phuong-trinh-luong-giac

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng tốn 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sin x = m (1)
* Nếu: m  1  Phương trình vơ nghiệm
  
* Nếu: m  1     − ;  sin  = m
 2 2

 x =  + k2
( k
 (1)  sin x = sin   
 x =  −  + k2

).

 

−   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết  = arcsin m .
sin  = m

*Các trường hợp đặc biệt:

1. sin x = 1  x = + k2
2

2 sin x = −1  x = − + k2

2
3. sin x = 0  x = k
2. Phương trình: cos x = m (2)
* Nếu: m  1  phương trình vơ nghiệm
* Nếu: m  1  [0; ] : cos  = m
 x =  + k2

 (2)  cos x = cos   
( k  Z ).
 x = − + k2
0  −  
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn 
thì ta viết  = arccos m .
cos  = m
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cos x = 1  x = k2
2. cos x = −1  x =  + k2

3. cos x = 0  x = + k
2

3. Phương trình : tan x = m (3)
  
Với m     − ;  : tan  = m
 2 2

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
 (3)  tan x = tan   x =  + k .

 

−   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết  = arctanm .
tan  = m

* Các trường hợp đặc biệt:

1. tan x = 1  x = + k
4

2. tan x = −1  x = − + k
4
3. tan x = 0  x = k
4. Phương trình: cot x = m (4)

 
Với m    (− ; ) : cot  = m
2 2
 (4)  cot x = cot   x =  + k .

 

−   
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2
2 thì ta viết  = arccot m .
cot  = m

* Các trường hợp đặc biệt:


1. cot x = 1  x = + k
4

2. co t x = −1  x = − + k
4

3. cot x = 0  x = + k
2
Ghi chú:
 u = v + k2
* sin u = sin v  
*
(k  )
 u =  − v + k2
cos u = cos v  u = v + k2

(k  )

u = v + k

(k,n  )
* tan u = tan v  

u,v  + n

2
 u = v + k
(k,n  )
* cot u = cot v  

u,v  n
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a sin x + bcos x = c (1) ; với a,b,c  và

a 2 + b2  0 .

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Cách giải: Chia hai vế cho

cos  =

a
a 2 + b2

;sin  =

a2 + b2 và đặt

b
a 2 + b2

.

 (1)  sin x.cos  + cosx.sin  =

c
a +b

2

2

 sin(x + ) =

c
a + b2
2

(2).
Chú ý:

• (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a2 + b2  c2 .
1

3

cos x  = 2 sin(x − )
• sin x  3 cos x = 2  sin x −
2
2
3


 3

1

• 3 sin x  cos x = 2  sin x  cos x  = 2 sin(x  )

2
6
 2

 1

1

sin x 
cos x  = 2 sin(x  ) .
• sin x  cos x = 2 
4
2
 2


Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
2

sin u(x) 
sin u(x) 




cos u(x) 
cos u(x) 
Là phương trình có dạng : a 
+ b
+c=0

 tan u(x) 
 tan u(x) 




cot u(x) 
cot u(x) 
sin u(x) 


cos u(x) 

Cách giải: Đặt t =
ta có phương trình : at 2 + bt + c = 0
 tan u(x)


cot u(x) 
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
sin u(x) 
Khi đặt t = 
 , ta co điều kiện: t  −
 1;1
cos u(x)

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f(sin x,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  0 (k là số mũ cao nhất) ta

được phương trình ẩn là tanx .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
 t2 − 1
= sin x cos x

  
t = sin x + cos x = 2 sin  x +    2
4  

t  − 2; 2 

 
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
a(sin x − cos x) + bsin xcos x + c = 0 (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt
t   − 2; 2 


   
t = sin x − cos x = 2 sin  x −   
1 − t2
4 


sin x cos x =

2
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sin x − cos 2x = 0

2. cos2 x − sin 2x = 0

3. 2sin(2x − 350 ) = 3

4. sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0

Lời giải.


1. Phương trình  cos 2x = sin x = cos( − x)
2


2


x = 6 + k 3
 2x = 2 − x + k2



, k .
 x = −  + k2 
 2x = −  + x + k2

2

2
2. Phương trình cos2 x − 2sin xcos x = 0

cos x = 0
cos x = 0
 cos x(cos x − 2 sin x) = 0  

 tan x = 1
2
sin
x
=
cos
x


2


 x = 2 + k

,k  .

 x = arctan 1 + k

2

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
3
= sin 60 0
2

950
+ k.1800
x =
 2x − 350 = 600 + k3600
2

.


 2x − 350 = 1800 − 600 + k3600
1550
0
+ k.180
x =

2

3. Phương trình  sin(2x − 350 ) =



4. Phương trình  cos(3x − 1) = sin( −2x − 1) = cos  + 2x + 1 
2





 x = 2 + 2 + k2 
 3x − 1 = 2 + 2x + 1 + k2 


.
 x = −  + k 2
 3x − 1 = −  − 2x − 1 + k2 


10
5
2

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. cos x − 2 sin 2x = 0

2. sin3 xsin 3x − cos3 xcos 3x = −

3. sin2 2x = cos2 2x + cos 3x
4. sin 2x.cos 3x = sin 5x.cos 6x
5. sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x

6. sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x

7. cos2 3xcos 2x − cos2 x = 0

Lời giải.
1. Phương trình  cos x − 4sin xcos x = 0  cos x(1 − 4sin x) = 0


cos x = 0
 x = 2 + k


sin x = 1
 x = arcsin 1 + k2 ,x =  − arcsin 1 + k2 

4

4
4
3sin
x
−
sin
3x
cos
3x
+
3cos
x
2. Ta có sin3 x =

; cos3 x =
4
4
Nên phương trình đã cho tương đương với
5
sin 3x ( 3sin x − sin 3x ) − cos 3x ( cos 3x + 3cos x ) = −
2
5
 3 ( sin 3xsin x − cos 3xcos x ) − 1 = −
2
3
1


 −3cos 4x = −  cos 4x =  x =  + k , k  .
2
2
12
2

3. Phương trình  sin2 2x − cos2 2x = cos 3x
 cos4x = − cos3x = cos (  − 3x )

Group: />
5
2


Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí



2
 4x =  − 3x + k2
x= +k


7
7

 4x = − + 3x + k2
 x = − + k2
1
1
4. Phương trình  sin 5x − sin x  = sin11x − sin x 
2
2



 sin 5x = sin11x  x = k hoặc x =
+k
6
16
8
5. Phương trình  (sin x + sin 3x) + sin 2x = (cos x + cos 3x) + cos 2x
 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x


2


1
 x =  3 + k2 
cos
x
=
−

.
 (2cos x + 1)(sin 2x − cos 2x) = 0  
2




x= +k
sin 2x = cos 2x

8
2
6. Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có:
1 − cos6x 1 + cos8x 1 − cos10x 1 + cos12x
Phương trình 
−
=
−
2
2
2
2
 cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x



 x = 2 + k
cos x = 0

 2 cos7x cos x = 2 cos11x cos x  
.
x = k  ; x = k 
cos11x = cos7x

2
9
7. Phương trình  (1 + cos6x)cos 2x − 1 − cos 2x = 0
 cos 6x.cos 2x − 1 = 0  cos 8x + cos 4x − 2 = 0

 2cos2 4x + cos 4x − 3 = 0  cos 4x = 1  x = k


.
2

Nhận xét:
* Ở cos 6x.cos 2x − 1 = 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay

cos6x = 4cos3 2x − 3cos 2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với
hàm số lượng giác cos 2x .
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương
trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t = cos2 x
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng
công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 3sin x + 4 cos x = 0

2. sin 2x + 3 cos 2x = 1

3. 2sin 3x + 5 cos 3x = 5

4. 3cos x + 3 sin x = 1

5. sin7x − cos 2x = 3(sin 2x − cos7x)

6. sin 3x − 3 cos 3x = 2sin 2x

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
7. sin x + cos xsin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x)
Lời giải.
1. Phương trình  3sin x = −4cos x  tan x = −

 4
4
 x = arctan  −  + k .
3
 3


 1

2. Phương trình  2sin(2x + ) = 1  sin(2x + ) = = sin

3
3 2
6

 


 2x + 3 = 6 + k2
 x = − 12 + k


, k .
 2x +  = 5 + k2 
 x =  + k


3 6
4
3. Ta có 22 +

( 5)

2

= 9  52  phương trình vơ nghiệm.

4. Phương trình  3 cos x + sin x =
x=



1
 arccos
+ k2  , k 
6
2 3


1
 cos(x − ) =
6
3
2 3

1

.

5. Phương trình  sin7x + 3 cos7x = 3 sin 2x + cos 2x






7x − 6 = x − 3 + k2
 x = − 36 + k 3


 cos(7x − ) = cos(x − )  


, k
6
3
7x −  = −x +  + k2
x =  + k 


6
3
16
4


 3x − 3 = 2x + k2 

6. Phương trình  sin(3x − ) = sin 2x  
3
 3x −  =  − 2x + k2 

3


 x = 3 + k2

, k .
 x = 4 + k 2

15
5
3

1
3
1
7. Phương trình  sin x + sin 3x + 3 cos 3x = 2cos 4x + sin x − sin 3x
2
2
2
2


 x = − 6 + k2 

.
 sin 3x + 3 cos 3x = 2cos 4x  cos(3x − ) = cos 4x  
3
 x =  + k 2

42
7
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

Group: />
.


Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí


2. tan  ( sin x + 1)  = 1
4




1. cos( sin x) = cos(3 sin x)
Lời giải.

sin x = k
 3 sin x =  sin x + k2
1. Phương trình  

sin x = n
 3 sin x = − sin x + n2

2
• Xét phương trình sin x = k . Do k  và −1  sin x  1 nên ta có các giá trị
của k : −1,0,1

Từ đó ta có các nghiệm: x = m,x = + m, m 
2
n
• Xét phương trình sin x = . Ta có các giá trị của n là: n = 2,n = 1,n = 0
2


Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x = + l,x = l,x =  + l, l 
2
6
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:



x = m,x = + m,x =  + m m  .
2
6


2. Phương trình  ( sin x + 1) = + k
4
4
 sin x + 1 = 1 + 4k  sin x = 4k  sin x = 0  x = m , m .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1.

(

)

3 − 1 sin x +

(

)

3 + 1 cos x = 2 2 sin 2x

2. 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos 2x = 4sin 2x
3. 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan 2 x

4.

x 

x
sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0
2
4
2



Lời giải.
1. Phương trình  3 sin x + cos x + 3 cos x − sin x = 2 2 sin 2x


7
 sin(x + ) + cos(x + ) = 2 sin 2x  sin(x + ) = sin 2x
6
6
12

7

7
 x = 12 + k2
 2x = x + 12 + k2 


.
 x = 5 + k 2 
 2x =  − x − 7  + k2 



36
3
12
2. Phương trình đã cho tương đương với

3sin2 x + 5cos2 x − 2(cos2 x − sin2 x) = 8sin xcos x

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
 5sin2 x − 8sin xcos x + 3cos2 x = 0
 5tan2 x − 8tan x + 3 = 0  tan x = 1 hoặc tan x =

3
5


3
+ k hoặc x = arctan + k
4
5

3. Điều kiện : cos x  0  x  + k
2
x=

Phương trình  5sin x − 2 = 3(1 − sin x)
 5sin x − 2 = 3(1 − sin x)

sin 2 x

cos2 x

sin2 x
1 − sin 2 x

sin 2 x
 (5sin x − 2)(1 + sin x) = 3sin 2 x
1 + sin x


 x = 6 + k2 
1

2
.
 2sin x + 3sin x − 2 = 0  sin x = = sin  
2
6
 x = 5 + k2 

6

4. Điều kiện : cos x  0  x  + k .
2
 5sin x − 2 = 3


  sin 2 x
− (1 + cos x) = 0
Phương trình  1 − cos(x − )

2  cos2 x


 (1 − sin x)


sin 2 x
1 − sin 2 x

− (1 + cos x) = 0

sin 2 x
− (1 + cos x) = 0
1 + sin x

 (1 − cos2 x) − (1 + cos x)(1 + sin x) = 0
 x = k2
cos x = 1 
.
 (1 − cos x)(cos x − sin x) = 0  


 tan x = 1  x = + k

4
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. sin3 x + cos3 x = sin x − cos x

3. sin 2 x + 3 tan x = cos x ( 4 sin x − cos x )

2. 2cos3 x = sin 3x

Lời giải.
1. Phương trình  sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
 2cos3 x − sin xcos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

 cos x sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

 cos x = 0  x =


+ k (Do sin2 x − sin xcos x + 2cos2 x  0 x 
2

)

2. Phương trình  2cos3 x = 3sin x − 4sin3 x

 4sin3 x + 2cos3 x − 3sin x(sin2 x + cos2 x) = 0

 sin3 x − 3sin xcos2 x + 2cos3 x = 0
 tan3 x − 3tan x + 2 = 0 (do cos x = 0 không là nghiệm của hệ)

 (tan x − 1)(tan2 x + tan x − 2) = 0


 tan x = 1
x = + k


4

 tan x = −2
 x = arctan( −2) + k
3. Điều kiện: cos x  0
Phương trình  tan2 x + 3tan x(1 + tan2 x) = 4tan x − 1

 3tan3 x + tan2 x − tan x + 1 = 0
 (tan x + 1)(3tan2 x − 2tan x + 1) = 0

 tan x = −1  x = − + k .
4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
1. sin2 x − 5sin xcos x − 6cos2 x = 0

2. sin2 x − 3sinx.cosx = −1

3. 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos 2x = 4sin 2x

4. sin3 x + cos3 x = sin x − cos x

Lời giải.

1. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế
của phương trình cho cos2 x ta được:



t =tan x  tan x = −1
x = − + k
.
tan 2 x − 5 tan x − 6 = 0  

4

 tan x = 6
x
=
arctan
6
+
k


2. Phương trình  sin2 x − 3sin x.cos x = −(sin2 x + cos2 x)

 2sin2 x − 3cos xsin x + cos2 x = 0
Do cos x = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình
cho cos2 x ta được:

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí



=1
 x = 4 + k
2 tan x − 3 tan x + 1 = 0  

.
 tan x = 1
 x = arctan 1 + k

2

2
3. Phương trình đã cho tương đương với
t = tan x  tan x

2

3sin2 x + 5cos2 x − 2(cos2 x − sin2 x) = 8sin xcos x
 5sin2 x − 8sin xcos x + 3cos2 x = 0


=1
 x = 4 + k

 5 tan x − 8 tan x + 3 = 0  
.
 tan x = 3
 x = arctan 3 + k


5

5
t = tan x  tan x

2

4. Phương trình  sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)

 2cos3 x − sin xcos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

 cos x sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

 cos x = 0  x =


+ k
2
2


1

7
(Do sin2 x − sin xcos x + 2cos2 x =  sin x − cos x  + cos2 x  0 ).
2

4


Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. cos3x + cos2x − cosx − 1 = 0
1
1
7
+
= 4 sin( − x)
3.
3

sin x
4
sin(x − )
2

2. 3cos 4x − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0
4. 2sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2cos x

Lời giải.
1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về
cùng một cung x .
Phương trình  4cos3 x − 3cos x + (2cos2 x − 1) − cos x − 1 = 0

 2cos3 x + cos2 x − 2cos x − 1 = 0 .
Đặt t = cos x, t  1 .
Ta có: 2t 3 + t 2 − 2t − 1 = 0  (t 2 − 1)(2t + 1) = 0  t = 1,t = −

1
.
2

* t = 1  cos x = 1  sin x = 0  x = k
1
1
2
2
* t = −  cos x = − = cos
x=
+ k2 .
2
2
3
3
Chú ý: Ta có thể giải bài tốn trên theo cách sau

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
phương trình  cos 3x − cos x − (1 − cos 2x) = 0

 −2sin 2xsin x − 2sin2 x = 0  sin2 x(2cos x + 1) = 0
 x = k
sin x = 0

.



 x =  2 + k2
cos x = − 1
3

2

2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa cịn chứa hàm số côsin
lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x .

Phương trình  3(2cos2 2x − 1) − (1 + cos 2x)3 + 1 + cos 2x + 3




cos 2x = 0
x= +k


 cos 2x(cos 2x − 3cos 2x + 2) = 0  
4
2.

cos 2x = 1
 x = k
3 7 
3. Trong phương trình có ba cung x; x − ;
− x nên ta tìm cách chuyển ba
2 4
cung này về cùng một cung x
3





Ta có: sin(x − ) = sin (x + ) − 2   = sin(x + ) = cos x
2
2
2


2

7

 

1
− x) = sin  2 − (x + )  = − sin(x + ) = −
( sin x + cos x )
4
4
4
2


1
1
Phương trình 
+
= −2 2(sin x + cos x)

sin x cos x
sin(

 (sin x + cos x)( 2 sin 2x + 1) = 0 .


sin x + cos x = 0
x = − + k

4
 

.
1
sin 2x = −

5

x = − + k; x = −
+ k
2


8
8
4. Ta chuyển cung 2x về cung x.

Phương trình  4sin xcos2 x + 2sin xcos x = 1 + 2cos x
 2sin xcos x(2cos x + 1) = 2cos x + 1



 x = 4 + k
 (2 cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0  
.
 x =  2  + k2

3

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

(
2. 4 ( sin

)

(

1. 4 cos 3x cos3 x + sin 3x sin 3 x + 3 sin 6x = 1 + 3 cos 4 x − sin 4 x
4

)

x + cos4 x + sin 4x

(

)

3 − 1 − tan 2x tan x = 3

Group: />
)


Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
3.
4.
Lời giải.

(

)

1. Ta có: 4 cos 3x cos3 x + sin 3x sin 3 x = 3 cos 2x + cos 6x và

cos4 x − sin4 x = cos 2x nên
Phương trình  3cos 2x + cos6x + 3 sin6x = 1 + 3cos 2x

 3 sin6x = 1 − cos6x  2 3 sin 3xcos 3x = 2sin2 3x
 2 sin 3x

(

)

3 cos 3x − sin 3x = 0 .





Suy ra nghiệm cần tìm là x = k ; x = + k .
3
9
3



x  4 + k 2
cos 2x  0

2. Điều kiện 
.
cos x  0
 x   + k

2

(

)

Ta có : 4 sin4 x + cos4 x = 4 − 2 sin2 2x = 3 + cos 4x

sin 2x sin x cos 2xcos x + sin 2xsin x
.
=
cos 2x cos x
cos 2xcos x
cos ( 2x − x )
1

.
=
=
cos 2x cos x cos 2x
sin 4x
Phương trình đã cho  3 + cos 4x + 3 sin 4x −
=3
cos 2x

 cos 4x + 3 sin 4x = 2sin 2x  sin(4x + ) = sin 2x .
6
Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là:

5 k
.
x = − + k; x =
+
12
36 3
1 + tan 2x tan x = 1 +

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :

y = sin2 x − 14sin x.cosx − 5cos2 x + 3.3 33
Lời giải.

• Nếu cos x = 0  y = 1 + 3.3 33  0
• Với cos x  0 ta có: y =

(1 + 3 3 33)tan2 x − 14 tan x + 3 3 33 − 5

cos2 x

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Vì  = 7 2 − (1 + 3.3 33)(3.3 33 − 5)  0
Suy ra (1 + 33 33)tan2 x − 14tan x + 33 33 − 5  0 x 
Suy ra điều phải chứng minh.

.

Ví dụ 11.
1. Cho tan  ,tan  là hai nghiệm của phương trình x2 − 6x − 2 = 0 . Tính giá
trị của biểu thức sau P = sin2 ( + ) − 5sin(2 + 2) − 2.cos2 ( + )
2. Cho tan  ,tan  là hai nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0 ( c  1 ).
Tính giá trị của biểu thức P = a.sin2 ( + ) + bsin(2 + 2) + c.cos2 ( + ) theo
a,b,c
Lời giải.
1. Theo định lí Viét ta có: tan  + tan  = 6, tan .tan  = −2
Suy ra tan( + ) =

tan  + tan 
=2.
1 − tan .tan 

Ta có: P(1 + tan 2 ( + )) =

P
cos ( + )
2

tan ( + ) − 10 tan( + ) − 2
2

P=

2

=

= tan2 ( + ) − 10 tan( + ) − 2

4 − 20 − 2
18
=−
1+ 4
5

1 + tan ( + )
2. Theo định lí Viét ta có: tan  + tan  = −b,tan .tan  = c
Suy ra tan( + ) =

tan  + tan 
−b
=
.
1 − tan .tan  1 − c

Ta có: P(1 + tan 2 ( + )) =

P
cos ( + )
2

2

= a tan ( + ) + 2btan( + ) + c

P=

=

a tan 2 ( + ) + 2b tan( + ) + c
1 + tan 2 ( + )

ab2 − 2b2 (1 − c) + c(1 − c)2
(1 − c)2 + b2

a.
=

b2
(1 − c)2
1+

−

2b2
+c
1− c

b2
(1 − c)2

.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Giải các phương trình sau:

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí


1
1. sin  2x +  = −
3
2


1 1
3. sin(4x + ) =
2 3

5. 2cos x − 2 = 0
Bài 2 Giải các phương trình sau:
 1
1. sin(4x − ) =
3 2
1

3. tan(2x − 1) =
4
5. sin 3x = sin 5x


7. sin(4x − ) + sin(2x − ) = 0
4
3

9. sin2 2x = cos2 (x − )
4
11. sin 2x + 3sin 4x = 0
Bài 3 Giải các phương trình sau:

1. tan(3x − ) = − 3
3
3. sin 2x − 2 cos 2x = 0

(

)

3
2
4. sin(2x + 1) = cos(2 − x)

2. cos 3x + 150 =

6.

2 cot

2x
= 3
3
3
2

2. cos(150 − 3x) = −

3x 
− )=− 3
2 3

6. sin(4x − ) = cos x
8

8. cos7x + sin(2x − ) = 0
5
4. cot(

10. sin2 x + cos2 4x = 2
12. 6 sin 4x + 5sin 8x = 0
2. cot(4x − 20 0 ) =

1
3

4. tan 2x = tan x

Bài 4 Giải các phương trình sau:
1. 3 tan 2x − 3 = 0
3. sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0


5. cos7x + sin(2x − ) = 0
5
7. sin2 x + cos2 4x = 1
9. 6 sin 4x + 5sin 8x = 0
Bài 5 Giải các phương trình sau:
cos 2x
1.
=0
1 − sin 2x
3. tan 3x = tan 4x
5.

2

4 − x sin 2x = 0

Bài 5 Giải các phương trình sau:
2
2
1. cos( sin x − ) = 1
3
3

2. cos2 x − sin 2x = 0



4. sin(4x − ) + sin(2x − ) = 0
4
3

6. sin2 2x = cos2 (x − )
4
8. sin 2x + 3sin 4x = 0
2. cot 2x.sin 3x = 0
4. cot 5x.cot 8x = 1
6.

(

)

1 − x + 1 + x cos x = 0


7. tan2 x + cot 2 x = 1 + cos2 (3x + )
4


2. cot  ( cos x − 1)  = −1
4


Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Bài 6 Giải các phương trình sau:
1.

3 sin 2x − cos 2x + 1 = 0

3. sin 3x − 3 cos 3x = 2cos 5x
5.

3(sin 2x + cos7x) = sin7x − cos 2x


7. sin x + 2 sin  − x  = 1
4

cos x − 2 sin x.cos x
= 3
9.
2 cos 2 x + sin x − 1
Bài 7 Giải các phương trình sau:

1. 3cos 4x − sin2 2x + cos 2x − 2 = 0
3. 3 tan x + cot x − 3 − 1 = 0
5. (1 + sin x )(1 + cos x ) = 2
6. sin 2x + 4 ( sin x − cos x ) = 4

8. cos3 x − sin3 x = −1
Bài 8 Giải các phương trình sau:

2. 3sin 4x + 4 cos 4x = 1
4. sin x(sin x + 2cos x) = 2

(

)

6. 4 sin 4 x + cos4 x + 3 sin 4x = 2
8.

1 + cos x + cos 2x + cos 3x
2

2 cos x + cos x − 1

2
= (3 − 3 sin x)
3

10. 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2x

2.

1
sin 2 x

+ 3 cot x + 1 = 0

4. cos 2x − 3cos x = 4cos2
7.

x

2

2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

(

)

1. 2sin2 x + 5sin x + 3 = 0
2 tan x
=5
3.
1 − tan 2 x
3
5. 2 tan2 x + 3 =
cos x

2. 2 cos2 2x − 2

7. 5 ( 1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos 4 x

4. cos 2x − 5sin x − 3 = 0
4
=0
6. 9 − 13 cos x +
1 + tan 2 x

5 

7 

8. sin  2x +
 − 3cos  x −
 = 1 + 2 sin x
2 
2 



9. 7 cos x = 4cos3 x + 4sin 2x

10. cos 4x = cos2 3x

3 + 1 cos 2x + 3 = 0

Bài 9 Giải các phương trình sau:
1. 2cos2 x + 6sin xcos x + 6sin2 x = 1

2. cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x

3. cos2 x − sin xcos x − 2sin2 x − 1 = 0

4. cos2 x + 3 sin xcos x − 1 = 0
6. tan x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x )

5. 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + 2 cos 2 x
7. 2cos3 x = sin 3x
8. 4sin3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin2 xcos x = 0
Bài 10 Giải các phương trình sau:

3 sin 2x + cos 2x = 2

cos x − 2 sin x.cos x
= 3
3.
2 cos 2 x + sin x − 1
1.

2. 4sin x + 3cos x +

(

6
=6
4sin x + 3cos x + 1

)

4. 4 sin 4 x + cos4 x + 3 sin 4x = 2

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Bài 11 Giải các phương trình sau:
1. 2sin 2x − ( sin x + cos x ) + 1 = 0

2. sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0



3. sin 2x + 2 sin  x −  = 1
4



4. 1 + tan x = 2 2 sin x
6. cos3 x + sin3 x = cos 2x

5. cos x − sin x + 2sin 2x = 1
7. cos3 x + sin3 x = 2sin 2x + sin x + cos x
1
1
10
8. cosx +
+ sinx +
=
cos x
sin x 3
Bài 12 Giải các phương trình sau:
1. 2cos2 x + 6sin xcos x + 6sin2 x = 1

2. cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x
4. tan x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x )

3. 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + 2 cos 2 x
5. 2cos3 x = sin 3x
6. 4sin3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin2 xcos x = 0
7. sin 2 x ( tan x + 1) = 3 sin x ( cos x − sin x ) + 3

(

8. cos3 x + sin3 x = 2 cos5 x + sin5 x

)

9. sin 2 x + 3 tan x = cos x ( 4 sin x − cos x )


10. 2 2 cos3 (x − ) − 3cos x − sin x = 0
4
Bài 13 Giải các phương trình sau:
1. 2sin2 x − 3sin x + 1 = 0
3. 2 cos 2x + 3sin x − 1 = 0
Bài 14 Giải các phương trình sau:
1. 4 cos x.cos 2x + 1 = 0

2. sin2 x − cos x + 1 = 0
4. 3cos 4x − sin2 2x + cos 2x − 2 = 0
2. 16(sin8 x + cos8 x) = 17 cos2 2x

3. cos4 x − cos 2x + 2sin6 x = 0
Bài 15 Giải các phương trình sau:
1. cos2x + cos x + 1 = 0
2

2

3. 6sin x + 2sin 2x = 5
5. 2cos 2 2x − 2

(

)

3 + 1 cos2x + 3 = 0

7. 9 − 13 cos x +

4

=0
1 + tan 2 x

5 

7 
9. sin  2x +
 − 3cos  x −
 = 1 + 2sinx
2 
2 



2. cos 2x − 3cos x = 4cos2

x
2

4. 2sin4 x + 2cos4 x = 2sin 2x − 1
3
6. 2 tan2 x + 3 =
cos x

8. 5 ( 1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos 4 x
10. 7 cos x = 4cos3 x + 4sin 2x

11. cos4x = cos2 3x

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
13. sin6 x + cos4 x = cos2x

12. 2cos2

3x
4x
+ 1 = 3cos
5
5





14. sin 4 x + cos4 x = cot  x +  cot  − x  + sin 2x
3

6

Bài 16 Giải các phương trình sau:
1. 1 + 3 tan x = 2 sin 2x

2
2. cot x − tan x + 4sin 2x =
6
6
sin 2x
3. sin x + cos x = sin 2x

 3
4. cos4 x + sin4 x + cos(x − )sin(3x − ) − = 0
4
4 2
Bài 17 Giải các phương trình sau:
1
11x
9x
1. sin2 2x.cos6x + sin 2 3x = sin
.sin
2
2
2

2.

1 − 2 2 ( sin 2x + cos 2x )


= 6 tan 2 (x − )
8

sin 4x

3. 1+sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5.
cos2 x(cos x − 1)
4.
= 2(1 + sin x)
3cot 2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2)cos x
sin x + cos x
6. 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4
Bài 18 Giải các phương trình sau:

sin4 x + cos4 x 1
1
( A1 – 2002 )
= cot 2x −
5sin 2x
2
8 sin 2x
2. ( 2cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( D – 2004 )

1.

3.

2(sin6 x + cos6 x) − sin xcos x
2 − 2 sin x

= 0 ( A – 2006 ).

x
4. cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4 (B – 2006 )

2
x 
x
5. sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0 ( D – 2003 )
2
2 4
6. cotx − tanx = sinx + cosx


6

7. sinx.sin4x = 2cos( − x) − 3 cosx.sin4x
8. t an 4 x + 1 =

(2 − sin 2 x)sin 3x

cos4 x
x 
(2 − 3)cos x − 2 sin 2 ( − )
2 4 =1
9.
2 cos x − 1

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
x
3
− 3 cos 2x = 1 + 2cos2 (x − )
2

4
11. 3sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x
2
+ 2 tan 2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0
12.
sin 2 x
10. 4sin2

13.

sin2 x + sin2 3x − 3cos2 2x = 0

 3 x  1
  3x 
−  = sin  +
14. sin 

 10 2  2
 10 2 

(1 + sin x + cos 2x)sin(x + )
4 = 1 cos x
15.
1 + tan x
2
16. (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x − sin x = 0

17. sin 2x − cos 2x + 3sin x − cos x − 1 = 0
(1 − 2 sin x)cos x
= 3

18.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
19. sin x + cos xsin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x)
20. 3 cos 5x − 2sin 3xcos 2x − sin x = 0 .
Bài 19 Giải các phương trình sau
1. 2cosx + tanx = 1 + 2sin2x
8
2. 3cotx − tanx = 8sin(x − )
3
3. sin 3x = cos x.cos 2x(tan 2x + tan2 x)
2(sinx − cosx)2 (1 + 2sin2x)
= 1 − tanx
sin3x + sin5x


5. sin(2x − )cos 2x − 2 2 sin(x − ) = 0
4
4
3
6. cos2 2x + cos4x(tan2x.cotx − 1) = −
4

4.

7. cosx − 2cos3x = 1 + 3.sinx




8. sin x + sin  x +  + sin 4x = sin  2x − 

3
3




1 
1
2
9.  1 −
 cos 2x = 2 sin x − 3 +
2 sin x 
sin x


10. (sin x − 2cos x)cos 2x + sin x = (cos 4x − 1)cos x +

cos 2x
2sin x

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
2

 cos 4x + sin 2x 


11. 
 = 2 2 sin  x +  + 3

4
 cos 3x + sin 3x 

3+ 3
2−3 3
sin 2x.cos 2x +
cos 2 2x
2
2
13. sin3x + 2 cos 3x + cos 2x − 2 sin 2x − 2 sin x − 1 = 0


14. sin x sin 4x = 2 2 cos  − x  − 4 3 cos 2 x sin x cos 2x
6


12. sin 4 x + cos 4 x =

15. ( 2 cos 2x − 1) cos x − sin x = 2 ( sin x + cos x ) sin 3x
16. tan2 x + 3 = (1 + 2 sin x)(tan x + 2 cosx)

1 − cos x.cos 2x
1
−
= 4sin2 x − sin x − 1 .
sin 2x
cos x
Bài 20 Giải các phương trình sau:
17.


6

1. sinx.sin4x = 2cos( − x) − 3 cosx.sin4x
2. cosx − 2cos3x = 1 + 3.sinx
3. sin3 x.cos 3x + cos3 xsin 3x =

−3
4

4. 2sin 2x + (2 3 − 3)sin x + (2 − 3 3)cos x = 6 − 3
x 
5. sin 2 x + 4 sin 2  −  = sin 2 3x
2 4

6. sin x + 2 − sin2 x + sin x 2 − sin2 x = 3
7.

sin10 x + cos10 x
sin6 x + cos6 x
=
4
4 cos2 2x + sin 2 2x

(

8. cos 3x + 2 − cos 2 3x = 2 1 + sin 2 2x

)

9. sin2 x + sin2 y + sin2 ( x + y ) =

9
4
Bài 21 Giải các phương trình sau
1. sin3 x − 3 cos3 x = sin xcos2 x − 3 sin 2 xcos x

(

)

(

)

2. 1 + sin 2 x cos x + 1 + cos2 x sin x = 1 + sin 2x
3. 2sin2 2x + sin7x − 1 = sin x
2


x
x
4.  sin + cos  + 3 cos x = 2
x
2


Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

1 + sin2x + cos2x

= 2sinxsin2x
1 + cot 2 x
6. sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
=0
7.
tan x + 3

5.



sin  3x + 
4



= 2 cot  x +  .
8.
sin x + cos x
4


Bài 22 Giải các phương trình sau
1
1. 1 − cos x + cos x cos 2x = sin 4x
2

(

)

2. 4 sin x =
3.

1 + cos x + 1 − cos x
cos x

sin x + sin x + sin2 x + cos x = 1

1 − sin x + 1 + sin x = 2cos x
1
5. cos2 2x + sin2 4x + 1 = sin 4xcos 2x + sin 2 x
4
4.

6. sin14 x + cos13 x = 1

7. tan 2 x + tan 2 y + cot 2 ( x + y ) = 1

1
8. sin2 x + sin2 3x = sin xsin 2 3x
4
4


1


9.  tan x + cot x  = sin4 x + cos4 x
4


2

2


1   2
1 
1
10.  cos2 x +
+  sin x +
= 12 + sin y .
2 
2 
2
cos x  
sin x 


Vấn đề 2. Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( −; ) của phương trình:



1. sin(3x + ) = cos(2x − )
3

4


2. sin2 2x = cos2 (3x − )
8

Lời giải.


 3

− 2x 
1. Phương trình  sin  3x +  = sin 
3

 4


Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

 3

 k2 
 3x + 3 = 4 − 2x + k2 
 x = 12 + 5


 3x +  =  + 2x + k2 

 x = −  + k2 

3 4
12

Do x  ( −;  ) nên ta có:

43
19

29
53

,x = −
,x = ,x =
,x =
,x = −
60
60
12
60
60
12

Vậy tổng các nghiệm trong ( −; ) bằng .
3


2. Phương trình  cos  6x −  = − cos 4x = cos (  + 4x )
4


x=−


5


 x = 8 + k
6x − 4 = 4x +  + k2 


 x = − 3  + k
6x −  = −4x −  + k2 

4
40 5

Các nghiệm nằm trong ( −; ) của phương trình là:

5
7
27 
19
11
3

,x = − ,x = −
,x = −
,x = −
,x = − ,x = ,

8
8
40
40
40
40
8
13
21
29
37 
x=
,x =
,x =
,x =
40
40
40
40
7
Vậy tổng các nghiệm thuộc ( −; ) là:
.
8
x=

Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các
phương trình sau:
1. sin2 2x + cos2 5x = 1

2. (sin x + cos x)2 = 2cos2 3x

Lời giải.

1 − cos 4x 1 + cos10x
+
=1
2
2

k
x = 3
10x = 4x + k2 
 cos10x = cos 4x  

 x = k
10x = −4x + k2 

7
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:


x = ,x = − .
7
7
2. Phương trình  1 + sin 2x = 1 + cos 6x
1. Phương trình 

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí


 k


 x = 16 + 4
6x = 2 − 2x + k2 


 cos 6x = sin 2x = cos  − 2x   

2

 x = −  + k
6x = −  + 2x + k2 


2
8 2
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã


cho là: x = ,x = − .
16
8

Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình :

( )

( )

 
1 
1. cos    x2 + 2x −   = sin x2
2 
 

Lời giải.

2
2. sin x 2 = sin   ( x + 1) 



( )

1. Phương trình sin  (x2 + 2x) = sin x2


2
2
 (x + 2x) = x + k2
x = k 

 2
 (x2 + 2x) =  − x2 + k2
 2x + 2x − 2k − 1 = 0 (1)
Từ đó ta tìm được x =

−1 + 3

.
2


2k + 1
 x2 = (x + 1)2 + k2
x=−

2. Phương trình  

2
 x2 =  − (x + 1)2 + k2
2
 x + x − k = 0

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x = −

2k + 1
,k 
2

là x =

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x2 + x − k = 0 là: x =
Vậy x =

1
2

−1 + 5 1


2
2

1
là nghiệm cần tìm.
2

Ví dụ 4


Tìm nghiệm ngun của phương trình : cos   3x − 9x 2 + 160x + 800   = 1

8

Lời giải.
Phương trình 3x − 9x2 + 160x + 800 = 16k

16k

16k
x

x  3


3


2

x = 8k − 25
9x = 24k − 40 − 25


3k + 5

3k + 5


Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
25
  k  0, −2, −10
3k + 5
Thử lại ta có các nghiệm ngun của phương trình :
x = −7( k = −2), x = −31 (k = −10) .
Theo bài tốn suy ra:

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2) của phương trình
sau:

(

)

3 − 1 sin x +

(

)

3 + 1 cos x = 2 2 sin 2x

Lời giải.
Ta có sin

7
6+ 2
7
6− 2
=
; cos
=
12
4
12
4

Nên phương trình đã cho tương đương với:

3 −1
2 2

sin x +

3 +1
2 2

cos x = sin 2x

7
7
+ cos x.sin
= sin 2x
12
12

7

7
 x = 12 + k2
 2x = x + 12 + k2
7
 sin(x + ) = sin 2x  

.
12
 x = 5 + k 2 
 2x =  − x − 7  + k2 


36
3
12
Do x  ( 0; 2) nên phương trình có các nghiệm là:
 sin x.cos

7  5 29 53
.

;
;
;
12 36 36
36
Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3 .
Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau
Phương trình  3 sin x + cos x + 3 cos x − sin x = 2 2 sin 2x


7
 sin(x + ) + cos(x + ) = 2 sin 2x  sin(x + ) = sin 2x
6
6
12
Tiếp tục giải ta được kết quả như trên.
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình:



1. 2cos(x − ) = 1 trên ( −; )
2. sin(5x + ) = cos(2x − ) trên
3
3
3
[0; ]
Bài 2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

Group: />

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí


sin   3x − 9x 2 − 16x − 80   = 0 .
4




Bài 3 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
cos (3 − 3 + 2x − x 2 ) = −1 .

Bài 4 Tìm x  0;14 nghiệm đúng phương trình :
cos 3x − 4 cos 2x + 3cos x − 4 = 0
Bài 5 Tìm nghiệm trên khoảng ( −; ) của phương trình :

2(sinx + 1)(sin2 2x − 3sinx + 1) = sin4x.cosx

Bài 6 Tìm nghiệm x  ( 0; 2) của phương trình :
sin 3x − sin x
1 − cos 2x

= sin 2x + cos 2x

Vấn đề 3 . Phương pháp loại nghiệm khi giải phương
trình lượng giác có điều kiện
Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng
giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu
diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ
• Điểm biểu diễn cung  và  + k2 , k  trùng nhau
2k
lên đường trịn lượng giác ta cho k nhận n
• Để biểu diễn cung  +
n
giá trị (thường chọn k = 0,1,2,...,n − 1 ) nên ta có được n điểm phân biệt cách
đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường
tròn.
Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên
k
l
Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm  +
và  + , trong đó m,n
m
n
đã biết, cịn k,l  là các chỉ số chạy.
k
l
Ta xét phương trình :  +
=  +  ak + bl = c (*)
n
m
Với a,b,c là các số nguyên.
Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên
ax + by = c (1).
Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:
• Phương trình (1) có nghiệm  d = (a, b) là ước của c

• Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0 ; y0 ) thì (1) có vơ số nghiệm

Group: />