Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính cấp I

æ
ˆ´
-A
D
. I HO
. C HUE

- a.i ho.c Su. pha.m
Tru.`o.ng D

’ NG
` GIA
BAI
´ THUYE
ˆ´T PHU.O.NG TR`INH D
`
ˆ
-A
LY
RIENG
. O HAM
ˆ´N CA
ˆ´P 1
PHI TUYE
(Da
`nh cho ho.c viˆen Cao ho.c chuyˆen nga
`nh Toa
´ n Gia’ i tı´ch)

˜
PGS.TS Nguyˆ

e n Hoa
`ng

Biˆen soa.n:

-`
- a.i ho.c Huˆ
Ban D
ao ta.o, D
e´

ˆ´ - 2006
HUE

Typeset by AMS-TEX
1


2

´ D
ˆU
`.I NOI
-`
A
LO
C´ac nghiˆen c´
u.u d¯.ia phu.o.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi xuˆa´t hiˆe.n
`eu
u. viˆe.c kha’o s´at c´ac b`ai to´an biˆe´n phˆan v´o.i d¯`aˆu m´

ut d¯oˆ. ng. Nhiˆ
t`
u. lˆau, c´o l˜e t`
u.u, ch˘a’ ng ha.n phu.o.ng ph´ap t´ach
ung d¯ˆe’ nghiˆen c´
phu.o.ng ph´ap cˆo’ d¯iˆe’n d¯u.o..c d`
`an, l´
biˆe´n, biˆe´n d¯oˆ’i Legendre, t´ıch phˆan to`an phˆ
y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng Cauchy,
`eu kˆe´t qua’ trong viˆe.c nghiˆen
biˆe´n phˆan, d¯`ˆong da.ng v.v . . . d¯a˜ mang la.i nhiˆ
c´
u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1, d¯a˘. c biˆe.t l`a phu.o.ng tr`ınh
Hamilton-Jacobi.
`eu b`ai to´an vˆa.t l´
Tuy nhiˆen trong nhiˆ
y v`a u
´.ng du.ng, nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n d¯.ia
`au th´ıch
phu.o.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi chu.a d¯´ap u
´.ng d¯u.o..c yˆeu cˆ
u
´.ng v`ı ngu.`o.i ta muˆo´n nhˆa.n d¯u.o..c thˆong tin tˆo’ng thˆe’, d¯`aˆy d¯u’ ho.n.
`e nghiˆe.m to`an cu.c cu’a phu.o.ng tr`ınh HamiltonC´ac nghiˆen c´
u.u hiˆe.n d¯a.i vˆ
u. c´ac b`ai b´ao cu’a E. Hopf v`a Cole
Jacobi b˘a´t d¯`aˆu v`ao nh˜
u.ng n˘am 1950-51 t`
`e phu.o.ng tr`ınh Burger. Tiˆe´p d¯´o, h`ang loa.t cˆong tr`ınh nghiˆen c´
u.u kh´ac nhu.

vˆ
`an d¯aˆy v´o.i Crandall v`a
cu’a Lax, Hop, Oleinik, Kruzhkov, Fleming . . . v`a gˆ
`eu nh`a
ut su.. quan tˆam cu’a nhiˆ
Lions, Subbotin, Ishii, . . . ra d¯o`.i, d¯˜a thu h´
.
.
.
.
.
u u c`ang tro’ nˆen th`o i su. v`a b´
u.c thiˆe´t
to´an ho.c trˆen thˆe´ gi´o i. C´ac nghiˆen c´
`au u
y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi trong c´ac l˜ınh
do nhu cˆ
´.ng du.ng l´
`eu khiˆe’n tˆo´i u.u, l´
y thuyˆe´t d¯iˆ
y thuyˆe´t tr`o
vu..c kh´ac nhau cu’a to´an ho.c nhu. l´
y thuyˆe´t s´ong, . . .
cho.i vi phˆan, l´
Tuy chu.a c´o mˆo.t tˆo’ng kˆe´t d¯`aˆy d¯u’ c´ac kˆe´t qua’ nghiˆen c´
u.u, song c´o thˆe’ n´oi
`om phu.o.ng tr`ınh Hamiltonl´
y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh phi tuyˆe´n cˆa´p mˆo.t (bao gˆ
y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh
Jacobi) cho d¯ˆe´n nay chu.a d¯u.o..c d¯e.p v`a ho`an thiˆe.n nhu. l´

d¯a.o h`am riˆeng tuyˆe´n t´ınh, c´o l˜e do ba’n chˆa´t ph´
u.c ta.p v`a d¯a da.ng cu’a c´ac
˜ ng vı` ba’n chˆa´t phi tuyˆe´n cu’a ca
u. kiˆe.n
b`ai to´an phi tuyˆe´n. Cu
´ c toa
´ n tu’. va` d˜
`on ta.i d¯.ia phu.o.ng. Do
tham gia trong phu.o.ng trı`nh, nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n C 1 chı’ tˆ
d¯o´, khi d¯u.a ra kh´ai niˆe.m nghiˆe.m toa`n cu.c cho phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi,
`an gia’m nhe. d¯oˆ. tro.n cu’a nghiˆe.m. Mˆo.t sˆo´ t´ac gia’ tiˆen
viˆe.c tru.´o.c tiˆen l`a cˆ
´.ng cu’.
phong trong l˜ınh vu..c n`ay d¯a˜ cho.n c´ac h`am Lipschitz d¯.ia phu.o.ng l`am u
viˆen d¯ˆe’ d¯.inh ngh˜ıa nghiˆe.m suy rˆo.ng. Theo d¯.inh l´
y Rademacher, c´ac h`am u
.
.
`au kh˘a´p no i trˆen miˆ
`en x´ac d¯.inh, nhu. vˆa.y chı’ cˆ
`an yˆeu cˆ
`au
nhu vˆa.y th`ı kha’ vi hˆ
ung kha’ vi. Trong qu˜ang
u.ng d¯iˆe’m ch´
ch´
ung tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ta.i nh˜
.
.
.

`eu th`anh tu..u nˆo’i
u n˘am 1950 d¯ˆe´n 1980, v´o i d¯.inh ngh˜ıa n`ay, nhiˆ
th`o i gian d`ai t`


3

`e nghiˆen c´
`on ta.i v`a duy nhˆa´t cu’a nghiˆe.m suy rˆo.ng Lipschitz d¯a˜
bˆa.t vˆ
u.u su.. tˆ
.
.
.
d¯u o. c d¯´ong g´op bo’ i Oleinik, Hopf, Fleming, Kruzhkov, Lax, Benton, . . .
T`
u. n˘am 1983 tro’. d¯i, su.. xuˆa´t hiˆe.n loa.t b`ai b´ao cu’a Crandall, Lions, Evans,
u.u d¯`aˆy hiˆe.u qua’ trong viˆe.c nghiˆen
Ishii . . . , d¯a˜ mo’. ra mˆo.t hu.´o.ng nghiˆen c´
c´
u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n. Thay v`ı buˆo.c nghiˆe.m u tho’a
`au kh˘a´p no.i, c´ac t´ac gia’ n`ay chı’ d¯o`i ho’i nghiˆe.m l`a mˆo.t
m˜an phu.o.ng tr`ınh hˆ
h`am liˆen tu.c, tho’a m˜an c˘a.p bˆa´t d¯a˘’ ng th´
u.c vi phˆan thˆong qua c´ac “h`am thu’.”
- ´o l`a kh´ai niˆe.m
d¯u’ tro.n ho˘a.c qua c´ac kh´ai niˆe.m vi phˆan du.´o.i, vi phˆan trˆen. D
nghiˆe.m viscosity. Trong th`o.i gian n`ay, d¯oˆ. c lˆa.p v´o.i Crandall v`a Lions, xuˆa´t
`eu khiˆe’n tˆo´i u.u v`a tr`o cho.i vi phˆan, A.I. Subbotin d¯u.a
y thuyˆe´t d¯iˆ

ph´at t`
u. l´
ra kh´ai niˆe.m nghiˆe.m minimax v`a ch´
u.ng minh r˘`a ng, d¯oˆ´i v´o.i mˆo.t sˆo´ l´o.p b`ai
`on ta.i v`a tr`
to´an nghiˆe.m minimax tˆ
ung v´o.i nghiˆe.m viscosity.
´ n Gia’i tı´ch, chuyˆen d¯`ˆe
Trong chu.o.ng trı`nh Cao ho.c chuyˆen nga`nh Toa
na`y la` mˆo.t nˆo.i dung quan tro.ng, giu
´ p ho.c viˆen tiˆe´p cˆa.n v´o.i ly
´ thuyˆe´t hiˆe.n d¯a.i
u.ng phu.o.ng pha
´p
cu’a ly
´ thuyˆe´t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n. Nh˜
.
.
.
.
.
`oi, Gia’i tı´ch phi tuyˆe´n d¯u o. c su’ du.ng thu `o ng xuyˆen giu
´ p cho
cu’a Gia’i tı´ch lˆ
´ c chuyˆen nga`nh kha
´ c tu.o.ng d¯oˆ´i thuˆa. n tiˆe.n.
´ thˆe’ tı`m hiˆe’u ca
ngu.`o.i ho.c co`n co
`eu ta`i liˆe.u, sa
´ ch

Tˆa.p ba`i gia’ng na`y d¯u.o..c soa.n trˆen co. so’. tˆo’ng ho..p nhiˆ
.
.
`e chu’ d¯`ˆe ly
ba
´ o vˆ
´ thuyˆe´t toa`n cu.c cu’a phu o ng trı`nh Hamilton-Jacobi. Ngu.`o.i
biˆen soa.n cho.n nh˜
u.ng vˆa´n d¯`ˆe co. ba’n, tinh gia’n nhu.ng thiˆe´t thu..c d¯ˆe’ cho ai
´ c ba`i toa
´ n mo’. va` n˘a´m d¯u.o..c phu.o.ng pha
quan tˆam co
´ thˆe’ tiˆe´p cˆa.n ngay ca
´ p,
`au co
´ thˆe’ tı`m ra kˆe´t qua’ m´o.i. Du` soa.n
cˆong cu. d¯ˆe’ b˘a´t tay va`o nghiˆen c´
u.u hˆ
`eu cˆo´ g˘a´ng nhu.ng d¯aˆy la` nh˜
u.ng vˆa´n d¯`ˆe kho
´ nˆen ngu.`o.i ho.c pha’i da`y
gia’ co
´ nhiˆ
`e gia’i tı´ch
u.c vˆ
cˆong suy nghı˜, ˆon tˆa.p, vˆa.n du.ng tha`nh tha.o ca
´ c nh˜
u.ng kiˆe´n th´
.
.

.
d¯u o. c ho.c o’ bˆa.c d¯a.i ho.c d¯ˆe’ lı˜nh hˆo.i d¯`aˆy d¯u’ nˆo.i dung cu’a chuyˆen d¯`ˆe na`y.
`om 4 chu.o.ng. Chu.o.ng I trı`nh ba`y
Nˆo.i dung tˆa.p ba`i gia’ng na`y bao gˆ
`e phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi, chu’
to
´ m t˘a´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n th´
u.c cˆo’ d¯iˆe’n vˆ
`e viˆe.c kha’o sa
´ p d¯˘a.c tru.ng Cauchy vˆ
´ t nghiˆe.m d¯.ia phu.o.ng.
yˆe´u la` phu.o.ng pha
u.u ca
´ c loa.i nghiˆe.m suy rˆo.ng, theo th´
u. tu.. la` nghiˆe.m
Ca
´ c chu.o.ng sau nghiˆen c´
Lipschitz, nghiˆe.m viscosity va` nghiˆe.m minimax.
y thuyˆe´t phu.o.ng
C´ac vˆa´n d¯`ˆe nˆeu trˆen hiˆe.n l`a nh˜
u.ng vˆa´n d¯`ˆe th`o.i su.. cu’a l´
`eu nh`a to´an ho.c trong v`a ngo`ai
tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n, d¯ang d¯u.o..c nhiˆ
u.u.
nu.´o.c quan tˆam nghiˆen c´
˜ ng no
Cu
´ i thˆem r˘`a ng, trong ca
´ c ta`i liˆe.u, sa
´ ch ba

´ o chı´nh thˆo´ng hiˆe.n nay
´ xu hu.´o.ng go.i phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1 tˆo’ng
ngu.`o.i ta co


4

`e truyˆ
`en thˆo´ng, phu.o.ng trı`nh
qua
´ t la` phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi m˘a.c du` vˆ
´ ch
Hamilton-Jacobi chı’ la` mˆo.t da.ng d¯˘a.c biˆe.t trong d¯´o biˆe´n th`o.i gian d¯u.o..c ta
.
.
.
.
riˆeng d¯ˆe’ d¯u o. c xem la` mˆo.t phu o ng trı`nh tiˆe´n ho
´ a. Vı` vˆa.y khi d¯o.c tˆa.p ba`i
˜ ng nhu. ca
`an chu
gia’ng na`y cu
´ c ta`i liˆe.u, ba`i ba
´ o liˆen quan ho.c viˆen cˆ
´ ´y d¯ˆe´n
u.ng tru.`o.ng ho..p cu. thˆe’.
ca
´ c da.ng phu.o.ng trı`nh trong nh˜
Khi biˆen soa.n tˆa.p ba`i gia’ng na`y, chu
´ ng tˆoi d¯˜a da`nh th`o.i gian thı´ch d¯´a ng

´ tra
´ nh kho’i nh˜
u.ng thiˆe´u so
´ t. Rˆa´t mong nhˆa.n
d¯ˆe’ hoa`n chı’ nh nhu.ng ch˘a´c kho
u.ng su.. phˆe bı`nh, go
´ p ´y d¯ˆe’ tˆa.p ba`i gia’ng na`y nga`y ca`ng tˆo´t ho.n.
d¯u.o..c nh˜


5

`au
¯ˆ
Mo’. d
Phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng la` mˆo.t phu.o.ng trı`nh vi phˆan (phu.o.ng trı`nh
´ c d¯a.o ha`m ho˘a.c vi phˆan) trong d¯´o ˆa’n ha`m la` ha`m sˆo´ theo 2 biˆe´n
co
´ ch´
u.a ca
.
tro’ lˆen.
`en ch´
Gia’ su’. D la` mˆo.t miˆ
u.a trong Rn , n ≥ 2, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, α =
(i1 , . . . , in ) ∈ Nn la` d¯a chı’ sˆo´ khˆong ˆam, |α| = i1 + · · · + in go.i la` cˆa´p cu’a d¯a
chı’ sˆo´ α.
´ da.ng
´ c d¯.inh trˆen D × Rk1 × . . . × Rkn co
Cho F la` mˆo.t ha`m thu..c xa

F = F (x1 , . . . , xn , pki1 ,...,in , . . . ),
trong d¯´o x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, |α| = i1 + · · · + in = k, k = 0, . . . , m, va` gia’
`on ta.i mˆo.t d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p m cu’a F kha
su’. tˆ
´ c khˆong:
∂F
∂pki1 ,...,in

= 0, |α| = i1 + . . . in = m.

´ da.ng
Phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng co
F = F (x1 , . . . , xn ,

∂k u
,...) = 0
∂xi11 . . . ∂xinn

(0.1)

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, i1 + · · · + in = k, k = 0, . . . , m, d¯u.o..c go.i la` phu.o.ng
trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p m u
´.ng v´o.i ˆa’n ha`m u = u(x) = u(x1 , . . . , xn ). Ta co`n
viˆe´t (0.1) du.´o.i da.ng
F (x, u(x), Du(x), . . . , D α u(x)) = 0, |α| ≤ m

(0.1’)

`en D la` mˆo.t ha`m u = u(x)
Nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1) trˆen miˆ

xa
´ c d¯.inh, kha’ vi liˆen tu.c trˆen D va` nghiˆe.m d¯´u ng phu.o.ng trı`nh (0.1) v´o.i mo.i
x ∈ D.
´ c d¯a.o ha`m co
´
Nˆe´u F la` mˆo.t ha`m tuyˆe´n tı´nh d¯ˆo´i v´o.i ˆa’n ha`m va` tˆa´t ca’ ca
.
.
.
.
.
.
m˘a.t thı` phu o ng trı`nh (0.1) d¯u o. c go.i la` phu o ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tuyˆe´n
tı´nh. Tra
´ i la.i, ta go.i no
´ la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n. Da.ng tˆo’ng
qua
´ t cu’a phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tuyˆe´n tı´nh cˆa´p m la`
aα (x)D α u(x) = f (x),
|α|≤m

(0.2)


6

`eu kiˆe.n la` tˆ
`on ta.i d¯a chı’ sˆo´ α0 sao cho |α0 | = m va` aα0 (x) ≡ 0 trˆen D,
v´o.i d¯iˆ
´ c ha`m cho tru.´o.c, D α u(x) la` ky

´ hiˆe.u tˆa.p ca
´ c d¯a.o
trong d¯´o aα (x), f (x) la` ca
.
.
.
`an nhˆa´t nˆe´u
ha`m riˆeng cˆa´p α cu’a ha`m u. Phu o ng trı`nh (0.2) d¯u. oc go.i la` thuˆ
f ≡ 0 trˆen D.
Nˆe´u F la` mˆo.t ha`m tuyˆe´n tı´nh theo biˆe´n la` d¯a.o ha`m cˆa´p cao nhˆa´t cu’a
ˆa’n ha`m co
´ m˘a.t trong (0.1) thı` phu.o.ng trı`nh na`y d¯u.o..c go.i la` phu.o.ng trı`nh
d¯a.o ha`m riˆeng tu..a tuyˆe´n tı´nh.
`en D v´o.i biˆen la` ∂D. Ba`i
Cho phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng (0.1) trong miˆ
toa
´ n tı`m nghiˆe.m u = u(x) cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1) sao cho u|∂D = f v´o.i f la`
´ n biˆen. Nˆe´u D = (a, b)×Rn−1 thı`
mˆo.t ha`m cho tru.´o.c, d¯u.o..c go.i la` mˆo.t ba`i toa
˜ n d¯iˆ
`eu kiˆe.n u|{0}×Rn−1 = f
ba`i toa
´ n tı`m nghiˆe.m u = u(x) cu’a (0.1) tho’a ma
d¯u.o..c go.i la` ba`i toa
´ n Cauchy hay la` ba`i toa
´ n v´o.i d˜
u. kiˆe.n ban d¯`ˆau cu’a phu.o.ng
trı`nh (0.1).
˜ nghiˆen c´
`an chuyˆen d¯`ˆe na`y, ta se

´ thuyˆe´t toa`n cu.c cu’a
Trong phˆ
u.u ly
phu.o.ng trı`nh phi tuyˆe´n cˆa´p 1, cu. thˆe’ la` phu.o.ng trı`nh da.ng
F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D ⊂ Rn
hay ba`i toa
´ n Cauchy cho phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi da.ng
∂u
+ H(t, x, ∇x u) = 0 , (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn ,
∂t
u(0, x) = σ(x) , x ∈ Rn .


7
. .
CHU O NG I

Nghiˆ
e.m d
¯i.a phu.o.ng va
` ly
´ thuyˆ
e´t d
¯˘
a.c tru.ng Cauchy

`e vˆ
`e ly
§1. Mˆ
o.t sˆ

o´ vˆ
a´n d
¯ˆ
´ thuyˆ
e´t cˆ
o’ d
¯iˆ
e’n
1.1 Ca
´ c phu.o.ng trı`nh hoa
`n chı’ nh va
` tı
´ch phˆ
an tru..c tiˆ
e´p
Trong thu..c tˆe´ khi g˘a.p mˆo.t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ta nˆen quan
u.ng phu.o.ng pha
´ thˆe’ gia’i b˘`a ng nh˜
´ p d¯o.n gia’n hay khˆong tru.´o.c
sa
´ t xem thu’. co
´ t cu’a no
´ . Trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho..p riˆeng, khi
khi nghiˆen c´
u.u da.ng tˆo’ng qua
`e viˆe.c tı´nh
´ ng co
´ thˆe’ quy vˆ
phu.o.ng trı`nh thuˆo.c da.ng suy biˆe´n, viˆe.c gia’i chu
- iˆ

`eu nhˆa.n xe
´ t na`y giu
´ p ta tiˆe´t kiˆe.m s´
u.c lao d¯ˆo.ng khi nghiˆen
ca
´ c tı´ch phˆan. D
u.ng ba`i toa
´ n cu. thˆe’.
c´
u.u nh˜
Ta xe
´ t phu.o.ng trı`nh sau:
ut + H(t, x) = 0, (t, x) ∈ R2

(1.1)

`eu kiˆe.n ban d¯`aˆu
cu`ng v´o.i d¯iˆ
u(0, x) = f (x), x ∈ R

(1.2)

˜ ra`ng lu
Ro
´ c na`y ba`i toa
´ n Cauchy co
´ nghiˆe.m duy nhˆa´t la`
t

H(τ, x)dτ.

u(t, x) = f (x) −
0

Mˆo.t tru.`o.ng ho..p kha
´ c co
´ thˆe’ gia’i d¯u.o..c b˘a` ng tı´ch phˆan tru..c tiˆe´p d¯´o la`
´ i niˆe.m thu.`o.ng d¯u.o..c du`ng cho
phu.o.ng trı`nh hoa`n chı’ nh m˘a.c du` d¯´o la` kha
´ t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p 1 tu..a
phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng. Ta xe
tuyˆe´n tı´nh nhu. sau
M (x, y, u)ux = N (x, y, u)uy ,

(x, y) ∈ R2

(1.3)


8

˜ n d¯iˆ
`eu
trong d¯´o M, N la` ca
´ c ha`m kha’ vi liˆen tu.c theo ca
´ c biˆe´n va` tho’a ma
.
kiˆe.n kh´
o p:
(1.4)

Mx = Ny
Trong tru.`o.ng ho..p na`y, nghiˆe.m u = u(x, y) cu’a phu.o.ng trı`nh co
´ thˆe’ tı`m d¯u.o..c
- ˆe’ xa
´ c d¯.inh tı´ch
du.´o.i da.ng ˆa’n Φ(x, y, u) = 0, trong d¯´o M = Φy , N = Φx . D
´ t Φ, ta lˆa´y tı´ch phˆan theo y cu’a ha`m M (x, y, u) :
phˆan tˆo’ng qua
Φ(x, y, u) =

M (x, y, u)dy + g(x, u).

Vı` Φx = N nˆen lˆa´y d¯a.o ha`m 2 vˆe´ d¯a˘’ ng th´
u.c trˆen, ta co
´
Mx (x, y, u)dy + gx (x, u) = N.
Gia’i ra d¯u.o..c gx (x, u) va` t`
u. d¯´o g(x, u) =
Φ(x, y, u) =

gx (x, u)dx + h(u). Nhu. thˆe´

M (x, y, u)dy +

gx (x, u)dx + h(u)

(1.5)

trong d¯´o h la` mˆo.t ha`m tu`y ´y .
´ ha`m

Khi Φu = 0, ta tı`m d¯u.o..c ha`m u = u(x, y) tu.`o.ng minh theo d¯.inh ly
ˆa’n.
Vı
´ du.. Xe
´ t phu.o.ng trı`nh
xut = tuux ,

(t, x) ∈ R2 .

- ˘a.t M (t, x, u) = x, N (t, x, u) = tu, khi d¯´o ta co
D
´ Mt = Nx = 0. Ha`m
.
.
Φ(t, x, u) pha’i tı`m cho bo’ i cˆong th´
u c sau:
Φ=

xdx + g(t, u) =

1 2
x + g(t, u).
2

- ˆe’ tı`m ha`m g ta du`ng hˆe. th´
u.c gt (t, u) = tu nˆen t`
D
u. d¯´o g(t, u) =
t2 u) + h(u), trong d¯´o h la` mˆo.t ha`m kha’ vi tu`y ´y theo biˆe´n u. Ch˘a’ ng
cho.n ha`m

1
h(u) = (a2 u + b2 ), trong d¯´o a, b la` h˘a` ng sˆo´
2

1 2
(x +
2
ha.n, ta


9

thı`
u(t, x) = −

x2 + b2
.
t2 + a2

`e
Tu.o.ng tu.. tru.`o.ng ho..p phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng, d¯ˆoi lu
´ c d¯ˆe’ d¯u.a vˆ
u.a sˆo´ tı´ch phˆan t´
u.c la` tı`m
mˆo.t phu.o.ng trı`nh hoa`n chı’ nh, ta pha’i tı`m mˆo.t th`
mˆo.t ha`m µ(x, y) sao cho
(µM )x = (µN )y ,
ch˘a’ ng ha.n nˆe´u (Ny − Mx )/M khˆong phu. thuˆo. c y thı`
µ(x) = exp

((Ny − Mx )/M )dx

la` mˆo.t th`
u.a sˆo´ tı´ch phˆan.
1.2 Phu.o.ng pha
´ p ta
´ ch biˆ
e´n
`eu phu.o.ng
´ p na`y kha
´ d¯o.n gia’n va` co
´ thˆe’ ´a p du.ng cho nhiˆ
Phu.o.ng pha
´ c ba`i toa
´ n vˆa.t ly
´ . Tuy nhiˆen kha’
trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng thu.`o.ng g˘a.p trong ca
´ t la.i ha.n chˆe´.
n˘ang su’. du.ng trong tru.`o.ng ho..p tˆo’ng qua
´ tu.o’.ng chı´nh cu’a phu.o.ng pha
´ p ta
´ ch biˆe´n la` chuyˆe’n phu.o.ng trı`nh d¯a.o
Y
`e nh˜
´ c ˆa’n ha`m theo sˆo´ biˆe´n ´t
ı ho.n.
ha`m riˆeng d¯˜a cho vˆ
u.ng phu.o.ng trı`nh v´o.i ca
No
´ i ca

´ ch kha
´ c, ta cˆo´ g˘a´ng tı`m nghiˆe.m cu’a phu.o.ng trı`nh d¯˜a cho du.´o.i da.ng
´ c ha`m sˆo´ co
´ sˆo´ biˆe´n ´t
ı ho.n va` r`o.i nhau. Sau khi
tˆo’ng ho˘a.c tı´ch mˆo.t sˆo´ ca
´ c phu.o.ng trı`nh co
´
thay nghiˆe.m na`y va`o phu.o.ng trı`nh d¯˜a cho ta thu d¯u.o..c ca
.
.
.
.
˜e gia’i ho n. Ta xe
´ thˆe’ dˆ
´ t mˆo.t tru `o ng
ˆa’n la` ca
´ c ha`m co
´ sˆo´ biˆe´n ´t
ı ho n nˆen co
ho..p sau d¯ˆay:
Xe
´ t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng da.ng
F (t, x, u, ut , ux ) = 0, (t, x) ∈ D ⊂ R2 .
˜e n du.´o.i da.ng
Ta mong r˘`a ng nghiˆe.m u = u(t, x) co
´ thˆe’ biˆe’u diˆ
u(t, x) = g(t)h(x)

hay u(t, x) = g(t) + h(x),

`eu kiˆe.n biˆen) ta xa
´ thˆe’ thˆem ca
´ c d¯iˆ
´ c d¯.inh
Khi d¯´o thay va`o phu.o.ng trı`nh (co
.
.
.
.
.
.
.
.
´ c phu o ng trı`nh vi phˆan thu `o ng, t`
u d¯´o tı`m d¯u.o..c
d¯u o. c ca
´ c ha`m g, h nh`o ca
ha`m u = u(t, x).


10

Vı
´ du. 1. Gia’i ba`i toa
´ n Cauchy cho phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi sau:
ut + u2x = 0, (t, x) ∈ R2
u(0, x) = x2 , x ∈ R.
˜ y tı`m nghiˆe.m cu’a ba`i toa
Ta ha

´ n trˆen du.´o.i da.ng
u(t, x) = g(t)h(x).
´
Thay ha`m sˆo´ na`y va`o phu.o.ng trı`nh ta co
g h + (gh )2 = 0.
Suy ra
g
h2
=−
= c = const.
g2
h
Ca
´ c phu.o.ng trı`nh na`y cho ta
a
,
1 − act
v´o.i a, b, c la` ca
´ c h˘a` ng sˆo´. Nhu. vˆa.y
g(t) =

u(t, x) = −

1
h(x) = − c(x − b)2
4

ca(x − b)2
α (x − b)2
=−

.
4(1 − act)
4 1 − αt

α
- ˆe’ ´y d¯ˆe´n d¯iˆ
`eu kiˆe.n d¯`ˆau u(0, x) = x2 ta co
´ x2 = − (x − b)2 , ta cho.n b = 0 va`
D
4
α = −4, khi ˆa´y
1
x2
, t=−
u(t, x) =
1 + 4t
4
la` nghiˆe.m cu’a ba`i toa
´ n trˆen.
Vı
´ du. 2. Xe
´ t phu.o.ng trı`nh dao d¯oˆ. ng cu’a dˆay
utt = uxx ,

(t, x) ∈ (a, b) × R,

u(a, t) = u(b, t) = 0.
Ta tı`m nghiˆe.m du.´o.i da.ng u(t, x) = v(t)w(x). Khi d¯´o
utt = v (t)w(x), uxx = v(t)w (x).

11

T`
u. d¯´o v (t)w(x) = v(t)w (x) hay
w (x)
v (t)
=
= a = const.
v(t)
w(x)
´ c nghiˆe.m cu’a phu.o.ng trı`nh
Nhu. thˆe´ v va` w la` ca
y = λy.
`eu kiˆe.n biˆen, ta nhˆa.n d¯u.o..c
´ c d¯iˆ
Gia’i ca
´ c phu.o.ng trı`nh na`y, kˆe´t ho..p v´o.i ca
nghiˆe.m cu’a ba`i toa
´ n.
` m˘
a.t tı
´ch phˆ
an.
§2. Kha
´ i niˆ
e.m d
¯˘
a.c tru.ng va
2.1 C´

ac t´ınh chˆ
a´t h`ınh ho.c cu’a nghiˆ
e.m.
`en trong khˆong gian Rn v`a B l`a mˆo.t d¯a ta.p n − 1
K´
y hiˆe.u D l`a mˆo.t miˆ
`eu ch´
chiˆ
u.a trong D, u = u(x1 , . . . , xn ) l`a mˆo.t h`am n biˆe´n v`a ux = ∇u =
(ux1 , . . . , uxn ) l`a gradient cu’a u, co`n F l`a mˆo.t h`am x´ac d¯.inh trˆen khˆong gian
R2n+1 .
Ta x´et b`ai to´an biˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1
sau d¯aˆy:
F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D
(2.1)
u|B = f

(2.2)

f l`a mˆo.t h`am x´ac d¯.inh trˆen d¯a ta.p B.
L´
y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng cˆo’ d¯iˆe’n Cauchy cu’a b`ai to´an d¯a.o h`am riˆeng phi
`e viˆe.c gia’i mˆo.t hˆe. phu.o.ng tr`ınh vi
tuyˆe´n cˆa´p 1 l`a quy viˆe.c gia’i b`ai to´an n`ay vˆ
´ i niˆe.m va` kha’o s´at va`i t´ınh chˆa´t
phˆan thu.`o.ng. Ta h˜ay thˆo´ng nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kha
h`ınh ho.c cu’a nghiˆe.m cu’a b`ai to´an (2.1) - (2.2).
Gia’ su’. u l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a b`ai to´an (2.1)-(2.2). Ta k´
y hiˆe.u
S = {(x, z, p) ∈ R2n+1 | x ∈ D, z = u(x), p = ux (x)}

v`a go.i n´o l`a mˆo.t d¯a ta.p da’i (strip manifold). N´oi c´ach kh´ac, S khˆong nh˜
u.ng
x´ac d¯.inh mˆo.t m˘a.t cong J : z = u(x) m`a d¯`oˆng th`o.i c`on x´ac d¯.inh ca’ c´ac siˆeu
u.a.
ph˘a’ ng tiˆe´p x´
uc v´o.i J ta.i mˆo˜i d¯iˆe’m cu’a n´o n˜


12

- `ˆo thi. J = {(x, z) ∈ Rn+1 | z = u(x)} cu’a h`am u(x) ch´ınh l`a h`ınh
D
y hiˆe.u
chiˆe´u cu’a S lˆen Rn+1 , co`n go.i l`a m˘a.t t´ıch phˆan (integral surface). Ta k´
J0 = {(x, z) ∈ Rn+1 | x ∈ B, z = f (x)},
S0 = {(x, z, p) ∈ R2n+1 | (x, z) ∈ J0 , p = ux (x)}
`an lu.o..t go.i la` m˘a.t ban d¯`ˆau va` da’i ban d¯`ˆau.
va` lˆ
`an tham gia: miˆ
`en x´ac d¯.inh,
Ta thˆa´y trong d¯a ta.p da’i c´o ba th`anh phˆ
d¯`oˆ thi. v`a c´ac siˆeu ph˘a’ ng tiˆe´p x´
uc v´o.i d¯`ˆo thi. cu’a nghiˆe.m u(x) cu’a b`ai to´an
(2.1) - (2.2). Mˆo.t ´anh xa. liˆen tu.c [a, b] s → (X(s), U (s), P (s)) ∈ S d¯u.o..c
go.i l`a mˆo.t da’i d¯a˘. c tru.ng (characteristic strip). Chiˆe´u cu’a da’i d¯a˘. c tru.ng lˆen
J go.i l`a d¯u.`o.ng cong d¯a˘. c tru.ng, c`on s → X(s) s˜e go.i l`a d¯a˘. c tru.ng co. so’.. Ta
`eu ho.n v´o.i d¯a˘. c tru.ng co. so’. v`a nhiˆ
`eu t`ai liˆe.u c˜
ung go.i n´o
thu.`o.ng l`am viˆe.c nhiˆ

.
.
.
l`a d¯u `o ng d¯a˘. c tru ng.
´ n (2.1)-(2.2). T`
u. m˘a.t ban d¯`ˆau
Gia’ su’. u = u(x) la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a ba`i toa
- ˆe’ ´y r˘a` ng, m˘a.t tı´ch phˆan J la` mˆo.t d¯a
˜ xa
ta se
´ c d¯.inh da’i ban d¯`ˆau nhu. sau. D
`eu trong khˆong gian Rn+1 , bˆay gi`o. ta tham sˆo´ ho´a m˘a.t t´ıch phˆan
ta.p n−chiˆ
J b˘`a ng ´anh xa.
D x → (x, u(x)) ∈ J ⊂ Rn+1 .
Nhu. vˆa.y mˆo.t co. so’. cu’a khˆong gian tiˆe´p x´
uc v´o.i J ta.i (x, u(x)) l`a c´ac vecto.
cˆo.t cu’a ma trˆa.n (n + 1) × n.






1
0
..
.

0

1
..
.

...
...
..
.

0
0
..
.

ux1

ux2

...

uxn







v`a mˆo.t ph´ap vecto. ta.i (x, u(x)) ∈ J l`a (ux (x), −1). Do d¯´o nˆe´u (x, z, p) ∈ S0
th`ı siˆeu ph˘a’ ng x´ac d¯.inh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (theo biˆe´n (ξ, ζ))

(p, −1)(ξ − x, ζ − z) = 0
tiˆe´p x´
uc v´o.i m˘a.t ban d¯`ˆau J0 ta.i d¯iˆe’m (x, f (x)).

(2.3)


13

Tiˆe´p theo, gia’ su’. g l`a hˆe. toa. d¯oˆ. d¯.ia phu.o.ng cu’a B (g : B → O l`a mˆo.t
ph´ep vi phˆoi d¯.ia phu.o.ng), khi d¯´o ´anh xa.
h = g −1 : Rn−1 ⊃ O → D
kha’ vi v`a ma trˆa.n


Dh(r) =

∂h1
∂r1

...
..
.
...

∂h

=  ...
∂r

∂hn
∂r1

∂h1
∂rn−1

..
.
∂hn
∂rn−1





c´o ha.ng l`a n − 1. C´ac vecto. cˆo.t lˆa.p nˆen co. so’. cu’a khˆong gian tiˆe´p x´
uc v´o.i B
ta.i x = h(r) nˆen
(p, −1)(

∂h ∂f
,
) = 0, i = 1, . . . , n − 1.
∂ri ∂ri

Nhu. vˆa.y nˆe´u ϕ = f ◦ h th`ı theo cˆong th´
u.c d¯a.o h`am cu’a h`am ho..p ta c´o
ϕr = phr ,

(2.4)

F (h(r), ϕ(r), p) = 0.

(2.5)

C´ac phu.o.ng tr`ınh (2.4), (2.5) (v´o.i ˆa’n sˆo´ p) cho ta x´ac d¯.inh S0 t`
u. J0 .
Nˆe´u k´
y hiˆe.u ρ(r) l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe. trˆen th`ı ta c´o da’i ban d¯`aˆu tu.o.ng u
´.ng
l`a S0 = (h(r), ϕ(r), ρ(r)). Nˆe´u ta.i x0 = h(r0 ) ta c´o


∂h1
∂r1


det J = det  ...

∂hn
∂r1

...
..
.
...

∂h1
∂rn−1

..
.
∂hn
∂rn−1

∂F
∂p1



..  = 0
. 

(2.6)

∂F
∂pn

th`ı B d¯u.o..c go.i l`a d¯a˘. c tru.ng ta.i x0 .
- iˆ
`eu n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i vecto. Fp (h(r), ϕ(r), ρ(r)) thuˆo.c siˆeu ph˘a’ ng
D
tiˆe´p x´
uc v´o.i B ta.i x0 .
Nˆe´u B khˆong pha’i d¯˘a.c tru.ng ta.i x = h(r) th`ı B d¯u.o..c go.i l`a tu.. do hay
khˆong d¯˘a.c tru.ng ta.i d¯iˆe’m d¯´o. Nˆe´u B tu.. do ta.i mo.i d¯iˆe’m th`ı b`ai to´an go.i l`a
b`ai to´an gi´a tri. biˆen khˆong d¯a˘. c tru.ng.


14

Gia’ su’. B d¯u.o..c cho bo’.i phu.o.ng tr`ınh G(x) = 0 v´o.i ∇G(x) = 0. D`
ung
.
.
.
.
d¯.inh l´
y h`am ˆa’n, gia’ su’ ta gia’i d¯u. o c xn = g(x1 , . . . , xn−1 ). Nhu vˆa.y mˆo.t ph´ap
vecto. cu’a d¯a ta.p B ta.i x l`a
n=(

∂g
∂g
,...,
, −1).
∂x1
∂xn

Nˆe´u Fp thuˆo.c siˆeu ph˘a’ ng tiˆe´p x´
uc v´o.i B th`ı Fp vuˆong g´oc v´o.i n v`a ngu.o..c la.i.
Nhu. vˆa.y B d¯a˘. c tru.ng khi v`a chı’ khi
∇G(h), Fp (h, ϕ, ρ) = 0.
T`
u. d¯o´ ta thˆa´y r˘a` ng nˆe´u B tu.. do (t´
u.c l`a Fp khˆong n˘`a m trong m˘a.t ph˘a’ ng
`an vuˆong g´oc v´o.i
tiˆe´p x´
uc v´o.i B) nˆen trong phˆan t´ıch vecto. Fp s˜e c´o th`anh phˆ
`an n`ay d¯u.o..c d`

ung d¯ˆe’ x´ac d¯.inh m˘a.t t´ıch phˆan t`
u. m˘a.t ban d¯`aˆu
B v`a th`anh phˆ
- iˆ
`eu ˆa´y
u. kiˆe.n. D
J0 trong lˆan cˆa.n cu’a B v´o.i mˆo.t sˆo´ gia’ thiˆe´t th´ıch ho..p v´o.i d˜
.
.
.
.
ngh˜ıa l`a ta c´o thˆe’ t`ım d¯u o. c nghiˆe.m d¯.ia phu o ng x´ac d¯.inh trong lˆan cˆa.n cu’a
B.
2.2 V´ı du..
- ˆe’ thˆa´y d¯u.o..c vai tr`o cu’a c´ac kh´ai niˆe.m d¯a˘. c tru.ng c˜
ung nhu. minh ho.a
D
`an tiˆe´p theo, ta x´et v´ı du. d¯o.n
cho l´
y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng Cauchy s˜e b`an o’. phˆ
gia’n sau d¯ˆay:
Cho phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng tuyˆe´n tı´nh:
∂u ∂u
+
= 0,
∂t
∂x

(t, x) ∈ R2 .

(2.7)

Trong m˘a.t ph˘a’ ng (t, x) ta thˆa´y r˘`a ng nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh vi phˆan
thu.`o.ng
dx
= 1
dt
l`a c´ac d¯u.`o.ng th˘a’ ng x − t = const.
uy y
´. Do.c theo d¯u.`o.ng th˘a’ ng
Gia’ su’. u = u(t, x) l`a mˆo.t h`am kha’ vi t`
x − t = const, ta c´o
du
∂u ∂u dx
∂u ∂u
=
+
=
+
.
dt
∂t
∂x dt
∂t
∂x


15

Nhu. vˆa.y, nˆe´u u(t, x) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (2.7) th`ı u(t, x) = const

u.ng d¯u.`o.ng th˘a’ ng kh´ac nhau th`ı u
´.ng v´o.i c´ac
do.c theo d¯u.`o.ng th˘a’ ng ˆa´y. Nh˜
h`am sˆo´ kh´ac nhau nˆen
u(t, x) = f (const) = f (x − t).
Nˆe´u f l`a mˆo.t h`am kha’ vi t`
uy y
´ th`ı u(t, x) = f (x − t) d¯u
´ng l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a
.
.
- ˆay l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at (phu. thuˆo.c v`ao mˆo.t h`am sˆo´)
phu o ng tr`ınh (2.7). D
cu’a phu.o.ng tr`ınh (2.7).
Bˆay gi`o. cho B l`a d¯u.`o.ng cong tro.n γ trong m˘a.t ph˘a’ ng (t, x) sao cho γ chı’
c˘a´t mˆo˜i d¯u.`o.ng th˘a’ ng x − t = const ta.i mˆo.t d¯iˆe’m duy nhˆa´t. Gia’ su’. γ d¯u.o..c
cho du.´o.i da.ng tham sˆo´.
x = ξ(s), t = τ (s)
v`a cho h`am sˆo´ ϕ(t, x) = ϕ(s) do.c theo d¯u.`o.ng cong γ. Tiˆe´p theo ta h˜ay t`ım
`eu kiˆe.n biˆen u|γ = ϕ. O’ . trˆen ta thˆa´y
nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (2.7) thoa’ d¯iˆ
u = f (x − t) l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh (2.7). Do u(t, x) l`a h˘a` ng
trˆen d¯u.`o.ng th˘a’ ng x − t = const nˆen h`am n`ay lˆa´y gi´a tri. h˘`a ng ˆa´y b˘a` ng ϕ(s)
ta.i giao d¯iˆe’m cu’a γ v´o.i x − t = const.
Nˆe´u ξ(s), τ (s), ϕ(s) l`a c´ac h`am d¯u’ tro.n v`a ξ (s) − τ (s) = 0 th`ı nghiˆe.m
tro.n cu’a b`ai to´an pha’i t`ım l`a
u(t, x) = ϕ(s) = ϕ(x − t)
.
O’ d¯aˆy ta thˆa´y c´ac d¯u.`o.ng th˘a’ ng x − t = const l`a c´ac d¯u.`o.ng m´
u.c cu’a nghiˆe.m

u(t, x). N´oi chung trong tru.`o.ng ho..p phu.o.ng tr`ınh phi tuyˆe´n th`ı c´ac d¯u.`o.ng
u.c.
da.ng n`ay khˆong l`a d¯u.`o.ng m´
Sau d¯ˆay ta gia’ su’. B = γ l`a mˆo.t d¯oa.n cu’a d¯u.`o.ng th˘a’ ng x − t = const,
ch˘a’ ng ha.n x − t = 0. Khi ˆa´y muˆo´n b`ai to´an c´o nghiˆe.m th`ı h`am ϕ(s) khˆong
thˆe’ cho gi´a tri. t`
uy y
´ v`ı mˆo.t m˘a.t u =const trˆen γ, m˘a.t kh´ac u = ϕ(s) trˆen
- iˆ
`eu n`ay khˆong thˆe’ d¯u.o..c nˆe´u ϕ(s) khˆong l`a h`am h˘a` ng trˆen γ. Ta thˆa´y
γ. D
tru.`o.ng ho..p d¯`aˆu γ khˆong d¯a˘. c tru.ng, c`on tru.`o.ng ho..p sau th`ı γ l`a d¯˘a.c tru.ng
cu’a b`ai to´an
∂u ∂u
+
=0
.
∂t
∂x
u|γ = ϕ(s)


16

§3. L´
y thuyˆ
e´t d
¯˘
a.c tru.ng Cauchy
`an tiˆe´p theo, ta s˜e tr`ınh b`ay phu.o.ng ph´ap d¯a˘. c tru.ng Cauchy

Trong phˆ
d¯ˆe’ gia’i b`ai to´an biˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1:
F (x, u, ∇u) = 0,

x ∈ D ⊂ Rn ,

(3.1)

u|B = f (x)

(3.2)

`eu
trong d¯o´ F = F (x, u, p) l`a h`am 2n + 1 biˆe´n, B la` mˆo.t d¯a ta.p (n − 1)-chiˆ
`en D.
ch´
u.a trong miˆ
´ tu.o’.ng cu’a phu.o.ng pha
`e ba`i
´ p d¯˘a.c tru.ng la` quy ba`i toa
´ n (3.1)-(3.2) vˆ
Y
toa
´ n kha’o sa
´ t hˆe. phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng. Nh˘a` m mu.c d¯´ch
ı na`y, ta xe
´t
.
.
.

.
hˆe. phu o ng tr`ınh vi phˆan thu `o ng sau
 dX
= Fp (X, U, P )



ds


dU
(3.3)
= P Fp (X, U, P )

ds



 dP
= −Fx (X, U, P ) − P Fu (X, U, P )
ds
Gia’ su’. (X, U, P ) : [0, T ] → D × R × Rn l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe. phu.o.ng
trı`nh vi phˆan (3.3). Khi d¯o´
d
F (X, U, P ) = Fx (X, U, P )X + Fu (X, U, P )U + Fp (X, U, P )P
.
ds
= Fx Fp + Fu Fp P + Fp (−Fx − P Fu ) = 0.
Nhu. vˆa.y F (X, U, P ) = c = const do.c theo nghiˆe.m n`ay. N´oi c´ach kh´ac
F (X, U, P ) l`a mˆo.t t´ıch phˆan d¯`aˆu cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng (3.3).

ung n´oi r˘a` ng, F = const do.c theo “da’i d¯a˘. c tru.ng”
La.m du.ng ngˆon ng˜
u., ta c˜
(X, U, P ). Nˆe´u F = 0 ta.i s = 0 th`ı F = 0 do.c theo da’i n`ay. L´
uc d¯´o nˆe´u c´o
h`am u(x) sao cho u(x) = U, ux = P th`ı u(x) thoa’ m˜an phu.o.ng tr`ınh (3.1)
- ´o l`a d¯iˆ
`eu
v`a khi ˆa´y (X, U, P ) d¯u
´ng l`a da’i d¯a˘. c tru.ng theo d¯.inh ngh˜ıa o’. §2. D
ta s˜e d¯`ˆe cˆa.p tiˆe´p theo sau d¯aˆy.
L´
y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng chı’ cho ph´ep t`ım nghiˆe.m d¯.ia phu.o.ng nˆen d¯ˆe’ d¯o.n
gia’n ta gia’ thiˆe´t B = h(O) v´o.i O l`a tˆa.p mo’. trong Rn−1 v`a h l`a ph´ep vi phˆoi


17

- ˘a.t ϕ = f ◦ h, x´et hˆe. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan (3.3) v´o.i d¯iˆ
`eu
l´o.p C 2 t`
u. O lˆen B. D
kiˆe.n d¯`ˆau
(X, U, P )(0) = (h(r), ϕ(r), ρ(r)), r ∈ O
(3.4)
trong d¯´o ρ(r) l`a nghiˆe.m cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh (2.4)-(2.5).
Theo gia’ thiˆe´t, F thuˆo.c l´o.p C 2 nˆen vˆe´ pha’i cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan
(3.3) thuˆo.c l´o.p C 1 . Do vˆa.y b`ai to´an Cauchy (3.3)-(3.4) c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m
(X, U, P )(s, r) thuˆo.c l´o.p C 1 trong lˆan cˆa.n cu’a s = 0. V´o.i mˆo˜i nghiˆe.m ρ(r)
˜ thuˆo.c l´o.p C 1 theo ca

´c
thuˆo. c l´o.p C 1 cu’a hˆe. (2.4)-(2.5), nghiˆe.m (X, U, P ) se
.
.
.
.
- ˆe’ ´y r˘`a ng, phu o ng trı`nh (2.4): ϕr = phr la` mˆo.t hˆe. phu o ng trı`nh
biˆe´n (s, r). D
tuyˆe´n tı´nh n ˆa’n (p1 , . . . , pn ), ma trˆa.n hr cu’a no
´ co
´ ha.ng la` n − 1 do h la` mˆo.t
.
.
.
phe
´ p d¯`ˆong phˆoi. Nhu vˆa.y, c´
u v´o i mˆo˜i r, tˆa.p nghiˆe.m cu’a no
´ lˆa.p tha`nh d¯a
∂F
`eu. Nˆe´u F thˆa.t su.. phu. thuˆo.c va`o ux nghı˜a la`
= 0 mo.i no.i thı`
ta.p 1-chiˆ
∂p
phu.o.ng trı`nh (2.5):
F (h(r), ϕ(r), p) = 0
`eu n − 1. Do d¯´o , hˆe. phu.o.ng trı`nh
co
´ nghiˆe.m lˆa.p tha`nh khˆong gian co
´ sˆo´ chiˆ
`eu nghiˆe.m ho˘a.c mˆo.t d¯a

´ thˆe’ vˆo nghiˆe.m, mˆo.t ho˘a.c nhiˆ
(2.4)-(2.5) v´o.i mˆo˜i r co
`eu. Nˆe´u hˆe. co
ta.p nghiˆe.m 1-chiˆ
´ 1 nghiˆe.m duy nhˆa´t thı` theo d¯.inh ly
´ ha`m ˆa’n,
˜ thuˆo.c l´o.p C 1 . Nˆe´u hˆe. co
`eu nghiˆe.m ma` ca
nghiˆe.m ρ = ρ(r) se
´ nhiˆ
´ c nghiˆe.m
´ p theo nh˜
u.ng ha`m tro.n kha
ρ(r) co
´ thˆe’ ch˘a´p ghe
´ c nhau, ba`i toa
´ n (3.1)-(3.2)
˜ dˆa˜n d¯ˆe´n ba`i
`eu nghiˆe.m va` nˆe´u hˆe. (2.4)-(2.5) vˆo nghiˆe.m thı` se
´ nhiˆ
co
´ thˆe’ co
toa
´ n (3.1)-(3.2) vˆo nghiˆe.m.
Bˆay gi`o., gia’ su’. r˘a` ng ρ = ρ(r) la` mˆo.t nghiˆe.m l´o.p C 1 cu’a hˆe. phu.o.ng
´n
trı`nh (2.4)-(2.5) va` (X, U, P )(s, r) la` mˆo.t nghiˆe.m tro.n duy nhˆa´t cu’a ba`i toa
´.ng v´o.i ρ.
(3.3)-(3.4) tu.o.ng u
u.c l`a d¯.inh th´

u.c (2.6) det J = 0 thoa’ m˜an ta.i mo.i
Gia’ su’. B tu.. do t´
- ˆe’ y
d¯iˆe’m x = h(r) ∈ B. D
´ d¯.inh th´
u.c n`ay ch´ınh l`a Jacobian cu’a ´anh xa.
`on ta.i mˆo.t
(s, r) → X(s, r) ta.i s = 0. Cho x ∈ D, theo d¯.inh l´
y h`am ngu.o..c, tˆ
lˆan cˆa.n cu’a (0, r) sao cho ´anh xa. (s, r) → X(s, r) = x l`a mˆo.t ph´ep vi phˆoi d¯.ia
phu.o.ng. Do d¯´o ta d¯˘a.t
u(x) = U ◦ X −1 (x) = U (s, r)
th`ı khi d¯´o u(x) s˜e l`a mˆo.t nghiˆe.m thuˆo.c l´o.p C 2 pha’i t`ım.

(3.5)


18

`eu n´oi trˆen ta c´o d¯.inh l´
Tˆo’ng kˆe´t nh˜
u.ng d¯iˆ
y sau:
- .inh l´
`an, B l`
y. Gia’ su’. F, f, v`
a B kha’ vi liˆen tu.c 2 lˆ
a tu.. do c`
on
3.1 D

.
ρ l`
a mˆ
o.t nghiˆ.em tro n cu’ a (2.4)-(2.5). Khi ˆ
a´y (3.5) l`
a nghiˆe.m duy nhˆ
a´t cu’ a
`an.
(3.1)-(3.2) trong mˆ
o.t lˆ
an cˆ
a.n n`
ao d¯´
o cu’ a B. Ngo`
ai ra u kha’ vi liˆen tu.c 2 lˆ
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. (X, U, P )(s, r) la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe. (3.3)-(3.4).
Khi d¯´o
F (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) = 0, v´o.i mo.i s d¯u’ nho’ va` r ∈ O.
- ˘a.t u(x) = U ◦ X −1 (x), ta co
´ F (x, u(x), P (s, r)) = 0. Viˆe.c co`n la.i la` pha’i
D
ch´
u.ng minh ux (x) = (P ◦ X −1 )(x) = P (s, r) thuˆo.c l´o.p C 1 .
Theo gia’ thiˆe´t cu’a d¯.inh ly
´ va` ca
´ c nˆo.i dung trı`nh ba`y o’. trˆen ta thˆa´y X −1
`on ta.i d¯.ia phu.o.ng va` u = U ◦ X −1 thuˆo.c l´o.p C 1 . V´o.i mˆo˜i r0 cˆo´ d¯.inh, F =
tˆ
`eu kiˆe.n (3.4) va` (2.5), h˘`a ng sˆo´ na`y

const do.c theo da’i (X, U, P )(s, r0 ). Do d¯iˆ
b˘`a ng 0.
Theo ca
´ ch d¯˘a.t (3.5), ta co
´ U (s, r) = u ◦ X(s, r) nˆen
Ur = ux · Xr

va` Us = ux · Xs .

- ˘a.t
D
W (s, r) = Ur − P Xr

`eu
(n − 1)- chiˆ

V (s, r) = Us − P Xs

`eu
1- chiˆ

- ˆe’ ´y t`
`an ch´
u. (3.3) ta co
D
´ V (s, r) = 0. Ta cˆ
u.ng minh W (s, r) = 0. Ta co
´
Ws = Ws − Vr
= Urs − Ps Xr − P Xrs − Usr + Pr Xs + P Xsr

= Pr Xs − Ps Xr = Fp Pr + (Fx + P FU )Xr
V´o.i s d¯u’ nho’, ta co
´ F (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) = 0 nˆen Fr = 0 hay
Fx Xr + Fu Ur + Fp Pr = 0.
Suy ra
Ws = −Fu (Ur − P Xr ) = −Fu W.


19

Ta co
´ W (0, r) = ϕr − ρhr = 0 nˆen v´o.i mˆo˜i r ∈ O, W (s, r) la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a
phu.o.ng trı`nh vi phˆan
w (s) = −Fu w(s)
w(0) = 0
- ˆay la` ba`i toa
`eu kiˆe.n
D
´ n Cauchy cu’a phu.o.ng trı`nh vi phˆan tuyˆe´n tı´nh v´o.i d¯iˆ
d¯`aˆu b˘a` ng 0, nˆen co
´ nghiˆe.m duy nhˆa´t la` 0. Do d¯´o W (s, r) = 0. To
´ m la.i, ta co
´
Ur = P Xr ,

Us = P Xs

va` theo (3.5),
Ur = ux Xr ,

Us = ux Xs .

Suy ra ta co
´
(P − ux )Xr

=0

(P − ux )Xs

=0

- ˆay la` hˆe. n phu.o.ng trı`nh (d¯a.i sˆo´) tuyˆe´n tı´nh v´o.i n ˆa’n la` pi − uxi , ma
D
´ nghiˆe.m
trˆa.n cu’a hˆe. phu.o.ng trı`nh na`y la` (Xr , Xs ) khˆong suy biˆe´n nˆen hˆe. co
`am thu.`o.ng b˘a` ng 0. Vˆa.y P = ux .
duy nhˆa´t tˆ
- i.nh ly
`i toa
´ n (3.1)` mˆ
o.t nghiˆe.m thuˆ
o.c l´
o.p C 2 cu’ a ba
3.2 D
´ . Gia’ su’. u la
˜ ng thuˆ
` B la
` d¯a ta.p
(3.2) trong mˆ

o.t lˆ
an cˆ
a.n cu’ a B v´
o.i F, f, B cu
o.c l´
o.p C 2 va
.
.
.
.
.
a´y
ban d¯`ˆ
au tu. do v´
o i da’ i ban d¯`ˆ
au d¯u o. c xa
´ c d¯.inh bo’ i ρ(r) = ux (h(r)). Khi ˆ
`eu kiˆe.n (3.3)-(3.4), nghiˆem u na
v´
o.i d¯iˆ
`y co
´ biˆe’u diˆ˜e n theo cˆ
ong th´
u.c (3.5), ´t
ı
nhˆ
a´t la
` trong mˆ
o.t lˆ
an cˆ

a.n cu’ a B.
´ n (3.3)Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. (X1 , U1 , P1 ) la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a ba`i toa
−1
- ˘a.t u1 (x) = U1 ◦ X1 (x), ta ch´
u.ng minh r˘`a ng
(3.4) v´o.i ρ(r) = ux (h(r)). D
u1 (x) = u(x) trong mˆo.t lˆan cˆa.n na`o d¯´o cu’a B.
´ n (3.1)Theo gia’ thiˆe´t, u(x) la` mˆo.t nghiˆe.m thuˆo.c l´o.p C 2 cu’a ba`i toa
.
˜ y xe
(3.2), ta ha
´ t mˆo.t da’i d¯a˘. c tru ng (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) xa
´ c d¯.inh bo’.i hˆe.
phu.o.ng trı`nh sau
d
(3.6)
X(s, r) = Fp (X, U, P )
ds
X(0, r) = h(r),
(3.7)
trong d¯´o U (s, r) = u(X(s, r)), P (s, r) = ux (X(s, r)).


20

`on ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m trong mˆo.t lˆan cˆa.n
Ba`i toa
´ n Cauchy (3.6)-(3.7) tˆ
˜ ng la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a ba`i

˜ kiˆe’m tra r˘`a ng bˆo. ba (X, U, P ) cu
cu’a s = 0. Ta se
toa
´ n (3.3)-(3.4). Khi d¯´o nh`o. tı´nh duy nhˆa´t nghiˆe.m cu’a ba`i toa
´ n na`y, ta suy
ra
X = X1 , U = U1 , P = P1
nˆen
u(x) = u(X(s, r)) = U (s, r) = U1 (s, r) = u1 (x)
trong lˆan cˆa.n na`o d¯´o cu’a B.
Viˆe.c co`n la.i, b˘a` ng tı´nh toa
´ n t`
u. X(0, r) = h(r), Xs (s, r) = Fp (X, U, P )
cu`ng v´o.i (3.5), ta thˆa´y
Us (s, r) = ux (X(s, r)) Xs (s, r) = P Fp
Ps (s, r) = uxx (X(s, r)) Xs (s, r)
Do F (x, u(x), ux (x)) = 0 nˆen
Fx + Fu P + Fp uxx = 0
hay Xs uxx = −Fx − Fu P t´
u.c la` Ps (s, r) = −Fx − Fu P.
´ d¯u.o..c ch´
u.ng minh.
Nhu. vˆa.y d¯.inh ly
3.3 Hˆ
e. qua’. Nˆe´u F, f, B thuˆ
o.c l´
o.p C 2 , B tu.. do va
` gia’ su’. ta.i mˆ
o˜i d¯iˆe’m
´ c d¯.inh mˆ

o.t
cu’ a B, hˆe. (2.4)-(2.5) co
´ duy nhˆ
a´t nghiˆ.em thı` cˆ
ong th´
u.c (3.5) xa
2
`i toa
´ n (3.1)-(3.2).
nghiˆ.em duy nhˆ
a´t thuˆ
o.c l´
o.p C cu’ a ba
´ dung v`
§4. Ap
ao phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi.
.
Bˆay gi`o. ta x´et tru.`o.ng ho..p thu.`o.ng g˘a.p nhˆa´t l`a b`ai to´an Cauchy d¯ˆo´i v´o.i
phu.o.ng tr`ınh Hamilton - Jacobi sau d¯aˆy.
ut + H(t, x, ux ) = 0,

t > 0, x ∈ Rn ,

u(0, x) = f (x), x ∈ Rn .

(4.1)
(4.2)

Ta h˜ay thay n b˘`a ng n+1 trong l´
y luˆa.n tru.´o.c, d¯˘a.t t = xn+1 , B = Rn ×{0}.

K´
y hiˆe.u pn+1 = ut v`a p = (p1 , . . . , pn ), phu.o.ng tr`ınh (4.1) d¯u.o..c viˆe´t la.i
F = pn+1 + H(t, x, p)


21

´
Anh
xa. h : O = Rn → Rn+1 x´ac d¯.inh bo’.i
h(r1 , . . . , rn ) = (r1 , . . . , rn , 0)
ngh˜ıa l`a hi (r) = xi = ri , i = 1, . . . , n, hn+1 (r) = 0.
Ta thˆa´y ngay B l`a tu.. do (khˆong d¯˘a.c tru.ng) v`ı
 ∂h1
∂h1
∂F 
.
.
.
1 0...
∂r1
∂rn
∂p1

 .
.. 
..
..
..
..

 ..
.
.
.
.
.


det 
=
∂hn
∂hn
∂F 
...
 ∂r1
0 ...
∂rn
∂pn 
∂hn+1
∂hn+1
∂F
0 ...
...
∂r
∂r
∂p
1

n

n+1

0
..
.
1
0

∂F
∂p1

..
.
∂F
∂pn

=0

1

Hˆe. phu.o.ng tr`ınh (2.4)-(2.5) tro’. th`anh
∂ϕ
=
∂rj

n+1

ρi (r)
i=1

∂hi (r)
, j = 1, . . . , n
∂rj

ρn+1 (r) + H(h(r), ρ(r)) = 0,

(4.3)
(4.4)

trong d¯´o ρ(r) = (ρ1 (r), . . . , ρn (r)).
Hˆe. phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng (3.3) d¯u.o..c viˆe´t la.i:
 dt

=1
ds
 dX
= Hp (t, X, P )
ds
dP
= −Hx (t, X, P )
ds
dU
= Hp (t, X, P ) · P − H(t, X, P )
ds
`eu kiˆe.n d¯`aˆu
v´o.i c´ac d¯iˆ
X(0, r) = (r1 , . . . , rn ), t(0, r) = 0
P (0, r) = ρ(r)
U (0, r) = ϕ(r)

(4.5)

(4.6)
(4.7)


22

∂hn+1
∂hi
- ˆe’ y
D
´ r˘a` ng
(r) = 0 v`a
= δij nˆen t`
u. (4.3) ta c´o d¯u.o..c ρ1 , . . . , ρn
∂rj
∂rj
dt
`eu kiˆe.n t(0, r) = 0
v`a ρn+1 t´ınh d¯u.o..c t`
u. (4.4). T`
u. phu.o.ng trı`nh
= 1 va` d¯iˆ
ds
ta co
´ t = s. Do vˆa.y, d¯ˆe’ tiˆe´t kiˆe.m, trong tru.`o.ng ho..p na`y ngu.`o.i ta du`ng t thay
u. (4.5)-(4.7).
cho tham sˆo´ s trong ca
´ c phu.o.ng trı`nh t`

C´ac phu.o.ng tr`ınh (4.5), (4.6) d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t hˆe. Hamiltonian. Hˆe. n`ay
d¯oˆ. c lˆa.p v´o.i U . Gia’i hˆe. n`ay xong, thay v`ao (4.7) ta t`ım d¯u.o..c U b˘`a ng ph´ep
`au phu.o.ng (phe
´ p lˆa´y tı´ch phˆan). Nhu. vˆa.y b`ai to´an Cauchy d¯oˆ´i v´o.i phu.o.ng
cˆ
`on ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m d¯.ia phu.o.ng thuˆo.c
tr`ınh Hamilton-Jacobi luˆon luˆon tˆ
l´o.p C 2 .
`e viˆe.c u
y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng Cauchy d¯ˆe’
Sau d¯ˆay l`a ca
´ c v´ı du. vˆ
´.ng du.ng l´
t`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi.
V´ı du. 1. X´et b`ai to´an Cauchy sau d¯aˆy
ut + H(t, x, ux ) = 0,

t > 0, x ∈ R,

u(0, x) = f (x), x ∈ R.
Hˆe. (4.3)-(4.4) tro’. tha`nh
ϕ (r) = ρ(r) = ρ1 (r)
ρ2 (r) = −H(0, r, ϕ (r))
Xe
´ t tru.`o.ng ho..p H(t, x, p) = p2 va` f (x) = x2 , khi d¯´o phu.o.ng trı`nh (4.6)
`eu kiˆe.n d¯`aˆu ta co
´ P (s, r) = 2r. Phu.o.ng
tha`nh P (s, r) = 0 va` cu`ng v´o.i d¯iˆ
`eu kiˆe.n d¯`aˆu ta thu d¯u.o..c X(s, r) =
trı`nh (4.5) tha`nh X (s, r) = 2p, v´o.i d¯iˆ

r + 4rs, X2 = t = s. Tu.o.ng tu.., U (s, r) = r 2 + 4r 2 s.
Gia’i ra ta d¯u.o..c nghiˆe.m cu’a hˆe. phu.o.ng tr`ınh d¯a˘. c tru.ng nhu. sau:
x = X(t, r) = r + 4tr

(4.8)

U (t, r) = r 2 + 4tr 2.

(4.9)

`oi thay v`ao phu.o.ng tr`ınh (4.9), ta
T`
u. phu.o.ng tr`ınh (4.8) gia’i d¯u.o..c r rˆ
d¯u.o..c
x2
−1
, t > 0, x ∈ R.
u(t, x) = U (t, X (t, r)) =
1 + 4t


23

Nhu. vˆa.y b`ai to´an n`ay c´o nghiˆe.m to`an cu.c, kha’ vi mo.i cˆa´p trˆen (0, +∞) ×
R.
Vı
´ du. 2. Ta xe
´ t ba`i toa
´ n sau
ut + u2x = 0,

t > 0, x ∈ R,

x
u(0, x) = sin( ),

> 0, x ∈ R.

Tu.o.ng tu.. nhu. trˆen ta co
´
t=s
−1

x = r + 2s

cos(r/ )

U (r, s) = sin(r/ ) + s

−2

cos(r/ ).

Xe
´ t ca
´ c d¯u.`o.ng d¯a˘. c tru.ng b˘a´t d¯`ˆau t`
u. r = 0 va` r = π /2. Ta co
´
X(0, s) =

2s

va` X(π /2, s) = π /2.

Hai d¯u.`o.ng d¯a˘. c tru.ng na`y c˘a´t nhau ta.i d¯iˆe’m I(π 2 /4, π /2). Nhu. vˆa.y ta.i d¯iˆe’m
I, gia
´ tri. u(t, x) theo cˆong th´
u.c (3.5) pha’i d¯u.o..c cho bo’.i U (π 2 /4, 0) = π/4
`eu na`y khˆong thˆe’ d¯u.o..c. Do d¯´o ba`i toa
va` U (π 2 /4, π /2) = 1, d¯iˆ
´ n khˆong
´ c d¯.inh trong lˆan cˆa.n na`o d¯´o cu’a d¯iˆe’m
thˆe’ co
´ nghiˆe.m u thuˆo.c l´o.p C 2 xa
2
.
.
I(t, x) = (π /4, π /2) d¯u o. c.
˜ ng x´et b`ai to´an sau:
V´ı du. 3. Cu
ut − 1 + (ux )2

1/2

= 0,

t > 0, x ∈ R,

x2
u(0, x) =

, x ∈ R.
2
- iˆ
`eu
B˘a` ng t´ınh to´an ta thˆa´y khi t > 1 c´ac d¯u.`o.ng d¯a˘. c tru.ng c˘a´t nhau. D
n`ay c´o ngh˜ıa l`a ´anh xa.
y → X(t, y) = x
khˆong l`a d¯o.n ´anh nˆen khˆong thˆe’ gia’i d¯o.n tri. y = X −1 (t, x). Do vˆa.y nghiˆe.m
`on ta.i khi t > 1.
tro.n (thuˆo.c l´o.p C 2 ) cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong tˆ
Ca
´ c v´ı du. 2 va` 3 cho ta thˆa´y r˘a` ng nghiˆe.m tro.n to`an cu.c n´oi chung khˆong
˜ ng nhu. f (x) d¯a˜ cho la`
`on ta.i, m˘a.c d`
thˆe’ tˆ
u d˜
u. kiˆe.n Hamiltonian H(t, x, p) cu
`eu kiˆe.n rˆa´t tˆo´t.
ca
´ c ha`m kha’ vi vˆo ha.n nghı˜a la` d¯iˆ


24

Vˆa´n d¯`ˆe g˘a.p pha’i trong ca
´ c Vı´ du. 2 va` 3 o’. trˆen khˆong pha’i la` tru.`o.ng
´ biˆe.t ma` d¯´o la` ba’n chˆa´t cu’a ba`i toa
´ n phi tuyˆe´n. Nghiˆe.m xa
´ c d¯.inh
ho..p ca

.
.
.
.
.
.
´ p d¯a˘. c tru ng Cauchy d¯u o. c d¯a’m ba’o khi va` chı’ khi ´a nh xa.
bo’ i phu o ng pha
`eu kiˆe.n cˆ
`an la` ca
´ c d¯u.`o.ng d¯˘a.c
(s, r) → X(s, r) = x kha’ nghi.ch, nhu. vˆa.y mˆo.t d¯iˆ
`e sau, tı´nh chˆa´t phi tuyˆe´n cu’a
´ ng ta thˆa´y vˆ
tru.ng khˆong c˘a´t nhau. Nhu. chu
´ c d¯u.`o.ng d¯a˘. c tru.ng
Hamiltonian H(t, x, p) thu.`o.ng dˆa˜n d¯ˆe´n su.. c˘a´t nhau cu’a ca
´ c d˜
u. kiˆe.n cho kha
´ d¯˘a.c biˆe.t. Do vˆa.y, no
´i
na`y, ngoa.i tr`
u. va`i tru.`o.ng ho..p v´o.i ca
`on ta.i trong mˆo.t lˆan cˆa.n kha
chung nghiˆe.m C 2 cu’a ba`i toa
´ n (3.1)-(3.2) chı’ tˆ
´
he. p cu’a d¯a ta.p ban d¯`aˆu.

25
. .
CHU O NG II

Nghiˆ
e.m Lipschitz cu’a phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi

§1. Kiˆ
e´n th´
u.c chuˆ
a’n bi..
Mu.c na`y c´o mu.c d¯´ıch tr`ınh b`ay v˘a´n t˘a´t mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m v`a kˆe´t qua’ cu’a
`oi, d¯u.o..c d`
ung kha
´ thu.`o.ng xuyˆen trong
l´
y thuyˆe´t c´ac ´anh xa. d¯a tri. v`a h`am lˆ
u.ng minh cu’a c´ac d¯.inh l´
´ thˆe’ xem ch´
y d¯´o trong c´ac s´ach
ca
´ c chu.o.ng sau. Co
cu’a J. Aubin & Frankowska [1], Berge [4], T. R. Rockafellar [11].
1.1 Ha
`m thu..c nu’.a liˆ
en tu.c.
- i.nh nghı˜a. Gia’ su’. X la` mˆo.t khˆong gian tˆopˆo, f : X → R =
1.1.1 D
R ∪ {−∞, +∞} la` mˆo.t ha`m thu..c mo’. rˆo.ng. Ta no
´ i r˘`a ng f la` nu’.a liˆen tu.c du.´

o.i
(t.u.., nu’.a liˆen tu.c trˆen) ta.i d¯iˆe’m x0 ∈ X nˆe´u v´o.i mo.i α ∈ R tho’a α < f (x0 )
`on ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n V cu’a x0 sao cho v´o.i mo.i x ∈ V ta
(t.u.., α > f (x0 )) thı` tˆ
´ i r˘a` ng f la` nu’.a liˆen tu.c du.´o.i (t.u.., trˆen)
co
´ α < f (x) (t.u.., α > f (x)). Ta no
trong X nˆe´u no
´ nu’.a liˆen tu.c du.´o.i (t.u.., trˆen) ta.i mo.i d¯iˆe’m x ∈ X.
1.1.2 Nhˆ
a.n xe
´ t.
1) Nˆe´u f la` nu’.a liˆen tu.c du.´o.i ta.i x0 ∈ X thı` ha`m (−f ) nu’.a liˆen tu.c trˆen
`an kha’o sa
´ t cho tru.`o.ng ho..p nu’.a liˆen tu.c du.´o.i,
ta.i x0 ∈ X. Do vˆa.y, ta chı’ cˆ
co`n nu’.a liˆen tu.c trˆen suy luˆa.n tu.o.ng tu...
´ c d¯´o f nu’.a liˆen tu.c du.´o.i
2) Gia’ su’. f : X → R va` f (x0 ) ∈ R, x0 ∈ X. Lu
`on ta.i lˆan cˆa.n V cu’a x0 sao
(t.u.., trˆen) ta.i x0 khi va` chı’ khi v´o.i mo.i > 0 tˆ
cho v´o.i mo.i x ∈ V, ta co
´ f (x0 ) − < f (x) (t.u.., f (x0 ) + > f (x)).
`eu
3) T`
u. Nhˆa.n xe
´ t 2, ta thˆa´y r˘a` ng nˆe´u f chı’ nhˆa.n gia
´ tri. h˜
u.u ha.n thı` d¯iˆ
`an va` d¯u’ d¯ˆe’ f liˆen tu.c ta.i x0 la` f v`

u.a nu’.a liˆen tu.c trˆen va` nu’.a liˆen tu.c
kiˆe.n cˆ
du.´o.i ta.i x0 .
´ mˆe.nh d¯`ˆe tu.o.ng d¯u.o.ng sau.
Suy t`
u. d¯.inh nghı˜a, ta co