Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại MÔ ĐUN TỰ DO

ðẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM

Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

MÔ ðUN TỰ DO

Cán b h

ng d n: TS PHAN V N THI N

H c viên: TR N TH THANH TH O
Chuyên ngành:

I S VÀ LÝ THUY T S

L p : TOÁN K20

Huế, tháng 2 năm 2012


M«đun tự do

MỞ ĐẦU
Trong Tốn học, lý thuyết vành và mơđun chiếm một vị trí quan trọng trong
sự hình thành và phát triển của tốn học hiện đại. Nó là cơ sở, nền tảng ñể xây dựng
và nghiên cứu của nhiều ngành tốn học, khoa học khác. Trong đó có nhiều loại
mơđun đặc biệt như: mơđun tự do, mơđun xạ ảnh, mơđun nội xạ,...
ðể hiểu sâu hơn về mơđun tự do, tiểu luận này trình bày kiến thức cơ bản về
mơđun tự do và một số bài tập về mơđun tự do.
Nội dung tiểu luận gồm hai phần:

Phần 1: Khái niệm mơđun tự do và một số tính chất.
Phần 2: Bài tập áp dụng.
Vì khả năng và thời gian cịn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót,
mong nhận được ý kiến đóng góp của q thầy cơ và bạn đọc để đề tài được hồn
thiện hơn.

Huế, tháng 2 nm 2012
Trn Th Thanh Tho

Trần Thị Thanh Thảo K20

1


M«đun tự do

MỤC LỤC
MỞ ðẦU ............................................................................................................................... 1
MỤC LỤC ............................................................................................................................. 2
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................................. 3
I. Miền nguyên chính ......................................................................................................... 3
1.1 Vành ........................................................................................................................ 3
1.2 Iđêan và iđêan chính ................................................................................................ 3
1.3 Miền ngun chính .................................................................................................. 3
II. MƠðUN TỰ DO .......................................................................................................... 4
PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG ........................................................................................... 12
TÀI LIỆU THAM KHO ................................................................................................... 14

Trần Thị Thanh Thảo K20

2


M«đun tự do

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
I. Miền nguyên chính
1.1 Vành
ðịnh nghĩa 1.1.1: Vành là một tập hợp R cùng với hai phép tốn hai ngơi
trên R, mà ta thường kí hiệu + và ⋅ thoả mãn các điều kiện sau:

i, ∀x, y, z ∈ R, ( x + y ) + z = x + ( y + z ) .
ii, ∀x, y ∈ R, x + y = y + x.
iii, ∃0 R , ∀x ∈ R : 0 R + x = x.

iv, ∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R : x + ( − x ) = 0 R.
v, ∀x, y, z ∈ R, ( xy ) z = x ( yz ) .

vi, ∀x, y, z ∈ R, x ( y + z ) = xy + xz , ( x + y ) z = xz + yz.
Trường hợp phép nhân trên R có tính giao hốn thì R được gọi là vành giao
hốn.
1.2 Iđêan và iđêan chính
ðịnh nghĩa 1.2.1: Cho R là một vành. Iñêan phải (trái) của vành R là một
nhóm con I của nhóm cộng R thoả mãn điều kiện: ∀r ∈ R, ∀x ∈ I , xr ∈ I ( rx ∈ I ) .
Khi I vừa là iđêan phải vừa là iđêan trái, thì I được gọi là iđêan (hai phía)
của R.
ðối với vành giao hốn, ta có ngay iđêan phải là iđêan trái và ngược lại.
ðịnh nghĩa 1.2.2: Iđêan chính là iđêan sinh bởi một phần tử.
1.3 Miền ngun chính
ðịnh nghĩa 1.3.1: Vành R được gọi là vành có ước của khơng nếu tồn tại

các phần tử x ≠ 0 và y ≠ 0 sao cho xy = 0 . Lúc đó x gọi là một ước trái của khơng
cịn y gọi là một ước phải của khơng.
Trong trường hợp ngược lại thì ta gọi là vành khơng có ước của khơng.
ðịnh nghĩa 1.3.2: Miền ngun là vành khác {0} , giao hốn và khơng có
ước ca khụng.

Trần Thị Thanh Thảo K20

3


M«đun tự do

ðịnh nghĩa 1.3.3: Miền ngun chính là một miền ngun có phần tử đơn vị
và mọi iđêan của nó đều là iđêan chính.

II. MƠðUN TỰ DO
ðịnh nghĩa 2.1: Cho R là một vành, S là tập hợp. Một R-mơđun tự do trên S là
một R-mơđun F cùng với ánh xạ f : S → F sao cho với mọi ánh xạ g : S → X từ
tập S vào R-mơđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu R-mơđun h : F → X thoả mãn

hf = g .
Mệnh đề 2.1: Nếu (F,f) là mơđun tự do trên S thì f : S → F là đơn ánh và

f ( S ) là hệ sinh của R-mơđun F.
Chứng minh:
• Chứng minh f : S → F là đơn ánh.
Giả sử f khơng đơn ánh ⇒ ∃a ≠ b ∈ S : f ( a ) = f ( b ) .
Lấy X là R-mơđun có nhiều hơn một phần tử. Lấy g : S → X là ánh xạ thoả
mãn g ( a ) ≠ g ( b ) .

Do ( F , f ) là mơđun tự do trên S nên tồn tại duy nhất ñồng cấu R-mơđun

h : F → X thoả mãn hf = g .
Khi đó hf ( a ) = g ( a ) ≠ g ( b ) = hf ( b ) .
Mặt khác, theo trên f ( a ) = f ( b ) suy ra hf ( a ) = hf ( b ) , điều này mâu thuẫn.
• Chứng minh f ( S ) là hệ sinh của F.
ðặt A = 〈 f ( S )〉 là mơđun con của F sinh bởi f ( S )
Gọi i : A → F là ñồng cấu bao hàm.
Tương ứng g : S → A

là ánh xạ thoả mãn ig = f

s ֏ f (s)
g : S → A là ánh xạ, A là mơđun. Vì ( F , f ) là mơđun tự do trên S nên có
đồng cấu R-mơđun h : F → A thoả mãn hf = g . Từ đó ihf = ig = f .

TrÇn Thị Thanh Thảo K20

4


M«đun tự do

Do

(F, f )

là mơđun tự do trên S nên có duy nhất đồng cấu R-mơđun

id F : F → F thoả mãn id F f = f ⇒ ih = id F .

id F là toàn ánh nên i toàn ánh. Vậy A = F.
Cho ( F , f ) là mơđun tự do trên S. Ta thấy rằng: nếu ñồng nhất S ≡ f ( S ) thì
ta có thể xem F là R-mơđun sinh bởi tập S.
Mọi ánh xạ g : S → X . X là R-mơđun, đều có thể mở rộng thành đồng cấu Rmơđun h : F → X .

ðịnh lí 2.1: Với mọi tập S, bao giờ cũng tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu
một R-mơđun tự do trên S.
Chứng minh:

ðặt

{

}

F = : S R là ánh xạ, ( s ) = 0 hầu khắp .
nh ngha phộp cộng: ∀φ ,ψ ∈ F : (φ + ψ )( s ) = φ ( s ) + ψ ( s ) , ∀s ∈ S .
ðịnh nghĩa phép nhân: ∀r ∈ R, ∀φ ∈ F : ( rφ )( s ) = rφ ( s ) , ∀s ∈ S
Kiểm chứng được rằng F cùng với hai phép tốn trên làm thành một R-mơđun.
Xét ánh xạ f : S → F

s ֏ fs

1 nÕu t = s
Với fs : S → R là ánh xạ ñược xác ñịnh bởi fs ( t ) = 
0 R nÕu t ≠ s
• Ta chứng minh ( F, f ) là một R-mơđun tự do trên S.
Giả sử g : S → X là ánh xạ từ S vào R-mơđun X.
Xét ánh xạ h : F → X

φ ֏ ∑ φ ( s )g ( s )
s∈S

• Chứng minh h là đồng cu R-mụủun.

Trần Thị Thanh Thảo K20

5


M«đun tự do

h (φ + ψ ) = ∑ (φ + ψ )( s ) g ( s ) =∑ (φ ( s ) + ψ ( s ) ) g ( s )
s∈S

s∈S

= ∑ φ ( s ) g ( s ) + ∑ψ ( s ) g ( s ) =h (φ ) + h (ψ )
s∈S

s∈S

h ( rφ ) = ∑ ( rφ )( s ) g ( s ) = ∑ rφ ( s ) g ( s ) = r ∑ φ ( s ) g ( s ) = rh (φ )
s∈S

s∈S

s∈S

• Chứng minh hf = g

∀s ∈ S, hf ( s ) = h ( f ( s ) ) = h ( fs ) = ∑ fs ( t )g ( t ) = fs ( s ) g ( s ) = g ( s )
t∈S

• Chứng minh h duy nhất thoả hf = g .
Giả sử có đồng cấu R-mơđun h ' : F → X thoả mãn h ' f = g .
Khi đó, ∀φ ∈ F ta có

φ = ∑ φ ( s ) fs
s∈S

Do đó



h ' (φ ) = h '  ∑ φ ( s ) fs  = ∑ φ ( s ) h ' ( fs ) = ∑ φ ( s ) h ' ( f ( s ) )
 s∈S
 s∈S
s∈S
= ∑ φ ( s )( h ' f )( s ) = ∑ φ ( s ) g ( s ) = h (φ )
s∈S

s∈S

• Chứng minh ( F, f ) tồn tại duy nhất sai khác ñẳng cấu.
Giả sử ( F ', f ' ) cũng là R-mơđun tự do trên S.

( F, f )

là R-mơđun tự do trên S nên có đồng cấu R-mơđun h : F → F ' thoả

mãn hf = f ' .

( F ', f ' )

là R-mơđun tự do trên S nên có đồng cấu R-mơđun h ' : F ' → F thoả

mãn h ' f ' = f . Suy ra h ' hf = f .
Mặt khác, ( F, f ) là R-mơđun tự do trên S nên có duy nhất ñồng cấu R-môñun

id F : F → F thoả mãn id F f = f . Từ đó ta có h ' h = id F .
Lập luận tương tự ta có hh ' = id F '

Nhận xét: Cho họ R-mơđun ( Mi )i∈S , S ≠ ∅, Mi = R, ∀i ∈ S .
Xét tổng trực tiếp

⊕ Mi =

iS

Trần Thị Thanh Thảo K20

{( x )

i iS

}

xi = 0 hầu khắp

6


M«đun tự do

Mỗi phần tử ( xi )i∈S có thể xem là một ánh xạ φ : S → R

i ֏ xi ,φ ( i ) = 0 hầu khắp
So sánh với phần tử của R-mơđun tự do F trong định lí 1 ta thấy ⊕ Mi là Ri∈S

mơđun tự do F sinh bởi S.

ðịnh nghĩa 2.2: R-mơđun X được gọi là tự do nếu X ñẳng cấu với một Rmơđun tự do trên một tập S nào đó.
Theo nhận xét trên ta thấy rằng, tổng trực tiếp của các R-mơđun tự do là một
R-mơđun tự do.

Mệnh đề 2.2: Mọi R-mơđun M đều là ảnh tồn cấu của một R-mơđun tự do.
Suy ra mọi R-mơđun M đều đẳng cấu với một mơđun thương của R-mơđun tự do.
Chứng minh:
Cho R-mơđun M. Lấy một tập con S của M sao cho 〈 S 〉 = M (chẳng hạn
S=M).
Gọi ( F, f ) là R-mơđun tự do sinh bởi S. Gọi i : S → M là ánh xạ bao hàm. Do

( F, f )

là R-mơđun tự do nên i có thể mở rộng thành đồng cấu mơđun h : F → M

thoả mãn hf = i .

S = i ( S ) = hf ( S ) = h ( f ( S ) ) ⊂ h ( F ) ⊂ M

Do 〈 S 〉 = M nên 〈 h ( F )〉 = M . Suy ra h ( F ) = M . Vậy h là toàn cấu.
Suy ra M ≅ F

Kerh

ðịnh nghĩa 2.3: Cho R-mơđun M, tập con S ⊂ M được gọi là độc lập tuyến
n

tính nếu

∑rx
i =1

i i

= 0, ri ∈ R, xi ∈ S ⇒ ri = 0, i = 1, n .

Tập S ⊂ M ñược gọi là cơ sở nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính.

ðịnh lí 2.2: Cho M là một R-mơđun. Tập con S ⊂ M là một cơ sở nếu và chỉ
nếu ánh xạ bao hàm i : S → M có thể mở rộng thành đẳng cấu R-mơđun
h : F → M , với F là R-mơđun tự do sinh bởi S.
Chứng minh:

( F, f )

là R-mơđun t do trờn S.

Trần Thị Thanh Thảo K20

7


M«đun tự do

{

}

F = φ : S → R φ là ánh xạ, ( s ) = 0 hầu khắp
f :S →F
s ֏ fs
Với fs : S → R

1 nÕu t = s
t ֏ fs ( t ) = 
0 nÕu t ≠ s
F là R-mơđun tự do trên S nên i có thể mở rộng thành đồng cấu R-mơđun duy
nhất h : F → M, hf = i.
• Ta chứng minh S là cơ sở khi và chỉ khi h là ñẳng cấu.
Giả sử S là cơ sở, 〈 S 〉 = M . Do F là R-mơđun tự do sinh bởi S nên

F = 〈 f ( S )〉 .
Suy ra

h ( F ) = h ( 〈 f ( S )〉 ) = 〈 hf ( S )〉 = 〈i ( S )〉 = 〈 S 〉 = M
Vậy h là toàn cấu.

∀φ ∈ Kerh , do φ ∈ F nên φ = ∑ φ ( s ) fs .
s∈S

Ta có



0 = h (φ ) = h  ∑ φ ( s ) fs  = ∑ φ ( s )hfs = ∑ φ ( s )h ( f ( s ) ) = ∑ φ ( s )i ( s ) = ∑ φ ( s )s
 s∈S
 s∈S
s∈S
s∈S
s∈S
Do S là cơ sở của M nên φ ( s ) = 0, ∀s ∈ S.
Từ đó φ = 0 . Suy ra h là ñơn cấu.

ðảo lại, giả sử h là một ñẳng cấu. Ta sẽ chứng minh S là cơ sở của M.
• Chứng minh S độc lập tuyến tính.
Giả sử có tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n

∑r x
j =1

j

j

= 0, rj ∈ R, x j ∈ S

 rj nÕu s = x j
ðặt φ : S → R là ánh xạ tuyến tính xác ñịnh bởi φ ( s ) = 

0 nÕu s { x1 ,.., x n }

Trần Thị Thanh Thảo K20

8


M«đun tự do

( φ ( s ) = 0 hầu khắp).
Ta thấy φ ∈ F và
n

 n
h (φ ) = h  ∑ φ ( s ) fs  = ∑ rj h ( fs ) = ∑ rj x j = 0
 s∈S
 j =1
j =1

Do h là ñơn cấu nên φ = 0 . Suy ra ri = φ ( xi ) = 0, j = 1, n .
• Chứng minh S là hệ sinh của M.
∀x ∈ M . Do h : F → M là toàn cấu nên có φ ∈ F sao cho h (φ ) = x .
Do φ ∈ F nên φ ( s ) = 0 hầu khắp, tức là tồn tại hữu hạn phần tử

y1 ,..., ym ∈ S sao cho φ ( s ) = 0, ∀s ∈ S \ { y1 ,..., ym }
Ta có

( )

 m

 m
x = h (φ ) = h  ∑ φ ( y j ) f y j  = ∑ φ ( y j ) h f y j
 j =1
 j =1

= ∑ φ ( y j ) hf ( y j ) =∑ φ ( y j ) i ( y j ) =∑ φ ( y j ) y j ∈〈 S 〉
m

m

m

j =1

j =1

j =1

Suy ra M = 〈 S 〉 nên S là hệ sinh của M.
Vậy S là cơ sở của M.

Hệ quả: R-mơđun M là tự do khi và chỉ khi M có cơ sở.
Mệnh ñề 2.3: Mọi cơ sở của một R-môñun hữu hạn sinh là hữu hạn.
Chứng minh:
Giả sử S là một cơ sở của R-mơđun hữu hạn sinh M.
Do M hữu hạn sinh nên M có một hệ sinh hữu hạn X.
S là cơ sở của M nên ∀x ∈ X ⊆ M , x có thể biểu thị tuyến tính qua cơ sở S.
Gọi S’ là tập con bé nhất (theo quan hệ bao hàm) của S sao cho mọi x ∈ X đều
có thể biểu thị tuyến tính qua S’.
Do X hữu hạn nên S’ hữu hạn.

Giả sử S ⊆ S ' . Khi đó có s ∈ S \ S ' .
Do s ∈ S ⊆ M = 〈 X 〉 nên s có thể biểu thị tuyến tính qua các phần tử của X.
Theo trên, mọi phần tử của X đều có thể biểu thị tuyến tính qua cỏc phn t ca S.

Trần Thị Thanh Thảo K20

9


M«đun tự do

Do đó s có thể biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S’. Suy ra S '∪ {s} phụ thuộc
tuyến tính. ðiều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của cơ sở S.
Vậy S=S’. Do S’ hữu hạn nên S hữu hạn.

ðịnh lí 2.3: Mọi khơng gian vectơ trên một trường K đều là K-mơđun tự do.
Chứng minh:
Giả sử V là một khơng gian vectơ trên trường K.
V = 0 là một K-mơđun tự do trên tập ∅ .
V ≠ 0 . Gọi M là tập các tập con độc lập tuyến tính của V. Do V ≠ 0 nên có
0 ≠ x∈V .
Vì { x} độc lập tuyến tính nên M ≠ ∅ . Giả sử N là tập con khác rỗng sắp
thứ tự tuyến tính (theo quan hệ bao hàm) của M .

ðặt

M= ∪ P
P∈N

Với mọi tập con hữu hạn N ⊆ M . Do N được sắp thứ tự tuyến tính nên có

Pt ∈ N sao cho N ⊆ Pt . Do Pt độc lập tuyến tính nên N độc lập tuyến tính. Suy ra
M độc lập tuyến tính.
Vậy M ∈ M là phần tử chặn trên của N .
Theo bổ ñề Zorn, M có một phần tử tối ñại, gọi là C.
Ta chỉ ra rằng C là một cơ sở của V.
Do C là phần tử tối ñại của M nên C ≠ ∅ và độc lập tuyến tính.
Ta cịn phải chứng minh C là một hệ sinh của V. ∀x ∈ V
Nếu x = 0 hay x ∈ C thì x ∈ 〈 C〉 .
Nếu x ≠ 0 và x ∉ C thì C ∪ { x} là phụ thuộc tuyến tính (do C là độc lập
tuyến tính cực ñại của V). Suy ra có u1 ,..., un ∈ C và r0 , r1 ,..., rn ∈ K không bằng
không tất cả sao cho

r0 x + r1u1 + ... + rn un = 0
Vì u1 ,..., un là độc lp tuyn tớnh nờn r0 0 .
Khi ủú

Trần Thị Thanh Th¶o K20

10


M«đun tự do

x = − r0−1 ( r1u1 + ... + rn un ) ∈ 〈 C〉
Suy ra ∀x ∈ V thì x ∈ 〈 C〉 nên C là hệ sinh.
Do ủú C l c s ca V.

Trần Thị Thanh Th¶o K20

11


M«đun tự do

PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho R là vành giao hốn sao cho mọi iđêan của R đều là một R-mơđun
tự do. Chứng minh rằng R là một miền ngun chính.
Chứng minh:
• Chứng minh R là miền nguyên.
Lấy a là một phần tử khác 0 tuỳ ý của R.
Vì iđêan ( a ) là một R-mơđun tự do nên tập {a} độc lập tuyến tính.
Do đó Ann ( a ) = 0 .
Từ đó suy ra R khơng có ước của khơng nên R là một miền ngun.
• Chứng minh mọi iđêan của R đều là iđêan chính.
Gọi I là một iđêan của R thì I là một R-mơđun tự do nên I có một cơ sở.
Mặt khác vì hai phần tử khác 0 bất kì của I đều phụ thuộc tuyến tính do đẳng
thức a.b – b.a = 0 nên mỗi cơ sở của I khơng thể có q một phần tử. Do đó I là một
iđêan chính.
Vậy R là miền ngun chính.

Bài 2: Cho R là một vành sao cho mọi iñêan trái trong R đều là R-mơđun tự
do. Chứng minh rằng mọi mơđun con của R-mơđun tự do đều là R-mơđun tự do.
Chứng minh:
Cho M là R-mơđun tự do ta có I là cơ sở của M. Khi đó ta có thể đồng nhất

M = ⊕ Ri , Ri = R .
i∈I

Gọi {ei i ∈ I} là một cơ sở chính tắc của M và F là mơđun con của M.

Ta sắp I thành tập sắp thứ tự tốt và gọi Ai là mơđun con của M sinh bởi tập

{e

i

i ∈ I} .
ðặt

Fi = Ai F .
Xột phộp chiu:
Trần Thị Thanh Thảo K20

12


M«đun tự do

pi : ⊕ Ri → R
i∈I

( xi )i∈I ֏ xi
Khi đó pi ( Fi ) là iđêan của R.
Vì R là iđêan chính nên pi ( Fi ) = Rai . Khi đó có bi ∈ Fi sao cho pi ( bi ) = ai .
Nếu ai = 0 thì ta chọn bi = 0 và ta được họ {bi i ∈ I} .
• Ta chứng minh Fi sinh bởi họ {bj j ≤ i} bằng phương pháp quy nạp.
Thật vậy, giả sử Fk sinh bởi họ {bj j ≤ k} và ñiều này xãy ra với mọi k < i .
Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ Fi . Khi đó pi ( x ) = rai và do đó:

pi ( x − rbi ) = pi ( x ) − pi ( rbi ) = rai − rai = 0

Suy ra x − rbi ∈ Fk , với k < i hay x − rbi ∈ Fk biểu thị tuyến tính qua các

bj , j ≤ k .
Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {bj j ≤ i} . Vậy Fi sinh bởi họ {bj j ≤ i}
• Ta chứng minh F sinh bởi họ {bi i ∈ I} .
Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ F , khi đó x = ei1 r1 + ... + eim rm , với i1 < ... < im .
Do đó x ∈ Aim nên x ∈ Fim . Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {bj j ≤ im } .
• Ta chứng minh hệ {bi bi ≠ 0, i ∈ I} độc lập tuyến tính.
Thật vậy, giả sử bi1 r1 + ... + bim rm = 0, rm ≠ 0 , với i1 < ... < im .
Khi đó

 m

pim  ∑ bi j rj  = aim rm = 0
 j =1

Vì R là miền nguyên nên rm = 0 hay aim = 0 . ðiều này vơ lí.
Vậy hệ {bi bi ≠ 0, i ∈ I} độc lập tuyến tính.
Vậy {bi bi ≠ 0, i ∈ I} là cơ sở của F. Suy ra F l R-mụủun t do.

Trần Thị Thanh Thảo K20

13


M«đun tự do

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Ngơ Thúc Lanh, ðại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985.
[2]. S. Lang, ðại số (T. V. Hạo, H. Kỳ dịch), Nhà xuất bản ðHTHCN, 1978.

[3]. Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết, Bài giảng cơ sở ñại số hiện ñại (Giáo
trình sau ñại học), ðHSP, 2001.
[4]. Lê Văn Thuyết, Các cấu trúc ñại số cơ bản, Nhà xuất bản giỏo dc, 1999.

Trần Thị Thanh Thảo K20

14