GIỚI HẠN HÀM SỐ

Bài tập: giới hạn – hàm số liên tục (NDT_QT)
Bài 1: Tính các giới hạn sau

2 2 2
4
1 3
3
3 2 2
2 2
3
2 1 8
3 2
2
2
2
3 2 4 3 3 4
1)lim 2)lim 3)lim
1 3 3 4
7 16 12 3 2 4 2 9 2 5
4)lim 5)lim 6)lim
( 2) (2 5 ) 3 2
2
2 2 4
7) lim 8) lim ( 2 3 ) 9) lim
2
1
x x
x
x x x
x x
x

x x x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x
x
x x x
x x x
x
x
+
→ →
→
→ → →
→±∞ →+∞
→
− + − + − −
− − −
− + − − − − − + −
− − − +
−
+ + − +
− − −
−
+
3 2 2
3 3
2 2
2
2 2
0

32 3
3
2 2
5 0 1
3 2 4 3 2 4 4 2
10) lim 11) lim 12) lim
3 5 1
1 1 1
13) lim ( 1 ) 14) lim 15)lim
4 4 1
2 4 4 1 1 3 7
16)lim 17)lim 18)lim
5 3 2
19)lim
x x x
x x x
x x x
x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x x x x x x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
→−∞ →−∞ →
→ → →
− + − − − + −
− + −

+ − + −
+ +
+ − + −
+ − − + + + − + − +
− − +
3 3 3
3 2 2 3 2
0 0 0
6 9 3 1 2 1 12 8 1 4 6 1
20)lim 21)lim
2
x x
x x x x x x
x x x x x
→ → →
+ − + + − + + − +
+ +
Bài 2: Giới hạn hàm số lượng giác
2 2 3
2
0 0 0 0
3
0 0 0
4 4
sin 5 sin 5 sin 5 1 os
1)lim 2)lim 3)lim 4)lim
2 .sin 3 .sinx
1 sin 4 os4x os3 osx t anx - sinx
5)lim 6) lim 7)lim
1 sin 2 os2x sin

sin osx 1 sin 2
8) lim 9) lim 10)li
2 2
2 2
x x x x
x x x
x x
x x x c x
x x x x x
x c c x c
x c x x x
x c x
x x
π π
π π
→ → → →
→ → →
→ →
−
+ − −
+ −
− −
− −
2
1
3
2 2 2
0 0 0
sin( 1)
m

4 3
1 osx.cos2x osx 1 osx osx
11)lim 12)lim 13)lim
x
x x x
x
x x
c c c c
x x x
→
→ → →
−
− +
− − −
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số
2
2
5 2
3 2
3
1
3
1) ( ) en R 2) ( ) 3
1
3
2 1
3
2
x
x x

khi x
khi x
x
f x tr f x tai x
x
khi x
khi x

− −

− +
≠

<
 
−
= = =
−
 
 
− ≥
− =



NGUYỄN DUY THẨM – TRƯỜNG THPT QUỲNH THỌ
2
2
1 cos
1 1

0
( )
sin
3) ( ) 0 4) ( )
1
1
0
2
2
2 5 3
3
2
0
2
5) ( ) 2 6) ( ) 0
1 0
2
6
x
x
khi x
khi x
x
x
f x tai x f x tai x
khi x
khi x
x
x x
khi x

khi x
x
f x tai x f x tai x
x
x
khi x
khi x
π
π
π
π
+


− −
≠
≠


−
 
= = = =
 
 
=
=
 




+ −

+
>

≠
 
−
= = = =
 
 
=
− ≥



Bài 4: Tìm các giá trị của tham số để:
2
3 2
1
1) ( )
1
1
x x
khi x
f x
x
m khi x

− +

≠

=
−


=


3
2
1
0
1
2) ( )
1 2
0
3 3
x
khi x
x
f x
m m khi x

−
≠


−
=



− + =


liên tục tại x = 1 liên tục tại x = 0
2
1 osx
( )
3) ( )
c
khi x
x
f x
m khi x
π
π
π
+

≠

−
=


=

4) f(x) =






≥+
<
−
+−
12
1;
1
34
2
xax
x
x
xx
liên tục trên R 5)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
x - x- 6
x 3 0
3
x 0
x=3

x
x x
f x a
b

− ≠

−


= =






( )
( )
( )
3
3 2 2
x>2
2
6)
1
x 2
4
x
x

f x
ax

+ −


−
=


+ ≤


liên tục trên R
liên tục tại x
0
= 0 và tại x
0
= 3.
B ài 5: Chứng minh rằng phương trình:
a) 3x
2
+ 2x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm
b) 4x
4
+ 2x
2
- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
c) x
3

- 3x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
d) x
4
– x – 3 = 0 có một nghiệm thuộc (1;2).
e) 2x
3
- 6x + 1 = 0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
f)
3
2 6 1 3x x+ − = có ba nghiệm thuộc (-7;9).
g)
5 3
5 4 1 0x x x− + − =
có 5 nghiệm thuộc (-2;2)
h) sinx – x + 1 = 0 c ó nghiệm.
NGUYỄN DUY THẨM – TRƯỜNG THPT QUỲNH THỌ
i)
4 2
4 0x x− − =
có nghiêm
3
0
4x >
k)
5 2
3 4 9 0x x− − =
có nghiêm
4
0
4x >

l)
2 1 n n-1
sin 2 osx.sin os 0
n
x c x c x
+
− + =
có nghiệm
NGUYỄN DUY THẨM – TRƯỜNG THPT QUỲNH THỌ