Chuyên đề tọa độ trong không gian Oxyz

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đơi một và chung một
điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian.
2

2

2

i  j  k  1 và i. j  i.k  k. j  0 .

Chú ý:
2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk
b) Tính chất: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k 
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3
 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
 a cùng phương b (b  0)

 a  kb (k  )

a1  kb1

 a2  kb2
a  kb
3
 3



a1 a2 a3
  , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3

 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3

 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0

 a 2  a12  a22  a32

 a  a12  a22  a22

 cos(a, b ) 

a.b
a .b



a1b1  a2b2  a3b3
a  a22  a32 . b12  b22  b32
2
1

(với a, b  0 )

3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM  x.i  y. j  z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:  M   Oxy   z  0; M   Oyz   x  0; M   Oxz   y  0

 M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0 .
b) Tính chất: Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
 AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2

 x  x y  yB z A  z B 
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A

 2
2
2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

 x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC 
G A B C ; A
;

3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

 x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zC 
G A B C
;
;


4
4
4

4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
của hai vectơ a và b, kí hiệu là  a, b  , được xác định bởi
a
 a , b    2
 b2

a3

b3

;

a3

a1

b3

b1

;

a1 a2 
   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
b1 b2 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
 [a, b]  a;

[a, b]  b

  a, b    b, a 
 i , j   k ;

 j , k   i ;

k , i   j

 [a, b]  a . b .sin  a, b  (Chương trình nâng cao)
 a, b cùng phương  [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0
  AB, AD 

 Diện tích hình bình hành ABCD :

S

 Diện tích tam giác ABC :

SABC 

 Thể tích khối hộp ABCDABCD :

VABCD. A' B 'C ' D '  [ AB, AD]. AA

 Thể tích tứ diện ABCD :

VABCD 

ABCD

1
 AB, AC 
2

1

[ AB, AC ]. AD
6

Chú ý:

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng
góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương.

a  b  a.b  0
a vàb cù
ng phương   a, b   0
a, b, c đồ
ng phẳ
ng   a, b  .c  0

5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal
570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A  xA ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  , C  xC ; yC ; zC  , D  xD ; yD ; z D 
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C q53q54= (tính  AB, AC  )

C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
(tính VABCD 

1
[ AB, AC ]. AD
6

6. Bài tập
Câu 1.

Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
A.

a.b

a.b
.

B.

a.b
Câu 2.

 a.b

.

a.b

a.b

D.

ab

.

a.b

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D.  .
5

Cho vectơ a  1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b   2; 6; 8 .

Câu 4.

C.

Gọi  là góc giữa hai vectơ a  1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
A. 0.

Câu 3.

.

B. b   2; 6;8 .

C. b   2;6;8 .

D. b   2; 6; 8 .

Tích vơ hướng của hai vectơ a   2; 2;5 , b   0;1; 2  trong không gian bằng

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A. 10.
Câu 5.

B.

6.

Câu 9.

C. 10.

8.

D. 12.

B. xi  y j  zk.

C. x j  yi  zk.

D. xi  y j  zk.

Tích có hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

B.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

D.

 a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1; a1b1  a2b2  .

C.

Câu 8.

D. 14.

Trong không gian Oxyz , gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
A.  xi  y j  zk.

Câu 7.

C. 12.

Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

B. 13.

Cho các vectơ u   u1; u2 ; u3  và v   v1; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A. u1v1  u2v2  u3v3  1.

B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

C. u1v1  u2v2  u3v3  0 .

D. u1v2  u2v3  u3v1  1.

Cho vectơ a  1; 1; 2  , độ dài vectơ a là
A.

6.

C.  6 .

B. 2.

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M khơng trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a;0;0  , a  0 .

B. M  0; b;0  , b  0 .

C. M  0;0; c  , c  0 .

D. M  a;1;1 , a  0 .

Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c  0 )
A.  0; b; a  .

C.  0;0; c  .

B.  a; b;0  .

D.  a;1;1

Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A.  0;3; 4  .

B.  4;0;3 .

C.  2;0;1 .

D.  8;0; 6  .

Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u, v  bằng

 

A. u . v .sin u, v .

 

B. u . v .cos u, v .

 

C. u.v.cos u, v .

 

D. u.v.sin u, v .

Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a  1; 1;2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ

m  a  b  c có tọa độ là
A.  6;0; 6  .

B.  6;6;0  .

C.  6; 6;0  .

D.  0;6; 6  .

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B  2;4; 1 , C  2; 2;0 . Độ dài các cạnh
AB, AC, BC của tam giác ABC lần lượt là

A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B  2;4; 1 , C  2; 2;0 . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là

5 2 4
A.  ; ;   .
3 3 3

5 2 4
B.  ; ;  .
3 3 3

C.  5; 2; 4  .

5

D.  ;1; 2  .
2


Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2;0 , B  1;1;3 , C  0; 2;5 . Để 4 điểm A, B, C, D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D  2;5;0  .

B. D 1; 2;3 .

C. D 1; 1;6  .

D. D  0;0; 2  .

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2; 3),b  (2; 0;1), c  (1; 0;1) . Tìm tọa độ của
vectơ n  a  b  2c  3i
A. n   6; 2;6  .

B. n   6;2; 6  .

C. n   0; 2;6  .

D. n   6;2;6  .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;2), B(2;1;3), C (3;2;4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2

A. G  ;1;3  .
3


B. G  2;3;9  .

C. G  6;0; 24  .

 1 
D. G  2; ;3  .
 3 

Câu 20. Cho 3 điểm M  2;0;0 , N  0; 3;0 , P  0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q  2; 3; 4 

B. Q  2;3; 4 

C. Q  3; 4; 2 

D. Q 2; 3; 4 

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M 1;1;1 , N  2;3; 4 , P  7;7;5 . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q  6;5; 2  .

B. Q  6;5; 2  .

C. Q  6; 5; 2  .

D. Q  6; 5; 2  .

Câu 22. Cho 3 điểm A 1;2;0 , B 1;0; 1 ,C  0; 1;2 . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.

B. tam giác cân đỉnh A .

C. tam giác vuông đỉnh A .

D. tam giác đều.

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1;2;2 , B  0;1;3 , C  3;4;0 . Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .

B. D  4;5; 1 .

C. D  4; 5; 1 .

D. D  4; 5;1 .

Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b bằng

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A.

8 3  20.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

Câu 25. Cho điểm M 1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  bằng
B. 3 .

A. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M  2;5;0 , hình chiếu vng góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M   2;5;0  .

B. M   0; 5;0  .

C. M   0;5;0  .

D. M   2;0;0  .

Câu 27. Cho điểm M 1; 2; 3 , hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng  Oxy  là điểm
A. M  1; 2;0  .

B. M  1;0; 3 .

C. M   0; 2; 3 .

D. M  1; 2;3 .

Câu 28. Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.

D.

26 .

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S. ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
A. IA  IB  IC.

B. IA  IB  CI  0.


C. IA  BI  IC  0.


D. IA  IB  IC  0.



Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1;0  ; b  1;1;0  ; c  1;1;1 . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai:
A. b  c.

B. a  2.

C. c  3.

D. a  b.

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 7