Luận văn Thạc sĩ Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học hệ thức lượng trong tam giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG

LƯU CHÍ TÀI

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA
TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10
THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC”

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG

LƯU CHÍ TÀI

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA
TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10
THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC”

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CHUYÊN NGÀNH: LL & PP DH BỘ MƠN TỐN
MÃ SỐ: 8 14 01 11
Người hướng dẫn khoa học: TS. Đồn Quang Mạnh

HẢI PHỊNG - 2021


i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin được cam đoan : Đề tài “Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn
học cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam
giác”” được tiến hành công khai, dựa trên sự cố gắng, nỗ lực của tôi, dưới sự
hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn Quang Mạnh.
Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong đề tài là trung thực và hồn
tồn khơng có sao chép hoặc sử dụng kết quả của đề tài nghiên cứu nào khác.
Nếu phát hiện có sự sao chép kết quả nghiên cứu của đề tài khác, tơi xin hồn
tồn chịu trách nhiệm.
Hải Phịng, ngày

tháng

Tác giả đề tài

Lưu Chí Tài

năm 2021

ii
LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành luận văn này, khơng chỉ có sự nỗ lực cố gắng hết mình
nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo của bản thân, mà tác giả cịn nhận được sự
giúp đỡ, hướng dẫn, động viên, khích lệ của các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp
và người thân. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học
Hải Phịng đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian tôi
học tập và nghiên cứu tại trường. Bằng tình cảm trân trọng và lịng biết ơn sâu
sắc, tơi xin được gửi lời cảm ơn tới TS. Đồn Quang Mạnh – Phó Hiệu
Trưởng Đại học Hải Phòng đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ
tơi trong q trình nghiên cứu và hồn thành luận văn. Xin cảm ơn gia đình,
nhà trường, các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ, động viên, giúp
đỡ tơi hồn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn
vẫn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự đóng góp ý kiến của các
thầy cơ giáo, bạn bè, đồng nghiệp và những bạn quan tâm tới vấn đề này để
luận văn được hoàn thiện tốt hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hải Phịng, ngày

tháng

Tác giả luận văn

Lưu Chí Tài

năm 2021


iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ ii
MỤC LỤC ....................................................................................................iii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT ......................................................................... v
DANH MỤC BẢNG, BIỂU .......................................................................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH ............................................................................ vii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 10
1.1. Cơ sở lí luận .......................................................................................... 10
1.1.1. Mơ hình và mơ hình hóa ..................................................................... 10
1.1.2. Tốn học hóa và mơ hình hóa Tốn học ............................................. 15
1.1.3. Năng lực mơ hình hóa Tốn học ......................................................... 27
1.2. Cơ sở thực tiễn ...................................................................................... 34
1.2.1. Mạch kiến thức về “Hệ thức lượng trong tam giác” trong mơn Tốn phổ
thơng ............................................................................................................ 34
1.2.2. Một số dạng toán về hệ thức lượng trong tam giác ở THPT................ 37
1.2.3. Thực trạng dạy học mơ hình hóa ở trường phổ thông ......................... 38
CHƯƠNG 2. BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA
TỐN HỌC CHO HS LỚP 10 THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ
THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC” ....................................................... 43
2.1. Nguyên tắc xây dựng biện pháp............................................................. 43
2.1.1. Đảm bảo tính mục tiêu........................................................................ 43
2.1.2. Đảm bảo tính khoa học, hệ thống và tính vừa sức............................... 43
2.1.3. Đảm bảo tính thống nhất giữa tính vững chắc của tri thức với tính mềm
dẻo của tư duy .............................................................................................. 43
2.1.4. Đảm bảo tính thực tiễn. ...................................................................... 44
2.1.5. Đảm bảo tính khả thi. ......................................................................... 44


iv

2.2. Biện pháp phát triển năng lực Mơ hình hóa Tốn học cho học sinh lớp 10
thơng qua dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”........................... 44
2.2.1. Biện pháp 1. Hệ thống kiến thức của chủ đề: “Hệ thức lượng trong tam
giác”............................................................................................................. 44
2.2.2. Mục đích biện pháp ............................................................................ 44
2.2.3. Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống các bài tốn từ cơ bản đến nâng cao sử
dụng mơ hình hóa tốn học .......................................................................... 52
2.2.4. Biện pháp 3. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng phát triển xây dựng tình
huống thực tế từ bài tốn có yếu tố thực tiễn thômg qua chủ đề: “Hệ thức
lượng trong tam giác”................................................................................... 69
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................. 75
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm....................................................... 75
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 75
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ....................................................................... 75
3.2. Kế hoạch, đối tượng và cách thức tiến hành thực nghiệm ...................... 76
3.2.1. Thời gian, đối tượng thực nghiệm....................................................... 76
3.2.2. Cách thức tiến hành thực nghiệm........................................................ 77
3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm............................................................. 77
3.4. Kết quả thực nghiệm và đánh giá........................................................... 78
3.4.1. Về mặt định lượng.............................................................................. 78
3.4.2. Về mặt định tính ................................................................................. 79
KẾT LUẬN.................................................................................................. 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 82


v
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Giải tích

MHH

Mơ hình hóa

NL

Năng lực

HS

Học sinh

DH

Dạy học

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng


vi
DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG BIỂU
Số
hiệu

Tên bảng

Trang

bảng
1.1

Các hoạt động của q trình Tốn học hóa

16

1.2

Quy trình MHH (Pollak, 1979)

19

1.3

Quy trình MHH (theo Swetz & Hartzler 1991)

19

1.4

Quy trình MHH (theo Blum và Leiβ, 2006)

20

1.5

Sơ đồ quy trình mơ hình hóa theo Stillman, 2007

22

1.6

Quy trình MHH mơ phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown,
Edwards

23

1.7

Cơ chế điều chỉnh q trình MHH trong DH Tốn

25

1.8

Các bước tổ chức hoạt động mơ hình hóa

26

3.1

Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

78

3.2

Biểu đồ tỷ lệ phần trăm kết quả điểm của bài kiểm tra

78


vii
DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu
Tên hình
hình
2.1
Hình minh họa hệ thức lượng trong tam giác vng

Trang
45

2.2

Hình minh họa hệ thức lượng trong tam giác vng

48

2.3

Hình minh họa hệ thức trong tam giác

48

2.4

Hình minh họa tính độ dài đường trung tuyến

49

2.5

Hình minh họa bài tốn 1

53

2.6

Hình minh họa cho lời giải bài tốn 1

54

2.7

Hình minh họa cho lời giải bài tốn 1

55

2.8

Hình minh họa cho bài tốn 2

57

2.9

Hình minh họa cho lời giải bài tốn 2

58

2.10

Hình minh họa cho bài tốn 3

59

2.11

Hình minh họa cho lời giải bài tốn 3

60

2.12

Hình minh họa cho bài tốn 5

61

2.13

Hình minh họa cho bài tốn 6

63

2.14

Hình minh họa cho bài tốn 7

64

2.15

Hình minh họa cho bài tốn 8

64

2.16

Hình minh họa cho bài tốn 8

65

2.17

Hình minh họa cho bài tốn 9

65

2.18

Hình minh họa cho bài tốn 10

66

2.19

Hình minh họa cho bài tốn 11

67

2.20

Hình minh họa cho bài tốn 12

67

2.21

Hình minh họa cho bài tốn 14

68

2.22

Hình minh họa cho bài tốn 15

68

2.23

Hình minh họa cho bài tốn 16

70

2.24

Hình minh họa cho bài tốn 17

71

2.25

Hình minh họa cho bài toán 18

73


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài nghiên cứu
Hiện nay, với sự phát triển của cuộc cách mạng 4.0, sự thay đổi mạnh
trong phát triển kinh tế - xã hội theo xu hướng tồn cầu hóa, do vậy mà xu
hướng giáo dục cũng có sự chuyển hóa để phù hợp với thời đại. Đặc biệt, đó
là sự thay đổi quan trọng vai trò của người học và người dạy, đổi mới phương
pháp dạy học, nội dung dạy học với mục đích nâng cao chất lượng giảng dạy.

Trong dạy học theo truyền thống, người dạy chủ yếu cung cấp kiến thức cho
người học bằng hình thức thuyết trình, đọc, diễn giảng độc thoại thì hiện nay
người dạy đóng vai trị là người định hướng, người hướng dẫn cho người học
tìm hiểu và khám phá kiến thức mới. Với sự thay đổi này, người học chủ động
tiếp nhận và lĩnh hội tri thức, tích cực khám phá, rèn luyện bản thân để từ đó
người học có khả năng nghiên cứu, tìm và giải quyết vấn đề, vận dụng vào
thực tiễn. Cùng với sự thay đổi về vai trò của người học và người dạy cũng là
sự đổi mới trong phương pháp dạy học phù hợp. “…Phát triển giáo dục và
đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển
mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn
diện phẩm chất và năng lực người học. Học đi đôi với hành, lí luận gắn với
thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã
hội…” nội dung này đã được nêu rõ trong nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày
04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung Ương
khóa XI [1]. Trong chương trình mơn Tốn 2018 đã đặc biệt chú trọng tính
ứng dụng của Tốn học vào thực tiễn, gắn với xu thế phát triển kinh tế - xã
hội. Do vậy, việc phát triển năng lực mô hình hóa là cần thiết đối với học sinh
hiện nay, đặc biệt là phát triển năng lực mơ hình hóa toán học. Năng lực này
được thể hiện qua việc xác định được mơ hình hóa tốn học cho từng tình
huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn, giải quyết được những vấn đề tốn
học trong mơ hình được thiết lập [2]. Khi đó HS được đặt vào các tình huống


2
có các vấn đề thực tiễn phong phú của một bài tốn hay một mơ hình hóa tốn
học thích hợp, từ đó vận dụng kỹ năng và kiến thức tốn để giải quyết vấn đề
trong tình huống. Phương pháp dạy học đổi mới, dạy học thông qua các hoạt
động trải nghiệm, những hoạt động mà ở đó học sinh vận dụng kỹ năng và
kiến thức để giải quyết các vấn đề, tạo động lực cho người học tìm tịi, khám
phá, từ đó phát triển năng lực của học sinh. Một trong những năng lực mà

được nhiều quốc gia trên thế giới cũng như Việt Nam đang được chú trọng
trong chương trình mơn Tốn phổ thơng là năng lực mơ hình hóa. Năng lực
này được hình thành thơng qua q trình học sinh tìm hiểu, khám phá các tình
huống có tính thực tiễn được xây dựng trên các công cụ và ngơn ngữ tốn
học. Mơ hình hóa giúp học sinh nhận biết và hiểu được ý nghĩa, vai trị của
tốn học đối với đời sống thực tế, phát triển khả năng phân tích suy luận và
giải quyết các vấn đề tốn học, phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ
các kiến thức tốn với các mơn học khác. Mơ hình hóa trong dạy học Tốn là
q trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực
tiễn bằng cơng cụ và ngơn ngữ Tốn học với sự hỗ trợ của công nghệ thông
tin. Quá trình này địi hỏi học sinh cần có các kĩ năng và thao tác tư duy Tốn
học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa [3].
MHH Toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi
giữa Toán học và thực tế theo cả hai chiều. Vì vậy địi hỏi HS phải có nhiều
năng lực khác trong các lĩnh vực Toán học cũng như có kiến thức liên quan
đến tình huống thực tế cần xem xét.
Đối với chương trình Tốn học THPT chủ đề “Hệ thức lượng trong tam
giác” được các GV khai thác còn rất hạn chế đặc biệt chỉ dừng lại ở trường
hợp tam giác vuông mà chưa thực sự chưa vận dụng theo hướng phát triển
năng lực cho HS THCS. Sang đến THPT, HS được trang bị nhiều công thức
hơn, tuy nhiên các bài toán mới chỉ dừng lại giải tam giác, chưa chủ đề vẫn
chưa được vận dụng theo hướng phát triển năng lực cho HS đặc biệt là năng
lực MHH Tốn học. Chính vì vậy khi gặp các bài tốn mà có liên quan đến


3
năng lực MHH Toán học trong dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong tam
giác” khiến cho cả HS và cả GV còn thực sự lúng túng.
Từ những lý do trên, chúng tơi chọn đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 THƠNG

QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC”
2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
2.1. Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài
Từ những năm đầu 1990, Singapore đã chú trọng vào quá trình giải
quyết vấn đề trong chương trình mơn Tốn. Bộ Giáo dục Singapore đã đưa ra
khuyến nghị về dạy và học mơn Tốn là phải đặt trọng tâm vào việc lập luận
và giao tiếp Toán học, liên kết các ý tưởng Toán học, xây dựng MHH và ứng
dụng. Trong đó, chủ đề MHH và ứng dụng phải được đưa vào tất cả các cấp
học. Chương trình mơn Toán hiện hành của Singapore được cắt giảm 30% so
với chương trình cũ, tập trung phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS.
MHH được định nghĩa là một q trình thiết lập và cải tiến các mơ hình Tốn
học để biểu diễn các vấn đề thực tiễn thơng qua các cơng cụ Tốn học phù
hợp với tình huống.
Chương trình mơn Tốn ở Thụy Điển được bắt đầu đổi mới từ năm
1965 và MHH dần được đưa vào chương trình với mức độ tăng dần và thể
hiện rõ nhất vào năm 1994. Điểm nhấn mạnh nhất đó là thiết kế, xây dựng và
sử dụng mơ hình Tốn học. Mơ hình Tốn học là khái niệm trọng tâm trong
chương trình sách giáo khoa mơn Tốn ở Thụy Điển ở mọi cấp học. Bloom
(2007) phân biệt sự khác nhau giữa hai thuật ngữ MHH Toán học và ứng
dụng Toán học. Quá trình MHH tập trung vào sự chuyển đổi từ thế giới ngồi
Tốn học vào thế giới Tốn học, trong khi đó ứng dụng Tốn học thì tập trung
vào chiều ngược lại [4].
Đối với chương trình của Hà Lan, khoảng 30 năm trước, Viện
Freudenthal đã phát triển chương trình mơn Tốn tiếp cận theo hướng gắn liền
với thực tiễn [5]. Khung chương trình dựa trên quan niệm rằng Tốn học là


4
hoạt động và HS cần được trải nghiệm để khám phá lại những tri thức Tốn
học bằng cách của chính mình hay nói cách khác là Tốn học hóa suốt quá

trình học. Chương trình này nhằm mục tiêu hỗ trợ phát triển và thực hiện
chương trình hướng vào giải quyết vấn đề, đặc biệt là những vấn đề mở (xuất
phát từ ngữ cảnh vấn đề).
Tương tự như vậy, chương trình sách giáo khoa của Australia và Anh
cũng chú trọng đến việc phát triển NL và hướng dẫn HS vận dụng kiến thức,
kĩ năng và kinh nghiệm để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Chương trình
sách giáo khoa của Pháp định hướng cho HS thực hành phương pháp tiếp cận
khoa học, trong đó HS phải biết:
(i) Quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó,
tranh luận, MHH theo cách cơ bản;
(ii) Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ Tốn học
được áp dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tượng này.
Một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục Toán học trong suốt ba
thập kỉ qua đó là mơ hình Tốn học và những ứng dụng của Tốn học trong
thực tiễn cuộc sống. Nói tổng qt hơn, đó chính là mối quan hệ giữa Tốn
học với thực tiễn (thế giới bên ngồi Tốn học). MHH trong giáo dục Tốn
chính thức xuất hiện đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968 [6]. Tại
đây các nhà giáo dục Toán đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến MHH. Tại
sao phải dạy Tốn để có ích? Tại sao nhiều HS không thể sử dụng kiến thức
Toán học để giải quyết những vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quả xuất
sắc về môn học này? Dạy Toán cần phải tiến hành sao cho HS có thể áp dụng
Tốn vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống.
Mối liên hệ giữa Toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại Hội nghị
các nước nói tiếng Đức (1977) bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của
Tốn học ứng dụng trong giáo dục. Dấu mốc quan trọng là việc MHH được
đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của
Toán học lên các môn học khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục Toán phải


5

có trách nhiệm dạy cho HS cách sử dụng Tốn trong cuộc sống hằng ngày. Từ
đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm
vi tồn cầu (Blum, 2006). Ví dụ như nghiên cứu của chương trình đánh giá
HS quốc tế PISA nhấn mạnh mục đích của giáo dục Tốn là phát triển khả
năng HS sử dụng Toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai [7].
Nghiên cứu của Hội đồng quốc tế về giảng dạy Toán học ICMI
(International Commission on Mathematical Instruction) lần thứ 14 năm 8
2007 về “MHH và ứng dụng trong giáo dục Tốn học” đã trình bày tương đối
đầy đủ về tăng cường vận dụng phương pháp MHH trong DH Toán; năng lực
MHH Toán học; cấp độ MHH; đánh giá các giai đoạn của q trình MHH; vai
trị của phương pháp MHH trong học tập mơn Tốn; MHH trong đào tạo GV;
điều kiện triển khai MHH trong lớp học, MHH và áp dụng chương trình đánh
giá HS quốc tế PISA. Ngoài ra, từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần
thứ 8 (2013) của Hiệp hội nghiên cứu giáo dục Toán châu Âu CERME
(Congress of European Research in Mathematics Education), MHH và áp
dụng Toán là một trong những chủ đề chính của thảo luận: “MHH liên kết
giữa Tốn học trong nhà trường với cuộc sống, cơng việc và việc đưa ra quyết
định. Nó là q trình lựa chọn và sử dụng những kiến thức Toán học để phân
tích tình huống thực tế, hiểu chúng rõ hơn và ra quyết định phù hợp”.
Có nhiều quan điểm khác nhau trong các nghiên cứu về mơ hình Tốn
học, cụ thể:
• Quan điểm “thực tế” quan tâm đến khả năng người học áp dụng Toán
để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công
nghiệp,… giúp họ hiểu viết hơn về thế giới thực và giải quyết vấn đề trong
thực tiễn cuộc sống. Quá trình MHH là một q trình hồn chỉnh, được thực
hiện như một nhà Tốn học ứng dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề
thực tế chứ không phải để phát triển một lí thuyết mới như một quan điểm
nhận thức luận. Một số nhà giáo dục Toán tiêu biểu cho cách tiếp cận này là
các tác giả Pollak, Burkhardt, Galbraith, Stillman, Kaiser và Schwarz. Quan

6
điểm “giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vực MHH
thuộc quan điểm này như Blum, Niss, BlomhØj, Maab, Stillman. Quan điểm
này chú trọng tích hợp MHH vào DH Tốn; thơng qua các ví dụ thực tế và
mối quan hệ của chúng đối với Toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm
và thúc đẩy q trình học Tốn; quan tâm đến các bước của quá trình MHH,
nhiệm vụ MHH, phát triển NL MHH cũng như ý nghĩa của việc học Tốn.
• Quan điểm “phản ánh”: nhấn mạnh vai trị, chức năng của Tốn học
nói chung, của MHH Tốn học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê
phán, tư duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, y
tế và môi trường. Cả kinh tế vĩ mô và vi mơ đều được xây dựng dựa trên
những mơ hình Tốn học. Nó góp phần vào sự phát triển của xã hội.
Mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn đặc biệt được các nước OECD
(Organisation for Economic Cooperation and Development) quan tâm thơng
qua chương trình đánh giá HS quốc tế PISA. Năng lực Toán học, theo PISA
là “khả năng của mỗi cá nhân để xác định và hiểu vai trò của Toán học trong
thế giới…”. PISA nhấn mạnh đến khả năng sử dụng kiến thức Tốn học ở
nhiều tình huống và ngữ cảnh khác nhau. Ở nhiều nước, kết quả PISA được
thảo luận để đổi mới chương trình mơn Tốn ở nhà trường, đặc biệt là vấn đề
MHH Toán học. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn để hiểu thế giới tốt
hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề, ra quyết định.
Như vậy, vấn đề MHH và gắn Toán học với thực tiễn rất được coi trọng
trong chương trình sách giáo khoa của nhiều nước trên thế giới và chương
trình đánh giá HS quốc tế.
2.2. Tình hình nghiên cứu ở Việt Nam
DH MHH Tốn học vẫn cịn khá mới mẻ đối với GV trong nhà trường
ở Việt Nam. Chưa có nhiều cơng trình nghiên cứu về việc vận dụng phương
pháp DH này trong dạy và học toán ở nhà trường THPT. Cho đến bây giờ, các
cơng trình nghiên cứu về MHH Toán học chủ yếu thuộc cấp trung học cơ sở

(THCS) và trung học phổ thông (THPT). Tác giả Nguyễn Thị Tân An [8]


7
trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một cách phân loại các tình huống
Tốn học và xây dựng q trình Tốn học hóa phù hợp với chương trình.
Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của q trình
Tốn học hóa giúp HS có thể định hướng khi đứng trước một tình huống Tốn
học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu
cũng chỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lượng hiểu biết định lượng và q trình
Tốn học hóa. Do đó, việc giải quyết những tình huống chứa đựng các yếu tố
định lượng thơng qua q trình Tốn học hóa sẽ giúp phát triển các năng lực
hiểu biết định lượng của HS. Đặc biệt nghiên cứu này đã xây dựng được
thang đánh giá giúp đo các năng lực hiểu biết định lượng khi HS giải quyết
một tình huống Tốn học hóa chứa đựng yếu tố định lượng. Mỗi năng lực
được chấm điểm trong ba giai đoạn của q trình Tốn học hóa theo bốn mức
từ 0 đến 3. Tác giả Bùi Huy Ngọc [10] trong nghiên cứu “Tăng cường khái
thác nội dung thực tế trong DH số học và đại số nhằm nâng cao NL vận dụng
Toán học vào thực tiễn cho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện pháp khai
thác nội dung thực tế trong DH nội dung Số học và Đại số ở trường trung học
cơ sở nhằm phát triển NL vận dụng Toán học trong thực tiễn cho HS. Nghiên
cứu của tác giả Phan Anh [11] “Góp phần phát triển năng lực Tốn học hóa
tình huống thực tiễn cho HS THPT qua DH Đại số và Giải tích” cũng đã làm
rõ việc xây dựng mơ hình Tốn học hóa các tình huống thực tiễn trong q
trình DH HS phổ thơng thơng qua phần Đại số và Giải tích.
Trong nghiên cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam [4, tr.12] đã
trình bày khái quát về “Quy trình phát triển NL MHH Tốn học cho HS
THPT”. Quy trình này giúp HS hình dung ra được các giai đoạn chuyển từ
tình huống thực tiễn sang mơ hình Tốn học, từ mơ hình Tốn học sử dụng
cơng cụ Tốn học để giải quyết bài toán; từ kết quả toán rút ra những nhận xét

phản hồi. Qua đó, giúp HS tìm hiểu sâu và nắm chắc kiến thức Tốn học.
Ngồi ra, sử dụng MHH Tốn học trong DH giúp học HS phát triển các kĩ
năng Tốn học, đồng thời nó cịn hỗ trợ GV tổ chức DH theo phương pháp


8
phát hiện và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Hơn nữa, sử dụng phương pháp
này giúp việc học toán của HS trở nên ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và
làm sáng tỏ các yếu tố Toán học trong thực tiễn. NL phân tích và giải quyết
vấn đề thực tiễn cũng được quan tâm khi sử dụng phương pháp này bởi các
quy trình MHH giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy Tốn học như phân tích
và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống
hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp… Qua đó, tăng cường tính liên mơn
như Địa lí, Khoa học, Lịch sử, Mơi trường. Những kết quả này sẽ là cơ sở cho
những nghiên cứu tiếp theo về khả năng vận dụng quy trình MHH Toán học
trong DH THPT hiện nay, đặc biệt là tiếp cận hướng tăng cường đưa các bài
toán thực tiễn vào chương trình SGK mơn Tốn.
Tóm lại, trong nước cũng đã xuất hiện một số cơng trình nghiên cứu về
MHH Tốn học. Tuy nhiên, đối với việc dạy học chủ đề “Hệ thức lượng trong
tam giác” thì các cơng trình này còn chưa cụ thể, chưa đi sâu vào trong việc
phát triển NL MHH Tốn học cho HS THPT.
3. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một số biện pháp phát triển NL MHH Tốn học cho HS lớp
10 thơng qua DH chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
NL MHH Toán học của HS lớp 10 THPT.
Các biện pháp phát triển NL MHH Tốn học cho HS lớp 10 thơng qua
DH chủ đề “hệ thức lượng trong tam giác”.
4.2. Phạm vi nghiên cứu

NL MHH Toán học của HS lớp 10 THPT.
Các biện pháp phát triển NL MHH Toán học cho HS lớp 10 thông qua
DH chủ đề “hệ thức lượng trong tam giác”.
5. Phương pháp nghiên cứu
(i) Phương pháp nghiên cứu lý luận.


9
Nghiên cứu tìm hiểu, phân tích các tài liệu, sách, báo, các cơng trình
khoa học liên quan đến đề tài.
(ii) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Quan sát, điều tra thực tiễn DH chủ đề “ Hệ thức lượng trong tam
giác” cho HS lớp 10 ở trường THPT, dự giờ, phỏng vấn, thu thập ý kiến của
một số GV dạy Toán ở một số trường THPT về thực trạng dạy và học chủ đề
“Hệ thức lượng trong tam giác” theo hướng phát triển NL MHH Toán học
cho HS lớp 10.
(iii) Phương pháp thống kê và xử lí số liệu
Thống kê số liệu trước và sau thực nghiệm, giữa lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng ; lấy ý kiến đánh giá tham khảo của GV trực tiếp giảng dạy để
điều chỉnh luận văn cho phù hợp thực tiễn dạy và học chủ đề “Hệ thức lượng
trong tam giác” theo hướng phát triển NL MHH Toán học cho HS lớp 10
THPT
(iv) Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm nhằm đánh giá bước đầu tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp đã đề xuất.
6. Kết cấu của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, Luận văn được trình bày trong
3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp phát triển NL MHH Toán học cho HS lớp 10

thông qua DH chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm


10
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Mơ hình và mơ hình hóa
1.1.1.1. Mơ hình
Mơ hình có thể được hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ như mơ hình hình
khơng gian), mơ hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập khác
nhau hoặc mơ hình tổng qt (như tiên đề của hình học Ơclit).
Mơ hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật
chất. Hệ thống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay
cho nó và khi nghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về
đối tượng đó (V.A. Shoff).
Mơ hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô
tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một
khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mơ hình theo ý nghĩa
vật lý. (Swetz và Hartzler).
Mơ hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi
đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm
của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của
tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss).
Tóm lại, “Mơ hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta
có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thơng qua mơ
hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không
cần đến vật thật.” [12]
Như vậy, mơ hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây:
a. Mơ hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu

Mơ hình là sản phẩm của q trình hành động nhằm đạt được quá trình
nhận thức nên mơ hình phải bảo tồn được các mối quan hệ cơ bản của vật
gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mơ hình phải


11
đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mơ hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc
theo nghĩa: đồng nhất hồn tồn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất
và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng
những mơ hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mơ hình bao giờ cũng “nghèo
nàn” hơn hiện thực mà nó mơ tả và mơ hình có thể là “thơ thiển và chưa hồn
thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà
chúng ta quan tâm tới. Tuy nhiên khơng phải bao giờ mơ hình cũng đơn giản
hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử
dụng nhiều phương tiện hiện đại để mơ phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên
mơ hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những
hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn. [13]
b. Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của q trình tư duy
Mơ hình ra đời nhờ q trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng
cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã bỏ đi những dấu hiệu
khơng bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối
tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mơ hình mang tính lí tưởng,
tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có
trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách
mạng, có tính phát triển. Như vậy, q trình xây dựng mơ hình là một q
trình nhận thức khoa học tích cực. [13]
c. Mơ hình khơng thể thay thế hồn tồn vật gốc
Một mơ hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó
của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng
nhiều mơ hình để mơ tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự

đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản.
[13]
d. Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mơ hình
khơng phải là cái bất biến


12
Phát triển mơ hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn địi hỏi phải phát
hiện được tính quy luật chung của các nhóm mơ hình của các q trình cụ thể,
trong đó mơ hình tổng qt hơn phải tương thích với các mơ hình cụ thể trước
đó. Một mơ hình có thể là chưa thành cơng về nhiều phương diện nhưng nó
vẫn có vai trị quan trọng trong việc phán đốn tình huống thực tiễn. [13]
Trong DH mơn Tốn ở trường trung học, mơ hình Tốn học là một cấu
trúc Tốn học (hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mơ hình ảo
trên máy tính điện tử,…) gồm các kí hiệu và các quan hệ Tốn học biểu diễn,
mơ tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng
thực được nghiên cứu [13]. Đặc điểm quan trọng của mơ hình Tốn học là sử
dụng ngơn ngữ Tốn học để mơ tả hiện thực khách quan. Mơ hình Tốn học
theo cách hiểu vật lí khác các mơ hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ
qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ sử dụng ngơn ngữ chính xác để diễn tả
những quan hệ số lượng hoặc những mối quan hệ trong khơng gian, từ đó có
thể suy ra quan hệ số lượng khác. Thơng qua mơ hình, ta có thể thao tác và
khám phá các thuộc tính của đối tượng mà khơng cần đến vật thật nhưng điều
này cịn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng
của mơ hình đó.
1.1.1.2. Mơ hình hóa
Ý tưởng sử dụng mơ hình và MHH trong DH được đề xuất bởi
Aristides C. Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm:
“MHH là q trình tạo ra các mơ hình để giải quyết một vấn đề nào đó”.
MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực

tế, tìm kiếm kiến thức tốn để giải quyết, sau đó quay lại thực tế xem xét tính
hiệu quả của mơ hình đã sử dụng để mơ tả và phân tích và đối chứng phương
pháp giải quyết tình huống thực. Sẽ có nhiều cơng cụ khác nhau hữu ích đối
với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng
trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức nào phù hợp để giải
quyết. Từ quan điểm này, chúng tôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau:


13
a. Mơ hình hóa như một phương pháp dạy học
Cung cấp cho HS hiểu khái niệm của vấn đề; giúp HS đọc, hiểu, thiết
lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy
sáng tạo và tư duy phê phán. Để áp dụng phương pháp này, GV có thể lựa
chọn các chủ đề thuộc bất cứ lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích
(dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mơ hình Tốn học để
dạy. Chúng tôi đồng ý với thầy Nguyễn Danh Nam [3] Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên về quan điểm của Quy trình MHH trong DH
Tốn ở trường phổ thông khi thiết kế 7 bước DH với MHH đó là:
Bước 1: Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề,
hướng dẫn HS đặt câu hỏi về chủ đề đó.
Bước 2: Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để
phát triển kiến thức. Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử
nghiên cứu hoặc phỏng vấn chuyên gia về vấn đề nghiên cứu.
Bươc 3: Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra
giả thuyết, tính tốn và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử kiến thức
Toán học trong bài để giải quyết.
Bước 4: Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định
nghĩa hay tính chất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết.
Bước 5: Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề
tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng. Kích thích và hướng dẫn sử dụng

các phương tiện kĩ thuật như máy tính cầm tay, máy vi tính để thực hành
trong lớp.
Bước 6: Thiết lập mơ hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mơ hình:
GV đề nghị HS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó.
Bước 7: Hiểu lời giải và cải tiến mơ hình: Kết thúc giai đoạn này, HS
phải đánh giá lời giải. Điều này cho phép HS hiểu sâu hơn về kết quả đạt
được.


14
b. Mơ hình hóa như một phương pháp nghiên cứu
Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình Tốn học vào
các lĩnh vực khác. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh
cá nhân. Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây:
Giai đoạn 1: Lựa chọn chủ đề. Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi
nhóm lựa chọn một chủ đề theo sở thích. Các nhóm với sự hướng dẫn của
GV, chịu trách nhiệm về sự lựa chọn và cách thức tổ chức nhóm. GV gợi ý
những dữ liệu có thể thu nhập qua lịch sử nghiên cứu hoặc qua phỏng vấn
chuyên gia.
Giai đoạn 2: Làm quen với chủ đề mơ hình. Ở giai đoạn này HS làm
quen với chủ đề và có dữ liệu. GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã
tổng hợp được từ dữ liệu. Tổng hợp này cho phép các em học về chủ đề,
khoảng 3 câu hỏi gợi ý cho nhóm.
Giai đoạn 3: Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức. Sau khi đơn giản
vấn đề và lựa chọn câu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi
để giải. Khi nhóm có kiến thức cơ bản về chủ đề, phỏng vấn chuyên gia sẽ có
hiệu quả.
Giai đoạn 4: Thiết kế mơ hình, giải và đối chiếu. Khi vấn đề được thiết
lập, nhóm cố gắng chi tiết mơ hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu
hỏi, áp dụng lời giải để dự đoán các kết quả khác.

Giai đoạn 5: Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình. Từ những
cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác mơ hình hóa. Thứ nhất, mơ hình
đươc sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là một phương
tiện để dạy và học ở trường. Thứ hai, mơ hình được sử dụng để phục vụ
nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu tập trung nhiều vào
hướng khai thác thứ nhất. Barbosa cho rằng mơ hình đóng vai trị quan trọng
trong DH tốn. MHH là mơi trường để HS tìm hiểu, khám phá các kiến thức
Tốn học cũng như các kiến thức liên môn khác. Đây là phương pháp tiếp cận
tích cực, hướng HS làm trung tâm, kết nối với thực tiễn và rèn luyện các kĩ


15
năng Toán học, giải quyết vấn đề, lập giả thuyết, Tốn học hóa, biểu diễn bội
và tư duy phê phán, … Nó là một phương tiện để phát triển các ý tưởng Toán
học và giúp HS hiểu được bản chất các khái niệm Tốn học.
Tóm lại, có thể nói mơ hình được dùng để mơ tả một tình huống thực
tiễn nào đó, mơ hình Tốn học được hiểu là sử dụng cơng cụ Tốn học để thể
hiện nó dưới dạng ngơn ngữ Tốn học, trong đó MHH là q trình tạo ra mơ
hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Q trình này tn theo
một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả thuyết hay cấu
trúc Tốn học như; cơng thức, thuật tốn, bảng biểu, biểu đồ, biểu tượng,... để
từ đó HS có cái nhìn rõ ràng hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn.
1.1.2. Tốn học hóa và mơ hình hóa Tốn học
1.1.2.1. Tốn học hóa
Freudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) quan niệm rằng
“Tốn học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “Toán học là kết quả hoạt
động của con người”. Vì vậy, học tốn khơng phải là tiếp nhận kiến thức có
sẵn mà học tốn là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế
hay trong nội tại Toán học để xây dựng lại kiến thức tốn và ơng gọi q trình
đó là Tốn học hóa (mathematization).

Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007) đã trình bày khái niệm
này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của Tốn học
hóa trong bối cảnh giáo dục:
• Tốn học hóa theo chiều ngang: chỉ q trình mơ tả một vấn đề thực
tế theo ngơn ngữ Tốn học để có thể giải quyết vấn đề đó với cơng cụ tốn.
Trong trường hợp này, Tốn học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực
vào thế giới Tốn học.
• Tốn học hóa theo chiều dọc: là q trình xảy ra trong thế giới Tốn
học. Thơng qua q trình này, HS đạt được một trình độ Tốn học cao hơn so
với trước đó. Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này khơng phải ln


16
luôn rõ ràng. Sơ đồ dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi
thực hiện quá trình Tốn học hóa theo hai chiều (De Lange, 1996):

Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của q trình Tốn học hóa
Như vậy, theo quan điểm này, q trình Tốn học hóa xảy ra khơng chỉ
khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề Toán
học, nhằm khám phá các cấu trúc Toán học. Các tình huống thực tế chỉ đóng
vai trị là mơi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến
thức tốn. Để có thể rèn luyện cho HS khả năng vận dụng tốt các tri thức toán
Phát biểu một khái niệm Toán học mới Chứng minh các quy tắc Biểu diễn
mối quan hệ Toán học bởi một công thức. Sử dụng các phương pháp giải khác
nhau, khám phá các quy luật, khám phá các mối quan hệ, hình dung vấn đề
theo những cách khác nhau, chuyển một vấn đề thực tế sang một mơ hình
Tốn học, nhận ra những nội dung tốn trong tình huống được cho HS vào
đời sống thực tiễn thì phải rèn luyện cho HS khả năng xây dựng tình huống
đó bằng ngơn ngữ Toán học.