Đề tài Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức49680

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TRÀ VINH
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TRÀ VINH

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2007 – 2008
………………..

………………….

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

Người viết: CHUNG THUẬN THIÊN
-1-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Để giải được một bài tốn thì điều quan trọng nhất là chúng ta phải lựa chọn được
phương pháp để giải bài tốn đó. Các bài tốn đặc biệt là các bài toán về bất đẳng thức rất
đa dạng và phong phú vì thế các phương pháp để chứng minh bất đẳng thức rất nhiều ;
việc lựa chọn phương pháp để chứng minh một bất đẳng thức là rất khó khăn. Đối với học
sinh THPT đa số các em ngại khi gặp các bài toán về bất đẳng thức nhưng các em học khá,
giỏi thì lại rất thích thú và say mê với các bài toán về bất đẳng thức . Các bài tốn về bất
đẳng thức thì giường như là không thể thiếu trong các đề thi đại học, cao đẳng

đề thi học sinh giỏi.
Bất đẳng thức là vấn đề được rất nhiều người yêu toán quan tâm. Tơi cũng là một người
u tốn vì thế Tơi ln ln học hỏi và tìm kiếm các phương pháp để chứng minh bất
đẳng thức. Sau khi chứng minh được một bất đẳng thức Tôi luôn đặt câu hỏi :” Tại sao lại
có bất đẳng thức này ; Liệu từ bất đẳng thức này có thể xây dựng được các bất đẳng thức
khác có liên quan hay khơng ?”. Sau khi cùng học sinh giải được một bài toán đặc biệt là
bài tốn bất đẳng thức Tơi ln khuyến khích và yêu cầu các em xây dựng các bất đẳng
thức mới có liên quan bất đẳng thức . Cách làm này giúp các em học sinh nhìn nhận bài
tốn một cách sâu sắc hơn đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Việc ra các
đề bài toán rất quan trọng trong q trình giảng dạy mơn Tốn
Vì vậy tôi chọn đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ”

-2-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

B. NỘI DUNG
 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN :

1).a  b  a  b  0
2).a  bvàb  c  a  c
3).a  b  a  m  b  m
nếu m > 0
4).a  b  a.m  b.m nếu m < 0
a.m  b.m

5). a  b  a  c  b  d
cd
6). a  b  0  a.c  b.d
cd 0
x
x
nếu m > 0

a
b
7).a  b  0  x
a  b x nếu m < 0
8).a  1: x  y  0  a x  a y
9).0  a  1: x  y  0  a x  a y
10). x  a   a  x  a
11). x  a  x   ahayx  a
12). x  y  x  y
13). x  y  x  y
a
a
14).

( a, b, c  0)
ab abc
a c
a ac
c
15).   
 ( a, b, c, d  0)
b d

b bd
d








-3-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

 . BÀI TOÁN: Xét bài tốn: với điều kiện R ( nếu có )

Chứng minh rằng : p = f( x, y, z,…)  A ( hoặc  A )
 Phương pháp giải:
+ Chứng minh p  g (t ) với t  D
+ Chứng minh g (t )  A với t  D
Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức p để đưa về biểu thức một biến g(t) và chứng minh
g (t )  A
- Việc chứng minh g (t )  A ở đây tôi chỉ sử dụng cách biến đổi ( dự đoán dấu
bằng xảy ra ), ngồi ra đối với học sinh lớp 12 có thể làm một cách nhanh chóng hơn bằng
cách sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên để giải .
- Còn đánh giá p nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài tốn lựa chọn đánh giá

thích hợp ( dùng cách biến đổi, sử dụng bất dẳng thức cổ điển bunhiacopki, côsi...).
 Kiến thức bổ sung
1. Bất đẳng thức cơ bản:
a). Bất đẳng thức Côsi :
Cho x1 , x2 ,..., xn (n  2) số khơng âm. Khi đó:

x1  x2  ...  xn  n n x1 x2 ...xn đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2  ...  xn
b). Bất đẳng thức bunhiacopxki :

( x12  x2 2  ...  xn 2 )( y12  y2 2  ...  yn 2 )  ( x1 y1  x2 y2  ...  xn yn ) 2
x
x
x
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  2  ...  n
y1 y2
yn

c). Bất đẳng thức svac – xơ ( hệ quả của bất đẳng thức bunhiacopxki ) :
Với y1 , y2 ,..., yn (n  2) là số dương :

xn 2  x1  x2  ...  xn 
x12 x2 2

 ... 

y1
y1
y1
y1  y2  ...  yn
x

x
x
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  2  ...  n
y1 y2
yn
2

2.Tính chất;
a). Nếu p có giá trị khơng đổi khi ta hốn vị vịng quanh các biến x,y,z…chẳng
hạn p = f(x, y, z ) = f ( y, x, z ) = f( z, x, y ).
Khi đó khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử x = Max( x, y, z,…)
hoặc x = Min( x, y, z,…)
I. MỘT BIẾN LÀ ẨN PHỤ t = h( x, y, z…)
Sau đây là một số bài tốn ví dụ mở đầu
-4-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

 Bài toán 1: Với x, y là số dương . Chứng minh rằng: x 3  y 3  xy 2  yx 2 (1)
Hướng dẫn:
Vì x là số dương nên:
3

2

y

y
y
y
1  1        . Đặt t  thì t  0
x
x x x
2
(1) trở thành t 3  t 2  t  1  0   t  1  t  1  0()
() đúng với mọi t  0  đpcm
Tổng quát ta có bài tốn sau:
Cho x, y là số dương . Chứng minh rằng : x n  y n  xy n1  yx n1  n  2, n  N 
Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài toán 1
 Bài toán 2: Với x, y khác không chứng minh rằng:

x4 y 4  x2 y 2  x y



   2
y 4 x 4  y 2 x 2  y x

(2)

Hướng dẫn.
Đặt t 

x y
x y
x
y

 thì t      2 ( áp dụng bất đẳng thức Côsi )
y x
y x
y x

Khi đó (2) trở thành :

t

2

 2   2   t 2  2   t  2  0   t  2   t 3  2t 2  t  3  0  2'
2

+) Với t  2 : Ta có t 3  2t 2  t  3   t  2   t 2  1  1  0
Nên bất đẳng thức  2'  đúng

+) Với t  2 : Ta có t 3  2t 2  t  3  (t  2)  t  2   3  11  0
2

Và t + 2  0 nên bất đẳng thức  2'  đúng





Vậy bất đẳng thức  2  đúng , dấu bằng xảy ra khi t = - 2 hay x = - y  đpcm

 Bài toán 3: Với x, y, z là số thực thỏa mãn x 2  y 2  z 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức P  x 2  y 2  z 2  3 xyz

- Nhận xét : Dự đoán dấu giá trị LN, NN đạt được khi x = y = z hoặc tại các điểm
biên, Thử vào ta có phán đoán 2 2  P  2 2
Hướng dẫn.
2
Từ đẳng thức x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx    x  y  z 

x 2  y 2  z 2  3 xyz   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  và điều kiện ta có:
-5-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
2

x
y
z


2


P   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx    x  y  z   2 



2



Đặt t  x  y  z  0  t  6
2
t2  2
t3
1
P  t (2 
)    3t   t  2 t  2 2  2 2  2 2
2
2
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t  2
Vậy Pmin  2 2 khi x   2, z  y  0 hoặc hoán vị







Pmax  2 2 khi x  2, z  y  0 hoặc hốn vị

Sau đây ta xét một ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy được ẩn phụ

 z , y, x  0
1 1 1 15
3 . Chứng minh rằng: x  y  z    
 Bài toán 4: Cho 
x yz 
x y z 2


2

Hướng dẫn.
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

1 1 1
1
9
   x  y  z  33
 x yz
x y z
xyz
x yz
3
Đặt t  x  y  z  0  t 
2
1 1 1
9
9 27
9
27 15

 2 t. 

Vậy x  y  z     t   t 
x y z
t
4t 4t
4t 4. 3

2
2
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z   đpcm
2
Tổng quát ta có bài tốn : Cho x1 , x2 ,..., xn  n  2  là số dương :
x yz

x1  x2  ...  xn  k  k  R*  b  0; ak 2  bn 2

1
1
1  bn 2  ak 2
Chứng minh rằng : a  x1  x2  ...  xn   b  
 ...   
 *
x
x
x
k
2
n 
 1
Sơ lược lời giải :

1
1
1 
bn 2
a  x1  x2  ...  xn   b  

 ...    a  x1  x2  ...  xn  
x
x
xn 
x1  x2  ...  xn
2
 1
2
2
2
1
bn
t  
bn 
bn  bn 2  ak 2

2 1
2
 at 
 bn   2   t  a 
 bn .2.  k  a  2  
t
k 
k
k 
k
t k  

-6-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Nhận xét 1:
- Từ bài tốn * ta có: Đặc biệt hóa
1. Với a = 1; b = 4; n = 3; k =

3
ta có bài tốn :
2

 z , y, x  0
 1 1 1  51
3 . Chứng minh rằng: x  y  z  4     
Cho 
x yz 
x y z 2

2
Kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có

 z , y, x  0
3.
Bài toán 2’: Cho 
x yz 

2
1

1
1
17
Cmr: x 2  2  y 2  2  z 2  2  3.
y
z
x
2

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có :

( x2 

1
4
1
1 
4
2
2
2
)
1
4
x
x
x











y2
y
y2
y 
17 

Tương tự sau đó cộng lại kết hợp bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
Với a = 1; b = 9; n = 3; k = 1 kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có bài tốn
Cho

zx,y,yxz0 1

.Cmr:

x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82
2
x
y

z

2. Với a = - 1; b = 1; n = 2; k =

2 ta có bài tốn:
1 1
x, y  0
Cho
. Chứng minh rằng:    x  y   2
x y 2
x y



Bằng cách thay đổi giả thiết, đặt ẩn phụ ta có Bài tốn 2”:
Cho

xx,y y01

. Chứng minh rằng:

x
y

 2
1 x
1 y

Thật vậy: Bằng cách đặt : a  1  x ; b  1  y và kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki
và bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh

Tổng quát : Cho x1 , x2 ,..., xn  n  2  là số dương :

x1  x2  ...  xn  m  m  0  .

Chứng minh rằng:

x1

m  x1

x2
 ... 
m  x2

xn

m  xn

m.n
n 1

Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên !
-7-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
- Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện(bài tốn (*)) thì bài toán thay đổi như thế

nào ?
Trả lời câu hỏi này ta có bài tốn mới :
Cho x1 , x2 ,..., xn  n  2  là số dương :

x1  x2  ...  xn  k  k  R*  b  0; ak 2  bn 2

1
1
1  bn 2  ak 2
Chứng minh rằng : a  x1  x2  ...  xn   b  
 ...   
**
x
x
x
k
2
n 
 1

Từ bài tốn (**) ta có thể khai thác ta được những bài toán mới khá thú vị….
 Như vậy khi làm một bài tốn ta có thể dùng hoạt động trí tuệ để khai thác sâu bài tốn
ở trên có một chu kì hoạt động khá hay đó là :
Bài toán cụ thể  tổng quát  đặc biệt  ( phân tích, so sánh… )  bài tốn mới
 tổng quát (chú ý tổng quát có nhiều hướng: theo hằng số, theo số biến hoặc số mũ)
 Bài toán 5: Với x, y, z là số dương và x. y.z  1
Chứng minh rằng:

x



x  yz

y
y  zx

z



z  xy

3
2



(5)

Hướng dẫn.
Đặt a  x , b  y , c  z
Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và a.b.c  1
Chứng minh rằng :

a2
a 2  bc

b2



Áp dụng bất đẳng thức Svac – xơ ta có:

a2
a  bc
2



b2
b  ac
2



c2
c  ab
2



Bình phương hai vế bất đẳng thức:

b 2  ac



c2
c 2  ab

a  b  c



3
(4')
2

2

a 2  bc  b 2  ac  c 2  ab

2
4


a  b  c
a  b  c


2
VT (5')   2
 
2
2
2
a
bc
b

ac
c
ab





 a 2  bc  b 2  ac  c 2  ab 




4
a  b  c


3(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac)
4
4
a  b  c
a  b  c




2
2



3  a  b  c   3  ab  bc  ac   3  a  b  c   3
2

( Vì ab  bc  ac  3 3  abc   3 )
2

-8-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

a  b  c

Đặt t 

2

thì t  9 ( vì a  b  c  3 3 abc  3 )

t2
t 3 3
3t  15 t  3
3
3.9  15
9





2

.
Ta có:
3(t  3)
12
12 t  3
12
12 t  3 2
9
3
 VT 2 (5')   VT (4 ') 
2
2
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1  điều phải chứng minh
Tổng qt : ta có bài tốn sau: với x1 , x2 ,..., xn  n  2  là số dương và x1 .x2 ...xn  1
xn
x1
x2
n

 ... 

Cmr:
2
x1  x2 .x3 ...xn
x2  x3 .x4 ...xn
xn  x1 .x2 ...xn1



x
y
z
9



 Bài toán 6: Cho x, y , z  0 . Cmr: P 
2
2
2
x  y  z 1
1 x 1 y
1 z
10
Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Svac – xơ nhưng ở đây chiều bất đẳng
thức lại ngược. Một ý nghĩ nảy sinh là biến đổi P để làm đổi chiều bất đẳng thức ?
Hướng dẫn.


x2 
y2  
z2 

P  x 1 
 y 1 
 z 1 


2 
2 
2 
1
x
1
y
1
z







 
3
3
3
 x
y
z 
 1 



2
2

2 
1
x
1
y
1
z





2
2
2 2
4
4
4
x
y
z




 x

y
z
1

 1 




3
y  y 3 z  z 3 
x  y  z  x3  y 3  z 3
 xx
1
Đặt t  x 2  y 2  z 2 từ điều kiện  t 
3
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Cơsi ta có:

x 3  y 3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   3 xyz 
3

1
3 1
t
 x2  y 2  z 2 
2
2
2
 x  y  z  1   x  y  z    3 

t


t


2
3
2 2
3


2t 2
2t 2
9
3t 2  10t  3 9
P  1
 1
 2
 

t
3
10
3
10
10
t
t


2
t
3t  1  t 
1  3t  3t

3
3
1
(  t )(57t  9)
9
9
P 3 2


3t  10t  3
10 10
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1  đpcm
2

2

2

3

-9-

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Khi gặp bài toán có điều kiện phức tạp khó sử dụng thì xử lí điều kiện. Ta xét bài tốn sau:

3

 x, y, z   0;1
Chứng minh rằng: x 2  y 2  z 2 
 Bài toán 7: Cho 
4
 x. y.z  1  x 1  y 1  z  (1)

Hướng dẫn.

1

 1  ( x  y  z )  xy  yz  xz  2 xyz
 x 2  y 2  z 2  2  2( x  y  z )  ( x  y  z ) 2  4 xyz

 x yz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
  xyz nên
3


3
 x yz
2
2
2
2
x  y  z  2  2( x  y  z )  ( x  y  z )  4 

3



3

Đặt t = x + y + z thì 0 < t < 3 . Khi đó :

4 3 2
1
15
3 3
t  t  2t  2 
(2t  3) 2 (  t )  
27
27
4
4 4
3
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t  hay x = y = z =  đpcm
2
2
x2  y 2  z 2  

Nhận xét 2: từ ý tưởng phương pháp giải ở trên ta có thể sáng tạo các bất đẳng thức :
Chẳng hạn : Từ bất đẳng thức Côsi
1. Cho x, y là số dương. Chứng minh rằng :  x 2  y 2   8  8 x 2 y 2  8 xy
3

2. Cho x, y, z là số dương không lớn hơn 1. Chứng minh rằng :

1
1 1  x 1  y 1  z 

 
3
x yz 3
1
1
b).
  1  x 1  y 1  z 
x yz 3
a).

Từ đó ta có bài tốn Tổng qt : ( chú ý câu b chặt hơn câu a )
Cho x1 , x2 ,..., xn  n  2  là số dương khôg lớn hơn  . Chứng minh rằng:

a n1
an
   a  x1  a  x2  ...  a  xn 
x1  x2  ...  xn n

Hướng dẫn.
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :

 na   x1  x2  ...  xn  
 a  x1  a  x2  a  x3   

n


n
n 1
n

a
a  na  t 
na  t  n n1a n  t (na  t ) n1 
Bất đẳng thức trở thành :


 
0
t
n  n 
n 
ta n1

n

- 10 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

  n  1 na 
 n  1 t  na  t  na  t  ... na  t   

n



n
n 1
n
 n  1 t  na  t  na  t  ... na  t    n  1 a  t  na  t   n n1a n
n

Kết hợp điều kiện bài tốn nên bất đẳng thức (*) đúng
Ngồi ra từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt hơn sau:
Cho x1 , x2 ,..., xn  n  2  là số dương khôg lớn hơn a . Chứng minh rằng:

 n 1 


 n 

n 1

a n1
 n 1 


x1  x2  ...  xn  n 

n 1

an
  a  x1  a  x2  ...  a  xn 
n

Chứng minh hoàn toàn tương tự như tổng quát trên !

Từ đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản , đơn giản ta có thể tạo vơ số bài tốn !
Để kết thúc phần I tơi xin đưa thêm một số bài toán làm theo phương pháp này :
************* Một số bài toán ************

I1 . Cho
I 2 . Cho

xx, y, zy 0z  3
xx.,yy.,zzx0 y  z  2
2

2

2

. Chứng minh rằng : x  y  z  27 xyz  30
. Chứng minh rằng : x  y  z  6

Hướng dẫn : Từ bất đẳng thức bunhiacopxki , Svac – xơ và đẳng thức:

x 2  y 2  z 2  2( xy  xz  yz )   x  y  z 

2

I 3 . Cho x, y, z nằm trong đoạn 1; 2 Cmr : 0  xy  yz  zx  ( x  y  z )  6
x
y
z
3
4

I 4 . Cho x, y , z  0 . Chứng minh rằng: 2  2  2 
x. y.z  1
y
z
x
x yz
 x, y, z  0
1
1
1
108
1 . Chứng minh rằng:
I 5 . Cho 



x yz 
x  x2 y  y 2 z  z 2
5

2
1 27
x y
1 4 27


với mọi x, y thuộc R
I 6 . Chứng minh rằng:  4
2 2 1  x4  y 4 2 2
HD: đặt t = x  y



x yz 3
.
I 7 . Cho 
 x, y , z   0; 2 
Chứng minh rằng:

27
1
1
1



2
2
2
 x  2  y  2  z  2  4  x 4  y 4  z 2
2

HD: đặt t =  x  y  z 

2

2

- 11 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức



1
4
4
4
I 8 . Cho x, y, z  0 . Chứng minh rằng: x  y  z   y  z  x   z  x  y  
x  y  z 1
12
HD: Giả sử x  y  z  0 . Đặt t = x( y + z ) ta chúng minh được
x  y  z   y  z  x   z  x  y   t (1  3t )
4



4

4

2
2
2
I 9 Cho x  y  z  xyz  4 . Chứng minh rằng: x  y  z  3
x, y , z  0



x, y, z   0;1
xy  yz  zx  x  y  z
x2
y2
z2
Chứng minh rằng:


3
( y  z  x) 2 ( z  x  y ) 2 ( x  y  z ) 2

I10 . Cho

 Nhận xét 3:

- Nếu chứng minh g(t)  0 bằng cách biến đổi như trên thì trước tiên phải dự đoán
được dấu bằng xảy ra tại đâu để giá hay tách nhóm hợp lý.
- Khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện sát của ẩn phụ đặc biệt là chứng minh g(t) bằng
phương pháp đạo hàm.
II. MỘT BIẾN LÀ x( y hoặc z)
- Ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ, sau đây ta xét một lớp bài tốn mà
ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z
1. Đưa về một biến nhờ điều kiện :



8

 Bài toán 8: Cho x  y  z  1 . Chứng minh rằng: xy  yz  zx  xyz 
x, y , z  0
27

Hướng dẫn.
Từ điều kiện bài toán ta thấy 0  z  1  1  z  0
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

 x y
xy  yz  zx  xyz  z ( x  y )  xy (1  z )  z ( x  y )  
 1  z 
2 

2
 z3  z2  z  1
1 z 
 xy  yz  zx  xyz  z (1  z )  

 1  z  
2 
4

2
1
1 
5 8
8 Với mọi z, 0  z  1
 z  z 

4

3 
3  27 27
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =  đpcm
3
 Bài toán 9: Cho x  y  z  3 . Chứng minh rằng: 5  xyz  2  xy  yz  zx 
x, y , z  0
2



Hướng dẫn.
Khơng mất tính tổng qt giả sử z = min(x,y,z)
Từ điều kiện dễ thấy 0  z  1
- 12 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn

(9)


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

 x y
(9)  5  xy ( z  2)  2 z ( x  y )  0  5  
  z  2  2 z( x  y)  0
2



2
2
3
z  1  z  2 

z  3z  2
 3 z 
 5
0
0
  z  2   2 z (3  z )  0 
24
4
4


Đúng với z   o;1 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1  đpcm
 Nhận xét 4:
- Nếu lấy điều kiện 0  z  3 thì bất đẳng thức đánh giá biểu thức trên là không đúng.
2

Ở đây chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế điều kiện của biến để có thể đánh
giá được biểu thức.
- Ta có bài tốn Tổng qt của bài tốn 9 sau:


 x  y  z  3; x, y , z  0
4
a
Bài toán 9’. Cho 

a  0; b  0;  

3
b

Chứng minh rằng: a ( xy  yz  zx)  bxyz  (3a  b)  0

Hướng dẫn.
Khơng mất tính tổng qt giả sử z = min(x,y,z)

3a
 4  0 . Ta có:
b
a ( xy  yz  zx)  bxyz  (3a  b)  xy ( a  bz )  az ( x  y )  (3a  b) 
2
3  z

1
3a

 a  bz   az (3  z )  (3a  b)  b( z  1) 2  z   4   0
4
4
b


a
Chú ý: Nếu  3 thì việc chứng minh bài tốn tổng qt khơng cần sử dụng tính nhất 1
b

Từ điều kiện dễ thấy 0  z  1  a  bz  0; z 

Thay đổi hình thức bài tốn:
2
- Sử dụng đẳng thức x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)   x  y  z  ta có thể đưa bài

tốn trên về bài tốn tương đương nhưng hình thức khác:
Chẳng hạn bài tốn 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương :
Cho

xx,y,yzz0 3

. Chứng minh rằng: x 2  y 2  z 2  xyz  4

Hay sử dụng đẳng thức: x 3  y 3  z 3  3 xyz   x  y  z   x  y  z   3( xy  yz  zx) 



Bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng :
Cho

xx,y,yzz0 3

2



. Chứng minh rằng: 2( x 3  y 3  z 3 )  3 xyz  9

- Đặt ẩn phụ : a = mx; b = my; c = mz hoặc a 

1
1
1
; b  ; c  ..v..v..
x
y
z
- 13 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Chẳng hạn : bài tốn 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương




 Cho x  y  z  1 . Chứng minh rằng: 5  27 xyz  18( xy  yz  zx)
x, y , z  0
 Cho xyz  xy  yz  zx .Chứng minh rằng: 5 x 2 y 2 z 2  27 xyz  18( x 2  y 2  z 2 )
x, y , z  0

- Sử dụng tính chất bắc cầu và bất đẳng thức ta có:
Chẳng hạn bài 9: Từ bất đẳng thức Côsi: x 3  y 3  z 3  3 xyz
Ta có bài tốn

xx,y,yzz0 3

. Chứng minh rằng: x 3  y 3  z 3  15  6( xy  yz  zx)

) Từ cách chứng minh bài toán tổng quát trên ta có bài tốn Tương tự:

 x  y  z  3; x, y , z  0
2
a
Bài toán 9”. Cho 
.
a  0; b  0;  

3
b

Chứng minh rằng: a ( xy  yz  zx)  bxyz  (3a  b)  0
Chú ý: Để chứng minh : sử dụng Tính chất 1 với z = max(x,y,z)
Đặc biệt hóa ta có bài tốn:
Với a = 1; b = - 2: Cho

xx,y,yzz0 3

. Chứng minh rằng: xy  yz  zx  2 xyz  1

Sau đây ta xét tiếp một số bài tốn sử dụng tính chất này để làm hạn chế phạm vi
của biến:



 Bài toán 10: Cho x, y, z   0; 2 . Chứng minh rằng: x 3  y 3  z 3  9

x yz 3

Hướng dẫn.
Khơng mất tính tổng qt, giả sử z = max ( x,y,z)
Từ điều kiện  1  z  2 . Ta có:

x 3  y 3  z 3  x 3  y 3  3 xy ( x  y )  z 3  ( x  y )3  z 3  (3  z )3  z 3 
 9 z 3  27 z  27  9( z  1)( z  2)  9  9
Với z ,1  z  2
Dấu bằng xảy ra khi ( x,y,z ) = ( 0, 1, 2) và hoán vị của nó  đpcm
 Bài tốn 11: Cho x  y  z  3 . Chứng minh rằng: 2  x 2  y 2  z 2   x 2 y 2 z 2  7
x, y , z  0



Hướng dẫn.Ta có :

 x  1 y  1   y  1 z  1   z  1 x  1  
2
  x  1 y  1 z  1   0

Do đó trong ba số  x  1 y  1 ;  y  1 z  1 ;  z  1 x  1 có ít nhất 1 số khơng âm.
- 14 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Giả sử  x  1 y  1  0  xy  x  y  1 . Ta có:

2( x 2  y 2  z 2 )  x 2 y 2 z 2   x  y   2 z 2   x  y  1 z 2 
2
2
 3  z   2z 2   2  z  z 2  z 4  4z3  7 z 2  6z  9 
 ( z  1) 2 ( z 2  2 z  2)  7  7
 x  y  z  3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( x  1)( y  1)  0  x  y  z  1
2
2
( z  1) ( z  2 z  2)  0
 điều phải chứng minh
2

2

Bằng cách sử dụng tính chất ta có thể tạo ra các bài tốn mới

 x. y.z  1
17

 1  . Chứng minh rằng: xy  yz  zx 
chẳng hạn. Cho 
x, y , z   ; 4 
4

2 



************* Một số bài toán ************

II1 . Cho x  y  z  1 .
x, y , z  0

a ). y  z  16 xyz
Chứng minh rằng: b).xy  yz  zx  9 xyz
c).9 xyz  1  4( xy  yz  zx)



. Chứng minh rằng: 3( x  y  z )  xyz  10
II 2 . Cho x, y , z  0
xy  yz  zx  3


2
x
y
2 2


II3 . Cho x, y  0;
 . Chứng minh rằng:
2
2
1 y 1 x
3
 2 
2

x
y
2x
HD: Giả sử 0  y  x 
ta đi chứng minh


2
2
2
1  y 1  x 1  x2
II 4 . Cho x  y  z  1 . Chứng minh rằng:
x, y , z  0
2
x 1 y2 1
z2 1
7
 2

a). 2
+ 2
y 1 z 1
x 1
2
n
n
n
x 1 y 1
z 1
7



b).
+
yn 1 zn 1
xn  1
2



- 15 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Hướng dẫn.
Giả sử x = max(x,y,z)

1
x2  1 y 2  1 z 2  1
y2 1 z2 1
2
2
+
1
3
y
z









1
y 2  1 z 2  1 x2  1
x2  1
x2  1
1
1
 3  ( y  z )2  2
 x2  2x  4  2
x 1
x 1
Câu b tương tự !

II5 . Cho



x, y, z   0; 2
. Chứng minh rằng: x n  y n  z n  2n  1
x yz 3

2. Đưa dần về một biến:
Từ biểu thức P có n biến ta đánh giá đưa về ( n - 1) biến … và cuối cùng về 1 biến . Sau

đây ta xet một số ví dụ đặc trưng thể hiện phương pháp này:
 Bài toán 12: Cho x, y, z nằm trong đoạn 1; 2
Chứng minh rằng: x 3  y 3  z 3  5 xyz
Hướng dẫn.
Đặt f ( x, y, z )  x 3  y 3  z 3  5 xyz
Khơng mất tính tổng qt giả sử : 2  x  y  z  1

f ( x, y, z )  f ( x, y,1)  z 3  5 xyz  (1  5 xy )  ( z  1)(1  z  z 2  5 xy )  0
Vì : z  1  0 nên 1  z  z 2  5 xy  1  z  z 2  5 z 2  1  z  4 z 2  4( z  1) 2  3 z  1  0
Mặt khác : f ( x, y,1)  f ( x,1,1)  y 3  5 xy  (1  5 x)  ( y  1)(1  y  y 2  5 x)  0
Vì: y  1  0
nên 1  y  y 2  5 x  1  y  y 2  5 y  y 2  4 y  1  ( y  1)( y  2)  y  1  0
Vậy f ( x, y, z )  f ( x,1,1)  x 3  5 x  2  ( x  2)  x  1  2   0 x,1  x  2



2

Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = ( 2, 1, 1)
và hoán vị của (2, 1, 1)
 điều phải chứng minh
 Bài toán 13: ( đây là bài toán số 9 )
Cho

xx,y,yzz0 3



. Chứng minh rằng: 5  xyz  2  xy  yz  zx 

Hướng dẫn
Đặt P( x, y, z) = 2( xy + yz + zx ) – xyz
Ta cần chứng minh f  x, y, z   5 . Do vai trò của x, y, z trong f là như nhau nên theo
tính chất 2 ta giả sử 0  x  y  z kết hợp điều kiện ta dễ dàng suy ra 0  x  1
- 16 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Xét :

yz yz
,
)
2
2
yx
( y  z )2
 y  z ( y  z )2
 2( xy  yz  xz )  xyz  2  x

x

 x
2
4
2
4



yz yz
1
3 x 3 x
2
 ( x  2)( y  z )  0  f ( x, y, z )  f ( x,
,
)  f ( x,
,
)
4 3
2
2
2
2
 x  3x  2

4
 x3  3x  2
( x  1) 2 ( x  2)
 f ( x, y , z ) 
55  5
5
x;0  x  1
4
4
 x  2  y  z 2  0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 x  y  z 1

x  1
 điều phải chứng minh.
 Bài toán 14: Cho x, y, z là số dương . Chứng minh rằng : x 3  y 3  z 3  3 xyz
f ( x, y , z )  f ( x,

Hướng dẫn.
Khơng mất tính tổng qt , giả sử z  y  x  0
Đặt f ( x, y, z )  x 3  y 3  z 3  3 xyz
Ta có:

f ( x, y , z )  f ( x, y ,



 z

xy

 z

2

xy )  z 3 





xy



3

 3 xy

 z xy  2 xy  0 vì z 

Mặt khác: Đặt g ( x, y )  f ( x, y ,

g ( x, y )  g ( x, x )  y 3  x 3  2



xy )  x 3  y 3  2

 

 xy   x 6 
3


xy

 xy 

y 3  x3



xy  z 



2

3

0

Vậy f ( x, y, z )  f ( x, y, xy )  g ( x, y )  g ( x, x)  0


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  z 
 điều phải chứng minh.
 Nhận xét :

x  y

xy  x  y  z

- Khi đưa biểu thức 3 biến về 2 biến hay 1 biến thường xét hiệu biểu thức của bất đẳng
thức và biểu thức đó với x ( hoặc y hoặc z ) thay bởi trung bình nhân hoặc trung bình cộng
- thường ta phải sử dụng tính chất 2 mới có đánh giá được.

- 17 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
************* Một số bài toán ************
II 6 . Cho

xx.,yy.,zz10

Chứng minh rằng :  x  y  y  z  z  x   4  x  y  z  1
II 7 . Cho

xyx, y, zyz0 zx  6 xyz  9

Chứng minh rằng : x  y  z  3 xyz  6

x , y , z  0

2
2
2
II 8 . Cho x  y  z  3

Chứng minh rằng : a ).xy  yz  zx  9 xyz

b).9 xyz  1  4  xy  yz  zx 



II 9 . Cho x, y   0;



x
y
2 2
2


 . Chứng minh rằng :
1  y 2 1  x2
3
2 

1 

x

y

z

7




II 10 . Cho x, y   ;3 . Chứng minh rằng :
x y yz zx 5
3 
II 11 . Cho x, y, z là số dương chứng minh rằng :
xyz  2( x 2  y 2  z 2 )  8  5( x  y  z )

xy  yz  zx  3
II 12 . Cho
x, y , z  0
Chứng minh rằng : 3( x  y  z )  xyz  10
2
2
2
II 13 . Cho x  y  z  3
x, y , z  0
Chứng minh rằng : x  y  z  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2
2
2
2
x

y

z
3
II 13 . Cho
x, y , z  0
Chứng minh rằng : 7( xy  yz  zx)  12  9 xyz






III. KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TRONG LƯỢNG GIÁC
Ở trên là những bất đẳng thức trong đại số. Vậy trong lượng giác liệu có thể đánh giá

khơng ? sau đây ta xét một số ví dụ trong lượng giác.
 Bài toán 15: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có :

sin A  sin B  3 sin C 

4
6 (15)
3
- 18 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
Hướng dẫn.

(15)  sin A  sin B  3 sin C  2sin
Đặt cos

A B
A B
C
 3 sin C  2cos  3 sin C
cos
2
2
2

C

 t  0  t 1
2

Ta có:

C
C
C
C
 3 sin C  2cos  2 3 cos sin 
2
2
2
2
C
C
2
 2cos (1  3 sin )  2t 1  3(1  t )
2
2
2cos





Áp dụng bất đẳng thức côsi :





3
1
3(1  t 2 )  2t  1  .2
(1  t 2 )   2t 1 
2
3



6 2
4
4
 3t 2  6t  (t 
) 3t  2 6 
6
6
3
3
3
15' đúng với mọi t > 0
4
Vì vậy sin A  sin B  3 sin C 
6
3
A B

1
cos


2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

6
C
cos 
 cos 
2
3

 điều phải chứng minh.



2t 1 







31
2 

1

t

 

23

(15’)

CA  B2 

 Bài toán 16: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1  cos A1  cos B 1  cos C   cos A cos B cos C

(16)

Hướng dẫn.
+). Nếu tam giác có góc vng hoặc góc tù thì bất đẳng thức ln đúng
+). Nếu tam giác là nhọn, ta có:

1  cos A 1  (cos B  cos C )  cos B cos C
1
.
cos A
cos B cos C
BC
B C


1

2
cos
cos



1  cos A
2
2


1

 1
cos A  1 cos( B  C )  cos( B  C )

 
2


(16) 

16'

- 19 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

A
A



2 A



1
2sin
2
4sin
2sin
1  cos A 
2  1 
2
2
 VT (16') 
1

cos A  (1  cos A) 
cos A
2

Ta có :
2

A

A
A
A
A

2  4sin  2sin 2
1  4sin  4sin 2
1  2sin 
2
2
2 1
2
2 0 
0
cos A
cos A
cos A

16’’

Vì tam giác nhọn nên (16’’) ln đúng . Do đó (16) đúng

B C

cos 2  1
 A BC
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
A
1  sin  0
2

 điều phải chứng minh.
* Trong tam giác ABC ta có điều kiện là A  B  C  1800

Nên gợi ý cho chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế vi biến từ đó có thể đánh giá

được biểu thức.
Sau đây là một ví dụ :
 Bài tốn 17: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có :

3(cos A  cos B  cos C )  2(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A)

(17)

Hướng dẫn.
Khi hoán vị ( A, B, C ) thì bđt ( 17) khơng thay đổi do đó khơng mất tính tổng qt
Giả sử : A = min ( A, B, C ). Vì A  B  C  1800  3A .

A
3
 cos  1
2
2
T  3(cos A  cos B  cos C )  2(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A) 
BC
B C 

 3  cos A  2 cos
cos
  cos( B  C ) 
2
2 

BC
B C
 cos( B  C )  2sin A.2sin


cos
2
2
B C 
A
A
 2 cos A  cos

 cos( B  C )
A
6sin
4sin
cos
2 
2
2 
A
3
A
A
A
Vì sin  0,
 cos  1  6sin  4sin A cos 
2
2
2
2
2
A

A
 2sin (3  4cos 2 )  0
2
2
Nên 00  A  600 

- 20 -

Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN
DeThiMau.vn