SKKN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

1
MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh của sáng kiến
2. Lý do chọn sáng kiến
3. Phạm vi và đối tượng của sáng kiến
4. Mục đích của sáng kiến
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. THỰC TRẠNG CỦA NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thực trạng
2.2. Tiềm năng
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Các giải pháp
1.1. Giải các bài tốn tính tốn mơđun của số phức, tìm số phức thỏa
mãn điều kiện cho trước
1.2. Giải các bài tốn cực trị mơđun số phức
1.2.1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng
1.2.2. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
1.2.3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là elip
1.2.4. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là hai đường
1.2.5. Các bài toán khác
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
2.Hiệu quả của việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn
III. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN
IV. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Đề xuất – Kiến nghị
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

2
2
2
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
8
11
12
15
20
20
24
29
32
33
33
33
34
35

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh của sáng kiến.

Thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí
Minh”, cuộc vận động “Hai khơng”; “Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức,


2
tự học và sáng tạo” cùng với phong trào xây dựng “Trường học thân thiện, học sinh
tích cực”; Nghị quyết TW2 khóa VIII cũng đã khẳng định “Đổi mới mạnh mẽ
phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn
luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến…”.
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo
dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan
tâm đến học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến học sinh vận dụng được cái
gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện được thành
công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang
cách dạy học, vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm
chất; đồng thời phát triển cách đánh giá kết quả giáo dục từ nặng về kiểm tra trí nhớ
sang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề, coi trọng cả
kiểm tra đánh giá kết quả học tập với kiểm tra đánh giá trong q trình học tập để
có thể tác động kịp thời nhằm nâng cao chất lượng của các hoạt động dạy học và
giáo dục. Toán học cũng khơng nằm ngồi xu hướng phát triển chung đó. Hơn nữa,
từ năm học 2016 – 2017, trong kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia đề thi mơn tốn
thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều
này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường, đòi hỏi
học sinh cần phải nắm vững kiến thức từ cơ bản đến nâng cao , làm thuần thục các
dạng tốn quan trọng đồng thời cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một
cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án; giáo viên cũng
phải tích cực nghiên cứu các dạng bài tập và phương pháp giải phong phú đa dạng
vừa giúp học sinh rèn luyện nâng cao khả năng tư duy vừa tạo hứng thú và niềm
yêu thích học tập đối với mơn tốn cho học sinh.
2. Lý do chọn sáng kiến

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào
chương trình tốn học phổ thơng và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời
của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa
các phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải. Số phức là vấn đề hoàn toàn
mới và khó đối với học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó.
Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên
có nhiều hướng khai thác, phát triển bài tốn để tạo nên sự lơi cuốn, hấp dẫn người
học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản
khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được
khá nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.


3
Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có ít tài liệu về số phức để học sinh và
giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số
phức trong SGK còn nhiều hạn chế.
Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong q trình giảng dạy
tơi ln tìm tịi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng
các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Trong quá trình giảng dạy, ơn
thi, làm đề, tơi phát hiện ra rằng rất nhiều bài toán về số phức đều được xây dựng
trên cơ sở một số bài tốn hình học trong mặt phẳng nếu học sinh tiếp cận theo
hướng đại số thuần túy về tính tốn sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời
gian ngắn. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần
ảo, mơđun của số phức, các phép tốn về số phức kết hợp với kiến thức về phương
trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp,. thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán
trên.. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của
mình.
Chính vì những lý do trên nên tơi tổng hợp các kinh nghiệm trong q trình
giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết
thành tài liệu “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG

HỌC PHỔ THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TỐN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG
PHÁP HÌNH HỌC” .
3. Phạm vi và đối tượng của sáng kiến.
Phạm vi của sáng kiến: trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp dụng vào nội
dung dạy giải bài tập tốn, từ đó phân loại các dạng bài tập và xây dựng hệ thống
bài tập từ cơ bản đến nâng cao đáp ứng được yêu cầu của học sinh đặc biệt là học
sinh khá giỏi. Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu là toàn bộ chương Số phức và
phần Hình học giải tích trong mặt phẳng thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng.
Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào
mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc
một số bài tốn đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài
tốn số phức.
4. Mục đích nghiên cứu.
Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài
liệu tham khảo nhỏ hỗ trợ giáo viên trong quá trình giảng dạy, đồng thời giúp các
em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh
và hiệu quả khi gặp những bài tốn số phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa


4
vào những tính chất hình học đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập
số phức, qua đó giúp các em phát triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các
chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc
nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
I. THỰC TRẠNG CỦA NỘI DUNG.
1. Cơ sở lý luận.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc

biệt là bộ mơn tốn học rất cần thiết khơng thể thiếu trong đời sống của con người.
Mơn Tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần
các em ngại học môn này.
Muốn học tốt mơn tốn các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mơn
tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.
Điều đó địi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định
hướng cho học sinh học và nghiên cứu mơn tốn học một cách có hệ thống trong
chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài
tập rồi tổng hợp các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho
học sinh THPT có một cách nhìn và một hướng tư duy mới để giải các bài tốn số
phức. Đó là việc chuyển các bài tốn số phức về các bài tốn hình học và vận dụng
các phương pháp hình học để giải
2. Cơ sở thực tiễn.
2.1. Thực trạng
Hiện nay khi gặp các dạng toán số phức được phát triển từ bài tốn hình học
thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút
thắt mấu chốt cho đến cách xử lý. Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài,
sa đà vào tính tốn, gây mất thời gian mà thường không thu được kết
quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian
để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách
phối hợp giữa tư duy hình học và tính tốn đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học


5
thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngơn từ, giả thiết
khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng
túng như là gặp những bài toán mới.

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng
như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán.
2.2.Tiềm năng
Trong quá trình học tốn thì kĩ năng vận dụng tốn học là quan trọng nhất, nhà
trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức tốn học, mà cịn rèn
luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng tính đọc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo.
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và sử
dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu
hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
nhau cho 1 bài tốn), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của 1 bài
toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của 1 bài tốn).
Chủ đề số phức và giải bài tập số phức bằng phương pháp hình học chứa nhiều
tiềm năng to lớn trong việc giúp học sinh quy các bài toán số phức “lạ lẫm” về các
bài tốn hình học quen thuộc. Bên cạnh giúp học sinh giải các bài tập sách giáo
khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống
bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển
năng lực sáng tạo của mình. Hơn nữa bài tập giải phương trình, bất phương trình
khơng có thuật giải rõ ràng, muốn giải được bài tập học sinh cần phải huy động
nhiều kiến thức và tư duy phải linh hoạt chính vì vậy dạy gải bài tập tốn chính là
một nội dung tốt để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN.
1. Các giải pháp
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Số phức
+ Một số phức là một biểu thức dạng z = a + bi với a, b �� và i 2 =- 1,
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số
phức.
+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là �.
+ Chú ý:

- Khi phần ảo b = 0 � z = a � z là số thực.


6
- Khi phần thực a = 0 � z = bi � z là số thuần ảo.
- Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.
+ Hai số phức z1 = a + bi; z2 =- a - bi được gọi là hai số phức đối nhau
Hai số phức bằng nhau
�a = c
;a, b, c, d ��.
+ Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di � �
�
�
b
=
d
�
Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi với a, b ��là a - bi và được kí hiệu bởi z .
 z = z; z + z �
= z + z�
; z - z�
= z - z�
;
�z �
z
�
=
; z. z = a 2 + b 2
z .z �

= z.z �
; �
�
�
�
�
�z �
� z�
Môđun của số phức
Môđun của số phức z = a + bi ( a, b ��) là z = a 2 + b 2 .
z
z
=
z� z�

 z.z �= z z �



 z - z �� z + z �� z + z �

 z - z �� z - z �� z + z �

Các phép toán số phức
 Phép cộng hai số phức
Cho số phức z1 = a + b.i và z2 = c + d .i . Khi đó
z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d .i ) = ( a + c ) + ( b + d ) .i.
 Phép trừ hai số phức
z1 - z2 = ( a + b.i ) - ( c + d .i ) = ( a - c ) + ( b - d ) .i.
 Phép nhân hai số phức

z1 .z2 = ( a + b.i ) .( c + d .i ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc) .i.
k .z = k .( a + bi) = ka + kbi
 Phép chia hai số phức

( a + b.i ) .( c - d .i ) ac + bd bc - ad
z1
z .z
z .z
= 1 2 = 1 22 =
= 2
+
i.
z 2 z2 .z2
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
z2
Biểu diễn hình học của số phức


7
Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z = a + bi
với a, b ��được biểu diễn bằng điểm M ( a; b) .
+ Số phức liên hợp z = a - bi có điểm biểu diễn N (a;- b). Hai điểm M và N đối
xứng nhau qua trục hoành Ox.
uuur
uuur
z = z = OM = ON = a 2 + b 2
r
+ Số phức z = a + bi tương ứng với vectơ u = ( a; b)
+ Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z1 ; z2 � z1 - z2 = MN .

Một số tập hợp thường gặp
+ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - a - bi = R là đường tròn
tâm I , bán kính R
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về
dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz - a - bi = R � z +

- a - bi R
=
i
i

� z + b + ai = R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z - a - bi = R � z - a + bi = R (Lấy
liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

( c + di ) z - a - bi = R � z +

- a - bi
R
R
=
=
c + di
c + di
c2 + d 2

Hay viết gọn z0 z - z1 = R � z -

z1
R
=
(Chia cả hai vế cho z0 )
z0
z0

+ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - a - bi = z - c - di là
đường trung trực đoạn AB với A( a; b) , B ( c; d )
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài tốn thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến
đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z - a - bi = z - c - di . Khi đó ta biến
đổi


8
z - a - bi = z - c - di � z - a + bi = z - c - di .
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz - a - bi = z - c - di . Khi đó ta biến
đổi
iz - a - bi = iz - c - di � z +

- a - bi
- c - di
= z+
� z + b + ai = z + d + ci .
i
i

+ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - c + z + c = 2a ,( a > c ) là
x2

y2
=1
Elip: 2 + 2
a
a - c2
B. CÁC GIẢI PHÁP.
1.1. Giải các bài tốn tính tốn mơđun của số phức, tìm số phức thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Phương pháp giải:
- Từ các điều kiện bài tốn chuyển sang các điều kiện trong hình học phẳng tương
ứng
- Sử dụng các kiến thức hình học, các hệ thức lượng trong tam giác giải quyết bài
toán
MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = z1 - z2 = 1. Tính z1 + z2 .
Lời giải
Giả sử z1 , z2 được biểu diễn bởi điểm M 1 , M 2 trong mặt phẳng Oxy .
Gọi I là trung điểm của M 1 M 2 .
Ta có 1 = z1 = z2 = z1 - z 2 � OM 1 = OM 2 = M 1 M 2 =1 , suy ra D OM 1 M 2 đều có
cạnh bằng 1.
uuuur uuuur
uur
3
Khi đó z1 + z2 = OM 1 + OM 2 = 2 OI = 2OI = 2 � = 3 . Vậy z1 + z2 = 3.
2
Bài tập 2. Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z3 =1 và
z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị biểu thức P = z1 - z2 + z2 - z3 + z3 - z1 .
Lời giải
Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 ; z2 ; z3 trong mặt phẳng phức.
z1 = z2 = z3 =1 � OA = OB = OC � O là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC

9
uur uur
z1 ޺=�=�=++�=++
z2 z3 0 OA OB

uuu
r
OC

r
0

uuu
r
3OG

r
0

uuu
r
OG

r
0

G

O ( với G là

trọng tâm D ABC )
� D ABC là tam giác đều có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = OA =1
� AB = BC = AC = 3
P = z1 - z2 + z2 - z3 + z3 - z1 = AB + BC + AC = 3 3
Bài tập 3. Cho ba số phức z; z1 ; z2 thỏa mãn 2 z - i = 2 + iz và z1 - z2 =1 . Tính
giá trị biểu thức P = z1 + z2 .
Lời giải
Đặt z = x + yi ( x; y ��)
2 z - i = 2 + iz � x 2 + y 2 =1
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 ; z2
uur uur
Ta có z1 - z2 = OA - OB = AB =1 � AB = OA = OB � D OAB đều
uur uur
P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = 3 .
Bài tập 4. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 =1 . Tính giá trị biểu thức
2

P = z1 + z2 + z1 - z2

2

.

Lời giải
Gọi M , N là hai điểm lần lượt biểu diễn số phức z1 , z2 . Khi đó
uuur
uuur
uur

uuur
z1 = OM =1 , z2 = ON = 1 , z1 + z2 = OP , z1 - z2 = NM
với OMPN là hình bình hành.


10
Tam giác OMN có OI 2 =

OM 2 + ON 2 OI 2
2
4

OP 2
MN 2
�
=1 � OP 2 + MN 2 = 4
4
4
Bài tập 5. Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z - 1 + 2i = 5 và
z1 - z2 = 8 . Tìm mơđun của số phức w = z1 + z2 - 2 + 4i .
Lời giải
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 .
Theo giả thiết z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z - 1 + 2i = 5 nên A và B
thuộc đường trịn tâm I ( 1;- 2) bán kính r = 5 .
Mặt khác z1 - z2 = 8 � AB = 8 .
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M là điểm biểu diễn của số phức

z1 + z2
và
2

IM = 3 . Do đó ta có
3 = IM =

z1 + z2
1
- 1 + 2i � 3 = z1 + z2 - 2 + 4i � z1 + z2 - 2 + 4i = 6
2
2

� w =6

Bài tập 6. Tìm các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa
mãn z.z =1 và z -

3 +i = m .
Lời giải


11

�x 2 + y 2 =1 (1)
�
2
Gọi z = x + yi ,( x, y ��) , ta có hệ �
�
2
�
x - 3 + ( y +1) = m2 ( m �0)
�

�

(

)

Ta thấy m = 0 � z = 3 - i không thỏa mãn z.z =1 suy ra m > 0 .
Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn ( 1) là đường tròn (C1 ) có
O(0;0), R1 =1 , tập hợp các điểm thỏa mãn ( 2) là đường tròn (C2 ) tâm
I

(

)

3;- 1 , R2 = m , ta thấy OI = 2 > R1 suy ra I nằm ngoài (C1 ) .

Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với
(C1 ),(C2 ) tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi
OI = R1 + R2 � m +1 = 2 � m =1
hoặc R2 = R1 + OI � m = 1 + 2 = 3
1.2. Giải các bài toán cực trị môđun số phức
Phương pháp giải :
- Từ điều kiện bài tốn tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
- Chuyển mơđun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về biểu thức độ
dài đoạn thẳng
- Sử dụng các bài tốn cực trị hình học giải quyết bài toán
Một số kết quả cực trị hình học quen thuộc
Bài tốn 1 : Cho điểm A và đường thẳng d . Điểm M di động trên đường thẳng d
. Khi đó AM nhỏ nhất � M là hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng d .

Bài toán 2.1 : Cho hai điểm A, B và đường thẳng d . Tìm điểm M trên đường
thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất .
Trường hợp 1 : A, B nằm hai phía của đường thẳng d
� ( MA + MB) min = AB � M là giao điểm của AB và đường thẳng d
Trường hợp 2 : A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d
� ( MA + MB) min = AB � M là giao điểm của A ' B và đường thẳng d


12
Trong đó A ' là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d .
Bài toán 2.2 : Cho hai điểm A, B và đường thẳng d . Tìm điểm M trên đường
thẳng d sao cho MA - MB lớn nhất .
Trường hợp 1 : A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d
� MA - MB max = AB � M là giao điểm của AB và đường thẳng d
Trường hợp 2 : A, B nằm hai phía của đường thẳng d
� MA - MB max = AB � M là giao điểm của A ' B và đường thẳng d
Trong đó A ' là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d .
Bài toán 3 : Cho điểm A nằm ngồi đường trịn ( C ) tâm I , bán kính R . Tìm
điểm M di động trên đường tròn ( C ) sao cho AM nhỏ nhất /lớn nhất .
Gọi IA cắt đường tròn ( C ) tại M 1 ; M 2 .
޺----------AM min = IA

R

M

M1

޺----+----AM max = IA

R

M

M2

Bài toán 4 : Cho đường tròn ( C ) tâm I , bán kính R và đường thẳng d khơng cắt

( C ) . Gọi M là điểm di động trên đường thẳng d , N là điểm di động trên đường
tròn ( C ) . Tìm vị trí của M , N sao cho MN nhỏ nhất.
MN min = d ( I ; d ) - R � M là hình chiếu của I trên đường thẳng d , N là giao
điểm của IM và đường tròn ( C ) ( N nằm giữa I và M )
MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU
1.2.1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng
Bài tập 1. Trong các số phức z thỏa mãn z - 1 + i = z +1 - 2i , tìm số phức z
có mơđun nhỏ nhất
Lời giải
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
d : 4x + 2 y + 3 = 0 .
Ta có z = OM . Do đó z nhỏ nhất � OM nhỏ nhất � M là hình chiếu của O
trên d .
Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vng góc với d là: x - 2 y = 0 .


13
�
�
x =�
�
4

x
+
2
y
+
3
=
0
�
��
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: �
�
�
�
x
2
y
=
0
�
�
y =�
�
�

3
5
3
10

�3
3�
3 3
�
�M�
- ;z
=i.
.
Hay
�
�
�
�
� 5 10 �
5 10
Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:
z - 1 + i = z +1 - 2i � z - ( 1 - i ) = z - ( - 1 - 2i ) ( *)
Gọi M biểu diễn số phức z , điểm A( 1;- 1) biểu diễn số phức 1 - i , điểm
B ( - 1;- 2) biểu diễn số phức - 1 - 2i .
Khi đó ( *) � MA = MB . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trực của đoạn thẳng AB có phương trình d : 4 x + 2 y + 3 = 0 .
Bài tập 2. Cho số phức z thỏa mãn : z = z + 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z - i + z - 4
Lời giải
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z. Ta có z = z + 2i � y +1 = 0, tức biểu
diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y +1 = 0. Xét điểm
A(0;1) và B (4;0) thì P = z - i + z - 4 = MA + MB. Dễ thấy A, B cùng phía với
(0;- 3) đối
đường thẳng y +1 = 0 nên MA + MB nhỏ nhất bằng BA�trong đó A�
xứng với A qua đường thẳng y +1 = 0.

Do đó MA + MB nhỏ nhất bằng BA�
= 5.
Bài tập 3. Cho số phức z thỏa mãn z + 2 - i + z - 4 - 7i = 6 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của z - 1 + i .
Lời giải


14

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E ( - 2;1) , F ( 4;7) và N ( 1; - 1) .
Từ AE + A F = z + 2 - i + z - 4 - 7i = 6 2 và EF = 6 2 nên ta có A thuộc
� 3 3�
- ; �
đoạn thẳng EF . Gọi H là hình chiếu của N lên EF , ta có H �
.
�
�
�
�
� 2 2�
�
5 2
�
z - 1 + i min = NH =
�
�
2
Từ hình vẽ dễ thấy �
�

�
�
�z - 1 + i max = NF = 73
Bài tập 4. Xét các số phức z thỏa mãn z + 3 - 2i + z - 3 + i = 3 5 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 + z - 1 - 3i .
Lời giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , F1 ( - 3;2) , F2 ( 3;- 1) , A( - 2;0) và B ( 1;3) .
Ta có z + 3 - 2i + z - 3 + i = 3 5 và F1 F2 = 3 5 � MF1 + MF2 = F1 F2 .
Do đó tập hợp các điểm M là đoạn thẳng F1 F2 .
Dựa vào hình vẽ, ta thấy:
+ Pmax = M 2 A + M 2 B = 26 + 2 5 .
+ Pmin = M 1 A + M 1 B = AB = 3 2 .


15
1.2.2. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
Bài tập 1. Cho số phức z thỏa mãn z - 2 - 2i =1 . Tính giá trị nhỏ nhất của z - i
Lời giải
Đặt w = z - i � z = w + i .
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn hình học của số phức w.
Từ giả thiết z - 2 - 2i =1 ta được:
w + i - 2 - 2i = 1 � w - 2 - i =1 � ( x - 2) + ( y - 1) i = 1
2

2

� ( x - 2) + ( y - 1) =1 .
Suy ra tập hợp những điểm M ( x; y ) biểu diễn cho số phức w là đường trịn ( C ) có
tâm I ( 2;1) bán kính R =1 .

Giả sử OI cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI .
Ta có w = OM
Mà OM + MI �OI � OM + MI �OA + AI ۳ OM

OA

Nên w nhỏ nhất bằng OA = OI - IA = 5 - 1 khi M �A.
Bài tập 2. Xét các số phức z thỏa mãn z - 1 - 3i = 2 . Tìm số phức z sao cho
z - 1 nhỏ nhất
Lời giải
Gọi z = x + yi , x, y �R . Khi đó M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức z .
2

2

Theo bài ra ta có z - 1 - 3i = 2 � ( x - 1) + ( y - 3) = 4 .
Suy ra tập hợp điểm M là đường trịn tâm I ( 1; 3) bán kính R = 2 .
2
( 1; 0) .
Khi đó z - 1 = ( x - 1) + y 2 = I �
M với I �


16

z - 1 nhỏ nhất khi I �
M ngắn nhất hay I , M , I �thẳng hàng, M nằm giữa I và I �
.
Phương trình đường thẳng II �là x =1 .

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II �với đường trịn tâm I bán kính R = 2 là
M 1 ( 1; 1) và M 1 ( 1; 5) .
Thử lại ta thấy M 1 ( 1; 1) thỏa mãn. Vậy z =1 + i .
Bài tập 3. Xét số phức z thỏa mãn z - 2 - 2i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z - 1 - i + z - 5 - 2i
Lời giải

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z . Do z - 2 - 2i = 2 nên tập hợp điểm
2

2

M là đường tròn ( C ) : ( x - 2) + ( y - 2) = 4 .
Các điểm A( 1;1) , B ( 5;2) là điểm biểu diễn các số phức 1 + i và 5 + 2i . Khi đó,
P = MA + MB .
Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn ( C ) còn điểm B nằm ngồi đường trịn

( C ) , mà MA + MB �AB = 17 . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn
AB với ( C ) .
Ta có, phương trình đường thẳng AB : x - 4 y + 3 = 0 .


17
Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn ( C ) là nghiệm của hệ với
1< y <5
2
2
2
2
�

( x - 2) + ( y - 2) = 4 �
( 4 y - 5) + ( y - 2) = 4
�
�
��
�
�
�
x
4
y
+
3
=
0
�
�x = 4 y - 3
� 22 + 59
�
y=
( N)
�
2
2
17
2
Ta có ( 4 y - 5) + ( y - 2) = 4 � 17 y - 44 y + 25 = 0 � �
� 22 - 59
�
y=

( L)
�
17
�
Vậy min P = 17 khi z =

37 + 4 59 22 + 59
+
i
17
17

Bài tập 4. Cho số phức z = a + bi ( a, b ��) thỏa mãn z - 4 - 3i = 5 . Tìm z
để z +1 - 3i + z - 1 + i đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Goi M ( a; b) là điểm biểu diễn của số phức z.
2

2

Theo giả thiết ta có: z - 4 - 3i = 5 � ( a - 4) + ( b - 3) = 5 � Tập hợp điểm
biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I ( 4;3) bán kính R = 5

�A( - 1;3)
�
� Q = z +1 - 3i + z - 1 + i = MA + MB
Gọi: �
�
B
1;

1
(
)
�
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường trịn tại D
Ta có: Q 2 = MA2 + MB 2 + 2MA.MB
޺ۣQ 2

MA2 + MB 2 + MA2 + MB 2 = 2( MA2 + MB 2 )


18
Vì ME là trung tuyến trong D MAB
MA2 + MB 2 AB 2
AB 2
2
2
2
� ME =
� MA + MB = 2ME +
2
4
2
2

޺ Q

2

� 2

2�
2 ME
�
�
�

AB 2 �
�
4 ME 2
�
�
�
2 �

AB 2 . Mặt khác

ME �DE = EI + ID = 2 5 + 5 = 3 5
޺ Q2

(

4. 3 5

�=�޺
Q 10 2

)

2

Qmax

20

200

10 2

�
MA = MB
�
�
�
M �D
�

uur
uur �
4 = 2( xD - 4) �
xD = 6
� EI = 2 ID � �
��
�� M ( 6;4) � z = 6 + 4i
�
�
�
�
2
=
2(

y
3)
y
=
4
D
�D
�
Bài tập 5. Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn ( z - 6) ( 8 + zi ) là số thực
và z1 - z2 = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 + 3 z2
Lời giải

Giả sử z = x + yi , x, y ��.Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức
z1 , z2 . Suy ra AB = z1 - z2 = 4 .
.�
( x - 6) + yi�
( 8 - y ) - xi�
* Ta có ( z - 6) ( 8 + zi ) = �
�
�
�
�
= ( 8 x + 6 y - 48) - ( x 2 + y 2 - 6 x - 8 y ) i .
Theo giả thiết ( z - 6) ( 8 + zi ) là số thực nên ta suy ra x 2 + y 2 - 6 x - 8 y = 0 . Tức
là các điểm A, B thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 3;4) , bán kính R = 5 .


19
uuu
r

uuur r uur
uur
uuur
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA + 3MB = 0 � OA + 3OB = 4OM .Gọi H
là trung điểm AB .
Ta tính được HI 2 = R 2 - HB 2 = 21; IM = HI 2 + HM 2 = 22 , suy ra điểm M

) tâm I ( 3;4) , bán kính r = 22 .
thuộc đường tròn ( C �
uur
uur
uuur
z
+
3
z
=
OA
+
3
OB
=
4
OM
= 4OM , do đó z1 + 3 z2 nhỏ nhất khi OM
* Ta có 1
2
nhỏ nhất.
Ta có ( OM ) min = OM 0 = OI - r = 5 Vậy z1 + 3z2

min

22 .

= 4OM 0 = 20 - 4 22 .

Bài tập 6. Cho z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z - 3 + 3i = 2 và
z1 - z2 = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của z1 + z2
Lời giải
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 .
2
2
�
�z - 3 + 3i = z - 3 + 3i = 2
M
,
N
�
C
:
x
3
+
y
+
3
= 22
�
�
(

)
(
)
1
2
�
�
Do �
nên �
�
�
z
z
=
4
�
�
MN = 4 = 2.2
2
�1
�
.
Như vậy MN là đường kính của đường tròn ( C ) với tâm I 3;- 3 , bán kính

(

(

)

)

R = 2 , do đó I là trung điểm MN , OI = 12 .

Ta có z1 + z2 = OM + ON � ( 1 + 1) ( OM + ON
2

2

)

� 2 MN 2 �
�
= 2�
2O
I
+
�
=8 .
�
�
�
2 �
�
�

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi OM = ON � MN là đường kính của ( C ) vng
góc với OI .

20
1.2.3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là elip
Bài tập 1. Tìm số phức z = a + bi ( a, b ��) thỏa z + 4 + z - 4 = 10 và z - 6
lớn nhất
Lời giải
Gọi M ( a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi ( a, b ��) .
z - 4 + z + 4 =10 � ( a - 4) + bi + ( a + 4) + bi =10
2

2

� ( a - 4) + b 2 + ( a + 4) + b 2 =10( *)
Xét F1 ( - 4;0) và F2 ( 4;0) . Khi đó ( *) � MF1 + MF2 =10
�
c =4
� b = a2 - c2 = 3
Suy ra M thuộc Elip có �
�
�
2a =10 � a = 5
�

2
Ta có: z - 6 = ( a - 6) + b 2 = IM , I ( 6;0) , suy ra max z - 6 = IA�hay điểm

M � A�
( - 5;0) � z =- 5 + 0i � S =- 5 .
1.2.4. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là hai đường
Bài tập 1. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau
z - 1 = 34, z +1 + mi = z + m + 2i (trong đó m là số thực) và z1 - z2 là lớn

nhất. Tính z1 + z2
Lời giải

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2


21
Gọi z = x + iy,( x, y ��)
Ta có z - 1 = 34 � M , N thuộc đường trịn ( C ) có tâm I ( 1;0) , bán kính
R = 34
Mà z +1 + mi = z + m + 2i � x + yi +1 + mi = x + yi + m + 2i
2

2

2

� ( x +1) + ( y + m) = ( x + m ) + ( y + 2)

2

� 2( m - 1) x + 2( m - 2) y - 3 = 0
Suy ra M , N thuộc đường thẳng d : 2( m - 1) x + 2( m - 2) y - 3 = 0
Do đó M , N là giao điểm của đường thẳng d và đường trịn ( C )
Ta có z1 - z2 = MN nên z1 - z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất
� MN đường kính của ( C ) . Khi đó z1 + z2 = 2OI = 2
Bài tập 2. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn

z1 - i
z +i

=1; 2
= 2 . Tìm
z1 + 2 - 3i
z2 - 1 + i

giá trị nhỏ nhất của z1 - z2
Lời giải
Giả sử z1 = x1 + y1i với x1 ; y1 ��. Khi đó:
z1 - i
=1 � z1 - i = z1 + 2 - 3i � x1 + ( y1 - 1) i = ( x1 + 2) + ( y1 - 3) i
z1 + 2 - 3i
2

2

2

� x12 + ( y1 - 1) = ( x1 + 2) + ( y1 - 3) � x1 - y2 + 3 = 0 .
� Quỹ tích điểm � A�
H = AH .tan 60�=

a
biểu diễn số phức z1 là đường thẳng
4

D : x - y +3 =0 .
Giả sử z2 = x2 + y2 i với x2 ; y2 ��. Ta có:
z2 + i
= 2 � z2 + i = 2 z2 - 1 + i � x2 + ( y2 + 1) i = 2 ( x2 - 1) + ( y2 + 1) i
z2 - 1 + i

2

2

2

� x22 + ( y2 +1) = 2 ( x2 - 1) + ( y2 +1) � x22 + y22 - 4 x2 + 2 y2 + 3 = 0 .
� Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn

( C) : x2 + y 2 - 4x + 2 y + 3 = 0
2

R = 22 + ( - 1) - 3 = 2 .

có

tâm

I ( 2;- 1)

và

bán

kính


22
Khoảng cách từ I đến D là: d ( I ; D ) =

2 - ( - 1) + 3
1 + ( - 1)
2

2

= 3 2 > R � đường thẳng

D và đường trịn C khơng có điểm chung.
Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1 - z2 là đoạn thẳng MN . � z1 - z2 nhỏ
nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.

Dễ thấy MN min = 3 2 -

2 =2 2 .

Bài tập 3. Cho số phức z thỏa mãn z - 3 - 4i = 5 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
2

2

nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 - z - i .
Lời giải
Đặt z = x + yi , với x, y ��.
2
2
Ta có: z - 3 - 4i = 5 � ( x - 3) + ( y - 4) i = 5 � ( x - 3) + ( y - 4) = 5 , hay
tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn ( C ) có tâm I ( 3;4) , bán kính
r= 5.
2

2
2
2
Khi đó : P = z + 2 - z - i = ( x + 2) + y 2 - x 2 - ( y - 1) = 4 x + 2 y + 3
� 4 x + 2 y + 3 - P = 0 , kí hiệu là đường thẳng D .
Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng D cắt đường tròn ( C )
23 - P
� d ( I ; D ) �r ޺ۣ
5 � P - 23 �10 ޺ۣ�
13 P 33
2 5
Suy ra M = 33 và m =13 � w = 33 +13i .
Vậy w = 1258 .
Bài tập 4. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z - 3 2 = 2 , w - 4 2i = 2 2 . Biết
rằng z - w đạt giá trị nhỏ nhất khi z = z0 , w = w0 . Tính 3z0 - w0 .
A. 2 2 .

B. 4 2 .

C. 1.
Lời giải

D. 6 2 .


23
Ta có: + z - 3 2 = 2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là

(

)

đường trịn có tâm I 3 2 ;0 , bán kính r = 2 .
+ w - 4 2i = 2 2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w

(

)

là đường trịn có tâm J 0;4 2 , bán kính R = 2 2 .
Ta có min z - w = min MN .
+ IJ = 5 2; IM = r = 2; NJ = R = 2 2 .

Mặt

khác

MN �5 2 -

IM + MN- + NJ- �IJ

޺ MN

IJ

IM

NJ

hay

2 - 2 2 =2 2 .

Suy ra min MN = 2 2 khi I , M , N , J thẳng hàng và M , N nằm giữa I , J (Hình
vẽ).
uur
uuu
r
uuu
r uur r
Ta có IN = 3IM � 3IM - IN = 0 .
Do đó
uuur uuu
r
uur uuu
r
uur uur
uur
3z0 - w0 = 3OM - ON = 3 OI + IM - OI + IN = 2OI = 2.OI = 2.3 2 = 6 2.

(

) (

)

Bài tập 5. Cho hai số phức z và w= a + bi thỏa mãn z + 5 + z 5a - 4b - 20 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z - w
Lời giải

5 =6;

24

(

Đặt F1 -

)

5 ;0 , F2

(

)

5 ;0 , vì

5 < 3 nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

�
a =3
x2
y2
2
2
2
z thuộc elip có �
�
b

=
a
c
=
4
�
suy ra ( E ) : + =1 .
�
c= 5
9
4
�
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức w thuộc đường thẳng D : 5 x - 4 y - 20 = 0
.
Yêu cầu bài tốn trở thành tìm điểm M �( E ) và N �D sao cho MN nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với D có dạng d : 5 x - 4 y + c = 0 , ( c �- 20) .
�
c =17
2
2
2
d tiếp xúc với ( E ) khi và chỉ khi c = 5 .9 + ( - 4) .4 = 289 � �
.
�
c
=17
�
Với c =17 � d ( d , D ) =

- 20 - 17
5 2 + ( - 4)

Với c =- 17 � d ( d , D ) =
Vậy min ( MN ) =

2

=

- 20 +17
52 + ( - 4)

2

37
.
41
=

3
.
41

3
.
41

1.2.5. Các bài toán khác
Bài tập 1. Cho số phức z thỏa mãn z + z + z - z = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của P = z - 2 - 2i .
Lời giải
Giả sử: z = x + yi,( x, y ��)
� N ( x; y ) điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Ta có:
• z + z + z - z = 4 � x + y = 2 � N thuộc các cạnh của hình vng BCDF
(hình vẽ).


25
y
I

B 2

1

E
F

C
-2

O

1

x

2

D -2

2
2
• P = z - 2 - 2i � P = ( x - 2) + ( y - 2) � P = d ( I ; N ) với I ( 2;2)

Từ hình ta có: E ( 1;1)
2

2

M = Pmax = ID = 42 + 22 = 2 5 và m = Pmin = IE = ( 2 - 1) + ( 2 - 1) = 2

(

)

Vậy, A = M + m = 2 + 2 5 � 34;6 .
Bài tập 2. Cho hai số phức z và w thỏa mãn z + 2w = 8 - 6i và z - w = 4. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức z + w
Lời giải
Giả sử M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra
uuur uuu
r uuu
r
uur
OM + ON = OF = 2OI , z - w = MN = 4 và OF = 2OI =10.
a
Đặt z = ON = ; w = OM = b. Dựng hình bình hành OMFE

2

�a 2 + b 2 ME 2
�
= 25
�
�
264
2
4
2
2
�
�
a
+
2
b
=
Ta có � 2
�
3
b + ME 2 a 2
�
=
16
�
�
4
� 2

( z + w)

2

2

�
�
�
a
1 1�
2
2 �
�
�
=�
+
b
�
a
+
2
b
+
= 66
(
)
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
4 2�