TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI BÀI TẬP MÔĐUN TỰ DO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI

BÀI TẬP MÔðUN TỰ DO

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. PHAN VĂN THIỆN

Người thực hiện:
NGƠ THỊ NHẬT ANH
Khóa K20
Chun nghành: LL và PP dạy học mơn Tốn

Huế, tháng 1 năm 2012


MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu: ....................................................................... 1
Chương I: Kiến thức chuẩn bị: ........................................................... 2
1. Miền nguyên chính:.................................................................................. 2
1.1. Vành: ................................................................................................. 2
1.2. Ideal và ideal chính: .......................................................................... 2
1.3. Ước của khơng, miền ngun: .......................................................... 3
1.4. Miền ngun chính: .......................................................................... 3
2. Mơ đun tự do ............................................................................................ 3

2.1 Mơđun:............................................................................................. 3
2.2. ðồng cấu mơđun, dãy khớp: ............................................................ 4
2.3 Mơđun tự do: ...................................................................................... 7

Chương II: Bài tập: ............................................................................ 12

Kết luận: ............................................................................ 15
Tài liệu tham khảo: .................................................................. 16


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

1

LỜI NĨI ðẦU:
Trong sự phát triển của tốn học hiện đại, cơ sở ñại số hiện ñại là môn học quan
trọng, là cơ sở tiền ñề cho sự phát triển của ñại số hiện đại. Trong đó vành và mơđun
đóng vai trị nền tảng của mơn học này.
Mơđun là một trong những cấu trúc ñại số cơ bản của ñại số hiện ñại. Nó được chia
làm nhiều loại như: mơđun tự do, mơđun nội xạ, mơđun xạ ảnh…
Vì vậy trong tiểu luận này tơi tập trung trình bày về mơđun tự do.
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này nhắc lại kiến thức về vành, ideal, ideal chính, miền ngun,
miền ngun chính, mơđun, mơđun tự do, đồng cấu mơđun.
Chương II: Trình bày cách giải bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do.
Vì khả năng và thời gian cịn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót,
mong nhận được ý kiến đóng góp của q thầy cơ và bạn ñọc.
ðể hoàn thành tiểu luận này em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Văn Thiện
và các bạn trong lớp Tốn K20.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Toán)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

Chương I:

2

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Miền ngun chính:
1.1. Vành:
• ðịnh nghĩa 1: Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngơi trên R, kí
hiệu cộng và nhân, sao cho
i, ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z).
ii, ∀∃ 1R ∈ R, ∀x ∈ R : 1R x = x1R = x.
iii, ∀x ∈ R, ∃ x-1 ∈ R : x-1 1x = x x-1 = 1R .
4i, ∀ x, y ∈ R, x + y = y + x.
5i, ∀ x, y, z ∈ R, (xy)z = x(yz).
6i, ∀ x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx.
• ðịnh nghĩa 2: Một vành gọi là giao hoán nếu và chỉ nếu phép nhân của nó giao
hốn
1.2. Ideal và ideal chính:
• ðịnh nghĩa 1: Cho X là một vành, vành con A của X gọi là ideal trái ( phải ) nếu
. Vành con A gọi là ideal
mọi
đều có
nếu nó vừa là ideal trái, vừa ideal phải.
• ðịnh lý 1: Tập con A của vành X ñược gọi là ideal trái (phải) của X khi và chỉ

khi thỏa mãn các ñiều kiện sau:
i)
ii)
iii)
• ðịnh nghĩa 2: Cho S là một tập con của vành X. Giao của tất cả các ideal trái
(phải, hai phía) của X chứa S cũng là một ideal trái (phải, hai phía) nhỏ nhất chứa
tập S, nên gọi là ideal trái (phải, hai phía) sinh bởi tập S
Ký hiệu: <S>
• ðịnh nghĩa 3: Ideal sinh bởi một phần tử {a} gọi là ideal sinh bởi phần tử a
Ký hiệu: <a>

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

3

• ðịnh nghĩa 4: Nếu tồn tại phần tử a sao cho ideal A=<a> thì ideal A gọi là ideal
chính.
1.3. Ước của khơng, miền ngun:
• ðịnh nghĩa 1: Vành R gọi là có ước của khơng nếu R có những phần tử
x ≠ 0; y ≠ 0 sao cho xy = 0 . Những phần tử x và y như thế gọi là những ước
của khơng
• ðịnh nghĩa 2: Ta gọi một vành giao hốn có đơn vị, nhiều hơn một phần tử
khơng có ước của khơng là một miền ngun
• ðịnh lý 1: Trong một miền nguyên, mọi phần tử khác không ñều thỏa mãn luật
giản ước ñối với phép nhân.
Thật vậy, với

1.4. Miền ngun chính:
• ðịnh nghĩa 1: Một miền ngun X gọi mà một miền nguyên chính nếu mọi ideal
của X đều là ideal chính.
2. Mơ đun tự do
2.1 Mơđun:
• ðịnh nghĩa 1: M được gọi là mơđun trái nếu có một ánh xạ:
x
Thỏa mãn các tính chất:

Kí hiệu: R-mơđun trái M
RM

gọi là mơđun trái trên R

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

4

ðịnh nghĩa mơđun phải tương tự, kí hiệu R -mơđun phải

MxR→M
(x,r) ֏ xr
Nếu R là vành giao hốn thì R-mơđun trái trùng với R-mơđun phải.
Thơng thường R-mơđun trùng với R- mơđun trái.
2.2. ðồng cấu mơđun, dãy khớp:
• ðịnh nghĩa 1: Cho M, N là các R- mơđun. Ánh xạ f : M → N được gọi là một
đồng cấu R- mơđun nếu các ñiều khiện sau thỏa mãn:

i) f(x + y)=f(x) + f(y)
ii) f(rx) = rf(x)
∀x, y ∈ M ; r ∈ R
ðồng cấu f ñược gọi là ñơn cấu nếu f là ñơn ánh, là toàn cấu nếu f là toàn ánh, là
đẳng cấu nếu f là song ánh.
Nếu có một đẳng cấu f : M → N thì M được gọi là đẳng cấu với N.
Kí hiệu: M ≅ N
Nếu f : M → N là một đồng cấu R- mơđun thì ta có :

i)
ii)

f(0) = 0
f(-x) = -f(x), ∀x ∈ M
• Mệnh đề 1: Cho f : M → N là đẳng cấu R-mơđun. Suy ra f-1 : N → M là
đẳng cấu.
• Mệnh đề 2: Cho f : M → N là đồng cấu R-mơđun. Khi đó:
i) Nếu H là mơđun con của M thi f(H) là mơđun con của N
ii) Nếu K là mơđun con của N thi f-1(K) là mơđun con của M.
• Hệ quả 1: Cho f : M → N là đồng cấu R-mơđun. Khi đó:
i) Imf = f(M) là mơđun con của N, được gọi là ảnh của f
ii) Kerf = f-1(0) là mơđun con của M, được gọi là hạt nhân của f

• Mệnh ñề 3: Cho f : M → N là ñồng cấu R-môñun. F là ñơn cấu khi và chỉ khi
Kerf = 0.
• ðịnh nghĩa 2: N là mơđun con của R-mơđun M. Mơđun con N được gọi là
hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại mơđun con P của M sao cho M = N ⊕ P .

Khi đó P được gọi là mơđun con phụ của N trong M.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

• ðịnh nghĩa 3: Một dãy các đồng cấu R mơđun
f i −2
fi −1
fi
fi+1
... →
M i −1 →
M i 
→ M i +1 →
...

gọi là khớp tại I nếu Im(fi-1)=Ker(fi)
Dãy trên gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi i
Dãy khớp:
f
g
0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

gọi là dãy khớp ngắn.
Ta thấy rằng dãy các đồng cấu R-mơđun
f

g
0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

khớp thì X ≅ Im(f) và Z ≅ Y Im(f)

Vậy dãy khớp là sự mơ tả mơđun con của một mơđun và mơđun thương của nó.
• ðịnh nghĩa 3: Dãy khớp:
f
g
... 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→ ...

gọi là chẻ ra tại Y nếu Im(f) là một hạng tử trực tiếp của Y.
Dãy khớp chẻ ra tại mọi mơđun khơng nằm ở hai đầu của nó ñược gọi là dãy khớp
chẻ ra.
Dãy khớp ngắn:
f
g
0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

luôn chẻ ra tại X, Z.
Vậy dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi nó chẻ ra tại Y.
• Mệnh đề 3: Dãy khớp:
f
g
... 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0

chẻ ra tại Y khi và chỉ khi Y = Im(f) ⊕ B với B ≅ N .

Chứng minh:
Khi) Vì Im(f) là hạng tử trực tiếp
Chỉ khi) Giả sử dãy khớp chẻ ra tạ Y
Khi đó có mơđun con B của Y sao cho Y = Im(f) ⊕ B .
Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)

5


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

6

Ta sẽ chứng minh B ≅ N .
Gọi h: B → Z, y֏g(y). Dể thấy rằng h là đồng cấu R-mơđun
và Ker(h)=B ∩ Ker(g)=B ∩ Im(f)=0 . Ta phải chứng minh h là tồn cấu

∀z ∈ Z = Im( g ) ta có z = g(y), y ∈ Y .
Do Y = Im(f) ⊕ B = Ker(g) ⊕ B nên

y = y1 + y2 , y1 ∈ Ker(g), y2 ∈ B
Suy ra z = g ( y1 + y2 ) = g ( y1 ) + g ( y2 ) = g ( y2 ) ∈ Im(h)

• Hệ quả 2: Dãy khớp ngắn:
f
g
0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→0
chẻ ra khi và chỉ khi Y ≅ X ⊕ Z
• Mệnh đề 4: Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z là các đồng cấu R-mơđun.
Nếu gf là đẳng cấu thì Y = Im(f) ⊕ Ker(g)
• Hệ quả 3: Cho dãy khớp:
f
g
... 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→ ...

Nếu có đồng cấu h : Y → X sao cho hf là đẳng cấu thì dãy trên chẻ ra tại Y và
Y ≅ Im(f) ⊕ Im (g)

Chứng minh:

hf : X → X ñẳng cấu nên Y = Im(f) ⊕ Ker(g) .
Do đó dãy khớp chẻ ra tại Y.
Xét dãy khớp:
f
... 
→ X 
→ Y 
→ Im( g ) 
→0

chẻ ra tại Y.
Theo mệnh ñề 3 ta có Y = Im(f) ⊕ B và B ≅ Im (g)
• Hệ quả 4: Cho dãy khớp:
f
g
... 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→ ...
Nếu có đồng cấu sao cho gk là đẳng cấu thì dãy trên chẻ ra tại Y và
Y ≅ Im(f) ⊕ Im (g)

Ngô Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

7

2.3 Mơđun tự do:

• ðịnh nghĩa 1: Cho R là một vành, S là tập hợp và X là R-mơđun. Một R-mơđun
tự do trên S là một cặp (F,f) trong đó F là R- mơđun cùng với một ánh xạ
f : S → F sao cho mọi ánh xạ g : S → X có duy nhất một đồng cấu R-mơđun

h : F → X thõa mãn
Tức là sơ ñồ sau ñây giao hốn:
S

f
g
X

F

h

Ví dụ:
1) O là R-mơđun tự do trên tập ∅
2) Cho R là vành. Suy ra R là mơđun tự do trên {1R}
• Mệnh đề 1: Nếu (F,f) là R-mơđun tự do trên S
là ñơn ánh.
Và f(S) là một hệ sinh của R-mơđun F
Chứng minh: Xét (F,f) là mơđun tự do trên S và

là ánh xạ.

Giả sử f không là ñơn ánh, tức là ∃a, b ∈ S sao cho a ≠ b mà f ( a ) = f (b) . Lấy X là

mơđun tự do có nhiều hơn một phần tử và g : S → X là ánh xạ sao cho g ( a ) ≠ g (b) .
Khi đó theo định nghĩa trên tồn tại đồng cấu R-mơđun sao cho hf = g.
Ta có f ( a ) = f (b) ⇒ hf ( a ) = hf (b) ⇒ g ( a ) = g (b) ⇒ f ( a ) ≠ f (b) . Mâu thuẩn với giả
thiết f (a ) = f (b) , Suy ra f là đơn ánh.
S

f
g

F

h

X

Lấy X=<f(S)> là mơđun sinh bởi f(S) ⊂ F

g:S → X

s ֏f(s)

Ngô Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

8

Tồn tại ñồng cấu h : F → X sao cho hf=g.
Xét ñồng cấu bao hàm

d:X → F
x ֏ x

Suy ra <f(S)> = F (Vì d vừa là tồn cấu vừa là phép nhúng)
• ðịnh nghĩa 2: R-mơđun X được gọi là R- mơđun tự do nếu X đẳng cấu R- mơđun
tự do trên S
• ðịnh nghĩa 3:
Trong đó

⊕M
i∈S

i

⊕M là R- mơđun tự do nếu {M }
i∈S

i

i i∈S

là R-mơđun tự do.

tổng trực tiếp ngồi của họ các mơđun con của R-mơđun M {M i }i∈S

• ðịnh lý 1: Cho M là một R- mơđun. Tập con S chứa trong M có thể mở rộng thành
đẵng cấu R- mơđun h : F → M . F là R-mơđun tự do sinh bởi S
f
S 

→F

i

h

M
• ðịnh nghĩa 4: Cho M là một R-mơđun, X là tập con của M. Một tổ hợp tuyến tính

các phần tử X là một tổng hữu hạn

∑

n

r x = 0; ri ∈ R; xi ∈ X ; i = 1, n kéo theo

i =1 i i

ri = 0; ∀i = 1..n . Tập con X của M ñược gọi là ñộc lập tuyến tính.
Một tập con của M ñược gọi là một cơ sở nếu nó là một hệ sinh độc lập tuyến tính.
• ðịnh lý 2: Cho M là một R- mơđun. Tập con S chứa trong M khác rổng là một cơ
sở khi và chỉ khi ánh xạ bao hàm d : S → M ñược mở rộng thành ñẳng cấu
h : F → M . Với F là R-mơđun tự do sinh bởi S
f
S 
→F

d

h

M

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

9

ðể chứng minh ñịnh lý trên ta cần chứng minh S là cơ sở của M khi và chỉ khi h ñẳng
cấu.
ðiều kiện cần: Giả sử S là cơ sở của M

Khi đó: h(F)=h(<f(s)>)=<hf(s)>=<d(s)>=<S>=M suy ra h toàn cấu
Mặt khác, φ ∈ F, h( φ )=0, h(φ )= ∑ φ (s)f s
s∈S

fs : S → R

t֏ fs (t)
trong đó

Ta có:

0=h(φ )=h(∑ φ (s)fs ) = ∑ φ (s)hfs = ∑ φ (s)d ( s ) = ∑ φ (s).s
s∈S

s∈S

⇒ φ (s)=0,∀s ∈ S
Suy ra

φ =0

s∈S

s∈S

hay h là ñơn cấu. Vậy h là ñẳng cấu.

ðiều kiện ñủ: Giả sử h ñẳng cấu. ðể chứng minh S là cơ sở của M ta cần chứng minh
S là một hệ sinh độc lập tuyến tính của M
Thật vậy, ta có:

∑

n

r s , ri ∈ S

i =1 i i

0 = ∑ i =1 ri si = ∑ i =1 ri d ( si ) = ∑ i =1 ri hf ( si ) = h(∑ i =1 ri f si )
n

n

n

⇒ ∑ i =1 ri f si = 0
n

⇒ ri = 0, ∀i = 1..n
Do đó S là hệ độc lập tuyến tính.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)

n


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

10

Mặt khác ∀x ∈ M , ∃φ ∈ F : h(φ ) = x với φ = ∑ φ (s)f s . Khi ñó:
s∈S

x=h(φ )=h(∑ φ (s)f s ) = ∑ φ (s)hf(s) = ∑ φ (s)d ( s ) = ∑ φ (s).s ⇒ φ (s)=0
s∈S

s∈S

s∈S

s∈S

hầu khắp nơi.
Do đó:

∃s1 , s2 , s3 ,.., sn

sao cho :

φ ( s ) ; t = si ∈ {s1 , s2 , s3 ,.., sn }
φ (t ) =  i
; t ∉ {s1 , s2 , s3 ,.., sn }

 0

Như vậy. x =

∑ φ (s )s , φ (s ) ∈ R,s ∈ S . Do đó X = <S>
s∈S

i

i

i

i

Vậy định lý được chứng minh.
• Hệ quả 1: R-mơđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.
Ví dụ:
1. 0 là R- mơđun tự do với cơ sở ø.
2. Vành R là R- mơđun tự do với cơ sở là 1.
3. Mỗi Z- mơđun tự do gọi là nhóm aben tự do. Mọi nhóm cylic cấp vơ hạn là

aben tự do với cơ sở gồm một phần tử sinh, và đều là đẳng cấu với Z.
• Mệnh đề 2: Mọi cơ sở của một R- mơđun hữu hạn sinh là hữu hạn.
• Mệnh đề 3: R- mơđun M là tự do với cơ sở S khi và chỉ khi mỗi phần tử của S viết
ñược một cách duy nhất dưới dạng:

x = ∑ i =1 ri xi ; ri ∈ R; xi ∈ M ; i = 1, n
n

• ðịnh lý 3: Các ñiều sau tương ñương:
i)

M là R- mơđun tự do.

ii)

M = ⊕ M i , M i ≅ R, i ∈ I

Chứng minh:
Trước hết ta thấy rằng i) và ii) ñược thỏa mãn vởi M=0 ( khi đó cơ sở của M là ø
và tập I= ø).

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

11

Vì vậy giả thiết M ≠ 0.

i) ⇒ ii). Giả sử X = { xi , i ∈ I } là cơ sở của M. Khi đó ánh xạ

ϕi : R → Rxi
r֏ r xi
là tồn ánh.
Từ tính chất của cơ sở suy ra rằng r xi =0 kéo theo r = 0, nghĩa là

ϕi

ñẳng cấu.

Ta khẳng ñịnh rằng M = ⊕I Rxi , i ∈ I . Thật vậy vì X là hệ sinh nên hiển nhiên

M = ⊕ Rxi , i ∈ I .
I
Giả sử x j ∈ X ta có a ∈ Rx j ∩ (
Từ đó suy ra:

∑rx −r x
i≠ j

i i

j

∑ Rx ) . Khi đó : a = r x = ∑ r x , r ∈ R .
i≠ j

i

j

j

i≠ j

i i

i

= 0.

j

Do tính chất của hệ ñộc lập tuyến tính ra suy ra ri = 0 với mọi hệ tử có mặt trong hệ thức
trên, nghĩa là: Rx j ∩ (

∑ Rx ) = 0 .
i

i≠ j

Rxi , i ∈ I .
Bởi vậy theo ñịnh nghĩa của tổng trực tiếp ta có M = ⊕
I
ii) ⇒ i). Giả sử ϕi : R → M i là các đẳng cấu nói trong mệnh đề. Ta khẳng định rằng tập
hợp {ϕi (1) / i ∈ I } là một cơ sở của M. Thật vậy, do M i = ϕi ( R) = Rϕi (1) nên

M = ⊕ M i = ⊕ Rϕi (1), i ∈ I .
I

I

ðiều này chứng tỏ {ϕi (1) / i ∈ I } là hệ sinh của F.
Nếu J ⊂ I , J hữu hạn và

∑ r ϕ (1) = 0, r ∈ R
i

i

i

thì kéo theo riϕi (1) = ϕi (ri ) = 0; ∀i ∈ J

J

Do ϕi ñẳng cấu nên
cơ sở của M.

ri = 0 với ∀i ∈ J . Vậy {ϕi (1) / i ∈ I } độc lập tuyến tính, do đó là

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Toán)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

Chương II:

12

BÀI TẬP

BÀI 1: Cho R là vành giao hoán sao cho mọi ideal của R đều là một R-mơđun tự do.
Chứng minh rằng R là một miền ngun chính.
Lời giải:
• Trước hết ta chứng minh R là một miền nguyên:

∀a, b ∈ R , giả sử ab = 0 .
Ta cần chứng minh hoặc a = 0 hoặc b = 0.
Giả sử b ≠ 0. Khi đó I = 〈b〉 (ideal chính sinh bởi b) là một R-mơđun tự do với một cơ
sở là S.
Lấy x ∈ S , x ≠ 0 ta có x = rb ( Do I = 〈b〉 ).
Suy ra

ax=a(rb)=r(ab)=0

Mà x ∈ S và S là một cơ sở của I nên ax = 0 kéo theo a = 0.
Vậy R là một miền nguyên.
• Ta chứng minh R là một miền nguyên chính:
Giả sử I là một ideal của R, ta cần chứng minh I là một ideal chính.
Nếu I = 0 thì I = 〈 0〉
Cịn nếu I ≠ 0 thì theo giả thiết I là một mơđun tự do với một cơ sở là S sao cho S ≠ 0.
Ta sẽ chứng minh tập S chỉ có một phần tử.
Giả sử S chứa 2 phần tử phân biệt là a và b.
Khi đó, từ đẳng thức ba – ab = 0 ta suy ra a = b = 0
Mâu thuẫn với giả sử ban ñầu.
Vậy I có một tập sinh chỉ chứa một phần tử, do đó I là một ideal chính.
Vậy miền ngun R với mọi ideal I đều là ideal chính nên r là miền ngun chính.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

13

BÀI 2: Cho F là R-mơđun tự do với cơ sở {e1 , e2 , e3 ,.., en } ;

a = e1 a1 + e 2 a 2 + ...e n a n , a i ∈ R

A = ∑ i =1 ai R
n

Cho e là phần tử lũy ñẳng, tức là e2 = e.
Chứng minh rằng những ñiều sau tương ñương:

i)

A=eR

ii)

Ra là một hạng tử trực tiếp của F, F ñẳng cấu với Re bởi a ↔ e

Lời giải:
Chứng minh i) ⇒ ii).
Ta có A = eR

Với F là R-mơđun tự do với cơ sở {e1 , e2 , e3 ,.., en } và

a = e1a1 + e2 a2 + ...en an , ai ∈ R .
Trước hết ta chứng minh Ra là một hạng tử trực tiếp của F.
Ta cần chứng minh Ra là một mơđun con của M và tồn tại tập con B của M sao cho
F = Ra ⊕ B .
Thật vậy:

ðặt e =

∑

n

a r với ri ∈ R .

i =1 i i

Với ai ∈ eR ta có e a i = a i
Với ϕ ∈ HomR ( F , Re) ñược ñịnh nghĩa bởi ϕ (ei ) = re
i .
Với ψ ∈ HomR (Re, F ) ñược ñịnh nghĩa bởi ψ (ei ) = ra .
Trong ñó tập hợp HomR ( F , Re) là tập hợp tất cả các ñồng cấu từ F vào Re , và tập
HomR (Re, F ) là tập hợp tất cả các ñồng cấu từ Re và F.
Với ψ là ñược ñinh nghĩa ñược cho nếu re = 0 thì rai = reai = 0, ∀i
Do đó ra = 0.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

Từ ψ (re) = ϕ (ra) =

14

∑i=1 rei ϕ (ai ei r ) = ∑i=1 rai rei = re2 = re .
n

n

Do đó ϕ là toàn ánh.
ðặt B = Ker(ϕ )

ϕ (a ) = e được định nghĩa là phép đẳng cấu thì F = Ra ⊕ B hay

Trong trường hợp

F = Ra ⊕ Ker(ϕ ) .

Do đó Ra là hạng tử trực tiếp của F
Và

Ra ≅ Re nên F ≅ Re bởi a ↔ e

Chứng minh ii) ⇒ i).
ðặt F = Ra ⊕ B
Và cho ánh xạ ϕ : Ra → Re là một ñẳng cấu với ϕ (a ) = e .
Ta cho ϕ ∈ HomR ( F , Re) với ϕ ( B ) = 0
Với ϕ (ei ) = ri e, ri ∈ R .
Từ e = ϕ (a) = ∑ i =1 aiϕ (ei ) ∈ ∑ i =1 ai R = Ai

n

n

Ta có eR ⊂ A

ϕ (ea ) = eϕ (a ) = e2 = e = ϕ (a)
Suy ra :

ea = a
⇒ ai = ai e ∈ Re, ∀i
Do đó Re = A .
(ðiều đã chứng minh)

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)


Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

15

KẾT LUẬN:

Qua tài liệu tham khảo, tơi đã nêu được thế nào là một miền ngun chính và các
tính chất của nó. Nêu ñược thế nào là R-môñun tự do, thế nào là một cơ sở của mơđun tự
do và các định lý, mệnh ñề …ñể giải 2 bài tập trên.
Mặc dù ñã có cơ gắng song khơng thể tránh sai sót. Rất mong sự góp ý của thầy và
các bạn.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)

Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. N.T.Lanh, ðại số (Giáo trình sau đại học). Nhà xuất bản giáo dục, 1985.
2. S.Lang, ðại số (T.V.Hạo,H. Kỳ dịch), Nhà xuất bản ðHTHCN, 1987.
3. N.T.Quang (Giáo trình Mơđun và nhóm Aben), Nhà xuất bản DDHSP 2008.
4. T.Y.Lam. Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag,1999.
5. T.Y.Lam. Exercices in Modules and Rings, Springer-Verlag, 2007.

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Toán)

16


Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn)

17