giới hạn hàm số (tiết 54- Đsgt11)

Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (PPCT: Tiết 54Đ)
A.Kiến thức cần nắm:
+ Giới hạn một bên.
+ Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
+ Biết vận dụng định nghĩa và định lý vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
B.Nội dung bài học:
NỘI DUNG( HS cần ghi chép)
Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiếp theo)

HƯỚNG DẪN

Tiết 54:
3. Giới hạn một bên:
Định nghĩa 2:
a) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( x0 ; b ) .

Nếu dãy số ( xn ) bất kì , x0 < xn < b và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L thì +Học sinh đọc định nghĩa 2
ở SGK.
số L gọi là giới hạn bên phải của y = f ( x) khi x → x0 .
+ HS so sánh được giới hạn
f ( x) = L.
Kí hiệu: xlim
→ x0+
bên phải và bên trái của hàm
số.
b) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; x ) .
0

Nếu dãy số ( xn ) bất kì , a < xn < x0 và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L thì
số L gọi là giới hạn bên trái của y = f ( x) khi x → x0 .
Kí hiệu: lim− f ( x ) = L.

x → x0

Định lí 2:

lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L.

x → x0

x → x0

x → x0

3x + 4 khi x ≥ 2
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) =  2
 x − 5 khi x < 2

(1)
( 2)

f (x) , lim+ f (x) , lim f ( x) ( nếu có ).
Tìm xlim
x→ 2
→ 2−
x→ 2
Giải:

lim f (x) = lim+ ( 3x + 4) = 3.2 + 4 = 10

x→2+

x→2

lim− f (x) = lim− ( x2 − 5) = 4 − 5 = − 1

x→2

x→2

f ( x) khơng tồn tại vì lim f −( x) ≠ lim+ f (x)
Vậy lim
x→ 2
x→2
x →2

+ HS phải biết:Hàm số đã
cho xác đinh trên các
khoảng ( −∞;2 ) ;

( 2; +∞ ) .

+ Câu hỏi: Trong biểu thức
(1) xác định hàm số
y = f (x) ở ví dụ trên cần
thay số 4 bằng số nào để
hàm số có giới hạn là -1 khi
x→2?


II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

HĐ 3: Khi biến x dần tới
dương vô cực (âm vơ cực)
bất kì , a < xn và xn → +∞ , ta có f ( xn ) → L thì số L thì f (x) dần tới 0.

Định lí 3:
a) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; +∞ ) .
Nếu dãy số ( xn )

gọi là giới hạn của y = f ( x) khi x → +∞.

f ( x) = L.
Kí hiệu: xlim
→+∞

b) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( −∞;a ) .
Nếu dãy số ( xn ) bất kì , xn < a và xn → −∞ , ta có f ( xn ) → L thì số L
gọi là giới hạn của y = f ( x) khi x → −∞.
Kí hiệu: lim f ( x) = L.
x →−∞

Ví dụ 4:Cho hàm số f ( x) =

3x + 2
f ( x) và lim f ( x) .
. Tìm xlim
→ −∞
x → +∞
x −1

Cách 1(theo định nghĩa 3):

Hàm số đã cho xác định trên (- ∞ ; 1) và trên (1; + ∞ ).
+ Giả sử ( x n ) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn x n < 1 và x n → − ∞ .

2
3x + 2
xn
= lim
= 3.
Ta có lim f ( xn ) = lim n
1
xn − 1
1−
xn
3+

f ( x ) = lim
Vậy xlim
→ −∞
x →−∞

+Học sinh đọc định nghĩa 3
ở SGK.
+Giới hạn hữu hạn của hàm
số có nghĩa là kết quả tính
giới hạn của hàm số đó là
một số xác định cụ thể.
+ HS so sánh được giới hạn
hữu hạn của hàm số khi x
dần tới dương vô cực hoặc
âm vô cực.

3x + 2
=3
x −1

+ Giả sử ( x n ) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn x n > 1 và x n → + ∞ .

f ( x ) = lim
Tương tự ta có: lim f ( xn ) = 3. Vậy xlim
→ +∞
x → +∞

3x + 2
=3
x −1

Chú ý: a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta ln có :
lim c = c

x→ ± ∞

;

lim

x →± ∞

c
= 0.
xk

b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x 0 vẫn còn đúng
khi x → +∞ hoặc x → −∞
c) Ví dụ 4 trên có thể giải theo cách 2:

2
3+
3x + 2
x = 3 + 0 = 3.
lim f ( x ) = lim
= lim
x →−∞
x →−∞ x − 1
x →−∞
1 1− 0
1−
x

+ Ngồi cách tính giới hạn
hữu hạn của hàm số
f ( x) =

3x + 2
tại vô
x −1

cực theo định nghĩa 3, ta
cũng có thể thực hiện theo
phương pháp giải bên.

lim f ( x) = 3

x →+∞

Phương pháp tính giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực: f(x) là
phân thức hữu tỉ (dạng:

∞
) ta chia tử và mẫu cho lũy thừa có bậc cao
∞

c
= 0 (k: nguyên dương, c: hằng số)
x→±∞
xk

nhất ở mẫu, rồi áp dụng: lim

5x − 3
5
4x 2 − 3 + 2x
b) lim 3
c) lim
x →−∞ 1 − 2x
x →−∞ x + 2x − 1
x →+∞
3− x

Ví dụ 5:Tìm: a) lim

Giải:

3
5−
5x − 3
x = −5 .
= lim
a) xlim
→−∞ 1 − 2x
x →−∞ 1
−2 2
x
5
5
0
x3
=
lim
= = 0.
b) xlim
3
→−∞ x + 2x − 1
x →−∞
2 1
1+ 2 − 3 1
x
x
4x − 3 + 2x
= lim
x →+∞

3− x
2

c) lim

x →+∞

3
+2
2+2
x2
=
= −4.
3
−1
−1
x

4−

C.Củng cố
BÀI TẬP VỀ NHÀ: 3d,3e,6d trang 132, 133 SGK