BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên Trần Bảo Huy Trường THPT Phan Bội Châu

Giáo viên: Trần Bảo Huy
Trường THPT Phan Bội Châu



R R    0  R 

0

R









R

R

R
R  : Tập các số thực âm

 0

0

R

: Tập các số thực dương
: Tập chỉ gồm 1 phần tử là số không




A  B   0  A B

(đẳng thức)



A  B  R  A  B  0  A  B


A  B  R  A  B  0  A  B
Bất đẳng thức mở rộng:

A  B
A B  
 A B

(BĐT)


Định nghĩa
Giả

sử a, b là 2 số thực

Các mệnh đề: " a  b, a  b, a b, a b" được
gọi là bất đẳng thức.

Tính chất

a b
1.
 a c
b  c
2.a  b  a  c  b  c

3. Nếu c  0 : a  b  ac  bc
Nếu c  0 : a  b  ac  bc


a b
*
 a c bd
c  d
*a c  b  a  b  c
 a  b 0
*
 ac  bd
 c  d 0
n
n
* a  b 0, n  N *  a  b
* a  b 0  a  b
*a  b  3 a  3 b

Không

được trừ vế với vế của hai bất
đẳng thức cùng chiều
Ví dụ:
9  8 (đúng)
7  1 (đúng)
 9  7  8  1 (sai)


VD 1: Hãy so sánh 2 số 2  5và 3
Giải
Giả sử

2  5 3 (1)
(1) 





2

2  5 9

 7  2 10 9
 10 1
 10 1(!)

Kết luận :

2  5 3


VD2: Chứng minh rằng: x  4 x  2 
2

Giải
Ta có: x 2  4( x  2) (1)
2

(1)  x  4 x  8  0
 x2  4x  4  4  0
  x  1  4  0 x (2)
(2) Đúng  (1) Đúng
2


VD3: CMR: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh
của 1 tam giác thì

a  b  c  2 ab  bc  ca 
2

2

2

Giải

2
2
2
2
Ta có:a   b  c  b  c  2bc

b   c  a  a  c  2ac
2

2

2

2

c   a  b  a 2  b 2  2ac
2

2





 a  b  c  2 a  b  c  2 ab  bc  ca 
2

2

2

2

2

2

 a  b  c  2 ab  bc  ca 
2

2

2

(đpcm)


Tính

chất 1:

 a a  a

Tính

chất 2:

x  a   a  x  a (a  0)

chất 3:

x  a
x a 
(a  0)
x   a

Tính

a

VD4: Giải bất phương trình sau:
a ) 1  2 x  3a  b  a  b  a  b a, b  R
Tính
chất 4:
x  2 với
 4 mọi số thực a, b, c ta có:
VD5:b)CMR
a  c a  b  b  c


BT1/SGK:
BT3/SGK:

1
1
CMR, nếu a  b vàab  0 thì 
a b

CMR a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca
với mọi số thực a, b, c. Đẳng thức xảy ra khi và

chỉ khi a b c


1. Tìm mệnh đề đúng:
1 1
A. a  b  ac  bc
B. a  b  
a b
C. a  b và c  d  ac  bd D. Cả A, B, C đều sai
2. Tìm mệnh đề sai:
A. a  b  a  b ; a, b
B. a  b  a  b ; a, b
C. a 2  0; a
D.  a a  a ; a
Bài tập thêm:
CMR nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
thì  b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc


Hướng dẫn bài tập về nhà
Làm

bài tập còn lại trong SGK.
Nắm vững các tính chất, hệ quả của bất
đẳng thức.
Nắm vững các bất đẳng thức về giá trị
tuyệt đối.


a)

1  2 x  3 (1)

(1)   3  1  2 x  3
  3  1 2x


1  2 x  3

x2
  1 x  2

 1 x

Vậy tập nghiệm của bpt (1) là

b)

S ( 1;2)

x  2  4 (*)

x  2  4
(*)  

x  2   4

x  6
x   2


Vậy tập nghiệm của bpt (*) là S ( ; 2)  (6;)


a  c a  b  b  c

(1)

Ta có: a  c  a  b  b  c  a  b  b  c


a b
a b


ab ab
1 1
 
b a

BT1: Ta có

BT3:

2

2

(ab  0)

2

a  b  c ab  bc  ca (1)
(1)  2a 2  2b 2  2c 2 2ab  2bc  2ca
  a  b    b  c    a  c  0 (2)
(2) đúng  (1) đúng
2

2

2

 a  b 0

dấu " " xảy ra   b  c 0  a b c
 a  c 0



 b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc
Ta có a 2 a 2   b  c  2  a  b  c  a  b  c 
2
2
2
b b   c  a   b  c  a  b  c  a 
2
2
2
c c   a  b   c  a  b  c  a  b 
2

2
2
2 2 2
 a b c  b  c  a   c  a  b   a  b  c 
  b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc (đpcm)