại ?
9. Lập phương trình mặt cầu (S) :
a) Tâm I(1;3;2) và bán kính R = 5
b) Tâm I(2;4;1) và đi qua A(5;2;3)
c) Tâm I(0;3;2) và đi qua gốc toạ độ d) Đ. kính AB với A(1;2;4),B(3;4;2)
10. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu :
a) x2 + y2 + z2 8x + 2y + 1 = 0
b) x2 + y2 + z2 +4x + 8y 2z 4 = 0
c) 3x2+3y2+3z2+6x3y+15z2=0
d) x2+y2 +z24x+6y2z22=0
2
2
2
e) x + y + z 2x + 4y 4z 16 = 0 f) x2 + y2 + z2 4y + 8z = 0
a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2
;
;
Tích có hướng của 2 véc tơ : [ a , b ] =
b 2 b3 b3 b1 b1 b 2
*[a ,b] a ;[a ,b] b
Độ dài của véc tơ tích có hướng : [ a , b ]= a . b .Sin
Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :
a , b , c đồng phẳng [ a , b ]. c = 0
ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ
AB , AC , AD không đồng phẳng <=> [ AB , AC ]. AD 0
3
DeThiMau.vn
Diện tích tam giác ABC :
SABC =
Thể tích tứ diện ABCD :
VABCD =
1
.[ AB , AC ]
2
(mới )
1
[ AB , AC ]. AD
6
Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ]. AA
Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
11.Cho a =(1;1;1) ; b = 3 i 4 j + k ; c = (3;2;1)
2
a) Tính ( a . b ). c
b) a .( b . c ) c) [ a , b ]. c
d) [ b , c ]. b
12. Tính góc giữa hai véc tơ trong các trường hợp sau :
a) a =(4;3;1)
, b =(1;2;3)
c) a =(2;1;2), b =(0; 2 ; 2 )
d) a =(4;2;4), b =(2 2 ;2 2 ;0)
e) Cho a =(2;1;3m), b =(0;m+2; 2 )
b) a =(2;5;4) , b =(6;0;3)
Tính m để a và b vuông góc nhau
f) Cho a =(2;3;1), b =(1;2;1), c =(2;4;3). Xác định véc tơ d biết
a . d =3; b . d = 4 ; c . d = 2
Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
13. Xét sự đồøng phẳng của ba véc tơ a , b và c trong mỗi trường hợp sau
a) a =(1;1;1) , b =(0;1;2) vaø c =(4;2;3) b) a =(4;3;4) , b =(2;1;2) vaø c =(1;2;1)
14.Cho a =(2;3;1) , b =(1;2;5) vaø c =(2;2;6) , d =(3;1;2)
a) Chứng tỏ a , b , c không đồng phẳng
b) Phân tích véc tơ d theo ba véc tơ a , b , c
15. Cho bốn điểm A(1;5;10) B(5;7;8) , C(2;2;7) , D(5;4;2)
a) Chứng minh A, B, C, D cùng nằm trên một phẳng .
b) Tính diện tích tứ giác ABCD
16. Cho A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(2;1;1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện
b) Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện
c) Tính thể tích VABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A
17. Cho hình chóp A.BCD với A(3;1;2), B(2;5;1), C(1;8;4) , D(1;2;6)
a) Tính diện tích tam giác ACD
b) Tính thể tích hình chóp & độ dài đường cao hình chóp kẻ từ B
4
DeThiMau.vn
