(SKKN mới NHẤT) SKKN sáng kiến kinh nghiệm về đường phụ trong hình học 7

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
MC LC
STT

NI DUNG

PHN I: M ĐẦU.

1

2

3

1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Giới hạn đề tài
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu.
6. Phương pháp nghiên cứu.
7. Kế hoạch nghiên cứu.

PHẦN II: NỘI DUNG.
I. Cơ sở lý luận.
II. Cơ sở thực tiển.
III.Một số bài toán vẽ thêm yếu tố phụ.
Chương I: Đường thẳng vng góc. Đường thẳng song song.
1.
Hai góc đối đỉnh. Hai đường thẳng vng góc.
2. Tiên đề Ơ - ctit về đường thẳng song song. Từ vng góc đến

song song.
3. Định lí.
Chương II: Tam giác.
1. Tổng ba góc của một tam giác.
2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác.
3. Tam giác cân. Tam giác đều
4. Định lí Py - Ta - Go.
PHẦN IV: KẾT LUẬN.
A

4
PHẦN V: TI LIU THAM KHO

1

2

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình
học lớp 7
2
1

B
download by :
1

C


Châu Văn Long

Trờng THCS Sơn Thủy

PHN I: M U
1. Lý do chọn đề tài:
Trong khi tìm phương pháp bài giải tốn hình học, ta gặp một số bài tốn nếu
khơng vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự
liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải tốn trở nên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn.
Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu
tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải tốn là điều khó khăn phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung nhất cho việc
vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là sự sáng tạo trong khi giải tốn, bởi vì việc vẽ thêm các
yếu tố phụ nhằm mục đích là tạo điều kiện để giải được bài tốn một cách ngắn gọn chứ
khơng phải là việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các phép
dựng hình cơ bản và các bài tốn dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra
cách vẽ thêm các yếu tố phụ nhưng khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì
sao phải làm như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên tại sao thầy (cô) lại nghĩ ra được cách
vẽ dường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này cịn có cách vẽ nào nữa khơng? Hay tại sao
chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? ...gặp phải tình huống như vậy quả thật
người giáo viên cũng phải rất vất vã để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao,
học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài tốn tương tự vì các em chưa biết các
căn cứ cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: Để giải
quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi
dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em
những cơ sở của việc vẽ thêm các đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi
vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài tốn hình học cần phải vẽ thêm các yếu tố
phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài tốn, các em có thể chủ động tư duy tìm
hướng giải quyết cho bài tốn, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
Như chúng ta đã biết học tốn mà đặc biệt là mơn hình học, mỗi học sinh đều
cảm thấy có những khó khăn riêng. Nguyên nhân của những khó khăn đó là.
1. Nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơ bản các định lý tính chất của

các hình đã học. Một số chỉ “Học vẹt” mà không biết vận dụng vào giải các bài tập.
2. Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ bản
nhưng khơng có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng khác
nhau. Do vậy cũng không có điều kiện hướng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận dụng
các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá trình học tập.
3. Đối với bộ mơn hình học, ngồi các bài tốn về chí thơng minh hình học cịn
có các bài tốn về dựng hình và quỷ tích là những dạng tốn đặc biệt khó mà thời gian
để học các dạng tốn này trên lớp lại khơng nhiều, học sinh ít được luyện tập ở lớp cũng
như ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thường rất lúng túng. Để khắc phục
những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở và giả quyết tốt các bài tốn hình
học. Tơi xin đề cập một số bài toán vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hỡnh hc 7
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
2


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
nhm giỳp cỏc em hiu thấu đáo cách vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết các bài
tốn chứng minh hình học.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm giúp các em nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy
tổng quát cho học sinh, trang bị cho các em những cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ,
và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cánh nhận biết một bài
tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài tốn
các em có thể chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài tốn.
3. Giới hạn đề tài:
Đưa ra một số bài toán cơ bản của chương I, chương II để vẽ thêm yếu tố phụ
trong giải tốn hình học 7 trong các bài tập SGK, sách BT và một số bài tập nâng cao.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Giáo viên nghiên cứu đưa ra các ký năng phân tích, suy luận để tìm ra các buớc
vẽ đường phụ. Thông thường vẽ thêm các đường phụ cần tuân theo các bước cơ bản sau
- Tìm hiểu đề bài tốn.
- Tìm hiểu các yếu tố liên quan đế bài toán.
- Tạo ra các đường phụ bằng các bước dựng hình cơ bản như: Tao ra đường
thẳng, đoạn thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng song song, vng góc,.....
5. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu và áp dụng tại trường THCS Sơn Thuỷ.
6. Phương pháp nghiên cứu:
Các phương pháp cơ bản là quan sát ước lượng, thực nghiệm, phân tích, khảo sát,
kết hợp với tham khảo tài liệu.
7. Kế hoạch nghiên cứu.
- Nghiên cứu cách vẽ các yếu tố phụ, các bài tốn dựng hình cơ bản, tài liệu từ đó
phân loại dạng tốn và áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 7A, 7C. Nhận xét, khảo sát
đánh giá rút kinh nghiệm và bổ sung các kiến thức cần thiết có liên quan đến phương
pháp giải tốn này.

PHẦN II: NỘI DUNG
I - CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số
bài tốn dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài tốn dựng hình cơ bản trong chương
trình THCS.
Bài tốn 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
* Cách dng:
a
C
b
c

b

a

A

B

c

x

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
3


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

- Dng tia Ax.
- Dng đường tròn(A; c). Gọi B là giao điểm của đường tròn ( A; c) với tia Ax.
- Dựng đường tròn (A; b) và đường tròn (B; a), gọi C là giao điểm của chúng. Tam giác
ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b và BC = a.
- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; b) và ( B; a) khơng cắt nhau thì khơng dựng được tam
giác ABC.
Bài tốn 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng:

- Gọi là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được
OAB.
- Dựng O’A’B’ = OAB ( c.c. c) như bài toán 1, ta được = .
A

O

x

A’

B

O’

y

B’

Bài tốn 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( A; r ) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dựng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD là tia phân giác

của xAy
.
Thật vậy: ABD = ACD ( c- c- c) =
x
B
r

r
A

D

1
2
r

r
C

y
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
4

z


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

Bi toỏn 4: Dng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
- Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của
CD và AB là trung điểm của AB.
C

A

B

D

*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng a
cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực của AB là đường thẳng vng góc với đường thẳng a
C

a

A

B

D

Trên đây là các bài tốn dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà khơng cần nhắc lại
cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ
vÏ thªm u tè phơ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
5

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
bn ó dng v thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
II - CƠ SỞ THỰC TIỂN
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai
tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta
thường làm theo một cách gồm các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai
tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng
nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải tốn thì khơng phải lúc nào hai tam giác cần có cũng
được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được
các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải tốn. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào
học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải tốn hình học nói
chung và tốn hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tơi đã tích luỹ được một số
cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất
hiệu quả.
* Kết quả khảo sát chất lượng năm 2009 – 2010: Kiểm tra 15 phút lớp 7A, 7B, 7C.
Bài toán 2 ở phần chương II. Kết quả cho thấy điểm khá giỏi chưa cao(24,8%), vẫn còn
học sinh bị điểm yếu, kém.
Điểm TB trở
Điểm 0 - 2
Điểm <2-<5
Điểm K + G

lên
Lớp
Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
7A
32
1
3.1
11
34,4
20
62,5
8
7B5,0
34
1
2,9
12
35,3
21
61,8
9
24,5

7C
35
2
5,7
13
37,1
20
57,1
8
22,9
Kết quả trên vẫn còn thấp cho nên tôi tiếp tục áp dụng các phương pháp vẽ thêm
yêu tố phụ trong các bài toán đã thư nghiệm năm trước và suy nghĩ thêm các biện pháp
dạy học phù hợp nhăm giúp học sinh có hứng thú trong học tập và nâng cao chất lượng
day học bộ mơn.
III. MỘT SỐ BÀI TỐN VẼ THÊM Ú TỐ PHỤ
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để
vẽ thêm yếu tố phụ trong giải tốn Hình học 7:
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG SONG

1. Hai góc đối đỉnh, hai đường thẳng vng góc:
Bài tốn 1: Cho hai góc kề bù và . Vẽ tia phân giác Oz của . Trên nữa mặt
phẳng bờ xx’ có chứa tia Oy vẽ tia Oz’  Oz.
Chứng tỏ rằng tia Oz’ là tia phân giác của góc .
1. Hướng suy nghĩ:
- , kề bù. Oz là tia phân giác của và hai tia Oz và Oz’ vng góc với nhau. Vậy
vẽ thêm đường phụ là tia phân giác Ot của và chứng minh được hai tia Ot, Oz’ trùng
vÏ thªm yÕu tố phụ để giảI một số bài toán hình học líp 7

download by :
6

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
nhau ta s gii c bài toán.
2. Lời giải:
t

y

z'

z

x

0

x'

Vẽ tia Ot là tia phân giác của . Hai tia Oz và Ot lần lượt là hai tia phân giác
của hai góc kề bù , , do đó Oz  Oz’. Mà theo đầu bài ta có Oz  Oz’, nên hai tia Ot,
Oz’ trùng nhau. Vậy Oz’ là tia phân giác
Bài toán 2: Cho nhọn. Trên nữa mặt phẳng chứa tia Oy có bờ là đường thẳng
chứa tia Ox, vẽ tia Oz vng góc với tia Oy, trên nữa mặt phẳng kia vẽ tia Ot vng góc
với tia Ox. Gọi Om là tia phân giác của , On là tia phân giác của .
Chứng tỏ rằng hai tia Om và On là hai tia đối nhau.
1. Hướng suy nghĩ: Phương pháp giải bài toán 1 sẽ thích hợp cho việc giải bài
tốn này. Vẽ đường phụ là tia On’ là tia đối của tia Om và chỉ còn chứng minh hai tia
y

On, On’ trùng nhau.
2. Lời giải:
m
z

x
O
n'
n

t

Vẽ tia On’ là tia đối của tia Om
Hai tia Om và Ot thuộc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng chứa tia Ox
nên tia Ox nằm giữa hai tia Om và Ot.
Ta có: = + = + 900
+ = 1800 (hai góc kề bù)
 = 1800 - = 1800 - ( + 900) = 900 - (1)
Chứng minh tương tự ta có:
= 900 (2)
Mà xOm = mOy (Om là tia phân giác ) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có =
Mà tia On’ nằm gữa hai tia Ot và Oy nên On’ là tia phân giác ca .
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
7


Châu Văn Long

Trờng THCS Sơn Thủy
Vy hai tia On v On’ trùng nhau.
 Hai tia Om và On là hai tia đối nhau.
2. Tiên đề Ơ - clit về đường thẳng song song. Từ vng góc đến song song:
Bài tốn 3: Cho hình bên biết = 
=  và =  + 

x
Chứng minh: Ax//By.
A +



C

1. Hướng suy nghĩ:
- Muốn chứng minh Ax//By, ta chứng minh chúng cùng song song với đường
thẳng thứ ba.
y
B
- Vì = , =  và =  +  tạo ra tia Cz sao cho =. Như vậy Ax//Cz. Hơn
Nữa, ta có = , như vậy = Cby  By // Cz. Do đó Ax // By
2. Lời giải:
Vẽ tia Cz sao cho = 

Ta có = =  (so le trong).

Do đó Ax // Cz. (1)
x
Trê nữa mặt phẳng bờ AC có <

A
(vì  <  + ) nên tia Cz nằm giữa hai
tia CA và CB.
Ta có: + =  = - = ( + ) -  = 
C
Vì = = ; BCz và CBy so le trong, do đó: By //z Cz (2)
Từ (1), (2) ta có Ax // By.
Bài tốn 4: Trên hinh bên cho biết:
= +
Chứng minh: Ax // By.

x

B

A

y

B
y
C

1. Hướng suy nghĩ:
Từ lời giải bài 1 ta nghĩ đến đường phụ là tia Cz sao cho Cz và Ã ở trên hai nữa
mặt phẳng đối nhau bờ là AC và = để có Ax // Cz. Kết hợp với
= + = + = để có By // Cz, ta sẽ chứng minh được Ax // By.
2. Lời giải:
Vẽ tia Cz sao cho Cz và Ax ở trên hai nữa mật phẳng đối nhau bờ là AC và
= , do đó Ax // Cz. (1)

x
Mặt khác = +
A
= +
=
B
Ta có =
và so le trong.
y
 By // Cz.
(2)
vÏ thªm u tố phụ để giảI một số bài toán hình học líp 7

download by :
8
C

z


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
T (1), v (2) ta có Ax // By.
3. Định lí:
Bài tốn 5: Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn xOy và x’Oy’ có Ox // Ox’,
Oy // Oy’, thì =
1. Hướng suy nghĩ:
Vì có những cặp đường thẳng song nên ta vận dụng tính chất của hai đường thẳng
y'
song song, yếu tố phụ cần vẽ là đường thẳng OO’.

2. Lời giải:
y
GT

và đều nhọn
Ox // O’x’; Oy // Oy’

1
2

Kl

=

y

O
1

2
x

O

* Chứng Minh:
Vẽ tia OO’ ta có
= ( và đồng vị Oy // Oy’)
= ( và đồng vị Ox // Ox’)
 + = + hay =
* LƯU Ý: Nếu thay giả thiết hai góc nhọn bởi “hai góc tù” và giải tương tự như

trên cũng có = . Hai , gọi là hai góc có cạnh tương ứng song song
Thật thú vị ta có được tính chất về hai góc có cạnh tương ứng song song.
TÍNH CHÂT: Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng bằng nhau nếu
cả hai đều nhọn hoặc tù.
Bài toán 6: Chứng minh rằng: Nếu nhọn và tù có Ox // Ox’,
Oy // Oy’, thì + = 1800
1. Hướng suy nghĩ:
tù, do vậy góc kề bù với góc xOy là góc nhọn
Từ đó ta nghĩ đến vẽ tia O’t là tia đố của tia O’x’ để được góc nhọn
2. Lời giải:
GT
Kl

y

nhọn và tù
Ox // O’x’; Oy // Oy’

y'

+ = 1800
x'
O

O'

t

x

* Chứng minh:
Như vậy và tO’y’ cùng nhon có Ox // O’t, Oy // Oy’. Theo kết quả bài 5 cho ta
xOy = tO’y’. Ta cũng có tO’y’ + x’Oy’ = 1800 (hai góc kề bù).
 + = 1800
vÏ thªm u tố phụ để giảI một số bài toán hình học líp 7

download by :
9


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
LU í: Nu thay nhọn và tù” bởi “ tù và nhọn” ta cũng có kết quả +
= 180 .
Chung ta lại có tính chất về hai góc có cạnh tương ứng song.
TÍNH CHẤT: Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng bù nhau nếu
một góc nhọn góc tù.
Từ hai tính chất có được từ bài 5, bài 6 ta có được định lý sau.
ĐỊNH LÍ: - Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì.
+ Chúng bằng nhau nếu hai góc đều nhọn hoặc đều tù.
+ Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù.
0

CHƯƠNG II: TAM GIÁC

1. Tổng ba góc của một tam giác:
A
Bài tốn 7: Trên hình bên cho biết”
ACB = xAC + CBy
Chứng minh rằng: Ax // By

1. Hướng suy nghĩ:
Đây là bài toán 3 Chương I, ta sẽ giải bài toán này bằng cách
B
vận dụng đến kiến thức “Tổng ba góc của một tam giác”
Gọi B’ là giao điểm của BC và Ax, đó là yếu tố phụ mà ta cần vẽ
2. Lời giải:
A
GT
= +
KL

Ax // By

KL

* Chứng minh: Nối A và C

y

B'

x

y

B

x

y

x

A

+ + = 3600
Ax // Cy.

C

C

* Chứng minh:
Gọi B’ là giao điểm đường thẳng BC và Ax.
Ta có = + ( là góc ngồi của AB’C).
Mặt khác = + (gt).
 = . Mà và so le trong nên: Ax // By.
* CHÚ Ý: Ta chứng minh được rằng Ax // By  = +
Bài tốn 8: Trên hình bên biết.
A
+ + = 3600
Chứng minh: Ax // Cy.
1. Hướng suy nghĩ:
B
- Giải hoàn toàn tương tự bài 7.
- Đoạn thẳng AC là yếu tố phụ cần vẽ.
C
2. Lời giải:
GT

x

B

C

vÏ thªm u tè phơ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
10

y


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Tia AC nm gia hai tia Ax và AB nên = +
Tia CA nằm giữa hai tia Cb và Cy nên = +
Mà + + = 3600 (gt).
+ + + + = 3600
( + + ) + ( + ) = 3600.
1800 + ( + ) = 3600 nên + = 3600 - 1800 =1800
Mặt khác và là hai góc trong cùng phía nên Ax // Cy.
Bài toán 9: Cho điểm M nằm trong ABC
Chứng minh: >
1. Hướng suy nghĩ: Yếu tố phụ cần vẽ là điểm D giao điểm của BM và AC.
2. Lời giải:
A
GT Cho ABC, M ở trong ABC
KL

>

* Chứng minh:
Vẽ tia BM cắt AC tại D.
Ta có > ( là góc ngồi của MDC).
> ( là góc ngồi của ABD)
B
 >
2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
Bài toán 10: Trên hình vẽ biết AB = DC, AD = BC
Chứng minh: AB // DC, AD // BC
1. Hướng suy nghĩ: Đoạn thẳng AC là yếu tố phụ cần vẽ.
2. Lời giải:
A
GT AB = DC, AD = BC
KL

M

D

C

B

AB // DC, AD // BC

C
* Chứng minh:
D

A
Nối A và C.
Xét ABC và CDA có:
AB = CD (gt), AC cạnh chung, BC = AD (gt).
Do đó ABC = CDA (c-c-c).
C
 = và =
D
Ta có = mà và so le trong nên AB // DC.
Mặt khác = mà và so le trong nên AD // BC.
Bài tốn 11: Cho tam giác ABC có AB = AC
Chứng minh rằng =
1. Hướng suy nghĩ:
- Ta thấy rằng phải tạo ra hai tam giác bằng nhau mà có hai góc tương ứng là
, chọn điểm phụ là trung điểm M của đoạn thẳng BC.
2. Lời giải:

vÏ
GTthªm
ABu
= ACtè phơ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

KL

download
by :
=
11

B

và


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

* Chng minh:
Gi M l trung điểm đoạn thẳng BC. Nối A và M.
A
Xét MAB và MAC có AB = AC (gt)
MB = MC
AM (cạnh chung),
 MAB = MAC (c-c-c)
 = hay ABC = ACB
LƯU Ý: MAB = MAC  =
Mà + = 1800 (hai góc kề bù).
 = = 900
C
B
Do đó AM là đường trung trực của đoạn BC
M
Bài toán 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh BC
Chứng minh rằng: AM = BC
1. Hứng suy nghĩ:
- AM = BC  2AM = BC.
- Tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
thẳng đó.
Như vậy, dễ nhận ra rằng yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung
điểm của AD.

2. Lời giải:

GT
KL

ABC, A =900
M là trung điểm BC

A

AM = BC
C

M
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
B
MD = MA
Xét MAC và MDB có
MA = MD
AMC = DMB (đđ).
D
MC = MB (gt)
Do đó MAC = MDB (c-g-c)
 AC = DB, =
=
và MDB à hai góc so le trong nên AC // DB
Ta có AC // DB, AC  AB  BD  AB  = 900
Xét ABC và BAD có
AC = BD
= = 900

vÏ thªm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình häc líp 7

download by :
12


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
AB cnh chung
ABC = BAD (c-g-c)
 BC = AD mà AM = AD, do đó AM = BC
Bài tốn 13:Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và AC. Chứng minh rằng MN // BC và MN = .
1. Hướng suy nghĩ:
- Để chứng mi nh BC = 2MN, ta tạo ra một đoạn thẳng bằng 2MN, rồi chứng minh
đoạn thẳng đó băng BC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
- Dễ dàng chứng minh được DM = BC.
2. Lời giải:
GT
KL

ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC
MN // BC, MN =

* Chứng minh:
Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho ND = MN.
Xét NMA và NDC có NM = ND, = (đđ), AN = NC (gt).
Do đó NMA = NDC (c - g- c).
 AM = DC, = .

Ta có = , và (so le trong)
 AB // CD  =
Xét BMC và DCM có:
A
MB = DC (= AM)
= (c/m ở trên).
MC cạnh chung.
D
Do đó BMC = DCM (c - g - c)
M
 = , BC = DM
= ; và (so le trong)
 MN // BC, BC = DM, MN = DM.
B
 MN =
C
CHÚ Ý: Từ kết quả bài toán này ta chứng minh được “ Nếu tam giác ABC có M
là trung điểm cạnh AB, N trên cạnh AC và MN // BC thì N là trung điểm cạnh AC”
Bài toán 14: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm D, E sao cho BD =
CE. Qua D và E vẽ các đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC ở F và G
Chứng minh rằng: DF + EG = AB.
* Cách 1:
Chia đoạn thẳng thứ ba thành hai phần một cách hợp lí, rồi chứng minh một phần
bằng đoạn thẳng thứ nhất và phần còn lại bằng đoạn thẳng thứ hai.
A
Vì DF // AB cho nên vẽ thêm DH // AC ( H  AB)
Giúp ta có AH = DF mà AB = AH + HB và chỉ cần
F
chứng minh rằng HB = EG là được. Điều này đạt được vì
H

G
BHD = EGC (g-c-g)
N

vÏ thªm u tố phụ để giảI một số bài toán Bhình học líp 7

download by :
13

D

E

C


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Bng cỏch tng t ta cũng có thể vẽ thêm KE // AC
(K  AB) để có KA = EG và chứng minh rằng KB = DF.
* Cách 2:
Vẽ một đoạn thẳng “bù thêm” một trong hai đoạn thẳng một cách thích hợp rồi
chứng minh rằng đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng thứ ba
A
P
Và đoạn thẳng bù thêm bằng đoạn thẳng kia.
Vì DF // AB cho nên vẽ thêm AP // BC (P  đường thẳng DE)
F
ta chứng minh được AB = PD mà PD = DF + PF. Do vậy chỉ
H

G
cần chứng minh thêm PF = EG. Điều này ta cũng có được
vì APF = CEG. Và như vậy cũng có thể vẽ thêm AQ // BC
B
(Q  đường thẳng EG) tương tự như trên ta cũng
C
E
D
chứng minh được AB = DF + EG
* Cách 3:
Vẽ thêm một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng rồi chứng minh đoạn thẳng này
bằng đoạn thẳng thứ ba.
A
Trên tia đối của tia DF lấy điểm M sao cho DM = EG
Ta đã có: MF = DF + DM nên chỉ còn chứng minh rằng
F
AB = MF
H
G
Từ MBD = GCE (c-g-c) ta có =
 BM // À, kết hợp với AB // DF ta có AB = MF.
B
Hồn tồn tương tự có thể vẽ thêm điểm N trên
C
E
D
tia đối EG sao cho EN = DF.
Cách 4:
M
Vẽ thêm một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn thẳng thứ ba và một trong hai đoạn

thẳng kia rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng còn lại.
Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho BI = EG và chỉ cần
A
Chứng minh AI = DF là được
Từ BID = EGC (c-g-c) ta có IDB = GCE
F
 AF // ID
I
G
Kết hợp với AB // DF ta có AI = DF
Và tương tự ta cũng có thể vẽ thêm điểm J trên cạnh AB
B
Sao cho BJ = DF.
C
E
D
Bài toán 15:
Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng
nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1. Hướng suy nghĩ:
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
A
thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm
làA điểm D sao cho M là
trung điểm của AD.
1
2. Chứng minh:
ABC; = 900 ;
GT
AM là trung tuyến

2
B
C
B
M 1
KL
AM = BC
C
M

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
14

D


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Trờn tia i ca tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét  MAC và  MDB ta có:
 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
 = ( hai góc đối đỉnh)
 MB = MC ( Theo gt)
  MAC =  MDB ( c - g - c)
 AB = CD (2 cạnh tương ứng)
= (2 góc tương ứng). (1)
Từ  =  AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Lại có: AC  AB ( gt)  AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vng góc)

 = 900, = = 900 (2)
Xét  ABC và  CDA có:
AB = CD ( Theo (1))
= = 900 (2) ( Theo (2))
AC là cạnh chung
  ABC =  CDA ( c - g - c)
 BC = AD ( 2 cạnh tương ứng ) Mà AM = AD nên AM = BC
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh AM = BC ta đã vẽ thêm đoạn thẳng
MD trên tia AM sao cho MD = MA, do đó AM = AD Như vậy chỉ còn phải chứng
minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một
trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
Bài toán 16:
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC.
So sánh So sánh và ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2 )
1. Hướng suy nghĩ:
Hai góc BAM và MAC khơng thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai
góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó
dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố
phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
2. Chứng minh:
ABC; AB < AC
GT
M là trung điểm BC
So sánh và ?
KL

A

B

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét  MAB và  MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
= ( vì đối đỉnh)
B
MB = MC ( Theo gt)

A
1

C

M
2

1

M

C

2

vÏ thªm u tố phụ để giảI một số bài toán hình học líp 7

download by :
15

D


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
MAB = MDC ( c - g - c)
 AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
Và = (2 góc tương ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt)  CD < AC.(3)
Xét ACD có:
CD < AC ( theo (3))

= (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
 Mà = ( theo (2) nên < hay
<
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc khơng phải trong cùng
một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
trong một tam giác. Ta đã chuyển góc và
về cùng một tam giác bằng cách vẽ
đường phụ như trong bài giải, lúc đó và , ta chỉ cịn phải so sánh và ở trong cùng
một ADC.
3. Tam giác cân, tam giác đều:
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong
hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi.
Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú
ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vng cân.

- Tam giác vng có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vng bằng nửa cạnh
huyền...
Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thơng qua mối
liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu
trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng
của chúng bằng nhau).
Bài tốn 17: Cho tam giác ABC cân tại A, = 200 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao
cho AD = BC. Chứng minh rằng = .
1. Hướng suy nghĩ: Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc
ở đáy là 800. Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của
A
tam giác đều  Vẽ tam giác đều BMC
2. Chứng minh:
GT ABC; AB = AC; = 200 AD = BC (D AB)
KL

D

= ..

Ta có: ABC; AB = AC; = 200 ( gt)
 = = = 800
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),

M

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hìnhBhọc lớp 7

download by :
16

C


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
ta c: AD = BC = CM đồng thời
= = 800 - 600 = 200
Ta có  MAB =  MAC ( c - c - c)  MAB = MAC = 200 : 2 = 100
Xét CAD và ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
= (= 200)
AC là cạnh chung
Do đó CAD = ACM ( c -g -c )
 = = 100. Vậy = BAC
4) Nhận xét:
* Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc ở đáy là 80 0. Ta
thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta
vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác
đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều
giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
* Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
Cách 2:
Vẽ EAD đều nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra = 600 + 200 = 800 =
Khi đó EAC = CBA (c.g.c) vì:
A
EA = BC
=
AC = AB
E

 CE = CA và =
Mặt khác CDA =  CDE (c.c.c) vì:
DA = DE
D
CD chung
CA = CE
 = = = = 100
?
Vậy =
2
1 dẫn
Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng
học sinh làm thêm theo cách sau:
A
0
B 80
C
Cách 3 :
1
Vẽ tam giác đều EAC nằm ngồi
0
ABC, tạo ra = 80 =
E
1
Khi đó DAE = CBA (c.g.c) vì :
AE = BA ( = AC )
2
D
0
= (= 80 )

AD = BC
 E1 = A1 =200 , DE = AC.
?

DE = AC mà AC = CE nên DE = CE do đó DEC cân tại đỉnh E, có góc ở đỉnh
0
= 600- 200 = 400  góc đáy = (1800 - 400) :B2 =
80070
C
Do đó = - = 700 - 600 = 100 . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
vÏ thªm u tè phơ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
17


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Cỏch 4 :
A
V tam giỏ đều ABE ( E,C nằm cùng phía đối với AB)
1
tạo ra = 800 - 600 = 200 =
Khi đó  CBE = DAC (c.c.c) vì :
CB = AD (gt)
BE = AC ( =AB)
D
= (= 200)
 =
2 E

Vậy để tìm ta chỉ cần tính
0
0
Ta có AE = AC (=AB) nên AEC cân tại A lại có góc ở đỉnh =60 - 20 =1 400
?
Nên góc ở đáy = (1800 – 400) : 2 = 700
1
Mà góc = 600 (góc trong tam giác đều ABE)
0
B 80
 = - = 700 - 600 = 100
C
 = 100 Hay = 100 Vậy DCA =
Ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ;
AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ
tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví
dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển
khai theo phương pháp đó.
Ngồi ra cịn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA
dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi
người và bắt nguồn từ việc u thích mơn Hình học.
Bài tốn 16. Cho ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho
= = 150 . Tính = ?
B
1. Hướng suy nghĩ :
Điều đầu tiên trong bài toán này là HS phải phát hiện ra
tam giác AEC cân tại E vì có hai góc bằng 150
từ đó suy ra EA = EC và = 1800 - 2.150 = 1500.
Cũng như ở bài toán 8, ở bài toán này các em
E

sẽ sớm phát hiện thấy =750 và = 150
0
0
0
mà 75 - 15 = 60 là góc của tam giác đều
A
C
0
0
0
0
0
( Cũng có em nhận xét: = 45 , = 15 và 45 + 15 = 60 ).
Còn đối với những em chưa xác định được điều gì ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em
tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. Từ đó có thể hướng
dẫn các em các cách vẽ thêm tam giác đều như sau :
Cách 1 : Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE tạo ra
= 900 - (600 + 150) = 150  = (= 150) .
Khi đó BAK = CAE (c.g.c) vì :
AB = AC (gt)
=
AK = AE ( cạnh  đều )
Từ đó dẫn đến ABK cân tại K và có góc ở đáy bằng 150 nên góc ở đỉnh là
= 1800 - 2.150 = 1500
150

150

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
18


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
M = 600 nờn K2 = 3600 - (1500 + 600) = 1500
AKB = EKB (c.g.c) vì :
AK = EK ( cạnh  đều AKE )
= (= 1500)
BK chung

B

1 2

K
?

E

Từ đó suy ra = = 150 và AB = EB dẫn đến  ABE cân tại B có góc ở
đỉnh
15
15
0
0
0
0
A

= 15 + 15 = 30  = = = 75
C
- Cách 2: Vẽ tam giác đều KCE ( như hình vẽ ) nằm phía ngồi AEC, tạo ra
=
0
= 75 . Khi đó KCA = EAB (c.g.c) vì :
KC = AE ( = EC)
B
= = 750
AC = AB ( gt )
 = (*)
Lại có AEC cân tại Ecó góc đáy
K
= = 150  = 1800 - 2.150 = 1500
mà = 600 nên = 3600 - (1500 + 600) = 1500
Xét AEC và AEK có :
E
?
EC = EK ( Cạnh của  đều EKC)
A
= (= 1500)
C
AE chung
Do đó AEC = AEK (c.g.c)
B
0
0
0
0
 = = 15  = 15 + 60 = 70

Mà = ( theo (*)) nên = 750
- Cách 3:
Vẽ tam giác đều AKB (K, C nằm cùng phía đối với AB)
tạo ra = = 150
K
Khi đó : EAC = EAK (c.g.c) vì :
AC = AK ( = AB)
B
= = 150
? E
EA chung
15
15
A
Từ đó suy ra EC = EK
C
Xét ABE và KBE có :
AB = KB ( Cạnh  đều ABK )
AE = EK ( = EC )
? E
BE chung
1 2
0

0

150

150

0

0

A

C

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
19

K


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

Vy ABE = KBE (c.c.c)
= = = .600 = 300
Như vậy BEA có = 300, = 750; , áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác ta có =
750
- Cách 4 :
Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngồi ABC
tạo ra = = 750
Khi đó BAE và KAE có :
AB = AK (=AC )
AE chung
= .

B
Do đó BAE = KAE ( c.g.c)
K
 =
Mà = do AEK = CEK (c-c-c)
Nên = = = = 750
Vậy = 750
M
- Cách 5:
E
?
Vẽ tam giác đều AKC trùm lên EAC,
A
C
tạo ra = = 150
0
Từ K kẻ tia KM sao cho = 15
Dẫn đến KMC cân tại M vì có = (= 15)
MK =MC
Lại có MKC = EAC (g.c.g)  MC = EC = EA
 MK = AE
Mặt khác ABK cân tại A ( vì AB = AK ) có góc tại đỉnh
= - = 900 - 600 = 300
 góc ở đáy = = (1800 - 300):2=750 .
Do đó = - = 750 - 450 = 300.
Mà = 300( Góc ngồi tại M của tam giác KMC cân tại M có góc đáy bằng 150)
B
Thành thử KMB cân tại K  KB = KM = AE
30
Vậy ABE = BAK (c.g.c) vì:

K
AB chung
15
AE = BK
0
30
= (= 75 )
0

0

0

vÏ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán?

M
E
hình15 häc
0

1 2

download by :
20
A

líp 7

C

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
= = 750.

bi toán này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là:
AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài tốn đó theo các cách: Vẽ tam giác
đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC.
Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài,
tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hướng được cách giải.
Đó chính là thành công của người thày. Và điều quan trọng nữa là khi hướng dẫn học
sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh óc
quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát
triển hơn.
Bài tốn 18:
Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 50 0. Lấy điểm K trong tam
giác, sao cho = 100, = 300.
A
?
Tính số đo các góc của ABK.
* Hướng giải quyết:
ABK = 500 -100= 400
Vậy chỉ cịn phải tính hai góc cịn lại là: và .
? K
Xem xét đầu bài ta thấy ABC có các góc 500, 500, 800
?
30
10
C
= 100, = 500, mà 500 + 100 = 600 chính là góc của tam giác

đều.
B
Từ đó có thể giải bài tốn trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý):
- Cách 1:
E
Vẽ tam giác đều BCE trùm lên  ABC, tạo ra = = 100
1 2
A
Từ đó chứng minh EAB =  EAC (c.c.c)
0
0
?
 = = = .60 = 30
Khi đó ABE = KBC (g.c.g) vì:
10
= = 300
BE = BC
? K
= (=100)
?
30
C
 AB = KB. Do đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh =B400 10
0
 BAK = BKA = = 70
Vậy các góc của ABK là 400; 700; 700.
- Cách 2:
Vẽ tam giác đều ABE ( E, C nằm cùng phía đối với AB), tạo ra = = 10 0và  AEC
cân ở A vì có AE = AC ( = AB ), = 800 - 600 = 200
A

Suy ra góc ở đáy = = = 800
?
0
0
0
 = - = 80 - 50 = 30
Do vậy KBC = EBC (g.c.g) vì:
= = 100
? K
BC chung
0

0

0

B

?

0

0

100

300

vÏ thªm u tè phơ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
21

E

C


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
= = 300
BK = BE mà BE = BA nên BK = BA.
Khi đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh là 400 nên hai góc cịn lại là 700 và 700.
- Cách 3:
Vẽ tam giác đều AEC ( E, B nằm cùng phía đối với AC )
A
0
?
tạo ra = = 10 và ABE cân tại A
0
0
0
có góc ở đỉnh bằng 80 - 60 = 20
 góc ở đáy bằng 800
 = 800 - 500 = 300
? K
Do đó KBC = ECB (g.c.g) vì:
?
30
10

C
= = 100
B
BC chung
E
= (= 300)
 KB = EC mà EC = AC = AB nên KB = AB  ABK cân tại B
Vậy các góc cần tính là: 400; 700; 700.
Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tương đương
nhau: đều tạo ra tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã
cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra
tam giác ABK cân. Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng
hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng thì sẽ khơng giải quyết
được bài tốn, vì vẫn khơng đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy được điều này
để có cách vẽ cho thích hợp.
Bài tốn 19: Cho tam giác ABC có = 75 0 . Đường cao AH có độ dài bằng nửa
BC. Tính số đo góc B
A
Phân tích:
AHC vng tại H có = 750  = 150
Mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều.
75
C
Từ đó hướng dẫn HS vẽ thêm tam giác đều. Có các cách Bvẽ như sau:
H
- Cách 1:
Vẽ tam giác đều AEC nằm trong ABC, tạo ra: = = 150
Kẻ EK  BC (có thể hướng dẫn và giải thích cho học sinh tại sao lại kẻ như vậy).
Khi đó  vng EKC =  vng CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì:
EC = AC

= (= 150)
 KC = AH, mà AH = BC  KC = BC.
Vậy K là trung điểm của BC, lại có KE  BC do đó tam giác EBC cân tại E
A
 = = 150.
Do đó : BEC = 1800 - 2.150 = 1500
Từ đó có = 3600 - (600 + 1500) = 1500
E
BEC = BEA (c.g.c) vì:
75
BE chung
C
0
B
K
H
= = 150
EC = EA
0

0

0

0

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
22

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
= = 150 = + = 150 + 150 = 300
(Hoặc từ BEC = BEA  AB = BC  ABC cân tại B có góc ở đáy bằng750
 = 300
- Cách 2:
Vẽ tam giác đều BEC (E, A nằm cùng phía đối với BC) tạo ra = 150 =
Từ A kẻ AK  EC ( K  EC) thì
 vng AKC =  vng CHA (c. huyền, g. nhọn) vì:
Cạnh huyền AC chung
= = 150
 KC = AH, mà AH = BC  KC = BC = EC
Mà K  EC nên K là trung điểm của EC.
Vậy EAC có AK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên cân tại A  AE
= AC.
E
Xét AEB và ACB có:
BE = BC (cạnh của  đều BCE)
AB chung
A
AE = AC
K
Do đó AEB = ACB (c.c.c)
1
 = = EBC = .600 = 300. Vậy = 300
2
C
B

H
( Và suy ra K là giao điểm của AB và EC)
Ở ví dụ này bài cho khơng có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác
đều sao cho liên hệ được các dữ kiện của giả thiết.
Như vậy qua các các bài toán trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phương
pháp vẽ thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết.
Và sau các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập
về tính số đo góc giải bằng phương pháp vẽ tam giác đều, sau đó có
thể chốt lại cho các em là :Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của
tam giác đều nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc đã
cho.
Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc
tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện được những yếu tố bằng
nhau, liên kết với nhau để tìm ra lời giải.
Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm tam giác đều :
Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác
trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán.
Qua các bài toán này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách để tạo ra
tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản hơn.
3. Định lí Py - Ta - Go:
Bài tốn 20:
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB.
Vẽ DH vng góc với BC ( H  BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1. Hướng suy ngh:
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
23

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
ABC cõn ti A AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu
tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
A
2. Chứng minh:
D
ABC; AB = 10cm;
GT
BC = 12 cm; DA = DB = AB;
DH  BC, DH = 4 cm
C
B
H
KL
 ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC = 6cm.
Lại có: BD = AB = 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét  HBD có: = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
 BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = 9  BH = 3 ( cm)
Ta có BH + HK = BK ( Vì H nằm giữa B và K )
 HK = BK – BH = 6–3 = 3 (cm)
Xét ABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = 3 cm)
A
 DH // AK ( đường nối trung điểm 2
cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
D
Ta có: DH  BC, DH // AK  AK  BC.
 = = 900

Xét  ABK và ACK có:
B
C
K
H
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
= = 900
AK là cạnh chung
Do đó  ABK = ACK (c - g - c)
 AB = AC   ABC cân tại A. ( đpcm)
4) Nhận xét:
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác
bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh
cịn sử dụng thêm một bài tốn phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung
điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học
sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình Tốn 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7
vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này
có sử dụng kết quả của bài tốn mà khơng chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào
việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 21: Cho tam giác ABC có A = 600
Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 - AB.AC
1. Hướng suy nghĩ:
- Ta vẽ đường phụ là đường thẳng CH vng góc với AB (H  AB).
A
- Ta áp dụng định lý Py - ta - go vào tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải
chứng minh.
H
2. Lời giải:
GT
ABC có A = 600

KL

BC2 = AB2 + AC2 - AB.AC

vÏ thªm yÕu tè phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
B
24

C


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
* Chng minh:
V ng thng CH vng góc với AB (H  AB)
HAC vng tại H có = 600 nên là nữa
Tam giác đều,  HA =
Do đó HB = AB - HA = AB - AC
HAC có AHC = 900, theo định lí Py - ta - go, ta có:
AC2 = HA2 + HC2  HC2 =AC2 - 2 = AC2
HBC có BHC = 900 theo định lí Py - ta - go, ta có:
BC2 = HB2 + HC2.
Do đó BC2 = 2 + AC2 = . + AC2
= AB. - . + AC2
= AB2 - AB.AC + + AC2
= AB2 + AC2 - AB.AC
LƯU Ý: Có thể vẽ đường phụ là đường thẳng BK vng góc với AC (K  AC).

Bài tốn 22:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là tia phân giác (D  BC), cho biết AB =
3cm, AD = 12 cm
Tính độ dài đoạn thẳng BD.
1. Hướng suy nghĩ:
- ABC vuông tại A, AD là tia phân giác cho ta = = 450. Giúp ta nghĩ đến định lí
Pi - ta - go, tam giác vuông cân.
- Vẽ DE  AB, (E  AB) là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải bài toán này.
2. Lời giải:

A

GT ABC, A = 900
AD là tia phân giác (D  BC)
AB = 3cm, AD = 12 ,7)) cm

E

KL BD = ? cm
B

D

Vẽ DE  AB (B  AB).
 = = 900. Ta có = = 450 (AD là tia phân giác của , = 900).
Ta có AED vng tại E  EA = ED.
AED vuông tại E nên EA2 + ED2 = AD2 (định lí Py-ta-go)
Do đó 2ED2 =  DE2 = 2  DE = EA = .
BE = AB - EA = 3 - =
BED cos BED = 900 nên BD2 = BE2 + ED2 (định lí Py - ta - go)

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

download by :
25

C