Chuyên đề Phương pháp hàm số53985

Phương pháp hàm số
Phương trình và hệ phương trình bất
phương trình
Bài 1 (KD_2006)
CMR với mọi a>0 Hệ phương trình sau cã nghiÖm duy nhÊt
e x  e x  ln(1  x)  ln(1  y ) (1)

(2)
y  x a

HD
ĐK x,y>-1
Từ (2) thay và (1) chỉ ra f(x)>0 khi a>0 và x>-1
F(x) đồng biến và liªn tơc (-1;+∞)
Limf ( x)   Limf ( x)

x 1
x

Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2 (KD_2004)
CMR phương trình sau có đúng một nghiÖm

x5  x 2  2 x  1  0

Bài 3 (Đề DB _2004)
CMR phương trình sau có đúng mét nghiÖm duy nhÊt
x x 1  ( x  1) x

Bài 4 (Đề DB _2004)
f ( x) e x sin x

x2
.
2 Tìm GTNN của hàm số và CMR

Cho hàm số
phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm

cosx
cosx
Bài 5 Giải phương trình 1 cos x (2 4 ) 3.4
y
y
HD: Đặt cosx=y , -1y1 theo bài ra ta có phương trình 1 y (2  4 )  3.4

f ( y) 

3.4 y
 y 1 0
2 4y
Tính f(y)=0 là phương trình bậc 2 theo

hay f(y)=0 với
4y có không quá 2 nghiệm . Vởy theo định lý Rolle thì phương trình f(y)=0 có
không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phương
trình f(y)=0 : suy ra phương trình đà cho có nghiệm là . . . .
Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho

f ( x )  m  1 6 x 

2
 2m  1
6x

voi moi x 0;1
Tìm m để ( x 6 ). f ( x)  0
HD: x=1 bÊt ph­¬ng trình thoả mÃn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao
cho bất phương trình thoả mÃn với mọi x thuéc [0;1)
1 x

x

1 x

h( x )  x  6

1
 x  6 
 6  lµ hµm sè đồng biến và h(1)=0 thì h(x)<0 với

Chú ý
mọi x thuộc miền đang xét . Do đó chỉ ccần tìm m sao cho f(x) 0 với mọi x
Đặt t=6x sử dụng BBT trên [1;6] dáp số m1/2

DeThiMau.vn


Bài 7 Cho phương trình x 1 3 x
1) Giải phương trình khi m=2
2) Tìm m để phương trình có nghiệm

3 x x  1  m

HD x  1 x  3 2 2  2  m  2

2
Bµi 8 Cho phương trình cos2 x m cos x 1 tgx
1) Giải phương trình khi m=1


x 0;
3
2) Tìm m để phương trình có nghiệm thuéc
1 t2
f (t ) 
m
t  0; 3 
1 t
HD Đặt t=tgx
Đưa phương trình về dạng
2
m 1
1

3
Chỉ ra f(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS

Bài 9 Cho phương trình
x2  4x  3 

x
m
2

BiÖn luËn theo m sè nghiÖm của phương trình
HD: D ;1 3; 
f ( x)  x 2  4 x  3 

x
m
2

LËp BBT:
KL:
m<-1/2 v« nghiƯm
 3 1
m    ;   cã 1 nghiÖm duy nhÊt
 2 2
 1

m    ;   cã 2 nghiÖm
 2


Chứng minh bất dẳng thức
Bài 1 Chứng minh rằng
nghuyên lớn hơn 1 và
HD: Xét hàm số

sin 2 x

sin nx
...
sin nx
2
n
trong đó n là số

sin x

0 x


n

f ( x)  sin x 

sin 2 x
sin nx
 
 ... 
 sin nx voi x  0; 
2
n
 n

DeThiMau.vn


Lấy đạo hàm f '( x ) cos x  cos 2 x  .....  cos n  n cos nx Dễ thấy y=cost nghịch
n

biến trên [0;) và cost=0 khi t=0 tõ ®ã
 

f '( x )   (cos ix  cos nx )  0
i 1

Suy ra hàm

0; n
nên f(x)>0

số f(x) tăng thực sự trên

Bài toán cực trị
Bài 1 (Đề DB _2004)
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình
x my  2  4m

2
2
mx  y  3m  1 T×m GTLN cđa biĨu thøc A  x  y 2 x khi m thay đổi

Bài 2 (KB_2006)
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau
A

 x  1

2

 y2 

 x  1

2

 y2  y  2

HD
XÐt M(1-x;y) vµ N(1+x;y) ta cã OM+ON≥MN
Suy ra

 x  1

2

 y2 

 x  1

2

 y2  4  4 y2

xµy ra khi x=0

A  2 1  y 2  y  2  f ( y ) LËp B¶ng biÕn thiên khi y>2 và y<2
1
min A 2  3 khi ( x; y )   0;


3

Qua BBT suy ra

Bài 3 (Đề DB _2004)
x2
f ( x) e sin x .
2 Tìm GTNN của hàm số và CMR
Cho hàm số
x

phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
4
2
Bài 4: Tìm GTNN của hàm số f ( x)  cos x  sin x  cos x.sin x

sin 2 2 x sin 2 x

 1 Dat t  sin 2 x
4
2
HD
ĐS ẳ
4
2
Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm sè f ( x)  cos x  sin x  cos x.sin x
f ( x)  

sin 2 2 x sin 2 x


 1 Dat t  sin 2 x
4
2
HD
víi t thuéc [-1;1]
3
a
f (t )   t 2  t  1
4
2
T×m GTLN,GTNN cđa f(t) theo tham sè a
f ( x)  

V× f’(t) cã nghiƯm t=a/3 so sánh với 1 ĐS

yLN

2
a a
f
1
3 12

y NN

1 a
 4  2 neu  3  a  0
 min  f (1); f (1)   
 1  a neu 0  a  3

4 2

Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hµm sè

DeThiMau.vn


Chú ý
Nêu định nghĩa của đạo hàm
5 x 3 x2 7
A lim
x 1
x2 1
(ĐHTCKT 2001)
Bài 1 TÝnh giíi h¹n
3 2
HD : f ( x)  5  x  x  7  f 1  0

f ' x 

2x
1
5

 f ' 1 
2
2
12
2 5  x 3 3 ( x  7)

f  x   f 1
f ' 1 5
x 1
x 1


A
lim  x 1
2
24
lim

Suy ra

x 1

Bài 2 Tính giới hạn
HD :

A lim
x 0

2 x  1  3 x2  1
sin x
(§HQGHN 2000)

f ( x)  2 x  1  3 x 2  1  f  0   0
f ' x 

Suy ra

1
2x
sin x

 f ' 0  1
lim
1
2 x  1 3 3 ( x 2  1) 2
v× x0 x

f  x   f  0
f ' 0
x0
A  lim

0
x 0
sinx
1
x

Bµi 3 TÝnh giíi h¹n

1  2 x  1  sinx
x 0
3x  4  2  x

A  lim

(§H GTVT 1998)

HD : f ( x)  1  2 x  1  sinx  f  0   0, f '  0   0
g  x   3 x  4  2  x  g  0   0, g '  0   

Suy ra

f  x   f  0
f ' 0
x0
A  lim

0
x 0 g  x   g 0
g ' 0
x0

Bài 4 Tính giới hạn

esin 2 x esin x
x 0
sin x

A lim

(ĐH Hàng H¶i 1999)

sin 2 x
 esin x  f  0   0,
HD : f ( x)  e

Suy ra

1
4

esin 2 x  esin x
f ' 0
x0
A  lim

1
x 0
sin x
1
x

DeThiMau.vn


Bài 5 Tính giới hạn
A lim
x



4

tgx 1
2sin 2 x 1

3

(ĐH Hàng Hải 1999)

2


f ( x)  3 tgx  1  f    0, g  x   2sin x  1  g    0,
4
4
HD :
 
f '  2
1
4
A    3 
  2 3
g '
4

Suy ra
Bài 6 Tính giới hạn

x
A lim

2

2001 9 1 5 x 2001

x 0

(ĐH Hàng Hải 1999)

x

2
9
HD : f ( x)   x  2001 1  5 x  2001  f  0   0,

A  lim

f  x   f  0

x 0

x0

f ' 0

Bài 7 Tính các giíi h¹n sau

5.2001
9

a x  xa
(a  0)
xa x  a

2 x  23  x  6
lim
x2
2 x  21 x

lim

x 2  x  1  3 x3  1
lim
x 0
x
x2
3  cos x
lim
x 0
x2
(§HSP2 2000)
3

e 2 x  3 1  x 2
lim
x 0
ln(1  x)
2

1  2 x 3 1 3x
lim
x 0
x2
(ĐH Thuỷ Lợi)

DeThiMau.vn