II HUONG dẫn GIẢI CHUYỂN ĐỘNG LIÊN kết QUA RÒNG rọc

II.3 CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT QUA RÒNG RỌC
Bài 1.
1a. Gọi T là lực căng dây
Gia tốc vật 2: a 2 =

T − P2
m2

Gia tốc vật 1: a 1 =

P1 − 2T .P2 − 2T
=
.m 2
m1

1
h

2

Với ròng rọc động: a 2 = 2.a 1
Kết quả: a 2 = 2.a 1 =

2 − 4
g
+ 4

Thay số: a 2 = 8m / s 2 ; a 1 = 4m / s 2
1b. Vật chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a2 từ mặt đất đến độ cao 2h và đạt vận
tốc cực đại ở độ cao này: v 2max = 2.a 2 .2h (1)
Sau đó, vật chuyển động chậm dần với gia tốc g từ độ cao 2h đến hmax:

v 2max = 2.g.(h max − 2h ) (2)

Từ (1) và (2) ta có h max = 6h


, Thay số: h max = 72cm
+ 4

Bài 2. a. Gia tốc của mỗi vật:
- Vật m 2 chịu tác dụng của 4 lực:

1






Trọng lực P2 , Phản lực Q2 của m 3 ,
Lực ma sát với m 3


F32 ,



Lực căng dây T .

- Vật m 1 chịu tác dụng của hai lực:




Trọng lực P1 và lực căng dây T .
* Theo phương thẳng đứng, các lực tác
dụng vào m 2 là cân bằng P 2 = Q 2 .
* Theo phương nằm ngang, phương trình động lực học viết cho m 2 là:
T - F 32 = m 2 a 2
T – 0,2.0,5.10 = 0,5. a 2
T – 1 = 0,5. a 2

(1)

* Theo phương nằm ngang m 1 không di chuyển.
* Theo phương thẳng đứng, phương trình động lực học viết cho m 1 là:
P1 - T = m1 a1
0,25.10 - T = 0,25 a 1
2,5 - T = 0,25 a 1

(2)

Vì dây nối các vật khơng giãn nên: a 1 = a 2 = a và a 3 = a 4 = a
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được a = 2 m/s

/

2

- Vật m 3 chịu tác dụng của 6 lực:
Trọng lực


P3 ,



Lực ma sát với bàn F , Lực ma sát do m 2 tác dụng


(có giá trị bằng P 2 ), Lực căng dây T / , Phản lực của mặt bàn


F23 ,


Q3 .

- Vật m 4 chịu tác dụng của 2 lực:




Trọng lực P4 , Lực căng dây T / .
* Theo phương thẳng đứng, các lực tác dụng vào m 3 là cân bằng: Q 3 = P 3 + P 2 .
2



Áp lực từ m 2 N 2

* Phương trình động lực học viết cho m 3 là:
/

T - F - F 32 = m 3 a

/

/

T - 0,2(0,5 + 0,5).10 – 0,2.0,5.10 = 0,5a
/

T - 3 = 0,5a

/

/

(3)

* Phương trình động lực học viết cho m 4 là:
P4 - T / = m4 a /
/

0,5.10 - T = 0,5 a
/

5 - T = 0,5 a

/

/

(4)
/

2

Giải hệ phương trình (3) và (4) ta được a = 2 m/s .
/

** Trong đó a và a ngược hướng với nhau.
b. Thời gian để m 2 đi qua m 3 .
Lưu ý: Các gia tốc đã tính trên đều là gia tốc đối với bàn. Nếu chọn chiều dương của
2

2

gia tốc là chiều chuyển động của m 2 thì ta có: a 2 ,b = 2 m/s ; a 3,b = - 2 m/s .
2

Gia tốc của m 2 so với m 3 là: a 2 ,3 = a 2 ,b - a 3,b = 4 m/s .
Ta có: S = 1 a 2,3t 2  t = 0,5 s.
2

Bài 3. Khối m 1 đứng cân bằng dưới tác dụng của các lực:
- Trọng lực

P1

- Phản lực

N1

của mặt phẳng nghiêng

- Lực căng

T2

(T 2 = P 2 )

- Lực căng

T3

(T 3 = P 3 )

Ta có:
P1

+

N1

+

T2

+

T3

= 0

(1)
3


Lần lượt chiếu hệ thức véc tơ (1) lên phương song song với mặt nghiêng và phương
nằm ngang, ta có:
- Chiếu lên phương song song với mặt phẳng nghiêng
(chiếu (+) đã chọn như hình vẽ):
0

0

P 1 cos60 - T 2 cos60 - T 3 = 0

(2)

- Chiếu lên phương nằm ngang (chiếu (+) đã chọn như
hình vẽ):
N 1 cos60 0 - T 3 cos30 0 = 0

(3)

Từ (2)  T 3 = P1 − P2 .
2

Với T 3 = P 3 , T 2 = P 2 ta có:
m 3 = m1 − m2 = 3 − 1 = 1 kg.
2

2

vật m 3 có khối lượng 1 kg.
3

1.10.
m3 g cos300
2
Từ (3)  N 1 =
=
1
cos 600

= 10 3 (N)

2

Bài 4. Xét hệ thống trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất:
Giả sử tìm được gia tốc F thoả mãn bài tốn.
• Xét vật m2:


 

P2 + T '+ N 2 = m2 a

chiếu lên oy:

4


P2 − T ' = 0  T ' = T = m2 g .

• Xét vật m1:

 


P1 + N1 + T = m1 a

chiếu lên ox:
T = m1 a

a=

m
T
= 2g
m1 m1

Ba vật đứng yên tương đối với nhau ta có thể xem chúng như một vật duy nhất
có khối lượng (M+m1+m2) chuyển động với gia tốc a. Do vậy lực F cần phải đặt vào
M sẽ là :
F = ( M + m1 + m2 )a = ( M + m1 + m2 )

m2
g.
m1




Bài 5. Gọi gia tốc của nêm và vật đối với mặt đất lần lượt là là a1 và a 2 .
Phương trình động lực học cho m:
 


F + P2 + N = ma 2

chiếu lên ox:
F cos − N sin  = ma 2 x

(1)

chiếu lên oy:
F sin  + N sin  − mg = ma 2 y
 

(2)






Nêm chịu tác dụng của P1 , N 1 , hai lực F và F ' đè lên ròng rọc và lực nén N ' có độ lớn
bằng N.
Phương trình chuyển động của M:


  

P1 + N 1 + N '+ F + F ' = Ma1

Chiếu lên ox:
N sin  + F − F cos  = Ma1

(3)



Gọi a 21 là gia tốc của m đối với nêm M.
5


Theo công thức cộng gia tốc:



a 2 = a 21 + a1

Chiếu (4) lên 0x:
0y:

(4)

a 2 x = a1 − a 21 cos 
a 2 y = a 21 sin 

Từ đó suy ra:
a 2 y = (a 2 x − a1 ) tan 

(5)

Từ (1), (2), (3) và(5) suy ra:
a1 =

a2x

a2 y =

F (1 − cos  ) + mg sin  cos 
M + m sin 2 

(6)

F (m sin 2  + M cos  ) − Mmg sin  cos 
=
m( M + m sin 2  )

F cos  M + m(1 − cos ) − mg (M + m) sin  cos tan 
m( M + m sin 2  )

Để m dịch chuyển lên trên nêm thì:
a 2 y  0


N  0

(I )
( II )

• Giải (I):

a 2 y  0  F cos  M + m(1 − cos  ) − mg ( M + m) sin  cos   0

F

mg ( M + m) sin 
M + m(1 − cos  )

(7)

• Giải (II):
Thay (6) vào (3) rút ra N và từ điều kiện N > 0 ta suy ra:
F

Mg cos
(1 − cos ) sin 

(8)

Từ (7) và (8) ta suy ra để m leo lên được mặt nêm M thì lực F phải thoả mãn điều
kiện
6

mg ( M + m)sin 
Mg cos 
F
M + m(1 − cos  )
(1 − cos  )sin 

Lúc đó gia tốc của nêm đối với mặt đất là a1 ở (6). Gia tốc của vật đối với mặt đất
sẽ là :
a2 = a 2 2 x + a 2 2 y

Bài 6. Chọn chiều dương như hình vẽ.
Phương trình định luật II Newton cho vật:
m0 :

 


T + P0 + N = m0 a 0

 

m1 : T1 + P1 = m1 a1

 

m2: T2 + P2 = m2 a 2

Chiếu các phương trình đó lên chiều dương ta được:
T = m0 a 0

a 0 =

T
m0

P1 − T1 = m1 a1

 a1 =

P1 − T1
m1

P2 −T 2= m2 a 2

 a2 =

P2 − T2
m2

(1)
( 2)
(3)

Giả sử ròng rọc quay ngược chiều kim đồng hồ.
Gọi S0, S1, S2 là độ dời của m0, m1, m2 so với ròng rọc A.
S’ là độ dời của m1, m2 so với ròng rọc B.
Ta có:

 S1 = S 0 − S '

 S1 + S 2 = 2S 0  a1 + a 2 = 2a0

S 2 = S 0 + S '

Thế (1), (2) và (3) vào (*) và chú ý T = 2T1 = 2T2
Rút ra:
T=

2
.g
2
1
1
+
+
m0 2m1 2m2

7

(*)


 a1 =

m1 g − T1
=
m1

T
2 =g− T

m1
2m1

m1 g −

Hay :
a1 = g −

2g
4
1
1
m1 (
+
+
)
m0 m1 m2





4m m + m0 ( m1 − m2 )
2
 .g = 1 2
a1 = 1 −
g
4m1m2 + m0 ( m1 + m2 )
 m ( 4 + 1 + 1 )
1


m0 m1 m2 

* Biện luận:
- Nếu m0 = 0 thì a1 = g, a2 = g: m1 và m2 đều rơi tự do.
- Nếu m1 = 0 thì a1 = -g, vật m2 rơi tự do, m1 đi lên a1 = g .
- Nếu m2 = 0 thì a1= g, vật m1 rơi tự do.
Bài 7.
Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào bàn như hình vẽ. Trong hệ quy
chiếu oxy:
• Phương trình chuyển động của vật M
T + Fqt − Fms = Ma 0

Hay:
T + Ma − N 1 = Ma 0

(1) ,

trong đó:
a 0 là gia tốc của M đối với bàn

a là gia tốc của bàn đối với đất.
• Phương trình chuyển động của vật m:
8


Fqt 2 ma a

=
=

(2)
tg =
P2
mg g

 F sin  + mg cos − T = ma (3)
0
 qt 2

Từ (3) suy ra:
ma sin  + mg cos  − T = ma 0

(4)

Từ (1) và (4) suy ra:
a0 =

Ma − N1 + ma sin  + mg cos
m+M

(5)

Từ (2) suy ra:
tg

sin  =

tg  + 1
2

1

cos =

tg 2 + 1

a
g

=

=

2

a
+1
g2

=

1
a2
+1
g2

Và N 1 = Mg

=

a
a + g2
2

g
a2 + g 2

( 6)

(7 )

(8)

Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:
Ma − Mg + m a 2 + g 2
a0 =
m+M

Gia tốc của M đối với đất:



a M = a0 + a

 a M = a0 − a =

aM =

Ma − Mg + m a 2 + g 2
m+M

m a 2 + g 2 − Mg − mg
m+M

9

−a


Bài 8.

Gắn hệ vật với hệ trục
tọa độ Ox, Oy như hình vẽ.
Gốc tọa độ O gắn với
sàn.
Vật m 1 chịu tác dụng của

2 lực : Trọng lực P1 và lực căng

T của dây.

Khi hệ vật chuyển động,
m 1 vừa bị tụt xuống vừa bị kéo
theo phương nằm ngang, vì thế dây treo bị lệch về phía sau một góc  .
Phương trình động lực học viết cho vật m 1 :
T.sin  = m 1 .a 1 x
T.sin  = 0,4.a 1 x

(1)

T.cos  - P 1 = - m 1 .a 1 y
T.cos  = 4 - 0,4.a 1 y

(2)




Vật m 2 chịu tác dụng của bốn lực : Lực căng T của dây, Lực ma sát F với m 3 ,




Trọng lực P2 , Phản lực Q2 của m 3 .




Theo phương Oy các lực P2 và Q2 cân bằng nhau.
Theo phương Ox, phương trình động lực học viết cho vật m 2 .
T - F = m 2 .a 2
T -  .m 2 .g = m 2 .a 2

10


T =  .m 2 .g + m 2 .a 2 = 0,3.1.10 + 1.a 2
T = 3 + a2

(3)

Vật m 3 chịu tác dụng của năm lực : Trọng lực


P3 ,



Lực tương tác F / do m 2 tác





dụng khi m 2 trượt trên m 3 . ( F = F / ), Áp lực N 2 do m 2 tác dụng, Áp lực N1 do giá
treo ròng rọc tác dụng, Phản lực


Q3

của sàn.

Theo phương Oy, các lực tác dụng vào m 3 cân bằng nhau:
Q3 = P 3 + N1 + N2
Theo phương Ox, phương trình động lực học viết cho vật m 3 :
/

F = m 3 .a 3


.m 2 .g = m 3 .a 3
2

0,3.1.10 = 1.a 3  a 3 = 3 (m/s ).

Xét giản đồ véctơ gia tốc vẽ chom vật m 1 :



a1 = a 2 + a 3

a 1 x = a 3 - a 2 .sin 
a 1 x = 3 - a 2 .sin 

(4)

a 1 y = a 2 .cos 

(5)

Thay (3), (4), (5) vào các phương trình (1),
(2) ta được :
Phương trình (1)  (3 + a 2 ).sin  = 0,4.(3 - a 2 .sin  )
 3.sin  + a 2 .sin  = 1,2 - 0,4a 2 .sin 
 1,4.a 2 .sin  = 1,2 - 3.sin 

Phương trình (2)  (3 + a 2 ).cos  = 4 - 0,4.a 2 .cos 
11

(6)

 3.cos  + a 2 .cos  = 4 - 0,4.a 2 .cos 
 1,4.a 2 .cos  = 4 - 3.cos 

(7)

Chia từng vế phương trình (6) cho (7):
sin 
cos

= 1,2 − 3. sin 
4 − 3. cos 

 tg  = 0,3   = 16 42
0

/

Trong khi chuyển động dây treo vật m 1 bị lệch về phía sau một góc  = 16 0 42 / .
2
Thay  vào (6), ta được : a 2 = 0,84 (m/s )

Thay  và a 2 vào (4) và (5) ta được :
2

a 1 x = 2,76 (m/s )
2

a 1 y = 0,8 (m/s )

Gia tốc của vật m 1 :
a1 =

a12x + a12y

=

2,76 2 + 0,8 2 = 2,87 (m/s 2 ).

Bài 9.

12


Xe m 3 chịu tác dụng của 5 lực : Trọng lực P 3 ,lực ma sát trượt do m 2 tác dụng F 23 : áp
lực do m 2 tác dụng N 2 , lực ma sát giữa xe và mặt đường F, phản lực của mặt đường
Q 3 . Theo phương thẳng đứng xe m 3 không dịch chuyển , phản lực của mặt đường cân
bằng với hợp lực P3 + N 2 : Q3 = P3 + N 2 .Vì thế áp lực của xe xuống mặt đường là
N 3 = P3 + N 2  N 3 = 0,5.10+0,5.10 = 10 N( N 2 = P2 )

Phương trình động lực học viết cho xe m 3 :
F23 − F = m3a3 ( với m 3 lực phát động là F 23 , lực cản là lực ma sát do mặt đường tác

dụng )
0,2.0,5.10 -0,02.10 = 0,5 a 3
Vậy gia tốc của xe là a 3 = 1,6 m/s 2 ( a 3 cùng hướng với hướng vận tốc của m 2 )
Xét m 2 , nó chịu tác dụng của 4 lực : trọng lực P 2 , lực căng của dây nối T, lực ma sát
với sàn xe F 32 , phản lực của sàn xe Q2 . Theo phương thẳng đứng , m 2 không dịch
chuyển , Q 2 cân bằng với P 2 . Phương trình động lực học viết cho m 2 :
T − 1 N 2 = m2 a2 ( N 2 = Q2 )

13


T = 0,2.0,5.10 = 0,5 a 2

(1)

Vật m 1 chịu tác dụng của 2 lực : Trọng lực P 1 va 2lực căng dây T. Theo phương
nằm ngang vật m 1 khơng chịu tác dụng của lực nào nó khơng dịch chuyển theo
phuơng này . Phương trình động lực học viết cho m 1 :
P1 − T = m1a1 (a1 = a2 = a vì dây nối khơng dãn)

0,25.10 – T = 0,25a 2

(2)

Giải hệ (1) và (2) ta được a1 = a2 = 2m / s 2
Các gia tốc vừa tính trên là gia tốc của các vật so với bàn
a2b = 2m / s 2 , a3b = 1, 6m / s 2

Gia tốc của m 2 so với xe m 3 được tính theo ;
a2,3 = a2b + a3b

(a b 3 = - 1,6 m/s 2 )
a 23 = 2- 1,6 = 0,4 m/s 2
Sau khi thả tay 0,1 s , vận tốc của m 2 so với xe m 3 là
V = 0,4.0,1 = 0,04 m/s .

Bài 10.

1. Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a. chiều (+) như hình
vẽ.
+ Áp dụng định luật II Niutơn cho cả hệ ta có:
(m1+m2+m3).a = P1-k(P2+P3)
Thay số được:
a=

20 − 0,2(10m2 + 10)
18 − 2m2
=
3 + m2
3 + m2

(1)

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m1 được:
T = m1g –m1a = 20-2a
(2)
+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m2 được:
m2a = T – Fms  Fms= T- m2a (3)
14


+ Do m2 không trượt trên m3 nên:
Fms  ko.m2g  Fms  4m2
(4)
Thay (1); (2); (3) vào (4) rồi biến đổi ta có bất phương trình: m 22 + 3m2-12  0




− 3 − 57
(kg ) ( Loai )
m2 
2

m  − 3 + 57 (kg )
 2
2

Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a. chiều (+) như hình
vẽ.
+ Áp dụng định luật II Niutơn cho cả hệ ta có:
(m1+m2+m3).a = P1-k(P2+P3)
Thay số được:
a=

20 − 0,2(10m2 + 10)
18 − 2m2
=
3 + m2
3 + m2

(1)

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m1 được:
T = m1g –m1a = 20-2a
(2)
+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m2 được:
m2a = T – Fms  Fms= T- m2a (3)

+ Do m2 không trượt trên m3 nên:
Fms  ko.m2g  Fms  4m2
(4)
Thay (1); (2); (3) vào (4) rồi biến đổi ta có bất phương trình: m 22 + 3m2-12  0




− 3 − 57
(kg ) ( Loai )
m2 
2

m  − 3 + 57 (kg )
 2
2

Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a. chiều (+) như hình
vẽ.
+ Áp dụng định luật II Niutơn cho cả hệ ta có:
(m1+m2+m3).a = P1-k(P2+P3)
Thay số được:
a=

20 − 0,2(10m2 + 10)
18 − 2m2
=
3 + m2
3 + m2

(1)

+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m1 được:
T = m1g –m1a = 20-2a
(2)
+ Áp dụng định luật II Niutơn cho m2 được:
m2a = T – Fms  Fms= T- m2a (3)
+ Do m2 không trượt trên m3 nên:
Fms  ko.m2g  Fms  4m2
(4)
Thay (1); (2); (3) vào (4) rồi biến đổi ta có bất phương trình: m22 + 3m2-12  0

15



− 3 − 57
(kg ) ( Loai )
m2 
2
 
m  − 3 + 57 (kg )
 2
2

2. Gọi gia tốc của m1 và m2 là 2a thì gia tốc của m3 là a.
Gọi lực ma sát giữa m3 với sàn là Fms’. Các lực tác dụng vào các vật như hình vẽ bên.
Áp dụng định luật II Niutơn cho mỗi vật ta có các pt sau:
m1g – T = m1.2a
(5)

T- Fms = m2.2a
(6)
Fms-Fms’ = m3.a
(7)
Với: Fms=kom2g và Fms’=kN3=k(m2+m3).g (8)
Thay (8) vào (6) và (7), rồi thay số ta giải được:
m22+2m2-7=0
m2  1,83 kg
a2=2a  3,31 (m/s2)

16


Bài 11. a.Vì

M P  M P sin  nên
A

B

A chuyển động đi xuống
Phương trình động lực học cho
A; B và ròng rọc

 PA − TA = m A a

TB − PB sin  = mB a

Ia
(TA − TB )R = I = R

(1)
(2)
(3)

Từ (1), (2), (3)  a=0,5 m/s2; TA = 19N; TB = 16,5N










b. Áp lực lên ròng rọc: Q = TA '+TB ' với (TA ' ; TB ') = 600 và TA' = TA , TB' = TB
Suy ra Q = TA2 + TB2 + 2TA TBcos600  30, 769 (N)

Bài 12.
a. Các vật chịu tác dụng của các lực như hình vẽ.
Do dây nhẹ và bỏ qua ma sát ở rịng rọc nên ta có:
T1a = T1b , T2a = T2b = T2c = T.
Do rịng rọc động có khối lượng khơng đáng kể nên:
T1a = T2a + T2b = T]
Chọn chiều dương như hình vẽ. Theo định luật II Newton:
2T − m1 g = m1a1 2T − mg = ma1
(1)



T − m2 g = m2 a2
T − 2mg = 2ma2

Do các đoạn dây có chiều dài khơng thay đổi nên ta có:
( yO1 − y1 ) + ( yO1 − yO2 ) = const aO2 = − a1

 a2 = −2a1

a2 = 2aO2
( yO2 − y2 ) + ( yO2 − y A ) = const

(2)
Chú ý: yO1 = const ; y A = const
17


T
2

2
3

Từ (1) và (2)  − mg = −4T + 2mg  T = mg
Thay vào (1) ta tìm được gia tốc của các vật:
1
10
a1 = g = m / s 2
3
3
2

20
a2 = −2a1 = − g = − m / s 2
3
3

b. Gia tốc tương đối của vật 1 so với vật 2:
a12 = a1 − a 2  a12 = a1 − a2 = g = 10m / s 2

Trong HQC gắn với thanh 2, viên bi 1 chuyển động thẳng nhanh dần đều với vận tốc
ban đầu bằng 0, suy ra thời gian viên bi 1 đi hết chiều dài thanh 2 là:
s=l =

1
a12t 2
2

t =

2l
2.1, 25
=
 t = 0,5s
a12
10

18