(SKKN mới NHẤT) SKKN nghiên cứu quá trình phát triển tư duy giải toán của học sinh thông qua một bài toán cụ thể

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình dạy học giải bài tập tốn, nhiệm vụ của người thầy giáo
không chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn, giúp học sinh tìm ra lời giải của bài tốn
đó. Để có thể giúp học sinh rèn luyện khả năng suy luận hợp lý, hợp lôgic, khả
năng quan sát, dự đoán đồng thời bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy, hình
thành thói quen tự học như mục tiêu mơn toán đã đề ra, người thầy giáo cần phải
biết định hướng cho học sinh tìm tịi, đề xuất những bài tốn mới, từ đó sẽ khơi
gợi cho học sinh sự hứng thú khi học tốn.
Với khn khổ bài viết này, tôi muốn đề cập đến một bài tập trong sách
bài tập tốn 8 mà việc giải nó sẽ có thể giúp chúng ta đề xuất những bài học
mới.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu quá trình phát triển tư duy giải tốn của học sinh thơng qua một
bài tốn cụ thể.
- Nghiên cứu q trình phát triển tư duy sáng tạo và linh hoạt trong giải toán cho
học sinh.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Học sinh lớp 8 trong độ tuổi 14 - 15 ở trường, vì lứa tuổi này năng lực tiếp thu
của các em tương đối ổn định.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tham khảo, thu thập tài liệu.
- phân tích, tổng hợp đúc rút kinh nghiệm.
1

download by :


- Kiểm tra kết quả.
5. Giả thiết khoa học.
- Nếu chúng ta thường xuyên hướng cho học sinh từ một bài toán cơ bản rồi

phát hiện ra những bài toán mới. Từ đó tạo nên sự hứng thú trong học tập và
nâng cao hiệu quả của việc giải tốn thì kết quả học tập của các em sẽ được
nâng lên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lý luận:
Chúng ta biết rằng mọi sự vật, hiện tượng đều do một số nguyên nhân sinh ra.
Nên khi điều kiện trong nguyên nhân thay đổi thì kết quả sẽ thay đổi theo. Và
củng có thể từ những nguyên nhân ấy cũng có thể tạo ra được kết quả mới. Từ
một số điều kiện hoặc những cái đã biết ta phải chỉ ra được những cái thu được.
Nhưng việc chỉ ra được kết quả chỉ là một vấn đề yêu cầu trước mắt của bài
tốn. Mà phải rèn cho học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy
khoa học, có khả năng suy xét tìm tịi thêm những gì sau khi giải được bài tập là
hết sức quan trọng. Chẳng hạn sau khi giải xong bài tập đó các em cịn có thể
chứng minh thêm được những gì. Hay thay đổi một số điều kiện trong giả thiết
thì thu được bài toán mới nào.
2. Cơ sở thực tiễn:
Qua nhiều năm giảng dạy và tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và ngồi
huyện tơi nhận ra rằng:
- Học sinh yếu tốn là do kiến thức cịn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư
duy trong quá trình học tập.
2

download by :


- Học sinh làm bài tập rập khn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực,
độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng
tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân khơng được phát huy hết.
- Khơng ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù

hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa
cao.
- Nhiều học sinh hài lịng với lời giải của mình, mà khơng tìm lời giải khác,
khơng khai thác phát triển bài tốn, sáng tạo bài tốn nên khơng phát huy hết
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo
bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn ...
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài tốn với nhau, phát
triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học
tốn. Trước thực trạng trên địi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp
dạy và học sao cho phù hợp và có hiệu quả.
3. Các biện pháp thực hiện:
Trong q trình dạy tốn, chắc rằng các thầy cơ giáo đã có khơng ít lần gặp các
bài tốn cũ mà cách phát biểu có thể hồn tồn khác, hoặc khác chút ít. Những
bài tốn tương tự, mở rộng, các bài tốn này có cùng phương pháp giải. Nếu
giáo viên định hướng cho học sinh kỷ năng thường xuyên liên hệ một bài toán
mới với những bài tốn đã biết thì sẽ làm cho học sinh phát hiện ra rằng bài toán
3

download by :


đó khơng mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được bài tốn từ đó
định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực và chủ động. Sau
đây tơi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và để thể hiện nội
dung của đề tài.
* Bài toán:
Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung
điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?

1. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
?1: Khi M di chuyển trên BC, các em hãy dự đoán I di chuyển trên đường
nào ?
Cho M trùng với các điểm đặc biệt của đoạn BC với mỗi vị trí đó, I nằm ở
A
đâu ?
HS: M
M

B => I

P (trung điểm của AB)

C => I

Q (trung điểm của AC)

Dự đoán: I di chuyển trên đoạn PQ

I

P

Q

?2: Em có thể khẳng định dự đốn này đúng
đúng không? Muốn chứng minh I di chuyển
B

H

K

M

trên đoạn PQ cần chỉ ra I thỗ mãn điều kiện gì? Vì sao? Hãy để ý đến vai trò
của đoạn PQ trong tam giác ABC?
HS: PQ là đường trung bình của

ABC => PQ // BC. Do đó cần chứng

minh I cách BC một khoảng không đổi: Kẻ IK BC (K
minh IK không đổi.
4

download by :

BC), cần chứng

C


?3: Các em hãy suy nghĩ xem có thể so sánh IK với một khoảng cách không
đổi nào? Lưu ý:

ABC đã cho nên có các độ dài nào khơng đổi?

HS: Độ dài các cạnh AB, BC, AC.
?4: Có thể so sánh IK với các đoạn đó khơng? Hãy tìm các độ dài khơng đổi
khác có thể so sánh với IK?

?5: Khoảng cách từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện có thay đổi
khơng? Vì sao?
?6: Với giả thiết I là trung điểm của AM và IK vuông gốc với BC, ta nghĩ
đến so sánh IK với độ dài đường cao hạ từ đỉnh nào?
HS: Kẻ AH

BC ta có thể so sánh IK với AH vì IK là đường trung bình của

AHM.
2. Lời giải:
Kẻ IK BC, AH BC (K, H

BC) => IK //AH

I là trung điểm của AM (gt)
Suy ra IK là đường trung bình của
Vì AH khơng đổi nên IK =

AHM do đó IK =

khơng đổi. Nói một cách khác I nằm trên

đường thẳng song song với BC mà cách BC một khoảng
Khi M B thì I P ( trung điểm của AB)

(1)

(2)

Khi M C thì I Q ( trung điểm của AC)

M nằm trên cạnh BC => I nằm trong tam giác ABC

5

download by :

(3)


Từ (1), (2) và (3) suy ra I di chuyển trên đoạn PQ (P là trung điểm của AB, Q
là trung điểm của AC) khi M di chuyển trên cạnh BC.
3. Xem xét lời giải của bài tốn, từ đó đề xuất bài toán mới:
Qua lời giải trên ta nhận thấy, đễ chứng minh I nằm trên một đường thẳng
song song với BC ta cần chứng minh IK không đổi bằng cách so sánh với
đoạn không đổi AH. Với các giả thiết như vậy, có thể thay đổi vị trí I sao cho
IK khơng đổi ta sẽ được bài tốn mới: Em nào có thể đề xuất bài tốn mới
tương tự bài trên?
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC.Lấy điểm I 1
trên đoạn AM sao cho AM = 4I1M. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì I 1 di
chuyển trên đường nào ?
A

Bằng cách so sánh I1K1 với IK, IK với AH
=>I1K1=

( với I1K1, IK, AH là các khoảng cách

từ I1, I, A, đến BC; I là trung điểm của AM)

I

I1

P1

Q1

Lời giải tương tự bài 1:
B

H

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển
trên cạnh BC. Gọi I2 là điểm đối xứng với A qua M.
I2 di chuyển trên đường nào ?
A

6

download by :

K K1 M

C


B

H M

K2 C

I2

Bài toán 3: (Tổng quát cho trường hợp thay đổi vị trí của I trên đường thẳng
AM). Cho tam giác ABC. M là điểm di chuyển trên cạnh BC. Gọi I 3 là điểm
thuộc đường thẳng AM sao cho AM = mMI3 (m >0). I3 di chuyển trên đường
nào?
Để giải bài toán 3 cần chia thành 3 trường hợp tương ứng với 3 vị trí của I
trên đường thẳng AM.
TH1: I nằm giữa A, M => I di chuyển trên một đoạn thẳng.
TH2: I nằm trên tia đối của tia MA => I di chuyển trên một đường thẳng nằm
trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A (bài 2)
TH3: I nằm trên tia đối của tia AM => I di chuyển trên 1 đường thẳng thuộc
nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A.
Ta cịn có thể thay đổi vị trí của các điểm nào để có các bài tốn tương tự?
Với việc thay đổi vị trí của M cũng cho ta các bài toán:

7

download by :


Bài toán 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên tia đối của BC, I 1 là
trung điểm của AM. I1 di chuyển trên đường nào ?
A

I1
z

D

M

C

B

Bài toán 5: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên đường thẳng BC. Gọi
I2 là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho AM = m.MI 2 (m>0) di chuyển trên
đường nào.
Đồng thời với thay đổi vị trí I, M thay đổi vị trí của A ta có:
Bài tốn 6: (Bài tốn tổng qt )
Cho tam giác ABC, có cạnh BC cố định, A di chuyển trên đường thẳng song
song với BC và cách BC một khoảng không đổi h. M di chuyển trên đường
thẳng BC. Gọi I là 1 điểm thuộc đường thẳng AM sao cho AM = mIM
(m>0). I di chuyển trên đường nào ?
Trong các bài toán trên, giả thiết cho cạnh BC cố định ngoài việc đảm bảo
khoảng cách từ A đến đường thẳng BC không đổi cịn nhằm mục đích giới
hạn miền di chuyển của I, nếu khơng tính đến giới hạn của I, ta có thể thay

8

download by :


giả thiết cho cạnh BC cố định bằng giả thiết cho đường thẳng cố định ta có
bài tốn tổng qt cho tất cả các bài toán trên.

Bài toán 7: Cho hai đường thẳng song song a và d. Một đường thẳng c thay
đổi nhưng luôn cắt a và d. Gọi A, M thứ tự là giao điểm của c với a, c với d.

Gọi I là một điểm trên đường thẳng c sao cho AM = m.IM (m >0). Khi c thay
đổi thì I di chuyển trên đường nào?

c

a

A

I

M
d

H

K

Em hãy nêu hướng giải quyết bài toán này? Đưa về bài toán đã biết?
HS: Kẻ AH d (tại H). Kẻ đường IK d (tại K). Bài toán này trở thành bài
toán 6.
9

download by :


Ở bài tốn I ta có thể thay đổi vị trí của các điểm nhưng ln ln đảm
bảo khoảng cách AH khơng đổi ta được các bài tốn tổng qt hơn. Bây giờ,
nếu cố định một số điểm ta được các bài toán là trường hợp riêng của bài
toán 7.

Bài tốn 8: (Cố định A và B) cho khác góc bẹt. Trên tia Bx lấy điểm A sao
cho AB = 2cm. M là một điểm bất kỳ thuộc tia By. Gọi I là trung điểm của
AM. Khi M di chuyển trên tia By thì I di chuyển trên đường nào ?
Thay đổi số đo của

ta được các bài toán là trường hợp đặc biệt của bài

toán 8.
Bài toán 9: Cho = 900 trên tia Bx lấy điểm A sao cho AB = 2cm. M là điểm
bất kỳ trên tia By. Gọi I là trung điểm của AM. Khi M di chuyển trên tia By
thì I di chuyển trên đường nào?
x

A
I
z

D

y
B

K

M

10

download by :

Bài tốn 10: Cho góc =300. Trên tia Bx lấy điểm A sao cho BA=2 cm. M là
tia bất kỳ trên tia By. Khi M di chuyển trên tia By thì trung điểm I của AM di
chuyển trên đường nào?
x

A

I

z

D
300
B

H

K

M

y

Trở lại với bài tốn ban đầu, có thể thay giả thiết I là trung điểm của AM
bằng các giả thiết khác mà từ đó cũng suy ra được I là trung điểm của AM
khơng? Nhớ lại tính chất của đường chéo hình bình hành? Để có được I là
trung điểm của AM, hãy tạo ra một hình bình hành nhận AM là đường chéo?
Từ đó ta có bài tốn:

Bài tốn 11: Cho tam giác ABC. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Kẻ MD//
AC (D AB), ME // AB

. Gọi I là trung điểm của DE, khi M di

chuyển trên cạnh BC thì I di chuyển trên đường nào?
Ta dễ dàng nhận thấy, bài tốn 11 chính là bài toán I sau khi chứng minh
được I là trung điểm của AM

A

11

download by :


M
D
I
P

Q

C
B

H

K

E

Từ bài tốn 11, ta có thể đề xuất các bài tốn mới là trường hợp riêng của nó
bằng cách thay đổi số đo góc A.

Bài tốn 12: Cho tam giác ABC vuông ở A. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.
Gọi D, E thứ tự là chân các đường vng góc kể từ M đến AB, AC .
Gọi I là trung điểm của DE. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì I di chuyển
trên đường nào?
B
M
D

K
I

P

H

C
A

E

Q

12

download by :

Nếu tiếp tục thay đổi vị trí của M trên đường thẳng BC, thay đổi vị trí của A
như các bài toán trên ta lại được những bài toán mới nữa.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình giảng dạy năm học vừa qua khi áp dụng kinh nghiệp
của mình để soạn giảng và vận dụng vào thực tế thì tơi thấy có sự thay đổi:
- Học sinh đã có những thái độ học tập tích cực, thích thú hơn trong
tiết học, chủ động nêu lên những thắc mắc, khó khăn về bộ mơn với giáo
viên, các em hưởng ứng rất nhiệt tình. Bên cạnh đó những bài tập giao về
nhà đã được các em làm một cách nghiêm túc, tự giác học bài và nắm được
các kiến thức cơ bản sau khi học xong mỗi bài.
- Phần lớn chất lượng các bài kiểm tra đã được nâng lên.
Cuối năm học kết quả cụ thể lớp 8A với 35 học sinh là.
Tổng số
HS
Đầu năm

Giỏi
SL
7

Cuối năm 10

%

Khá
SL

%

TB
SL

Yếu
%

SL

Kém
%

SL

%

20

16

45,7

12

34,3

0

0

0

0

28,6

18

51,4

7

20

0

0

0

0

C. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ:

13

download by :

Như vậy từ một bài tốn ta có thể xây dựng được nhiều bài toán khác. Muốn
vậy học sinh phải nắm được các yếu tố bản chất cũng như không bản chất
của bài tốn đó để thay đổi các yếu tố không bản chất và giữ lại các yếu tố
bản chất để có bài tốn mới. Từ đó giúp học sinh giải quyết được rất nhiều
bài toán chỉ từ một bài tập. Đồng thời rèn cho học sinh khả năng biết nhận
dạng bài tốn, đưa nó về dạng quen thuộc.
Trong q trình thực hiện đề tài, bản thân tơi đã có nhiều cố gắng song khơng
thể tránh khỏi những sai sót, mong rằng bạn đọc góp ý bổ sung để đề tài được
hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thạch Hà, tháng 09 năm 2016

14

download by :