Phương pháp tính thể tích hình lăng trụ Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

PHƢƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ TỐN 12
I. LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1. Thể tích khối lăng trụ:

V= B.h
với B là diện tích đáy, h là chiều cao
2) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c
với a, b, c là ba kích thước
3) Thể tích khối lập phƣơng:

V = a3
với a là độ dài cạnh
Ví dụ: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt
đáy góc 600 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3 3
A. V 
.
2

3a 3 3
B. V 
.
4

a3 3
C. V 
.

8

A

3a 3 3
D. V 
.
8

C

B

Hƣớng dẫn giải:
Vì ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên AA '   ABC  .
C'

A'
M
B'

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Gọi M là trung điểm B ' C ' , do tam giác A ' B ' C ' đều
Nên suy ra A ' M  B ' C ' .
Khi đó 600   AB ' C ' ,  A ' B ' C '  AM , A ' M  AMA ' .
Tam giác AA ' M , có

A' M 

a 3
3a
; AA '  A ' M .tan AMA ' 
.
2
2

Diện tích tam giác đều SA ' B ' C '
Vậy V  SABC . AA ' 

a2 3
.

4

3a3 3
(đvtt).
8

Chọn đáp án D.
II. BÀI TẬP
Câu 1: Thể tích (cm3) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng
A.

6
2

3

2

B.

C.

2

D.

2 cm là:

2
2

Hƣớng dẫn giải:
Dễ dàng tính được V =

6
2

Chọn đáp án A
Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là:
A.

a3 2
3

B.

a3 3
6

C.

a3 3
2

D.

a3 3
4

Hƣớng dẫn giải:
V  S ABC .AA' 

a2 3
a3 3
nên chọn C.
.2a 
4
2

Chọn đáp án C.
Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B. AB = 2a, BC = a,

AA  2a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. ABC .
A.

2a 3 3

3

B.

a3 3
3

C. 4a3 3

D. 2a3 3

Hƣớng dẫn giải:

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

1
V  SABC . AA '  2a.a.2a 3  2a3 3
2

Chọn đáp án D.

Câu 4: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' . V1 là thể tích của tứ diện A ' ABD . Hệ
thức nào sau đây là đúng ?
A. V  6V1

B. V  4V1

C. V  3V1

D. V  2V1

Hƣớng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau:
1
Ta có V  S ABCD . AA '; V1  .S ABD . AA '
3

Mà S ABD 

1
V 2.S ABD . AA '
S ABCD  
6
2
V1 1 S . AA '
ABD
3

 V  6V1
Chú ý nhiều độc giả tư duy nhanh nên chỉ xét tỉ số giữa diện
1
tích đáy mà quên mất rằng với khối chóp thì cịn tích với nữa, và nhanh chóng chọn ý D là sai. Vì
3
thế, nhanh nhưng cần phải chính xác bạn nhé.
Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho h nh lập phương ABCD.A B C D có diện tích mặt ch o ACC A bằng 2 2a 2 . Thể tích của

khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:
A. 2 2a3

B. 2a 3

C.

2a3

D. a 3

Hƣớng dẫn giải:
Để tính được thể tích của hình lập phương th ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu diện
tích mặt ch o A ACC ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương
Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra

A ' C '  x 2 . Diện tích mặt ch o A ACC là x.x 2  2 2a 2  x  a 2 . Thể tích hình lập phương là
V  x3  2 2a3
Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng
(A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45o.Thể tích lăng tru là:

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

a3 2
A.

2

a3 3
B.
3

C. a3 3

D. a3 2

Hƣớng dẫn giải:

- ABC  450
- AC  AB 2  2a  AB 2  AB  BC  AA '  a 2
-V

1
AB.BC. AA '  a 3 2
2

Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của
AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:
A. V 

a3 3
12

B. V 

a3 3
24

C. V 

a3 3
6

D. V 

a3 3
8

Hƣớng dẫn giải:

ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích S ABC
Ta có AM 

a2 3

4

AA1 a

2
2

Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy
MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra
VM .BCA1  VM . ABC 

1
a3 3
AM .S ABC 
3
24

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C , cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB,
BC; góc giữa hai mặt phẳng (C AI) và (ABC) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp NAC I?

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

A. 32 3a

3

a3
B.
32

3a 3
C.
32

D.

3a 3
4

Hƣớng dẫn giải:
Ta có

C ' AI  ,  ABC   CIC  60

o

Mặt khác tan CIC ' 

Ta có S ANI

CC '
a 3
 CC '  CI .tan CIC ' 
CI
2

1
1 a2 3 a2 3
 S ABC  .

4
4 4
16

1

1 a 3 a3 3 a3
 VC '. NAI  CC '.S NAI  .
.

3
3 2
2
32

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy là tam giác ABC vng cân tại B, BA  BC  a, A B tạo
với (ABC) một góc 600. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A B C là:
A.

3a 3
2

B.

3a 3
6

C.

3a3

D.

a3

4

Hƣớng dẫn giải:

0
Góc giữa A”B và đáy là góc ABA '  60 , AA '  a 3

S ABC

a3 3
a2
V

S
.
AA
'

 . Vậy thể tích của lăng trụ là :
.
ABC
2
2

Chọn đáp án A.

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Câu 10: Cho h nh lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và  ABC  hợp
với mặt đáy ABC một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. ABC là
A.

a3 3
12

B.

a3 3
24

C.

3a 3
24

D.

a3 5
24

Hƣớng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có SA   ABC   AM là hình
chiếu vng góc của AM trên  ABC  , nên  ABC  ,  ABC  bằng góc
AMA  300

Xét AMA vng tại A . Ta có
AA  AM .tan AMA 

a 3
a
.tan 300 
2
2

1 a 3
a2 3
S .
.a 
2 2
4

1
1 a 2 3 a a3 3
Vậy VA. ABC  .SABC . AA  .
. 
3
3 4 2
24

Chọn đáp án B.
7a
.
2
Hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể
tích khối hộp ABCD.A B C D .

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là h nh thoi cạnh a, BCD  1200 và AA ' 

A. V  12a3

C. V  9a3

B. V  3a3

D. V  6a3

Hƣớng dẫn giải:
Gọi O  AC  BD
Từ giả thuyết suy ra A ' O   ABCD 
S ABCD  BC.CD.sin1200 

a2 3
2

Vì BCD  1200 nên ABC  600  ABC đều

 AC  a  A ' O  A ' A2  AO 2 

49a 2 a 2

 2 3a
4
4

Suy ra VABCD. A ' B ' C ' D '  3a3
Chọn đáp án B.

Câu 12: Cho h nh lăng trụ ABCD. A B C D có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a , tam giác A’AC là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD. A B C D .

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

a3 6
A. V 
3

a3 6
B. V 
4

a3 6
C. V 
6

a3 6
D. V 
2

Hƣớng dẫn giải:
+ Gọi H là trung điểm của AC . Do AAC là tam giác đều
nên AH  AC .
+ Mặt khác,  AAC    ABCD  theo giao tuyến AC nên

AH   ABCD  hay AH là đường cao của lăng trụ.

+ Ta có AC  a 2  AH 

a 6
.
2

a3 6
.
2

+ Vậy V  AH .S ABCD 
Chọn đáp án D.

Câu 13: Cho h nh lăng trụ ABC. A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A cách đều các điểm
A, B, C. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
a2 3
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A B C
8

A.

a3 3
4

B.

a3 3
16

C.

a3 3
12

D.

a3 3
8

Hƣớng dẫn giải:
Do A A = A B = A C nên hình chiếu vng góc của A
lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC.
Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên AA , Khi đó (P)
(BCH). Gọi M là trung điểm của BC thì MH  AA và
góc A ' AM nhọn, H nằm giữa AA . Thiết diện của lăng
trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH.

ABC đều cạnh a nên AM 

a 3
2
a 3
, AO  AM 
2
3
3

’

B’

H
A

C
O

M

B

Theo bài ra
S BCH

C’

A’

a2 3
1
a2 3
a 3

 HM .BC 
 HM 
8
2
8
4

AH  AM 2  HM 2 

3a 2 3a 2 3a


4
16
4

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên
A'O 

A ' O HM
. suy ra

AO
AH

AO.HM a 3 a 3 4 a


AH
3
4 3a 3

Thể tích khối lăng trụ: V  A ' O.S ABC 

1
1aa 3
a3 3
A ' O.AM .BC 
a
2
23 2
12

Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là h nh chữ nhật. AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu
vng góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
(ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Thể tích lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 theo a là:
a3 3
A.
2

a3 3
B.
3

3a 3
C.
2

a3
D.
6

Hƣớng dẫn giải:
Ta có V  Bh
+ Diện tích đáy B =

3 a2

+ Ta có h = A1O ( O là giao điểm AC và BD)
+ Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) là góc OIA1 bằng 600 trong đó I là trung điểm AD

3a 3
a
a 3
+ Ta có AOI
. Vậy V =
, AOI
 90 , OI  , AO

1
1
1
2
2
2
0

Chọn đáp án C.

Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 300 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng  A1B1C1  thuộc đường thẳng B1C1 . Thể tích khối

lăng trụ ABC. A1B1C1 bằng:
a3 3
A.
8

a3 3
B.
4

a3 3
C.
2

a3 3
D.
16

Hƣớng dẫn giải:
Do AH   A1B1C1  nên góc AA1H là góc giữa AA1 và

 A1B1C1  , theo giả thiết thì góc

AA1H bằng 300 .

Xét tam giác vng AHA1 có AA1 =a, góc
AA1H  300  AH 

a
2

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

VABCA1 B1C1  AH .S A1 B1C

a a 2 3 a3 3
 .

2 4
8

Chọn đáp án A.

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương tr nh Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 10