Bài toán cực trị trong giải quyết một số vấn đề của Kinh tế.

WELCOM
E
NHÓM 12


Đề tài 1:
Bài toán cực trị trong giải quyết một số vấn đề của Kinh tế.


Ⅰ. Cơ sở lí thuyết
Định nghĩa cực
01
trị

02

Điều kiện cần của
cực trị

Điều
kiện
tăng,
giảm,
03
không đổi của hàm

04

Điều kiện đủ của cực trị

05

06

Cực trị hàm nhiều biến

Giá trị lớn nhất, bé nhất


Ⅰ. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. 1.Định nghĩa cực trị
 Nói hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x0 nếu tồn tại một lân cận
của x0 sao cho f(x) f(x0) với mọi x thuộc lân cận đó. Nói hàm số đạt
cực tiểu tại x0 nếu bất đẳng thức có chiều ngược lại: f(x) f(x0) với mọi
x thuộc lân cận đó.
 Giá trị của hàm tại điểm cực đại (cực tiểu) được gọi là giá trị cực đại (cực
tiểu) và được kí hiệu là (). Giá trị cực đại hay cực tiểu có tên chung là cực
trị, kí hiệu .


2.Điều kiện cần của cực trị
Định lí 1 (Fermat): Nếu hàm f(x) có cực trị
tại x0 và tại đó có đạo hàm thì f’(x0) = 0.
Điều ngược lại của định lí là khơng đúng,
tức là nếu f’(x0) = 0 thì chưa kết luận được
là hàm có cực trị tại x0.


2.Điều kiện cần của cực trị
Điểm nghi ngờ: Định lí trên cho phép ta chỉ cần
tìm cực trị tại các điểm, gọi là điểm nghi ngờ

sau đây:
1) Tập các điểm nghi ngờ loại 1: {x | f’(x) = 0}.
2) Tập các điểm nghi ngờ loại 2: {x tập xác định |
f’(x) không tồn tại}.


3.Điều kiện tăng, giảm, khơng đổi của hàm
Định lí 2: Giả sử hàm f(x) khả vi trên (a;b) và liên tục trên [a,b].
Khi đó, nếu:


f’(x) > 0, thì f(x) tăng trên [a;b],



f’(x) < 0, thì f(x) giảm trên [a;b],



f’(x) 0, thì f(x) khơng đổi trên [a;b].
Ví dụ: Hàm y = x liên tục trên R, có đạo hàm dương trên () và trên (0,).
Hàm số tăng trên (] và trên [0,). Nghĩa là, hàm số tăng trên cả trục R mặc
dù f’(0) = 0.


4.Điều kiện đủ của cực trị
Điều kiện đủ thứ nhất.
Định lí: Giả sử x0 là một điểm nghi ngờ của y = f(x)
và hàm số liên tục tại x0. Khi đó:
 Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì

f(x) đạt cực đại tại x0.
V

5

Five

X

10

Ten

L

50

Fifty

 Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì
f(x) đạt cực tiểu tại x0.
 Nếu f’(x) giữ nguyên dấu dương hoặc dấu âm khi x đi
qua x thì f(x) khơng có cực trị tại x .


4.Điều kiện đủ của cực trị
Điều kiện đủ thứ hai.
Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc
nhất, bậc hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và
f’(x0) = 0. Khi đó:

 Nếu f’’(x0) < 0 thì y = f(x) đạt cực đại tại x0.
V

5

Five

X

10

Ten

L

50

Fifty

 Nếu f’’(x0) > 0 thì y = f(x) đạt cực tiểu tại x0.


5.Giá trị lớn nhất, bé nhất
Định lí: Nếu hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì chắc chắn hàm đạt giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất ít nhất một lần trên đoạn đó. Giá trị lớn nhất trên
[a,b], kí hiệu là ymax được xác định như sau ymax = max{y(a);y(b);yctr} trong
đó yctr là kí hiệu chỉ các giá trị cực trị của hàm số đó trên [a,b]. Tương tự
ymin = min{y(a);y(b);yctr}.

6.Cực
trịtốihàm
Bài tốn
đa hóanhiều
lợi nhuậnbiến
cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt
hang trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện
cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá P1, P2, ..., Pn.
Hàm chi phí C = C (, , …, ) với (i=) là mức sản lượng thứ I mà
doanh nghiệp sản xuất.

Tìm các mức sản lượng,, …, mà doanh nghiệp cần sản xuất để
lợi nhuận cực đại.


6.CựcPhương
trị hàm
biến
phápnhiều
giải
Gọi, , …, là các mức sản lượng cần tìm

Doanh thu :


6.CựcPhương
trị hàm
biến
phápnhiều

giải
 

Chi phí:
)
 Lợi nhuận:

Bài tốn trở thành tìm để hàm đạt cực đại.
 


Ⅱ. ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

1. Ví dụ 1: Doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng là bút chì và bút bi trong
điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá bút chì là = 5000VNĐ/bút, với
giá bút bi là = 3000VNĐ/bút. Hàm chi phí C= 2. Tìm mức sản lượng ,
để doanh nghiệp sản xuất đạt lợi nhuận cực đại.


Giải pháp
Gọi , là mức sản lượng cần tìm lần lượt của bút bi và bút chì

Doanh thu:
R== 5000+3000

Chi phí:
C= 2


Giải pháp

Gọi , là mức sản lượng cần tìm lần lượt của bút bi và bút chì

Lợi nhuận:
= R C = 5000+ 3000− − −
= 5000
= 3000


Giải pháp
 Hàm số đạt cực đại
tại M (1000, 1000),
Vậy doanh nghiệp sản
xuất để đạt lợi nhuận
cực đại nếu sản xuất
1000 chiếc bút chì và
1000 chiếc bút bi.


2.Ví dụ 2: Nước sạch tại Hà Nội (theo số liệu thống kê năm 2019)
Q (lượng sử dụng)
0 – 10m3
10m3 – 20m3
20m3 – 30m3
30m3 trở lên

P (giá)
5793
7055
8760
15990

 
 
 
 

Để đơn giản hóa bài tập:

30m3 đầu
30m3 trở lên

7263
15990

Doanh nghiệp muốn đạt tối đa lợi nhuận thì chỉ số tiêu dùng nước như
thế nào?


Giải pháp
Q (lượng sử dụng)
0 – 10m3
10m3 – 20m3
20m3 – 30m3
30m3 trở lên

P (giá)
5793
7055
8760
15990

30m3 đầu
30m3 trở lên
 
 
 

Gọi Q1, Q2 là chỉ số tiêu dùng nước sạch
Doanh thu:
R=
Lợi nhuận:

 

Chi phí:
C=

7263
15990


Q (lượng
dụng)
0 – 10m3
10m3 – 20m3
20m3 – 30m3
30m3 trở lên

Giải pháp

sử P (giá)
5793
7055
8760
15990

30m3 đầu
30m3 trở lên

7263
15990

 
 
 
Điểm dừng là nghiệm của hệ:

 





Giải pháp
Q (lượng sử dụng)
0 – 10m3
10m3 – 20m3
20m3 – 30m3
30m3 trở lên

P (giá)
5793
7055
8760
15990

30m3 đầu
30m3 trở lên
 
 
 

 
 Hàm số có 1 điểm dừng M (1866, 3531)

7263
15990


 Ma trận H =

 Hàm số đạt cực đại tại M (1866, 3531)
Vậy doanh nghiệp muốn đạt lợi nhuận tối đa thì chỉ số dùng nước
sạch của người dân dưới 30m3: 1866 (sản lượng), trên 30m3 là
3531 (sản lượng).


THANK YOU