CỦNG cố 8 tập 2 (1)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.25 MB, 144 trang )
Tailieumontoan.com
Tài liệu sưu tầm
CỦNG CỐ TOÁN 8 TẬP 2
Tài liệu sưu tầm, ngày 12 tháng 8 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm phương trình một ẩn
- Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng:
A(x) = B(x)
trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x.
- Ví dụ:
1
+ Phương trình 3x 2 − 2 = 5x + là phương trình ẩn x.
x
5
+ Phương trình 3 t 2 − t = t − là phương trình ẩn t.
t
2. Các khái niệm khác liên quan
- Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu đẳng thức
(
)
A ( x0 ) = B ( x0 ) đúng.
- Giải phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Hai phương trình cùng vơ nghiệm tương đương nhau.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xét xem một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay khơng?
Phương pháp giải: Để xem số thực x0 có là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) hay
khơng, ta thay x0 vào phương trình để kiểm tra:
- Nếu A ( x0 ) = B ( x0 ) đúng, ta nói x0 là nghiệm của phương trình đã cho.
- Nếu A ( x0 ) = B ( x0 ) không đúng, ta nói x0 khơng là nghiệm của phương trình đã cho.
1A. Hãy xét xem số −1 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay khơng?
2
b) 5t 2 + 8t +=
a) 2x 2 + 3x − 1 =−3x3 + ;
1 2 t 3 − 3t − 6.
x
1B. Trong các giá trị y = 0 và y = 1, đâu là nghiệm của phương trình
5
2 y2 − 3y +
=
5
− 2 3y + 1 ?
2y − 1
3
2A. Cho phương trình 2 x + m = − 2 . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có
x
nghiệm x = 4.
3
2B. Tìm a để phương trình 2 3t 2 + 4 −=
a
− 2t 2 + 1 nhận t = 2 là nghiệm với a là
2t − 1
tham số.
Dạng 2. Giải một số phương trình cơ bản đã biết
Phương pháp giải: Ta thường sử dụng một số biến đổi quen thuộc sau đây:
Loại 1: Phương trình dạng A = B
(
(
)
)
B ≥ 0
Cách giải 1: Ta có A= B ⇔
A = ±B
Cách giải 2: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với A ≥ 0 , ta có A = B .
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
1
Website: tailieumontoan.com
Trường hợp 2: Với A < 0 , ta có A = −B .
Loại 2: Phương trình dạng A = B
A = B
Cách giải: Ta có A= B ⇔
A = −B
Loại 3: Phương trình dạng AB = 0
A = 0
Cách giải: Ta có AB= 0 ⇔
B = 0
3A. Giải các phương trình:
a) x − 2 =
3;
b) 3 + x =
−2 ;
c) 5 − x = 2x − 3 ;
d) x −
3B. Giải các phương trình:
a) 3 + x − 2 =
0;
b) −x + 2 + 1 =
0;
c) 1 − 2x =3x + 1 ;
d) x + 1 =
1
3
= +x .
2 2
3
−x .
2
4A. Giải các phương trình:
1
a) x + ( x − 2 ) =
0;
3
c) x 2 ( 2x − 3) − 9 ( 2x − 3) =
0;
4B. Giải các phương trình:
3
a) 3x − ( −2 − 4x ) =0 ;
4
d) 2x 2 − 3x + 1 =
0.
c) 4 ( −4 + x ) + x x 2 − 16 =0 ;
d) x 2 + 6x − 7 =
0.
(
)
(
)
b) x 2 + 1 2x − 5 =
0;
(
)
b) x 2 − 4 x + 7 − 12 x + 7 =
0;
Dạng 3. Xét sự tương đương của hai phương trình
Phương pháp giải: Thơng thường ta thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1: Tìm các tập nghiệm S1,S 2 lần lượt của hai phương trình đã cho.
Bước 2: Nếu S1 = S 2 , ta kết luận hai phương trình tương đương; nếu S1 ≠ S 2 , ta kết luận
hai phương trình khơng tương đương.
5A. Các cặp phương trình sau đây có tương đương khơng? Vì sao?
a) x − 2 ( 3x + 1) =
0;
0 và 9x 2 ( x − 2 ) − ( x − 2 ) =
b) 3x 2 + 2 =
0 và 2x − 1 =−1 .
5B. Các cặp phương trình sau đây có tương đương khơng? Vì sao?
(
)
a) x 2 − 6x + 9 =
0 và x 2 + 1 ( 2x − 6 ) =
0
(
)
b) x 2 + 1 2x − 1 =
0
0 và 2x 4 + 1 =
6A. Cho hai phương trình: 2x 2 − 5x + 3 =
0
(1)
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
2
Website: tailieumontoan.com
2
và 3 − x − 1 ( x + 2 ) =
(2)
2x
3
3
a) Chứng minh x = là nghiệm chung của (1) và (2).
2
b) Chứng minh x = −5 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương khơng? Vì sao?
6B. Cho hai phương trình: −2x 2 + 3x + 5 =
0 (1)
2
(2)
và x − 1 ( x − 1) + 5 =
2x
5
5
a) Chứng minh x = là nghiệm chung của (1) và (2).
2
b) Chứng minh x = −1 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương khơng? Vì sao?
7A. Cho các phương trình ẩn x, tham số m:
mx 2 − ( m + 1) x + 1 =
0 và ( x − 1)( 2x − 1) =
0.
Tìm m để hai phương trình tương đương.
7B. Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x 2 = 16 và 2m 2 ( x − 3) = m − 6
tương đương.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
8. Trong các số −1 và 1, số nào là nghiệm, số nào khơng là nghiệm của phương trình
x + 5 x − 9 5x + 3
− =
+ 2 x 2 − 1 + 1?
6
4
8
6−y
. Tìm giá trị của tham số m để
9. Cho phương trình 2 y2 − 3y + 7 − m =−2y2 +
3
phương trình nhận y = −3 là nghiệm.
10. Giải các phương trình sau:
1
0;
b) x + + 1 ( x + 3) =
a) x − 1 = 3x − 5 ;
2
c) 3x 2 − 4x − 7 =
0;
(
)
d) 7 ( x − 1) 2x + 1 + 2x + 1 x 2 − 1 =
0.
11. Các cặp phương trình sau đây có tương đương khơng? Vì sao?
a) x − 2 = ( 4 − x )( x − 2 ) và x 2 − 5x + 6 =
0;
2
2
=
+ 3 và x – 3 = 0.
x−3 x−3
12. Cho hai phương trình: 5x 2 + 3x − 8 =
(1)
0
2
và −x + 8x − 7 =
(2)
0
a) Chứng minh x = 1 là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).
8
b) Chứng minh x = − là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
5
c) Hai phương trình đã cho có tương đương khơng? Vì sao?
b) x +
13*. Cho các phương trình:
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038
3
Website: tailieumontoan.com
0 và ( x + 3)( 2x + 1) =
0.
( m + 4 ) x2 − 2 ( 2m + 9 ) x − 4 =
Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương.
(
)
14*. Cho phương trình m 2 + m − 6 x 2 =
( m − 2 )( m − 3)
trong đó m là tham số.
a) Chứng minh:
i) Khi m = 2 phương trình có tập nghiệm là ;
ii) Khi m = −3 phương trình có tập nghiệm là ∅ .
b) Giải phương trình đã cho khi m = 5.
HƯỚNG DẪN
1A. a) Thay x = -1 vào VT và VP của PT ta được VT = -2 và VP = 1. Vì VT ≠ VP nên x =
-1 không là nghiệm của PT đã cho.
b) Tương tự, vì VT = VP = -2 nên t = -1 là nghiệm của PT đã cho.
1B. Tương tự 1A.
y = 0 không là nghiệm và y = 1 là nghiệm của PT đã cho.
3
4
2A. Thay x = 4 vào phương trình ta có: 2 4 + m = − 2
Từ đó tìm được m = −
21
4
2B. Tương tự 2A. Tìm được a = 14
3
x − 2 =
. Từ đó tìm được x ∈{-1; 5}.
x − 2 =−3
3A.a) Ta có x − 2 = 3 ⇔
b) Vì | 3 + x| = -2 và -2 < 0 nên PT vô nghiệm.
c) Cách 1. Điều kiện 2x - 3 ≥ 0 hay x ≥
3
2
Khi đó e − x =2 x − 3 ⇔ 5 − x =±(2 x − 3)
Giải ra ta được x =
8
(TMĐK) hoặc x = -2 (không TMĐK)
3
Cách 2. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu 5 - x ≥ 0 hay x ≤ 5 khi đó 5 - x = 2x - 3.
Giải ra x =
8
thỏa mãn x ≤ 5.
3
Trường hợp 2. Nếu 5 - x ≤ 0 hay x ≥ 5.
d) Ta có x −
1
3
1 3
1 3
= + x ⇔ x − = + x hoặc x − =− − x
2
2
2 2
2 2
Giải ra tìm được x = −
1
2
3B. Tương tưj 3A
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
4
Website: tailieumontoan.com
a) x ∈ {−5;1}
b) x ∈∅
1
d) x =
c) x = 0 .
1
4
1
4A. a) Ta có x + ( x − 2 ) = 0 ⇔ x + = 0 hoặc x - 2 = 0.
3
3
1
3
Giải ra tìm được x ∈ − ; 2
b) Ta có ( x 2 + 1) 2 x − 5 = 0 ⇔ 2 x − 5 = 0 ⇔ x =
5
2
c) Ta có x 2 ( 2 x − 3) − 9 ( 2 x − 3) =0 ⇔ ( x 2 − 9 ) ( 2 x − 3) =0
3
2
Giải ra tìm được x ∈ −3; ;3
d) Biến đổi về dạng (x - 1) (2x - 1) = 0
1
2
Giải ra tìm được x ∈ ;1
4B. Tương tự 4A.
1 1
2 4
a) x ∈ − ;
b) x ∈ {−7; −4; 4}
c) x ∈ {−2; 4}
d) x ∈ {−7;1}
1
3
5A. PT x − 2 ( 3x + 1) =
0 có tập nghiệm là S1 = − ; 2
1
PT 9 x 2 ( x − 2 ) − ( x − 2 ) =
0 có tập nghiệm là S 2 = ± ; 2
3
Vì S1 ≠ S2 nên hai PT trên không tương đương
b) PT 3x 2 + 2 =
0 và PT 2 x − 1 =−1 có cùng tập nghiệm là S1 = ∅
Suy ra hai PT tương đương với nhau
5B. tương tự 5A
a) Tương đương
b) Không tương đương
6A. a) Thay x =
3
3
vào (1) và (2) thấy thỏa mãn nên x = là nghiệm chung của cả hai PT
2
2
đã cho.
b) Thay x = -5 vào (2) thấy thỏa mãn nên x = -5 là nghiệm của (2). Thay x = -5 vào (1)
thấy không thỏa mãn nên x = -5 không là nghiệm của (1).
3
2
3
2
c) Cách 1. Tìm được tập nghiệm của (1) và (2) lần lượt là S1 = 1; và S2 = −5;
Vì S1 ≠ S2 ⇒ Hai phương trình khơng tương đương nhau.
Cách 2. Theo ý b, x = -5 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1) nên hai PT
khơng có cùng tập nghiệm.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
5
Website: tailieumontoan.com
6B. Tương tự 6A.
a) b) HS tự làm.
c) Hai phương trình đã cho khơng tương đương.
1
2
7A. PT (x - 1) (2x - 1) = 0 có tập nghiệm là S = ;1
* Điều kiện cần: Để hai PT tương đương thì x = 1 và x =
1
cũng là nghiệm của
2
PT mx 2 − (m + 1) x + 1 =0
Từ đó tìm được m = 2
* Điều kiện đủ: Thử lại thấy m = 2 thì hai PT đã cho tương đương.
7B. Tương tự 7A. Tìm được m ∈∅
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
8. Tương tự 1A.x = ± 1 khơng là nghiệm của phương trình.
9. Tương tự 2A. Tìm được m = 25
10. Tương tự 3A. Tìm được
3
2
a) x ∈ ; 2
b) x = −3
11. Tương tự 5A.
a) Tương đương
7
3
1
2
c) x ∈ −1; d) x ∈ −8; − ;1
b) Không tương đương.
12. Tương tự 6A.
Hai phương trình khơng tương đương.
13. Tương tự 7A. m ∈∅
14. a) i) Khi m = 2, PT có dạng õ2 = 0. Từ đó S =
ii) Khi m = -3, PT có dạng có: 0x2 = 30. Từ đó S = ∅
1 1
2 2
b) Thay m = 5 vào PT tìm được S = − ;
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
6
Website: tailieumontoan.com
1. Khái niệm
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:
ax + b =
0
trong đó a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 .
2. Các quy tắc cơ bản
a) Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển vế một hạng tử từ một vế của phương trình sang vế cịn lại, ta phải đổi dấu
hạng tử đó:
A(x) + B(x) = C(x) ⇔ A(x) = C(x) − B(x) .
b) Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số khác 0:
Khi nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với một số khác 0 ta được phương trình mới
tương đương với phương trình đã cho:
A(x) + B(x) = C(x) ⇔ mA(x) + mB(x) = mC(x)
A(x) B(x) C(x)
A(x) + B(x) = C(x) ⇔
+
=
( m ≠ 0)
m
m
m
3. Cách giải phương trình bậc nhất
Ta có:
ax + b =0 ⇔ ax =−b (sử dụng quy tắc chuyển vế)
b
⇔x=
− (sử dụng quy tắc chia cho a ≠ 0 )
a
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn.
1A. Hãy xét xem các phương trình sau có là phương trình bậc nhất một ẩn hay khơng? Nếu
có hãy chỉ ra hệ số a và b.
b) 0x + 3 =
a) 3x − 4 =
0
0
2
1
x
d)
c) x = 0
−7 =
0
2
3
1B. Trong các phương trình sau đâu là phương trình bậc nhất một ẩn? Vì sao?
2x 1
b)
a) 9 x + 1 =
0
− =
0
3 5
1
2
d) −3x +
c)
+7=
0
0
=
5x
3
2A. Tìm m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất ẩn x:
(
)
a) m 2 − 4 x + 2 − m =
0
0
b) ( m − 1) x 2 − 6x + 8 =
c) x 2m ( m − 3) − m =
0
d)
a) 2k − 3 x − 6 =
0
b) k 2 + 3 x + 7 =
0
( m + 3) x + 5 = 0
m −1
2B. Tìm k để các phương trình sau là phương trình bậc nhất ẩn x:
(
)
−5k + 3
k
3kx − 5
d)
x− =
0
=0
k+2
2
2
3A. Chứng minh các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của
tham số m:
c)
(
)
a) m 2 + 1 x − 3 =
0;
(
)
b) m 2 + 2m + 3 x + m − 1 =
0.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
7
Website: tailieumontoan.com
3B. Chứng minh các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của
tham số m:
m2 + 1
m
a)
b) ( 2m − 1 + 2 ) x − m − 1 =
x− =
0
0.
3
5
Dạng 2. Giải phương trình
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế hoặc nhân (chia) với một số khác 0 để giải
các phương trình đã cho.
4A. Giải các phương trình sau:
b) 2 ( 3x + 1) =x + 1 ;
a) 7 − x =−2x + 3 ;
2
1
x− =
2;
5
10
4B. Giải các phương trình sau:
c)
d) x −
a) x + 5 =−x + 3 ;
b)
10x + 1
− 11 =
0;
2
5A. Giải các phương trình sau:
m2
7
a)
+ 1 − 3 x − =
0 khi m = 5 ;
4
2
c)
(
1
0.
(8x + 16 ) =
2
1
1
1
( 2x + 3) + x = ;
2
3
12
2x + 1 1
5
d)
0.
x− =
5 3
4
)
b) m 2 + 5m − 6 x =1 − 2m khi m = −2 .
5B. Giải các phương trình sau:
3m
1
khi m = ;
a)
−
−
=
3
x
2
0
m +1
2
2
b) m 2 + 10m + 25 x =m − khi m = −3 .
5
)
(
3
6A. Cho biểu thức A
= t 2 ( m + 5) − t ( m + 5) t + + ( t − m ) với m là tham số.
2
a) Rút gọn A.
b) Khi m = −1 , tìm t để A = 0.
6B. Cho biểu thức B= my3 − my2 ( y + 4 ) + m ( 4y + 1)( y − m ) với m là tham số.
a) Rút gọn B.
b) Khi m = 3 , tìm y để B = 0.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Trong các phương trình sau đâu là phương trình bậc nhất? Chỉ rõ a và b.
x 2 + 3x
b) ( x − 3)( x + 5) − x 2 =
a)
0;
=0;
x
3
−x +
2 =0.
d)
c) 2x + 3 =
0;
2
8. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất:
3
a) 4m 2 + 4m + 1 x + 5 =
b) m − ( x − 7 ) =
0;
0;
2
(
)
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
8
Website: tailieumontoan.com
m2 m 1
mx + 1
c)
d)
= 0.
0;
− + x − 2m + 1 =
4
−2m + 2
4 16
9. Giải các phương trình sau:
0
b) x ( 2x − 1) − x 2 ( x + 2 ) + x3 − x + 3 =
a) x ( x − 3) + 2 ( x − 3) =
0;
10. Giải các phương trình sau:
2
1 2
5x + 7 2 − 3x 2x + 9
a) x + =;
b)
−
=
+ 4;
5
4 5
4
7
2
11x + 2 x
x+2 3
−x + 9
c)
d) x −
=
+ 1;
− ( x −=
1)
− 5.
3
2
3
4
6
1
1 1
11. Cho biểu thức P =
− y2 ( 6m − 3) + (1 − 2m ) y y + + ( y − m ) với m là tham số.
3
2 2
1
a) Rút gọn P.
b) Tìm y để P = 0 khi m = .
2
12. Giải các phương trình sau:
0 khi m = 5.
a) −16 + 8m − m 2 x − 2 m 2 + 11 =
(
)
b) x m 2 2m 2 − 1 − =
m 2m ( x + 1) khi m = 1.
(
)
13*. Cho phương trình m 2 + 1 x − 2m =
0 (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình là bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để nghiệm của phương trình:
i) Đạt giá trị lớn nhất;
ii) Đạt giá trị nhỏ nhất.
14*. Cho phương trình m 2 + m + 1 x − m 2 − m + 1 =
0
) (
(
)
a) Chứng minh phương trình là bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m.
b) Tìm m để nghiệm của phương trình:
i) Đạt giá trị lớn nhất;
ii) Đạt giá trị nhỏ nhất.
1A. a), c) là PT bậc nhất một ẩn
1B. Tương tự 1A
b), d) là PT bậc nhất một ẩn
HƯỚNG DẪN
2A. a) ĐK m 2 − 4 ≠ 0 . Tìm được m ≠ ±2
b) ĐK m − 1 =0 . Tìm được m = 1
c) ĐK 2m ( m − 3) > 0. Tìm được m < 0 hoặc m > 3.
m+3
5
x+
=
0
m −1
m −1
d) Biến đổi được
m + 3 ≠ 0
. Tìm được
m − 1 ≠ 0
ĐK
m ≠ −3
m ≠ 1
2B. Tương tự 2A
a) Tìm được k ≠
3
2
b) Tìm được ∀k ∈
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
9
Website: tailieumontoan.com
c) Tìm được k <
k ≠ 0
k ≠ −2
3
5
b) Tìm được
3A. a) ta có a= m 2 + 1 ≠ 0∀m ∈ ⇒ ĐPCM.
b) Biến đổi được a =
( m + 1)
2
+ 2 ≠ 0 ∀m ∈ ⇒ ĐPCM.
3B. Tương tự 3A
m2 + 1
≠ 0 ∀m ∈ ⇒ ĐPCM.
3
a) Ta =
có a
b) Ta có a= 2m − 1 + 2 ≠ 0 ∀m ∈ ⇒ ĐPCM.
4A. a) Biến đổi về x + 4 = 0. Tìm được x = -4
b) Biến đổi về 5x + 1 = 0. Tìm được x = −
c) Biến đổi về
1
5
2
21
21
x− =
0 . Tìm được x =
5
10
4
A = 0
1
. Tìm được x ∈ −2;
2
B = 0
d) Nhận xét A.B= 0 ⇔
4B. Tương tự 4A
a) Tìm được x = -1.
c) Tìm được x =
b) Tìm được x =
−1 15
;
2 4
21
10
5A. a) Với m = 5 , PT trở thành
−17
16
d) Tìm được x ∈
−3 7
7
x =
−
0⇔ x=
2 2
3
b) Với m = −2 , PT trở thành −12 x = 5 ⇔ x =
−5
12
5B. Tương tự 5A
a) Tìm được x = −1
b) Tìm được x =
17
20
6A. a) Rút gọn ta được B =
( −4m2 + m ) y − m2
b) Với m = 3 thì B =
−33 y − 9 . Tìm được y =
−3
11
7. Tương tự 1A.
a), c) Không là PT bậc nhất một ẩn
b) Biến đổi được 2 x − 15 =
0
là PT bậc nhất một ẩn vứi a = 2 và b = −15
d) Biến đổi được
−1
3
x+
=
0
2
4
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
10
Website: tailieumontoan.com
Là PT bậc nhất một ẩn với a = −
1
3
và b =
2
4
8. Tương tự 2A
a) Tìm được m ≠ −
c) Tìm được m ≠
1
2
1
2
b) Tìm được m ≠
3
2
m ≠ 0
m ≠ 1
b) Tìm được
9. a) Biến đổi về dạng (x - 3) (x + 2) = 0. Tìm được x ∈ {-2; 3}
b) Thu gọn về dạng -2x + 3 = 0. Tìm được x =
3
2
10. Tương tự 4A.
a) Tìm được x =
c) Tìm được x =
3
8
b) Tìm được x =
2
19
197
19
d) Tìm được x = −43
11. Tương tự 6A.
1
2
a) Rút gọn ta được P =( −4m + 2 ) y 2 + (1 − m ) y − m
b) Khi m =
1
1
1
1
thì =
P
y − . Tìm được y =
2
2
2
4
12. Tương tự 5A
a) Tìm được x = 12
b) Tìm được x = -3
13*. a) Ta có a= m 2 + 1 ≠ 0 ∀m ∈ ⇒ ĐPCM.
b) Ta có x =
Mà m +
2m
2m
=
x
=
. Xét
2
m2 + 1
m +1
2
m+
1
m
1
1
≥ 2. m .
= 2 ∀m ⇒ x ≤ 1 . Do đó:
m
m
i) xmin =−1 ⇔ m =−1
ii) xmax =−1 ⇔ m =1
14*. Tương tự 13.
2
1 3
a) Ta có a= m + m + 1= m + + ≠ 0 ∀m ∈ ⇒ ĐPCM.
2 4
2
b) Ta có x =
2
m2 − m + 1
= 1−
2
1
m + m +1
m + +1
m
2 ( m + 1)
Cách 1. i) Ta có x − 3 =− 2
≤ 0 ∀m ∈
m + m +1
2
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
11
Website: tailieumontoan.com
Từ đó tìm được xmax =⇔
3 m=
−1
2 ( m − 1)
1
ii) Ta=
có x −
≥ 0 ∀m
3 3 ( m 2 + m + 1)
2
1
3
Từ đó tìm được xmin = ⇔ m =1
Cách 2
- Khi m > 0 ta có m +
1
1
≥ 2 . Tìm được xmin = ⇔ m =1
m
3
1
3 m=
−1
≤ −2 Tìm được xm ax =⇔
m
..............................................................................................................................................................
- Khi m < 0 ta có m +
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
0
CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b =
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Sử dụng các quy tắc trong bài học trước để đưa phương trình đã cho về dạng
ax + b =
0.
• Chú ý đến các kiến thức liên quan, bao gồm:
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ;
- Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản;
- Các quy tắc về đổi dấu;
- ...
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
12
Website: tailieumontoan.com
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi thường gặp để giải một số phương trình đơn giản
Phương pháp giải: Thực hiện quy tắc chuyển vế đổi dấu, quy tắc nhân, hằng đẳng thức...
Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu để biến đổi phương trình về dạng ax + b =
0.
1A. Giải các phương trình sau:
a) 7x − 4 = 3x + 12 ;
b) 3x − 6 + x = 9 − x;
2x − 3
1− x
10x + 3
6x + 8
c)
d)
.
+2 =
= 1+
4
6
12
9
1B. Giải các phương trình sau:
a) 4x − 5 = x + 7 ;
b) 10x − 12 − 3x =6 + x;
7x − 1
16 − x
5x − 4 2 + 3x
c)
d)
+ 2x = .
=
6
5
3
2
2A. Giải các phương trình sau:
a) (1 − x ) + ( x + 2 )= 2x ( x − 3) − 7;
2
2
3x − 1 6x − 2 1 − 3x
+
=;
4
8
6
2B. Giải các phương trình sau:
d)
a) (1 − 2x ) = 3x ( x − 3) + ( x − 1) ;
c)
2
x−4
x 2−x
−x+3= −
;
4
3
6
3
x+
c)
2
b) ( 2 − x ) − ( x − 4 ) = 8 ( x − 3) ;
3
2
2 (3 − x )
9 − 2x
1−
5
12 .
= 1+
12
5
b) (1 + x ) + (1 − x ) = 6 ( x + 1) ;
3x − 4 3 − x
5x +
+ 7x
5
15
d)
=
+ 1 − x.
15
5
3
3
2
Dạng 2. Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn ở mẫu xác định
A(x)
xác định khi và chỉ khi B(x) ≠ 0 .
Phương pháp giải:
B(x)
A(x) ≠ 0
Chú ý: A(x).B(x) ≠ 0 ⇔
.
B(x) ≠ 0
3A. Tìm điều kiện của x để giá trị mỗi phân thức sau xác định:
5 ( x − 1) + 2x + 3
2x − 3
a) P =
b) Q =
;
.
4x + 1 − 2 ( 5 − 2x )
2x 2 ( x + 2 ) − x 2 + 1 ( 2x + 4 )
(
)
3B. Tìm điều kiện của x để giá trị mỗi phân thức sau xác định:
x+3 −2
2x 2 − 5x + 3
a) P =
;
b) Q =
.
2
2
x
x ( x + 2 ) − ( x + 1) ( x + 2 )
−2x ( x + 2 ) + 8x 1 + + 3
2
Dạng 3. Giải một phương trình đặc biệt
Phương pháp giải: Xét phương trình (ẩn x) dạng :
x+a x+c x+e x+g
+
=
+
b
d
f
h
Bước 1: Nếu a + b = c + d = e + f = g + h = k , ta cộng mỗi phân thức thêm 1. Nếu
a − b = c − d = e − f = g − h = k , ta cộng mỗi phân thức thêm −1.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
13
Website: tailieumontoan.com
Bước 2: Quy đồng từ phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung.
Chú ý: Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng
số thích hợp.
4A. Giải các phương trình sau:
x+2 x+3 x+4 x+5
a)
;
+
=
+
7
6
5
4
x − 12 x − 10 x − 8 x − 6
b)
;
+
=
+
21
23
25
27
x + 7 x + 5 x + 3 x +1
c)
; Gợi ý: Cộng thêm 2.
+
=
+
3
4
5
6
x+m x+n x+p
d)
+
+
+3=
0 với m, n, p là các số dương.
n+p p+m n+m
4B. Giải các phương trình sau:
x + 81 x + 82 x + 84 x + 85
a)
+
=
+
;
19
18
16
15
x − 22 x − 21 x − 20 x − 19
b)
4;
+
+
+
=
8
9
10
11
−x + 12 −x + 13 −x + 15 −x + 16
c)
;
+
=
+
7
6
4
3
x + 19 x + 13 x + 7 x + 1
Gợi ý: Cộng thêm 3.
d)
+
=
+
.
3
5
7
9
Dạng 4. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp giải: Tùy thuộc mỗi phương trình mà ta có thể lựa chọn cách đặt ẩn phụ phù
hợp để làm giảm sự phức tạp của phương trình đã cho.
5A. Giải các phương trình sau:
3x − 1 2 − 6x 1
a)
−
= + ( 3x − 1) ;
2
5
2
5B. Giải các phương trình sau:
x − 2 2x − 4 5
a) 2 +
−
− (2 − x) =
0;
2
3
6
x + 1 6 ( x + 1) − 5x − 5
b) x + 2x + 1 −
.
=
3
6
(
2
)
2
b) x − 1 −
2 x −1
3
1 + 2x − 2
.
=
2
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. Giải các phương trình sau:
2x − 1
1 − 3x
+3=
;
4
6
3x − 1)( x + 2 ) 2x 2 + 1 11
(
2
c) ( x − 3) − x ( x + 4 ) + 5 =
d)
0;
.
−
=
3
2
2
7. Tìm điều kiện của x để giá trị mỗi phân thức sau xác định:
10x + 5
7x + 6
a) P =
b) Q =
.
;
2
x − 3 + ( 3x + 1) x − 3
x 2 ( x + 2 ) − ( x + 1) ( x + 2 )
8. Giải các phương trình sau:
a) 5x + 3 ( x − 1) = 5x + 7;
b)
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
14
Website: tailieumontoan.com
a) ( 2x − 1) + 6 ( 3x − 1) = 2 ( x + 1) + 6 ( x + 2 ) ;
3
2
3
3
b) ( x − 2 ) + ( 3 − 2x ) − ( 4x − 4 )( x − 5) = ( x + 3) ;
2
2
2
2 ( x − 3) − 1 3 − x
=
;
3
4
x+4
2−x
−1
+x
3
7
d) =
+ x + 1.
7
3
9. Giải các phương trình sau:
18 − x 17 − x 16 − x 15 − x
a)
+
=
+
;
5
6
7
8
x − 30 x − 28 x − 26
b)
+
+
=
−6 ;
10
9
8
x + 81 x + 82 x + 83 x + 84 x + 85 x + 86
c)
;
+
+
=
+
+
19
18
17
16
15
14
20 − x 22 − x 24 − x 26 − x
d)
+
=
+
.
3
4
5
6
c) x − 3 +
HƯỚNG DẪN
1A. a) Chuyển vế và rút gọn được 4x = 16, tìm được x = 4.
b) Đưa PT về dạng 5x = 15, tìm được x = 3
c) Quy đồng, khử mẫu thu được 6x - 9 + 24 = 2 - 2x.
Từ đó tìm được x = −
13
8
d) Quy đồng, khử mẫu thu được 30x + 9 = 36 + 24x +32
Từ đó tìm được x =
59
6
1B. Tương tự 1A
a) x = 4
b) x = 3
c) x = 14
d) x = 1.
2A. a) Triển khai hằng đẳng thức và rút gọn được 8x + 12 = 0
Từ đó tìm được x = −
3
2
b) Sử dụng hằng đẳng thức, biến đổi phương trình về dạng: (x - 3) (2x2 - 4x) = 0
Sưe dụng phương pháp giải PT tích tìm được x ∈{0; 2; 3}
c) quy đồng khử mẫu ta được 48x - 16 = 0
Từ đó tìm được x =
1
3
d) Quy đồng khử mẫu ta được 3x + 6 = 2x + 63
Từ đó tìm được x = 57.
2B. Tương tự 2A
a) x = 0
b) x =
−1
3
c) x =
28
15
d) x = -82.
9
8
2
2
b) ĐK 2 x ( x + 2 ) − ( x + 1) ( 2 x + 4 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ −2
3A. a) ĐK 4 x + 1 − 2 ( 5 − 2 x ) ≠ 0 ⇔ x ≠
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
15
Website: tailieumontoan.com
Từ đó ĐK cần tìm là x ∈
x
3B. a) Do −2 x ( x + 2 ) + 8 x 1 + + =
3 2 ( x + 1) + 1 > 0 ∀x ∈
2
2
x ≠ −2
b) ĐK − ( x + 2 )( 2 x + 1) ≠ 0 ⇔
1
x ≠ − 2
4A. a) Cộng mỗi phân thức thêm 1 rồi thực hiện nhóm hạng tử
( x + 9 )
1 1 1 1
+ − − =
0
7 6 5 4
Từ đó tìm được x = -9
b) Cộng mỗi phân thức thêm -1 rồi nhóm hạng tử thu được
( x − 33)
1 1
1
1
+ − − =
0
21 23 25 27
Từ đó tìm được x = 33
1
1
1 1
c) Sau khi cộng đưa về dạng ( x + 13) + − − =
0
3 4 5 6
Từ đó tìm được x = -13
1
1
1
+
+
0
=
n+ p p+m n+m
Từ đó tìm được x =−m − n − p
d) Đưa về dạng ( x + m + n + )
4B. Tương tự 4A
1 1 1 1
+ − − =
−100
0⇔ x=
19 18 16 15
1 1 1 1
b) ( x − 30 ) + + + = 0 ⇔ x − 30 = 0 ⇔ x = 30
8 9 10 11
1 1 1 1
c) (19 − x ) + − − = 0 ⇔ 19 − x = 0 ⇔ x = 19
7 6 4 3
1 1 1 1
d) ( x + 28 ) + − − = 0 ⇔ x + 28 = 0 ⇔ x = −28
3 5 7 9
4
t 2t 1
5A. a) Đặt t = 3x − 1 ⇒ + = + t . Tìm được t =−5 ⇒ x =−
3
2 5 2
2
x + 1 6 ( x + 1) − 5 ( x + 1)
2
b) Ta có ( x + 1) −
=
3
6
a) ( x + 100 )
Đặt x + 1 = t, ta tìm được t = 0 ⇒ x = -1.
5B. Tương tự 5A
a) Đặt x - 2 = t, tìm được t = -3 = 0 ⇒ x = -1.
b) Đặt x − 1= t (t ≥ 0) , tìm được t =
6. Tương tự 1A
a) x =
10
3
b) x =
7. Tương tự 3A
2
x ≠ −
a) ĐK:
3
x ≠ 3
−31
12
−3
(KTM) ⇒ x ∈∅
4
c) x =
7
5
d) x = 4
x ≠ −2
b) ĐK
1
x ≠ − 2
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
16
Website: tailieumontoan.com
8. Tương tự 2A
a) x = −
5
12
b) x = 8
c) x =
9. Tương tự 4A
73
23
d) x = −
11
13
1 1 1 1
1 1 1
b) ( x − 10 ) + + = 0 ⇔ x = 10
10 9 8
1 1 1 1 1 1
c) ( x + 100 ) + + − − − =
−100
0⇔ x=
19 18 17 16 15 14
1 1 1 1
d) (14 − x ) + − − = 0 ⇔ x = 14.
3 4 5 6
..............................................................................................................................................................
a) ( 23 − x ) + − − = 0 ⇔ x = 23
5 6 7 8
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Chú ý rằng:
A(x) = 0
1. Phương trình A(x).B(x)= 0 ⇔
B(x) = 0
A(x) = 0
B(x) = 0
2. Mở rộng, phương trình A(x).B(x) M(x)= 0 ⇔
M(x) = 0
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
17
Website: tailieumontoan.com
II.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Giải phương trình dạng tích
Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức:
A(x) = 0
A(x).B(x)= 0 ⇔
B(x) = 0
1A. Giải các phương trình sau:
(
)
a) ( 3x − 2 )( x + 1) =
0;
b) x 2 + 2 ( 2x − 1) =
0;
c) ( x + 3)( 2x + 3)( x − 5) =
0;
x + 6 4x
d) ( x + 7 )
0.
−
=
3
2
1B. Giải các phương trình sau:
a) 2 ( x + 4 )( x − 3) =
0;
(
)
c) x 2 − 16 ( 7 − x ) =
0;
b) ( x + 2 ) ( 4x + 6 ) =
0;
2
3x + 11 x − 7
d) ( 4x + 3)
0.
−
=
12
4
Dạng 2. Đưa về phương trình tích dạng đơn giản
Phương pháp giải: Thực hiện các bước sau
Bước 1. Biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
Bước 2. Áp dụng cơng thức:
A(x) = 0
A(x).B(x)= 0 ⇔
B(x) = 0
2A. Giải các phương trình sau:
a) 2x ( 3x − 2 ) = ( 3x − 1)( 3x − 2 ) ;
b) 2 ( x − 5)( x + 2 ) = x 2 − 5x;
c) ( x − 1)( 2x + 1) + 2x =
2;
2B. Giải các phương trình sau:
d) ( x + 2 ) − 9 ( x + 2 ) =
0.
a) ( 2x − 1) + ( x − 3)( 2x − 1) =
0;
b) ( 3 − 2x ) + 4x 2 − 9 =
0;
2
c)
7−x 2
+ ( x − 7 )( x − 3) =
0;
2
3
3
2
d) 4 ( 3x − 2 ) − ( 3x − 2 ) =
0.
3
3 m
3A. Cho phương trình 2 ( 2m − 3)( m + 1) x =− . Tìm giá trị tham số m để phương
x 2
trình có nghiệm x = 4.
3B. Tìm giá trị tham số a để phương trình
3
2
2 t 3 + 9 − a −=
10
− 2a ( a + 2 ) + nhận t = 3 là nghiệm.
2t − 1
5
Dạng 3. Đưa về dạng phương trình tích bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
Bước 1. Biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách sử dụng
các hằng đẳng thức đáng nhớ một cách hợp lý.
Bước 2. Áp dụng công thức:
A(x) = 0
A(x).B(x)= 0 ⇔
B(x) = 0
4A. Giải các phương trình sau:
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038
18
Website: tailieumontoan.com
a) ( x − 2 ) − ( 2x + 3) =
0;
b) 9 ( 2x + 1) − 4 ( x + 1) =
0;
c) ( x + 1) + 2 ( x + 1) + 1 =
0;
d) ( x − 1) x 2 − 9 + x + 3 =
0.
2
2
2
2
2
(
)
4B. Giải các phương trình sau:
a)
( 7 − x )2 −
0;
( x + 5 )2 =
b) 4x 2 + ( x − 1) − ( 2x + 1) =
0;
2
2
4
c) x + 1 = ( x + 1)( 2 − x ) ;
5A. Giải các phương trình sau:
d) x 2 − 4x − 5 =
0.
a) ( x + 3) − ( x − 1) =
0;
0;
b) x 4 + x 2 − 2 =
0;
c) x3 + 3x 2 + 6x + 4 =
5B. Giải các phương trình sau:
d) x3 − 6x 2 + 8x =
0.
a) ( x + 2 ) + ( x + 1) =
0;
0;
b) 2x 4 + 3x 2 − 5 =
0;
c) x 4 − 8x3 − 9x 2 =
d) x3 − 4x 2 + 4 − x =
0.
3
3
3
3
3
Dạng 3. Đặt ẩn phụ kết hợp sử dụng hằng đẳng thức dạng đơn giản
Phương pháp giải: Phát hiện và đặt ẩn phụ để đơn giản phương trình.
6A. Giải các phương trình sau:
a) ( 2x + 1) − 2x − 1 =
2;
2
)(
(
(
b) x 2 − 3x
)
)
2
(
)
+ 5 x 2 − 3x + 6 =
0;
c) x 2 − x − 1 x 2 − x − 2 =
0.
6B. Giải các phương trình sau:
a) ( 5 − 2x ) + 4x − 10 =
8;
2
(
(
)(
)
b) x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 1 =
3;
)
c) x ( x − 1) x 2 − x + 1 − 6 =
0.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Giải các phương trình sau:
a) 5x − 1 ( 5x + 1) =
0;
b) ( x − 1) ( 3x − 1) =
0;
2x
x
c) + 4 ( x + 3) − 1 =
0;
3
2
8. Giải các phương trình sau:
2x + 5 1
a)
− ( 2x + 5)( x − 10 ) =
0;
6
3
3 ( x − 3) ( x − 3)( x + 2 )
c)
−
=
0;
2
4
x 4x + 5
d) x 2 − 4 −
0.
=
3
4
9. Tìm giá trị tham số m để phương trình
2
(
)
b) ( 4x − 1)( x + 5) = x 2 − 25;
d) x ( x + 3) −
3
x
0.
( x + 3) =
4
5
9 − 15y m + 2 = 2 m + 2 m 2 + 1 + 1
) (
(
)
3
3
y2 +
(
)
2
là nghiệm.
3
10. Giải các phương trình sau:
nhận y =
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
19
Website: tailieumontoan.com
a) ( x − 1) − ( 2x + 5) =
0;
b) x 2 − (1 − x ) − ( 2x − 1) =
0;
c) x3 + 8 =−2x ( x + 2 ) ;
11. Giải các phương trình sau:
d) 4x 2 + 8x − 5 =
0.
2
2
2
2
a) ( 4x − 5) + 7 ( 4x − 5) − 8 =
0;
2
(
)
b) ( x + 3) x 2 + 6x + 1 =
9;
2
(
)
c) 2x ( 8x − 1) 8x 2 − x + 2 − 126 =
0.
HƯỚNG DẪN
1A. a) Ta có ( 3x − 2 )( x + 1) = 0 ⇔ 3x − 2 = 0 hoặc x + 1 =0 .
2
3
Từ đó tìm được x ∈ ; −1
b) x =
1
2
c) x ∈ −3;
−3
;5
2
d) x ∈ −7;
18
5
1B. Tương tự 1A
−3
2
−3
4
a) x ∈ {−4;3}
b) x ∈ −2;
c) x ∈ {±4;7}
d) x ∈ −5;
2A. a) Biến đổi được (3x - 2) (x - 1) = 0.
2
3
Từ đó tìm được x = ;1
b) Đưa về dạng (x - 5) (x + 4) = 0, từ đó tìm được x ∈ {−4;5}
3
2
c) Đưa về dạng (x - 1) (2x + 3) = 0, từ đó tìm được x ∈ − ;1
d) Đưa về dạng (x + 2) (x + 5) (x - 1) = 0 suy ra x ∈ {−5; −2;1}
2B. Tương tự 2A.
3
2
1 4
2 3
b) x ∈ 0;
a) x ∈ ;
15
4
c) x ∈ 7;
2 4
3 3
d) x ∈ ; ;0
1 4
2 3
3A. x ∈ ; Vì x = 4 là nghiệm nên thay vào PT ta có:
3 m
2 ( 2m − 3)( m + 1) 4 =−
4 2
Sau đó đưa về dạng ( 2m − 3)(16m + 17 ) =
0
−17 3
Giải ra ta được m ∈
;
16 2
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
20
Website: tailieumontoan.com
3B. Tương tự 3A. Tìm được a ∈ −1;
−1
2
4A. a) Áp dụng hằng đẳng thức thu được ( − x − 5 )( 3x + 1) =0
1
3
Từ đó tìm được x ∈ −5; −
0
b) Đưa về dạng ( 6 x + 3) − ( 2 x + 2 ) =
2
2
−1 −5
;
4 8
Từ đó tìm được x ∈
c) Đưa về dạng (x + 2)2 = 0, từ đó tìm được x = -2
d) Đưa về dạng (x + 3) (x - 2)2 = 0, từ đó tìm được x ∈ {-3;2}
4B. Tương tự 4A
a) x ∈ {-17; -1}
b) x ∈ {0; 6}
c) x ∈ {±1}
d) x ∈ {-1;5}
5A. a) Cách 1: Khai triển HĐT rút gọn được 3x2 + 6x + 7 = 0
Vì (3(x2 + 2x + 1) + 4 < 0 với mọi x nên giải được x ∈∅
Cách 2. Chuyển vế đưa về (x + 3)3 = (x - 1)3 ⇔ x + 3 = x - 1
Từ đó tìm được x ∈∅
b) Đặt x2 = t với t ≥ 0 ta được t2 + t - 2 = 0
Giải ra ta được t = 1 (TM) hoặc t = -2 (KTM)
Từ đó tìm được x = ±1
c) Biến đổi được ( x + 1) ( x + 1) + 3 =0 ⇔ x =−1
2
d) Biến đổi về dạng x(x - 2) (x - 4) = 0. Tìm được x ∈ {0; 2; 4}
5B. Tương tự 5A
a) x =
−3
2
c) x ∈ {−1;0;9}
b) x = ±1
d) x ∈ {±1; 4}
6A. a) Đặt t = 2x + 1 ta được t2 - t - 2 = 0
Giải ra ta được t = -1 hoặc t = 2
Từ đó tìm được: x = -1 hoặc x =
b) x ∈ {1; 2}
1
2
c) x ∈ {−1; 2}
6B. Tương tự 6A
1
5
b) x ∈ {0; −2}
a) x ∈ ±
c) x ∈ {−1; 2}
7. Tương tự 1A
1
5
a) x ∈ ±
1
3
b) x ∈ 1;
c) x ∈ {−6; −3; 2}
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
d) x ∈ ±2; −
20
13
21
Website: tailieumontoan.com
8. Tương tự 2A
−5 21
a) x ∈ ;
2 2
4
3
b) x ∈ −5; −
5
2
c) x ∈ {3; 4}
7
2
d) x ∈ − ; − ; −3;0
9. Tương tự 3A. Tìm được m = -2.
10. Tương tự 4A
−4
a) x ∈ −6;
3
1
2
b) x ∈ ;1
1 −5
2 2
c) x = −2
d) x ∈ ;
11. Tương tự 6A
3 −3
a) x ∈ ;
2 4
b) x ∈ {−6;0}
−7
;1
8
c) x ∈
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Lưu ý
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần đặc biệt chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ)
là tất cả các mẫu thức phải khác 0.
2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1. Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4. Kiểm tra và kết luận.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức
A(x)
Phương pháp giải: Biểu thức
(với A(x), B(x) là các đa thức) xác định ⇔ B(x) ≠ 0.
B(x)
1A. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
x+2
2
x −1
b) B 2
a)
=
A
+ 3;
=
− 3 :
.
x −1
x + 1 2x − 3
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
22
Website: tailieumontoan.com
1B. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
5x + 1 x
1 5x
3
b) D 2
a) C
=
− ;
=
+ :
.
3x − 2 4
3x + 1 4 3 − x
2A. Chứng minh các biểu thức sau xác định với mọi giá trị của x:
5 − 7x
7
x + 10
x2 + 4
;
=
−
b)
a) A
B
.
=
−
2
x2 + x + 1 3
4x 2 + 2x + 3
2B. Chứng minh các biểu thức sau xác định với mọi giá trị của t:
2 − 3t
t +1
2t 2 − 3
t −1
b)
a)
=
D
−
.
=
C
+
;
3
2
3t 2 − t + 1
2t 2 + 4t + 5
Dạng 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp giải: Áp dụng các bước giải như trong phần Tóm tắt lý thuyết.
3A. Giải các phương trình sau:
4
4x
1
4
7
+ 2
=
.
a)
b)
0;
−
=
2x − 3 3x − 5
2x − 3 4x − 9 2x + 3
3B. Giải các phương trình sau:
2
x
7
x2 + 5
3
x
+ 2
=
;
b)
a)
=
+
.
2
2x + 1 4x − 1 2x − 1
x+5 x−5
25 − x
4A. Giải các phương trình sau:
)
(
2 x2 + x + 6
3
2
4x + 5
2
3
−
=
;
b)
a)
+
=
.
x + 1 x + 2 x 2 + 3x + 2
2 − x x 2 + 2x + 4
x3 − 8
4B. Giải các phương trình sau:
6
1− x
5
2
x + 3 x −1
−
=
;
−
=
b)
a)
x3 + 1 x 2 − x + 1 x + 1.
−x 2 + 6x − 8 x − 4 x − 2
5A. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:
1
3
1
− 2
=
− 2
.
2
x + 3x + 2 x − x − 2
x −4
5B. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:
2x − 1
x−2
3x − 12
+
=
.
x 2 + 4x − 5 x 2 − 10x + 9 x 2 − 4x − 45
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
x +1
x 5
7
3
b) P
a) M
=
− + .
=
+
;
2x − 3 2x − 2
( x − 1)( x + 3) 2 x
7. Chứng minh biểu thức sau xác định với mọi giá trị của x:
x2 − 4
3
=
A
+ x.
x 2 + 1 x 2 + 4x + 5 2
(
)(
)
8. Giải các phương trình sau:
1
1
3x − 12
−
=
;
a)
x + 2 x − 2 x2 − 4
−x 2 + 12x + 4
12
12
b)
=
+
;
2
x + 4 3x − 3
x + 3x − 4
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
23
Website: tailieumontoan.com
1
2x 2 − 5
4
c)
+ 3
=
2
x −1 x −1 x + x +1
9. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:
1
2
3
−
=
.
2x 2 + 5x − 7 x 2 − 1 2x 2 − 5x − 7
10. Cho phương trình ẩn y:
m
y
3
+=
+1
y + m y + 2m ( y + m )( y + 2m )
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm y= 0.
HƯỚNG DẪN
1A. a) A xác định ⇔ x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
b) x ≠
3
và x ≠ 1
2
1B. Tương tự 1A
a) x ≠
2
3
b) x ≠ 0 và x ≠ 3
2
1 3
2A. a) Ta có x + x + 1= x + + > 0 ∀x
2 4
2
2
1 11
b) Ta có 4 x + 2 x + 3 = 2 x + + > 0 ∀x
2
4
2
2B. Tương tự 2A. HS tự chứng minh.
3A. a) ĐKXĐ: x ≠
3
5
và x ≠
2
3
Quy đồng mẫu và rút gọn ta được
−2 x + 1
=0
( 3x − 5)( 2 x − 3)
1
(TMĐK)
2
−3
b) Tương tự câu a) ta được x =
(KTMĐK)
2
Suy ra tìm được x =
Vậy phương trình vơ nghiệm
3B. Tương tự 3A
a) x = -1
b) x = 1
4A. a) Phân tích x3 + 3x + 2 = ( x + 1)( x + 2 ) , ta tìm được x =
b) x3 − 8 =
( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) , ta tìm được x = 2 (KTMĐK)
−1
3
Vậy phương trình vơ nghiệm
4B. Tương tự 4A
a) x = 2 = KTM)
b) x = 0 hoặc x =
5
4
5A. mẫu thức chung ( x + 1)( x + 2 )( x − 2 ) . Từ đó ta được x = -7
5B. Tương tự 5A. PT có nghiệm x =
−13. MTC =
( x − 1)( x + 5)( x − 9 )
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
24
