SKKN day kieu bai so sanh can bac hai

Phần 1 MỞ ĐẦU
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1. Tên sáng kiến: Dạy dạng toán so sánh căn bậc hai trong bộ mơn tốn 9
trường THCS
2. Bộ mơn (lĩnh vực) áp dụng sáng kiến: Toán 9
3. Tác giả:
Họ và tên: Vũ Đình Cương

Nam

Ngày tháng/năm sinh: 26/10/1982
Trình độ chun mơn: Đại học Tốn
Chức vụ, đơn vị cơng tác: Trường THCS Tân Việt
Điện thoại:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Tân Việt
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) : Trường THCS Tân Việt
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh học xong các
phép biến đổi trên căn bậc hai môn đại 9
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: mốc thời gian SK được áp dụng lần
đầu tiên trong thực tế: năm 2020.

TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP

(ký, ghi rõ họ tên)

DỤNG SÁNG KIẾN

1

2


TĨM TẮT SÁNG KIẾN
"Dạy dạng tốn so sánh căn bậc hai trong bộ mơn tốn 9 ở trường THCS"
(khơng dùng máy tính và bảng số) thể hiện rõ vai trị, yêu cầu, hình thức dạy và
các dạng bài tập so sánh căn bậc hai nhằm góp một phần nhỏ vào việc nâng cao
chất lượng giảng dạy kiểu bài tập này nói riêng và dạy học mơn Tốn học nói
chung, đặc biệt trong việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi đối với bộ môn này.
Trong sáng kiến này, chủ yếu tôi nhấn mạnh cách dạy, cách giúp học sinh
tiếp cận và giải quyết các bài tốn cụ thể, các tình huống cụ thể về yêu cầu so
sánh căn bậc hai bằng cách xây dựng hệ thống bài tập luôn xuất phát từ bài tập
giản đơn rồi mở rộng theo các hướng khác nhau, nhằm giúp học sinh biết cách
sâu chuỗi thành một hệ thống kiến thức hoàn chỉnh.
Đề tài này được áp dụng trên mọi đối tượng học sinh lớp 9, đặc biệt trong
việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh khá giỏi, học sinh mũi nhọn và những
học sinh u thích bộ mơn Tốn học 9 trong trường THCS làm cơ sở nền tảng cho
việc phát triển tố chất Toán học của học sinh sau này.

3


PHẦN 2 - MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Đặt vấn đề
Muốn cơng nghiệp hố và hiện đại hố đất nước thì phải nhanh chóng tiếp
thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ bão của
khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái
mà hơm nay còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trường không thể nào

luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng
là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến
thức khi cần thiết trong tương lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức
trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có
những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt
này. Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các
phương tiện truyền thơng tun truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn
đề quan trọng đói với con người hay một cộng đồng khơng chỉ là tiếp thu thơng
tin, mà cịn là sử lý thơng tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra
trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã hội.
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc
truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động
cho HS. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của
quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hìn thức tổ chức, phương
tiện, cách kiểm tra đánh giá..
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và
kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :
+ Năng lực hành động
+ Năng lực thích ứng
+ Năng lực cùng chung sống và làm việc
+ Năng lực tự khẳng định mình.

4


Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tơi đã phát hiện ra
rằng cịn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải tốn cịn kém trong đó có rất
nhiều học sinh (55%) chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện
các phép toán về căn bậc hai đặc biệt là những bài tập có liên quan tới việc so

sánh các căn bậc hai (khơng dùng máy tính và bảng số) thường khiến học sinh
gặp lúng túng trong việc tìm và trình bày lời giải của kiểu bài tập này. Việc giúp
học sinh phân tích tìm hướng giải quyết bài tốn so sánh căn bậc hai là một cơng
việc vơ cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính quyết định
cao trong việc vận dụng biến đổi các biểu thức chữa căn thức bậ hai sau nay, giúp
các em có mồn sự am hiểu vững trắc về mối quan hệ lớn, nhỏ, bằng nhau của các
căn bậc hai, là cơ sở, nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán liên quan tới
căn bậc hai cao hơn sau này.
Mặc dầu vậy, số lượng bài tập đề cập tới dạng này trong chương trình sách
giáo khoa, sách bài tập cịn rất ít, chưa được khai thác nhiều, nhưng lại xuất hiện
nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt trong yêu cầu thực tế. Mới
đầu khi gặp dạng bài tập này học sinh thường lúng túng trong cách đưa ra lời giải
và trình bày lời giải một cách hợp lí và logic, bởi đây là dạng toán cần phải vận
dụng tổng hợp các kiến thức liên quan tới căn thức bậc hai, tới các phương pháp
so sánh hai số nói chung.
Xuất phát từ thực tế đó , tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến "Dạy dạng toán so
sánh căn bậc hai trong bộ mơn tốn học ở trường THCS" để cùng trao đổi bàn
bạc với các đồng nghiệp về vai trò, yêu cầu, hình thức dạy và các dạng bài tập so
sánh căn bậc hai nhằm góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy
kiểu bài tập này nói riêng và dạy học mơn Tốn học nói chung, đặc biệt trong việc
dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi đối với bộ môn này.
Trong sáng kiến này, chủ yếu tôi nhấn mạnh cách dạy, cách giúp học sinh
tiếp cận và giải quyết các bài tốn cụ thể, các tình huống cụ thể về yêu cầu so
sánh căn bậc hai bằng cách xây dựng hệ thống bài tập luôn xuất phát từ bài tập
giản đơn rồi mở rộng theo các hướng khác nhau, nhằm giúp học sinh biết cách
sâu chuỗi thành một hệ thống kiến thức hoàn chỉnh.
Đề tài này được áp dụng trên mọi đối tượng học sinh lớp 9, đặc biệt trong
việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh khá giỏi, học sinh mũi nhọn và những
học sinh u thích bộ mơn Tốn học 9 trong trường THCS làm cơ sở nền tảng cho
việc phát triển tố chất Toán học của học sinh sau này.

5


2. Giải quyết vấn đề
2.1- Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu
Trước khi triển khai sáng kiếnnày, mỗi năm tôi đều phát hiện đa số học sinh
chưa nắm bắt được phương hướng giải những bài tập dạng So sánh các căn bậc
hai qua những câu hỏi, những bài tập riêng lẻ trong quá trình truyền thụ kiến thức
cho học sinh. Và đặc biệt kết quả được phản ánh rõ nhất qua các bài khảo sát 20
học sinh lớp 9 của trường năm trước với đề có mức độ kiến thức như sau:
ĐỀ BÀI (Thời gian 45 phút)
Câu 1: So sánh hai số sau:
a)
2 và 5
b) 2 3 và 11
Câu 2: So sánh giá trị hai biểu thức sau:
a) 11 − 3 và 2
b) 17 − 3 và 15 − 5
Câu 3: Hãy so sánh:

1
2− 3− x

2

KẾT QUẢ VÀ NHẬN XÉT
Câu
1
Kết quả
2019 – 20120

với

1
và 2 + 3 khi x thoản mãn x ≤ 3
2

2

3

20 học sinh làm đúng Có 6 học sinh làm không học sinh nào làm
phần a, 15 học sinh đúng phần a, 2 học được
làm đúng phần b
sinh làm đúng phần b

Như vậy đa số học sinh cịn lạ lẫm với dạng tốn này, học sinh chỉ làm được
bài toán đơn giản là do học sinh chưa được tiếp cận thường xuyên và chưa hình
thành được cách giải dạng tốn này.
Nhằm khắc phục tình trạng trên, tơi đã chủ động nghiên cứu các giải pháp
nhằm giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và tiếp thu mạch kiến thức này một cách chủ
động và sáng tạo hơn. Các giải pháp được tôi đúc rút thành sáng kiến, và được áp
dụng trong quá trình giảng dạy trên lớp hoặc qua các buổi bồi dưỡng học sinh mơn
tốn 9 trong nhiều năm, bước đầu đem lại những hiệu quả rõ rệt.
2.2 – Phương pháp nghiên cứu
Trải qua quá trình hướng dẫn học sinh tiếp cận và phân loại dạng bài tập so
sánh các căn bậc hai, đến hiểu phương pháp và cách thức giải các bài tập dạng này
một cách có hiệu quả tơi đã sử dụng một số các phương pháp nghiên cứu sau:
6

Phương pháp điều tra thực trạng để nắm bắt được những vướng mắc và nhu
cầu của học sinh khi giải loại toán này…
Phương pháp hệ thống hoá kiến thức nhằm giúp học sinh có cái nhìn tồn
diện và sâu sắc, mối liên hệ với nhau của những mảng kiến thức quan trọng…
Phương pháp đối chứng nhằm so sánh giữa những gì các em được tìm hiểu
với chưa được tìm hiểu
Phương pháp thống kê, phân loại các dạng bài tập …
2.3 – Nội dung và biện pháp tiến hành
Các giải pháp thực hiện:
* Đối với học sinh: Để làm thành thạo dạng bài tập so sánh các căn bậc hai trước
hết học sinh phải nhớ và hiểu các phép biến đổi cơ bản trong căn bậc hai: định
nghĩa căn bậc hai, phép khai căn, đưa thừa số ra vào căn, các phương pháp so sánh
hai số thông thường, các hằng dẳng thức trên căn, các quy tắc biến đổi toán học cơ
bản...
* Đối với Giáo viên: Giáo viên đòi hỏi phải có sự đầu tư, tìm tịi vận dụng được
linh hoạt kiến thức lí thuyết vào từng kiểu bài, từng loại biểu thức, từ đó hướng
dẫn học sinh thực hiện theo các bước:
- Nhận dạng các số cần so sánh
- Giới thiệu các phương phấp thường dùng để so sánh
- Hệ thống bài tập được xây dựng theo hướng phát triển từ một bài tập đơn
giản
+ Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài
+ Hướng dẫn lập sơ đồ giải
+ Học sinh làm lời giải chi tiết trên cơ sở của sơ đồ giải
(Mỗi dạng bài có ví dụ cụ thể, giáo viên hướng dẫn chi tiết 1 ví dụ, sau đó học
sinh luyện tập với các bài tương tự)
7

- Ra bài tập và hướng dẫn về nhà
- Đặc biệt là hướng dẫn học sinh phân tích điểm sai trong một số lời giải có sự
hiểu lầm dẫn đến sai sót đó, từ đó giúp học sinh có cái nhìn bản chất trong mỗi
kiểu bài.

2.3.1 – Cơ sở lí thuyết - Kiến thức nền tảng
- Để giải được dạng tốn này trước hết tơi u cầu học sinh ơn tập các kiến
thức cơ bản về căn bậc hai:
a. KIẾN THỨC :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương(phép tìm căn bậc
hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số
học: “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b ”)
- Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc
hai số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có

( a)

2

= a;

với a bất kỳ có a 2 =| a | )
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định
lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab = a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :
a
=
b

a

”)

b

* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi
các công thức sau :
A 2 = | A|

(với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )

AB =

( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)

A
=
B

A B
A
B

( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)

8

A 2 B =| A | B

( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )

A 1
=
AB
B B

( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )

A
B

=

A B
B

C
A±B

=

C
A± B

( với A, B là biểu thức và B > 0)

C ( A B )

A − B2
=

C( A  B )
A− B

(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2)
( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )

* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và
chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu
thức( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với
trình bày tính chất phép tính khai phương).
b. KỸ NĂNG :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính tốn và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính tốn như :
- Tìm khai phương của một số ( số đó có thể là số chính phương trong
khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc
thương của số đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính
theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai
phương)
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên(
với cơng thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B
thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng
cơng thức AB = A B theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong những lớp trước)
để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ
năng trục căn thức ở mẫu. Khai triển các hằng đẳng thức trên căn bậc hai,...

9


Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính
mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau
khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn
nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải tốn tìm x thoả
mãn điều kiện nào đó.)
Ngồi hai kỹ năng nêu ở trên ta cịn thấy có những kỹ năng được hình thành
và củng cố trong phần này như :
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức
nêu ở tốn 8)
- Kỹ năng sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu
của phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ
năng tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thơng
qua hình thành kỹ năng).
2.3.2. Hệ thống bài tập và hướng dẫn học sinh giải theo các phương pháp
thích hợp.
Đối với bài tập so sánh các căn bậc hai (khơng dùng máy tính và bảng số) có
thể phân loại thành hai loại riêng biệt như biểu thức một căn, biểu thức nhiều căn.
Tuy nhiên vì đây là dạng bài tập khó địi hỏi phải có kiến thức tổng hợp và sâu về
các phép biến đổi trên căn và các phép biến đôit thông thường nên trong khi dạy
dạng tốn này tơi đã đi theo hướng phát triển và mở rộng bài toán từ những
bài toán đơn giản giải theo phương pháp thích hợp nhằm xây dựng kĩ năng giải
toán và phát triển tư duy của học sinh mà không dạy theo hệ thống phân loại cụ
thể từng kiểu bài trong dạng toán này. Việc dạy dạng toán này dựa vào hệ thống
bài tập và phương pháp giải mà tôi đã xây dựng sau đây:
2.3.2.1) Phương pháp đồng nhất dạng số:

- Dùng phép đưa thừa số ra vào căn để biến các số về cùng dạng để tiện so sánh.
Phương pháp này thường được áp dụng để so sánh các biểu thức đơn giản dạng
một số và một căn, một căn hoặc tích các số và căn với nhau, hoặc biểu thức chứa
căn thức có thể đưa về cùng dạng số.
10


VD1: So sánh: 2 và

5

Giải:
Ta có 2 = 4
mà 4 < 5 ⇒ 4 < 5 hay 2 < 5
Nhận xét: Nếu bài tốn cho tích của một số vằ một căn thì ta đưa thừa số vào
trong căn rồi làm tương tự.
VD2: So sánh: 2 3 và 11
Giải:
Ta có 2 3 = 12 mà 11 < 12 ⇒ 11 < 12 hay 11 < 2 3
Nhận xét: Nếu bài tốn cho tích của một số vằ một căn có giá trị âm thì ta đưa
thừa số vào trong căn rồi so sánh giá trị tuyệt đối của chúng, từ đó so sánh được
chúng.
VD3: So sánh: – 2 5 và − 21
Giải:
Ta có −2 5 = − 20

mà 20 < 21 ⇒ 20 < 21 ⇒ − 20 > − 21

hay – 2 5 > − 21
Nhận xét: Nếu bài toán cho biểu thức chứa căn nhưng thu gọn được thì ta vẫn sử

dung phương pháp này.
VD3: So sánh: A = 9 + 4 5 và B = 7 + 2 6 + 1
 a 2 + b 2 = 9  a 2 + b 2 = 9
⇔
⇒ a = 2, b = 5
Hướng dẫn : Phân tích A có 
 2ab = 4 5
2ab = 2.2. 5
 a 2 + b 2 = 7  a 2 + b 2 = 7
⇔
⇒ a = 1, b = 6
Phân tích B có 
 2ab = 2 6
2ab = 2.1. 6

Giải : A = 9 + 4 5 = 22 + 2.2. 5 + ( 5) 2 = (2 + 5) 2 = 2 + 5
B = 7 + 2 6 + 1 = 12 + 2.1. 6 + ( 6) 2 + 1 = (1 + 6) 2 + 1 = 1 + 6 + 1 = 2 + 6

Vậy : A < B.
 a 2 + b 2 = 7  a 2 + b 2 = 7
⇔
⇒ a = 2, b = 3
(Lưu ý học sinh, nếu phân tích B theo 
 2ab = 2 6
2ab = 2. 2. 3

11


Rõ ràng cách phân tích này là sai vì a = 2, b = 3 thì

a 2 + b 2 = ( 2) 2 + ( 3) 2 = 2 + 3 = 5 trái với dịng phân tích thứ nhất a 2 + b 2 = 7 ).

Nhận xét : Nếu bài toán yêu cầu so sánh một tổng các căn với một số, hoặc một
tổng các căn với một tổng các căn khác mà không biến đổi để thu gọn trực tiếp
được thì việc áp dụng phương pháp trên để so sánh là việc làm rất khó khăn, gặp
trường hợp này người giáo viên nên hướng học sinh giải bài toán theo phương
pháp bất đẳng thức sau :
2.3.2.2. Phương pháp bất đẳng thức:
Để áp dụng phương pháp này trước hết người giáo viên cần trang bị cho học
sinh kĩ lưỡng những kiến thức biến đổi bất đẳng thức mà các em đã được học từ
các chương trình trước như quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, quy tắc bình phương
hai vế và các kiến thức liên quan tới biến đổi căn thức bậc hai.
Đồng thời cần hướng dẫn học sinh tạo ra bất đẳng thức nhờ phương pháp
giả sử. Cụ thể để so sánh A với B ta giả sử A > B sau đó ta biến đổi bất đẳng thức
đó.
Nếu sau khi biến đổi ta được điều ln đúng thì điều gải sử đúng A > B ( các
phép biến đổi thực hiện đúng).
Nếu sau khi biến đổi ta được điều vơ lí thì điều gải sử sai ( các phép biến đổi
thực hiện đúng) từ đó suy ra A < B.
Phương pháp này được hình thành thông qua hệ thống bài tập sau:
11 − 3 và 2
a) Nhận dạng và phân tích bài tốn:

Bài tốn 1: So sánh

Vì 11 − 3 > 0 nên đây là bài tập so sánh hai số dương, bài tập này sử dụng
phương pháp bất đẳng thức và giả sử để giải như sau:
b) Bài giải:
Giả sử:

11 − 3 ≥ 2
⇔ ( 11 − 3 ) ≥ 22
2

⇔ 11 − 2 33 + 3 ≥ 4

12


⇔ −2 33 ≥ −10
⇔ 33 ≤ 5
⇔ 33 ≤ 25
Vậy điều giả sử sai nên 11 − 3 < 2
Để ý vào bài toán 1 nếu thay đổi yêu cầu của đề bài thành so sánh các số âm
thì ta có bài tốn sau:
3 − 7 và − 5
a) Nhận dạng và phân tích bài tốn:
Với bài tốn này ta cũng áp dụng phương pháp giải như trên, nhưng chỉ chú ý
một điều là khi thực hiện bình phương hai vế của bất đẳng thức, mà hai vế cùng
âm thì ta phải đổi chiều bất đẳng thức.
b) Bài giải:
Bài toán 2: So sánh

3− 8≥− 5

Giả sử:

⇔ ( 3 − 8) ≤ ( − 5)
2

2

⇔ 11 − 2 24 ≤ 5
⇔ 11 − 5 ≤ 2 24
⇔ 6 ≤ 2 24
⇔ 36 ≤ 96
3− 8<− 5
Để ý vào bài toán 2 nếu thay đổi yêu cầu của đề bài thành so sánh hai tổng
các số thì ta có bài tốn sau:
Vậy điều giả sử đúng nên

11 + 5 và 13 + 3
a) Nhận dạng và phân tích bài tốn:
Đây là bài tập so sánh hai số dương, bài tập này sử dụng phương pháp bất
đẳng thức và giả sử để giải như sau:
b) Bài giải:
Bài toán 3: So sánh

Giả sử

11 + 5 ≥ 13 + 3
⇔ ( 11 + 5 ) ≥ ( 13 + 3 )
2

2

⇔ 16 + 2 55 ≥ 16 + 2 39
⇔ 2 55 ≥ 2 39
⇔ 55 ≥ 39
13

Vậy điều giả sử đúng nên 11 + 5 > 13 + 3
Nhận xét: Nếu một lần bình phương mà chưa đánh giá được hai biểu thức thì ta
tiếp tục bình phương theo đúng các quy tắc thực hiện biến đổi đã được học cho
tới khi trở thành điều luôn đúng hoặc vơ lí thì dừng. Chẳng hạn hư bài toán 4 sau
đây:
5 − 7 và 3 − 6
a) Nhận dạng và phân tích bài tốn:
Với bài tốn này ta cũng áp dụng phương pháp giải như trên, nhưng chỉ chú ý
một điều là khi thực hiện bình phương hai vế của bất đẳng thức, mà hai vế cùng
âm thì ta phải đổi chiều bất đẳng thức.
b) Bài giải:
Bài toán 4: So sánh

5 − 7 ≥ 3 − 12

Giả sử

⇔ 5 − 7 ≤ 3 − 12
⇔ ( 5 − 7 ) ≤ ( 3 − 12 )
2

2

⇔ 12 − 2 35 ≤ 15 − 2 36
⇔ 2 36 − 2 35 ≤ 3
2

3

⇔ ( 36 − 35 ) ≤  ÷
2
9
⇔ 71 − 2 1260 ≤
4
⇔ 275 ≤ 8 1260
2

⇔ 75625 ≤ 80640
Phương pháp này cũng có thể dùng để so sánh các biểu thức chứa biến, ví
dụ như sau:
Bài toán 5: So sánh

a + b và

a + b Với a > 0, b > 0

a) Nhận dạng và phân tích bài tốn:
Với bài tốn này ta đi so sánh hai số cùng dương, nên việc bình phương sau
giả sử ta giữ nguyên chiều bắt đẳng thức.
b) Bài giải:
Giả sử

a+b > a + b

⇔ a + b > ( a + b )2
14


⇔ a + b > a+ b + 2 ab

⇔ 0 > 2 ab
Vì a > 0, b > 0 nên điều giả sử sai
Suy ra

a+b <

a + b Với a > 0, b > 0

Nhận xét: phương pháp này giúp ta so sánh được hầu hết các tổng căn là
các số cụ thể, hoặc biểu thức căn thức chứa biến, khi giải bài tập kiểu này cần
chú ý học sinh đánh giá các tổng căn trước xem âm hay dương để khi bình
phương theo đúng quy tắc biến đổi bất đẳng thức và các nhiều số hạng không
đồng dạng trong tổng thì số lần bình phương càng nhiều, do vậy cần yêu cầu học
sinh kiên trì tỉ mỉ trong thực hiện các phép biến đổi.
Trong một số trường hợp cụ thể người ta còn dùng số trung gian để so sánh
các biểu thức chứa căn như sau:
2.3.2.2. Phương pháp sử dụng số trung gian:
Đây là một phương pháp khó thực hiện đối với học sinh, bởi số trung gian
luôn ẩn, việc tìm ra nó khơng phải học sinh nào cũng làm được, tuy nhiên nếu
phát hiện ra thì lời giải ngẵn gọn hơn rất nhiều, bởi vậy người giáo viên nên định
hướng một số các số trung gian thương gặp như số o, số 1, hay những số có thể
khai căn được chẳng hạnh như ví dụ sau:
VD: So sánh các số thực sau (khơng dùng máy tính) :
a)

7 + 15 và 7

b)

17 + 5 + 1 và

c)

23 − 2 19
và
3

45
27

a) Nhận dạng và phân tích bài tốn:
Với bài toán này ta cũng áp dụng phương pháp giải như trên, nhưng lời giải
sẽ dai dịng và có thể học sinh mắc sai sót, sai lầm trong khi lời giải dài. Nếu để ý
kĩ ở phần a thì số 7 = 4 + 3, mà 4 = 16 , 3 = 9
b) Bài giải:
a) Ta có 7 + 15 < 9 + 16 = 3 + 4 = 7 . Vậy 7 + 15 < 7

15


b)
c)

17 + 5 + 1 > 16 + 4 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = 49 > 45 .

23 − 2 19 23 − 2 16 23 − 2.4
<
=
= 5 = 25 < 27 .
3

3
3

2.3.3. Hệ thống bài tập áp dụng:
2.3.3.1. Bài tập phát hiện sai lầm trong lời giải sai.
Bài 1: So sánh − 3 2 và − 3 2
Giả sử

− 3 2 >− 3 2
⇔(−

2) >(−
2

3

2

3)

2

⇔3 2 >2 3
⇔ 18 > 12
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : − 3 2 > − 3 2
HD: Sai trong quá trình bình phương 2 vế cùng âm nhưng khơng đổi dấu bắt
phương trình.
Bài 2: So sánh −5 7 và −7 5
Ta có −5 7 = − (−5) 2 .7 = − 175
−7 5 = − ( −7) 2 .5 = − 245

Vì 175 < 245 nên − 175 < − 245 hay −5 7 < −7 5
HD: Sai trong quá trình so sánh hai số âm thơng thường, số âm nào có giá trị
tuyệt đối lớn hơn sẽ nhỏ hơn.
Bài 3: So sánh

3 − 2 và 8

Giả sử

3− 5≥ 8
⇔ ( 3 − 5) ≤ ( 8)
2

2

⇔ 8 − 2 15 ≤ 8
⇔ −2 15 ≤ 0
16


Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên giả sử đúng, suy ra 5 − 11 > 6
HD: Sai trong quá trình xác định dấu của hai số cần so sánh khơng đúng nên khi
bình phương sai.
2.3.3.2. Bài tập tự luyện.
Bài 1: So sánh.
a) và - 1
b) + - 2 và 0
c) và 1 +
d) và 3

e) và 1
f) - . và 2
g) : và a - b
h) + + + ..... + và 4
i) + . và 1
j) (4 + )( - ) và 2
k) + và 28
l) - và m) n + 2 − n + 1 và

n+1 − n

(n là số nguyên dương)

Bài 2: So sánh :

a)

3 + 5 và 15

c)

18 + 19 và 9

b) 2 + 15 và 12 + 7
d)

16
và 5. 25
2

Bài 3: Hãy so sánh hai số : a = 3 3 − 3 và b=2 2 − 1 ;
Bài 4: Hãy so sánh hai số

4 + 7 − 4 − 7 − 2 và 0

Bài 5: Hãy so sánh hai số

2013 + 2015 và 2 2014

Bài 6: Cho A = 11 + 96 và B =

2 + 5 và

5 +1
2

2 2
.
1+ 2 − 3

Bài 7: Cho biết: A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7 . Hãy so sánh A + B và A.B.

17


1+
Bài 8: So sánh

Bài 9: So sánh
Bài 10: S =

3
2

3
1+ 1+
2
a − b và

+

1−

3
2

3
1− 1−
2

và 1

a − b với a >b>0

1
1
1
1
+
+ .... +

+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 − k + 1)
1998 − 1

Hãy so sánh S và 2.

1998
.
1999

18


2.4 Kết quả:
2.4.1) Kết quả chung:
Đề tài này khi áp dụng vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh đại trà,
khá, giỏi đã đem lại thành công bước đầu, học sinh đã có cái nhìn sâu hơn, cụ thể
hơn về dạng bài tập so sánh căn bậc hai không dùng máy tính hoặc bẳng số. Ngồi
ra đề tài cịn bổ trợ và củng cố cho học sinh nắm trắc lí thuyết về tính chất của các
phép biến đổi trên căn và các phép biến đổi toán học khác trong bộ mơn tốn học
2.4.2) Kết quả cụ thể:
Sau khi áp dụng sáng kiến này để giảng dạy mạch kiên thức so sánh căn bậc
hai khơng dùng máy tính hoặc bẳng số cho những học sinh đã tham gia khảo sát
nói riêng và học sinh lớp 9 nói chung, tơi đã khảo sát lại 20 học sinh đã tham gia
làm bài kiểm tra trước khi áp dụng sáng kiến để so sánh, đối chiếu, khẳng định
chất lượng của sáng kiến bằng các bài kiểm tra cụ thể tương đương trước khảo sát.
Ví dụ như đề bài có cấu trúc như sau:

ĐỀ BÀI ( Thời gian 45 phút)
Câu 1: So sánh hai số sau:
a)
3 và 2 2
b) 2 5 và 19
Câu 2: So sánh giá trị hai biểu thức sau:
a) 15 − 13 và 5
b) 7 − 3 và 5 − 1
Câu 3: A = x − 1 +

y − 2 biết x + y = 4. Hãy so sánh A với

KẾT QUẢ CỤ THỂ
Câu
1
Kết quả
2020 – 2021

2

2

3

20 học sinh làm đúng Có 14 học sinh làm Có 5 học sinh làm được
phần a, b
đúng phần a, 13 học
sinh làm đúng phần b

Như đã nói ở trên, xuất phát từ yêu cầu thực tế đời sống và thực tế giảng

dạy, nhu cầu cần được giải các bài toán so sánh căn bậc hai khơng dùng máy tính
hoặc bẳng số của học sinh và đặc biết là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi các năm
nên tôi đã nghiên cứu và triển khai sáng kiến"Dạy dạng toán so sánh căn bậc hai
trong bộ mơn tốn học ở trường THCS". Đề tài này được áp dụng chủ yếu vào
19


việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh khá giỏi, học sinh mũi nhọn và những
học sinh yêu thích bộ mơn Tốn học trong trường THCS phần Tốn học.
2.5) Bài học sáng kiến
Một số kinh nghiệm khi triển khai đề tài:
- Trước khi dạy một dạng toán nào ta cần tạo cho học sinh nhu cầu phải giải
quyết vấn đề của dạng tốn đó, rồi hình thành phương pháp giải cho học
sinh.
- Khi triển khai hướng dẫn học sinh nghiên cứu cụ thể dạng toán cần hệ thống
những kiến thức, những dạng bài tập có liên quan để học sinh thấy được sự
gắn kết và bổ trợ cho nhau của các dạng bài tập đó.
- Cần xây dựng một hệ thống câu hỏi phù hợp theo hướng phát triển và mở
rộng bài tốn để tạo tình huống có vấn đề khiến học sinh phải suy nghĩ và
giải quyết, qua đó phát triển tư duy Tốn học cho học sinh.
- Việc hướng dẫn học sinh phát triển một bài toán từ bài tốn cơ bản theo
nhiều góc độ đã đem lại hiệu quả rõ rệt cả trong quá trình học tập của học
sinh, lẫn cách thức truyền đạt tri thức trong dạng tốn này, cũng như việc
kích thích khả năng tự học tự sáng tạo của học sinh, tăng hứng thú học tập
của các em, từ đó nâng cao được chất lượng học tập của bộ mơn.
- Gắn kết lí thuyết với thực hành sẽ làm tăng hiệu quả học tập rõ rết ở dạng
bài tập kiểu này.
PHẦN 3. KẾT LUẬN
Trên đây là sáng kiếncủa tôi khi thực hiện đề tài "Dạy dạng tốn so sánh
căn trong bộ mơn tốn học ở trường THCS"theo đánh giá chủ quan của tôi, đề

tài đã đem lại một số hiệu quả nhất định trong q trình giảng dạy trên lớp nói
chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng.
Việc xây dựng hệ thống bài tập và kinh nghiệm dạy theo hướng phát triển từ
thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp dựa trên sự mở rộng kiến thức từ bài toán
đơn giản nhất đã tạo cơ hội tiếp thu mạch kiến thức này ở hầu hết các đối tượng
học sinh từ trung bình đến khá, giỏi, tăng cường thực hành để khẳng định tính thực
tiễn của lí thuyết. Với cách dạy này có thể áp dụng được hầu hết với các dạng tốn
khác trong mơn tốn, cách dạy sẽ tạo động lực và nhu cầu tìm hiểu và lĩnh hội
kiến thức ở học sinh.

20


Sáng kiến này tôi vẫn tiếp tục nghiên cứu và bổ sung nhằm hồn thiện đầy
đủ hơn những khía cạnh về phương pháp truyền thụ, các dạng câu hỏi được mở
rộng hơn, tăng cả về lượng và chất, xây dựng hệ thống bài tập so sánh căn bậc hai,
bậc ba trong những năm tới, đồng thời nhân rộng ra các chuyên đề, các dạng bài
tập khác trong bộ môn.
Xây dựng một trong các dạng tốn riêng biệt để kích thích học sinh học tập
một cách say mê và hứng thú, đồng thời vận dụng những hiểu biết của mình vào
cuộc sống, đòi hỏi người giảng dạy ra đề cho học sinh làm bài tập phải có trình độ
chun mơn vững vàng, có sự hiểu biết sâu sắc bao quát hết tồn bộ nội dung
chương trình mơn tốn của trường THCS và trình độ của từng lớp học sinh trong
trường học. Tôi - người viết chuyên đề này – với khả năng cịn hạn chế và sáng
kiến chưa có nhiều, khi trình bày dạng bài tập này theo hình thức một đề tài, rõ
ràng khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự nhận xét, góp ý chân thành
của q thầy cô giáo trong tổ và ban chỉ đạo chuyên mơn các cấp để chun đề
được hồn thiện hơn, nhằm hục vụ tốt hơn cho việc giảng dạy bộ môn Tốn học ở
trường Trung học cơ sở và có thể trở thành một nguồn tư liệu khi giảng dạy dạng
toán này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- Sách giáo khoa Toán học 8, 9
- Sách bài tập Toán học 8, 9
21


- Bài tập nâng cao và phát triển Toán học 8, 9 – Vũ Hữu Bình
- Bồi dưỡng HSG Tốn học 8, 9 – Trần Thị Vân Anh

Phụ lục:
Các kí hiệu:

+) VD – Ví dụ.
+) HSG – Học sinh giỏi.
+) HS – Học sinh.
NỘI DUNG

TRANG

Phần 1 Mở đầu: Thông tin chung về sáng kiên

1

Phần 2: Mô tả sáng kiến

3

1. Đặt vấn đề

3

2. Giải quyết vấn đề

5

2.1- Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu

5

2.2 – Phương pháp nghiên cứu

6

2.3 – Nội dung và biện pháp tiến hành

6

2.3.1 – Cơ sở lí thuyết - Kiến thức nền tảng

7

2.3.2. Hệ thống bài tập và hướng dẫn học sinh giải theo
các phương pháp thích hợp.
2.3.3. Hệ thống bài tập áp dụng

9
15

2.4 Kết quả:

18

2.5) Bài học sáng kiến

19

Phần 3: Kết luận

20

22