BÁO cáo bài t p l n GI i TÍCH 2 ậ ớ ả khoa khoa h ng d ọc ứ ụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA
NĂM HỌC 2020 - 2021

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2
Khoa Khoa học Ứng Dụng
Đề tài: 10
Nhóm 10

Giảng viên hướng dẫn: Th.S TRẦN NGỌC DIỄM
Thủ Đức, Ngày 15 tháng 5 năm 2021

download by :


STT

Họ tên SV

MSSV

Công việc được phân chia

1

Lai Cẩm Tài

2014407

Phương pháp tìm pháp vector

2

Nguyễn Chí Sang

2014349

Tìm cách tính diện tích mặt cong cho dạng
tham số

3

Từ Lịch Thanh Tâm

2014444

Tìm cách tính diện tích mặt cong cho dạng
tham số

4

Lê Vũ Hồng Anh

2010851

Soạn báo cáo Word, làm bt phần 1-4

5

Nguyễn Trần Thiện Ân

2010889

Tìm cách viết phương trình tiếp diện của
mặt cong cho dạng tham số.

6

Lê Ngọc Quang

2014325

Tìm cách viết phương trình tiếp diện của
mặt cong cho dạng tham số.

7

Trương Khải Ngun

2011716

Tìm cơ sở lí thuyết về tham số hóa mặt
cong

8

Lê Văn Nam

2013819

Phương pháp tìm pháp vector

9

Trần Quốc Thái

2010616

Tìm cơ sở lí thuyết về tham số hóa mặt
cong

10

Nguyễn Phúc Khang

2011367

Soạn báo cáo Word, làm bt phần 15-20

Đề tài 10:
Cơ sở lí thuyết:
Tìm hiểu về tham số hóa mặt cong, cách tìm vectơ và viết phương
trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số, cách tính diện tích mặt
cong cho dạng tham số, cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham
số.

Bài tập:
Bài tập 1-4, 15-20 phần 15.6

download by :

Mục lục.
Phần Lý thuyết. ................................................................................... 2
THAM SỐ HOÁ MẶT CONG......................................................... 2
Cơ sở lí thuyết ................................................................................ 2
Tham số hố mặt cong ................................................................... 3
CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ ............................................................. 4
Định nghĩa vectơ pháp tuyến: ........................................................ 4
Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong ...................................... 4
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG CHO
DẠNG THAM SỐ............................................................................ 7
Cơ sở lí thuyết ................................................................................ 7
Các ví dụ ........................................................................................ 9
TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ ........... 10
Cơ sở lí thuyết .............................................................................. 10
Các ví dụ ...................................................................................... 12
Phần Bài Tập ..................................................................................... 13
Bài tập 1-4: chỉ ra hình dạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với các
phương trình sau. ......................................................................... 13
Bài tập 15-20: tìm các véctơ biểu diễn cho các mặt sau. ............ 15
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 17
KẾT THÚC BÀI BÁO CÁO............................................................. 18

download by :


2

Phần Lý thuyết.
THAM SỐ HỐ MẶT CONG

Cơ sở lí thuyết
Định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa: Cho D ∈ ℝ𝑛 . Ánh xạ 𝑓 → 𝐷 → ℝ hay 𝑥 = (𝑥1 , . . . 𝑥𝑛 ) ⟶ 𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥1 , . . . 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ được gọi là hàm số trên D (với D: tập xác định, 𝑓 :hàm số; 𝑥: biến
số)

Lưu ý: biến số có n thành phần, mỗi thành phần xem như một biến độc lập (cho

nên hàm số trên ℝ𝑛 hay được gọi là hàm nhiều biến).

Hàm ba biến là hàm nhiều biến có số thành phần của biến là 3(tức n=3).

Định nghĩa mặt cong

Giả sử U là một miền liên thông trong mặt phẳng 𝑢, 𝑣 (tức là không tồn tại hai

tập mở rời nhau mà hợp của chúng chứa U đồng thời mỗi tập đều chứa điểm của U),
và là tập hợp của hữu hạn hoặc vô hạn điểm được miền con đồng phơi với hình trịn

đơn vị; X(𝑢, 𝑣) là một ánh xạ liên tục từ U vào ℝ3 sao cho thu hẹp của nó trên mỗi
miền con là một đồng phôi. Khi ấy, tập ảnh

S = {𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑋 = 𝑋(𝑢, 𝑣) ∈ U}

được gọi là mặt cong. Mặt cong trong khơng gian có thể được xác định ở dạng tường
minh: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ G ⊂ ℝ2 hoặc là y = 𝑓(𝑥, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑧) ∈ G1 ⊂ ℝ2 hay là

x = 𝑓(y, 𝑧) ∀(y, 𝑧) ∈ G2 ⊂ ℝ2 .

Mặt cong trong khơng gian cịn có thể được xác định ở dạng ấn bởi phương

trình: F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

Tuy nhiên, khơng phải bất kì mặt cong nào cũng có thể được xác định bằng hai

dạng trên. Một ví dụ điển hình cho vấn đề này là mặt helicoid (mặt xoắn ốc). Chúng ta

có thể thấy rằng với một điểm (𝑥, 𝑦) trên mặt phẳng thì 𝑥, 𝑦 đều sẽ có hơn một hình

download by :


3

chiếu lên mặt helicoid, vì vậy mà mặt cong này không thể là đồ thị của một hàm
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Hình A1: Helicoid-mặt xoắn ốc-khơng phải là đồ thị 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Tham số hoá mặt cong
Ý nghĩa:

Như cách chúng ta thấy dễ hơn khi biểu diễn một đường cong trên một mặt
phẳng và không gian bằng ảnh của một đường thẳng dưới hàm véctơ r so với việc
biểu diễn nó dưới đồ thị của hàm, chúng ta sẽ thấy một trường hợp tương tự như vậy
cho các mặt cong. Thay vì sử dụng một tham số, chúng ta sẽ sử dụng hai tham số và
khảo sát một mặt cong trong không gian như là ảnh của các vùng xác định trong mặt
phẳng.

Phương pháp tham số hoá mặt cong

Cho: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

là một hàm véctơ xác định cho mọi điểm 𝑢, 𝑣 trong miền xác định D của mặt phẳng

(𝑢, 𝑣). Tập hợp của tất cả các điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) trong khơng gian ℝ3 thỏa phương trình

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)
tham số { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) với
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

(u , v )

nằm trong miền D được gọi là tham số hóa mặt cong

được biểu diễn bởi véctơ r.
Do đó, khi (𝑢, 𝑣) nằm trong miền xác định D, đầu của véctơ 𝐫(𝑢, 𝑣) sẽ quét

qua mọi điểm trong mặt cong S. Hay nói cách khác, r là ánh xạ của các điểm (𝑢, 𝑣)

download by :


4

trong miền xác định lên một điểm 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) trên mặt cong S sao cho
miền xác định D được biến dạng thành mặt S.

CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ
Định nghĩa vectơ pháp tuyến:
Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) là một đối tượng như đường
thẳng, tia hoặc véctơ vng góc với một đối tượng nhất định.
Ví dụ: trong không gian hai chờng pháp tuyến của một đường cong tại
một điểm nhất định là đường thẳng vng góc với đường tiếp tuyến với đường
cong tại điểm đó. Cịn trong khơng gian ba chiều ,đường thẳng vng góc với
mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm được gọi là pháp vectơ của
mặt cong tại điểm đó.
Hình B1: Véctơ pháp tuyến của mặt cong

Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp
tuyến đơn vị) hoặc khơng.

Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên
ngồi).

Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong
1. Cơng thức của vectơ pháp tuyến:

Công thức pháp véctơ đơn vị của một mặt mức F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 có dạng

download by :


5

𝑛󰇍 = ±

∇𝐹

|∇𝐹|

󰇍󰇍 = (cos , cos , cos )
hay 𝑛

(trong đó ,, lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3 trục Ox, Oy, Oz với pháp
véctơ).
Lưu ý: Dấu cộng hay trừ tùy thuộc vào yêu cầu của đề bài.

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)
Nếu phương trình tham số của mặt cong là { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), khi đó pháp véctơ
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)
đơn vị của mặt cong có cơng thức là:
󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍
𝐫′
𝐫′𝑣
𝑛󰇍 = ±
󰇍󰇍󰇍󰇍 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍
|𝐫′
𝐫′ |
𝑢

𝑣

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′ ) và 𝐫′
󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′ )
(trong đó: 𝐫′
𝑣
𝑢

𝑢
𝑢
𝑢
𝑣
𝑣
𝑣

Cơng thức của hàm véctơ:

Ta có: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

Khi 𝐫 đạo hàm theo 𝑢 và theo 𝑣 ta có cơng thức như sau:

𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +
(𝑢 , 𝑣 )𝐤
𝜕𝑢 0 0
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +
(𝑢 , 𝑣 )𝐤
𝐫𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) =
𝜕𝑣 0 0
𝜕𝑣
𝜕𝑣

𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) =

Công thức hàm véctơ pháp tuyến:

𝑛 = 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) × 𝐫v (𝑢0 , 𝑣0 )

Ta chiếu mặt cong (S) lên mặt phẳng(UV), khi đó véctơ 𝐫 tạo thành 2

véctơ con là 𝐫󰇍󰇍𝑢 và 𝐫󰇍󰇍𝑣 cùng nằm trên một mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại
điểm M(U0,V0).

Ta dùng tích có hướng cho hai véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 và 󰇍󰇍𝐫󰇍𝑣 thì sẽ tạo ra một véctơ mới

vng góc với hai véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 và 𝐫󰇍󰇍𝑣 và cũng chính là véctơ pháp tuyến của mặt
cong (S) tại điểm M(U0,V0).

download by :


6

Hình B1: Hình chiều hàm số r lên miền D của mặt S

2. Phương pháp tìm véctơ pháp tuyến cho dạng tham số :
Khi đề bài cho ta một hàm véctơ:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥 (𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

Ta đạo hàm r theo 𝑢 và 𝑣:

𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +
(𝑢 , 𝑣 )𝐤
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢 0 0
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +
(𝑢 , 𝑣 )𝐤
𝐫𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) =
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣 0 0
𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) =

Sau đó ta sử dụng tích có hướng giữa hai hàm véctơ trên để tìm ra hàm
vecto pháp tuyến:

I.

𝑛 = 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) × 𝐫v (𝑢0 , 𝑣0 )

Các ví dụ

VD B.1: Tìm pháp véctơ đơn vị tại điểm 𝑀(1,1,0) của mặt trụ 𝑧 = 1 − 𝑥 2
Giải

Ở đây ta có một véctơ pháp tuyến tại điểm 𝑀 là:
(−𝑧′𝑥 , −𝑧′𝑦 , 1) = (2𝑥, 0,1) = (2,0,1)

⇒ pháp véctơ đơn vị tại điểm 𝑀 là:
𝑛󰇍 = ±

(2,0,1)

√22

+

02

+

12

=±

1

√5

(2,0,1)

download by :

7

Ở đây, do ta lấy phía dưới tức 𝑧 < 0 nên ta chọn dấu trừ.
Vậy 𝑛󰇍 = −

1

√5

(2,0,1)

VD B.2: Tìm pháp véctơ đơn vị phía dưới mặt nón 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 tại
điểm 𝑀(1, −1, √2).
Giải

Ta có thể tham số hóa mặt nón với 𝐫 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑢 cos𝑣, 𝑢 sin𝑣, 𝑢) trong đó
𝜋
𝜋
𝑢 ≥ 0 và − 2 ≤ 𝑣 ≤
2

𝐫𝑢 = (cos𝑣, sin𝑣, 1)
󰇍󰇍󰇍
Khi đó {
𝐫󰇍󰇍󰇍𝑣 = (−𝑢 sin𝑣, 𝑢 cos𝑣, 0)

và 󰇍𝐫󰇍𝑢 × 𝐫󰇍󰇍󰇍𝑣 = (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣) .Khi đó:

󰇍𝑛 = ±
=±

1
(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)
(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)
=±
|(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)|
√2
1

√2

(−

√2 √2
, 1)
,
2 2

với (𝑢, 𝑣) = (√2, 4 ) . Do vậy phía dưới mặt nón, tức là z < 0 nên ta chọn dấu
trừ.
Vậy 𝑛󰇍 = −

1

√2

𝜋

(−

√2 √2
, 2
2

, 1)

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG
CHO DẠNG THAM SỐ
Cơ sở lí thuyết
1. Mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S từ phương trình tham số cho trước
Cho phương trình:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

tại điểm P0 ứng với 𝑢 = 𝑢0 , 𝑣 = 𝑣0 .

download by :


8

Nếu ta cố định 𝑢 = 𝑢0 thì 𝐫( 𝑢0 , 𝑣) xác định một đường cong C1 ⊂ S trong

không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véctơ chỉ phương là
𝐫𝑣 =

∂𝑥

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

Tương tự như vậy, nếu ta cố định 𝑣 = 𝑣0 thì 𝐫( 𝑢0 , 𝑣) xác định một đường

cong C2 ⊂ S trong không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véc tơ chỉ
phương là

𝐫u =

∂𝑥

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

Lấy tích có hướng của 𝐫u và 𝐫𝑣 ta được véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp

diện của mặt cong S tại điểm P0 . Nếu tại P0, 𝐫u × 𝐫𝑣 ≠ 0 thì ta nói mặt cong S là trơn

tại P0.

Lưu ý: Đường thẳng đi qua P0 và vng góc với tiếp diện của S tại P0 được gọi

là pháp tuyến của mặt S tại P0. Nó nhận véctơ N = 𝐫u × 𝐫𝑣 làm véctơ chỉ phương.

2. Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)

Trường hợp đặc biệt, mặt cong S cho bởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) thì S có
𝑥=𝑢
một tham số hóa tự nhiên là { 𝑦 = 𝑣
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

download by :


9

Khi đó, 𝐫𝑢 = (1,0, 𝑧′𝑢 ), 𝐫𝑣 = (1,0, 𝑧′𝑣 ) và do đó, véctơ pháp tuyến của mặt
cong S tại P là 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = |

𝐢1 𝐣0 𝑧′
𝐤
𝑢
0 1

𝑧′𝑣

| = (−𝑧′𝑢 , −𝑧′𝑣 , 1) = (−𝑧′𝑥 , −𝑧′𝑦 , 1).

Do đó, phương trình tiếp diện tại 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) là

𝑧 − 𝑧0 = 𝑧′𝑥 (𝑀). (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑧′𝑦 (𝑀). (𝑦 − 𝑦0 )

(1.6)

3. Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 và M(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) là

một điểm chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)và các đạo hàm
𝑧′𝑥 , 𝑧′𝑦 được tính theo cơng thức

𝑧′𝑥 = −

𝑓′𝑥

𝑓′𝑧

𝑧′𝑦 = −

,

𝑓′𝑦

𝑓′𝑧

,

Áp dụng cơng thức (1.6) ta được
• Phương trình tiếp diện tại M
𝑧 − 𝑧0 = −

(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑓′𝑦 (𝑀) (𝑦 − 𝑦0 )
𝑓′ (𝑀)
𝑓′ (𝑀)

𝑓′𝑥 (𝑀)
𝑧

𝑧

(***)

• Phương trình pháp tuyến tại M
(𝑑): 𝑓′

(𝑥−𝑥0 )
𝑥 (𝑀)

=

(𝑦−𝑦0 )

𝑓′𝑦 (𝑀)

=

𝑧−𝑧0

𝑓′𝑧 (𝑀)

(***)

Các ví dụ

Vd:. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số 𝑥 =

𝑢2 , 𝑦 = 𝑣 2 , 𝑧 = 𝑢 + 2𝑣 tại điểm (1, 1, 3).

Giải

Ta có:
𝐫u =

∂𝑥

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂u

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

download by :


10

𝐫𝑣 =

∂𝑥

∂𝑣

𝐢
𝐣
Do đó, 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = | 2𝑢 0

0 2𝑣
trị 𝑢 = 𝑣 = 1 nên 𝐫u ∧ 𝐫𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 +

∂y

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 +

∂z

∂𝑣

(𝑢0 , 𝑣0 )𝐤.

𝐤
1 | = −2𝑣𝐢 − 4𝑢𝐣 + 4𝑢𝑣𝐤. Điểm (1, 1, 3) ứng với giá
2
= (−2, −4, 4) . Vậy phương trình tiếp diện là:

−2(𝑥 − 1) − 4(𝑦 − 1) + 4(𝑧 − 3) = 0 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0.

TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ
Cơ sở lí thuyết
1. Khái niệm mặt cong
Mặt cong trong khơng gian có thể xác định ở dạng ẩn bởi phương trình chung:
F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
Ví dụ: Phương trình 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 − 1 = 0 xác định mặt cong trong khơng

gian là một mặt cầu có bán kính bằng 1, tâm đặt tại gốc tọa độ O(0,0,0).
Ngoài ra, mặt cong cịn có thể xác định tổng qt ở dạng tham số :
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)
{ 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

;

(𝑢, 𝑣) ∈ 𝐻 ⊂ 𝑹2

Để đơn giản hơn người ta thường cho phương trình tham số dưới dạng:
𝑥=𝑥
(𝑥, 𝑦) ∈ D ⊂ 𝐑2
;
{ 𝑦=𝑦
𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)

2. Cách tính diện tích mặt cong

download by :


11

Hình D1: mặt cong S bị chia nhỏ thàbh những mặt 𝑆𝑖𝑗

Chia mặt cong S thành nhiều mặt cong nhỏ Sij có diện tích là ∆Sij và gọi Dij là

hình chiếu của Sij xuống mặt phẳng O𝑥𝑦. Trong mỗi mặt cong Sij ta lấy ngẫu nhiên

điểm Mij chiếu xuống O𝑥𝑦 ta được điểm Pij. Từ đó ta viết phương trình mặt phẳng tiếp

diện với mặt cong S tại Mij (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 , 𝑧𝑖𝑗 ):

𝑧 − 𝑧𝑖𝑗 = 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )(𝑥 − 𝑥𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )(𝑦 − 𝑦𝑖𝑗 )

(với 𝑧𝑖𝑗 = 𝑓(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )). Từ phương trình tiếp diện trên ta có pháp véctơ 𝑛󰇍 =

(−𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ), −𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ), 1). Ta lại có 𝑘󰇍 = (0,0,1) là pháp véc tơ của mặt phẳng
O𝑥𝑦 nên góc 𝛾𝑖𝑗 giữa mặt phẳng tiếp diện và mặt phẳng O𝑥𝑦 được tính như sau:
𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 =

󰇍 >|
|< 𝑛󰇍 , 𝑘
=
‖𝑛󰇍‖. ‖𝑘󰇍 ‖

1

√1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )2
2

⇒Diện tích hình chiếu Dij của Sij được tính theo công thức:
∆D = ∆S.𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 ⇒ ∆S𝑖𝑗 =

∆𝐷𝑖𝑗

𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗

= √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )2 . ∆𝐷𝑖𝑗
2

download by :


12

Cộng tất cả các ∆S lại với nhau ta được diện tích của mặt cong S là tổng Reimmen của
hàm hai biến:
𝑚

𝑛

S ≈ ∑ ∑ √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗)2 ∆𝐷𝑖𝑗
2

𝑖=1 𝑗=1

Theo định nghĩa tích phân kép ta sẽ được:
.

S = ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 )2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷

Các ví dụ

VD D.1 : Tính diện tích của phần mặt cong 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 2 nằm trong
hình nón 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
Giải

Ta có : z = ±√2 − 𝑥 2 − 𝑦2 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)

⇒ 𝑓′𝑥 =

, 𝑓′𝑦 =

∓𝑥

√2−𝑥 2 − 𝑦 2
.

∓𝑦

√2−𝑥 2 − 𝑦 2

𝑆 = 2 ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦
2

𝐷(𝑥,𝑦)

Đổi biến sang tọa độ cực : 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2

Ta có miền 𝐷 = {(𝑟, 𝜑) ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

⇒ S = 2 ∫0 𝑑𝜑 ∫0 √1 +
2𝜋

1

𝑟2

2 − 𝑟2

𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋(2 − √2 )

VD D.2 : Tính diện tích của phần mặt 𝑧 = 𝑥𝑦 nằm trong hình trụ
𝑥 + 𝑦2 = 1
2

Ta có : 𝑧 = 𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

⇒ 𝑓′𝑥 = 𝑦

,

𝑓′𝑦 = 𝑥

Giải

.

𝑆 = 2 ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 )
𝐷(𝑥,𝑦)

2

𝑑𝑥𝑑𝑦

download by :

13

Đổi biến sang tọa độ cực : 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2
Ta có miền D = {(𝑟, 𝜑) ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑 ≤
𝜋

𝜋

2

𝑣à 𝜋 ≤ 𝜑 ≤

⇒ 𝑆 = 2 ∫02 𝑑𝜑 ∫0 √1 + (𝑟 sin𝜑)2 + (𝑟 cos𝜑)2 𝑟𝑑𝑟 =
1

Phần Bài Tập

2𝜋
3

3𝜋
2

}

(√2 − 1)

Bài tập 1-4: chỉ ra hình dạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với các phương

trình sau.

1. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤

2. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤

3. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢2 𝐤
4. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤

Giải
1. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤
Đặt: 𝑥 = 2 cos 𝑢;

𝑦 = 2 sin 𝑢;

Ta có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 22 (cos2 𝑢 + sin2 𝑢) = 4

𝑧=𝑣

download by :


14

Phương trình trên khơng chứa z, khơng có điều kiện cho 𝑣 => 𝑣 ∈ (−∞; +∞)
Vậy mặt cong r là hình trụ trịn có bán kính bằng 2 và chiều cao vơ hạn.
=> Hình (b).
2. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤
Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣;

𝑦 = 𝑢 sin 𝑣;

𝑧=𝑢

Ta có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑢2 (cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 𝑢2 = 𝑧 2

=> Mặt cong có hình dạng là mặt nón 2 phía
=> Hình (c).

3. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢2 𝐤
Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣;

𝑦 = 𝑢 sin 𝑣;

Ta có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑢2 (cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 𝑢2 = 𝑧

𝑧=𝑢

=> Mặt paraboloid elliptic
=> Hình (a).

4. 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤
Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos ,

*Cố định 𝑢 = 𝑢0

𝑦 = 𝑢 sin 𝑣,

𝑧=𝑣

Gọi T là hình chiếu của r lên mặt phẳng Oxy

=> T là đường tròn 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑢0 2

Với mỗi giá trị của 𝑣 ta chỉ có duy nhất 1 bộ giá trị 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng.
=> Hình (d).

download by :


15

Bài tập 15-20: tìm các véctơ biểu diễn cho các mặt sau.

15. Mặt phẳng đi qua điểm (2, 1, −3) và chứa các véctơ 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤 và 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤

16. Mặt phẳng 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6

17. Nửa dưới của mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 1

18. Nửa trên của mặt ellpisoid 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑧 2 = 36

19. Một phần của hình trụ 𝑥 2 + 𝑦2 = 4, cắt bởi các mặt 𝑧 = −1và 𝑧 =3

20. Một phần của hình trụ 9𝑦2 + 4𝑧 2 = 36, cắt bởi các mặt 𝑥 = 0 và 𝑥 = 3

Giải
15. 𝑎 = 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤,b = 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤

=> véctơ pháp tuyến 𝑛󰇍 (−3,1, −5)

Mặt phẳng đi qua điểm (2, 1, −3), có vtpt 𝑛󰇍 (−3,1, −5) là:
−3x + y − 5z − 10 = 0

Ta có 𝐫 = 𝐫0 + 𝑢𝑎 + 𝑣b = −3i + j − 5k + u(2𝐢 + 𝐣 − 𝐤) + 𝐯(𝐢 − 2𝐣 − 𝐤)
= (−3 + 2𝑢 + 𝑣)𝐢 + (1 + 𝑢 − 2𝑣)𝐣 + (−5 − 𝑢 − 𝑣)𝐤

16. 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6
Đặt: 𝑥 = 𝑢,

𝑦 = 𝑣,

Véctơ biễu diễn mặt phẳng đã cho là:

𝑧 = 6 − (2𝑥 + 3𝑦)

= 6 − (2𝑢 + 3𝑣)
= 6 − 2𝑢 − 3𝑣

download by :


16

𝐫(𝑢; 𝑣) = 𝑢𝐢 + 𝑣𝐣 + (6 − 2𝑢 − 3𝑣)𝐤,

17. 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 1

(với: −∞ < 𝑢 < +∞ và − ∞ < 𝑣 < +∞)

Đặt: 𝑥 = sin 𝑣. cos 𝑢,

𝑦 = sin 𝑣. sin 𝑢,

𝑧 = cos 𝑣

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = sin2 𝑣. (cos 2 𝑢 + sin2 𝑢) + cos2 𝑣
= sin2 + cos2 𝑣 = 1

Vector biểu diễn cho bề mặt cần tính:
𝐫(𝑢, 𝑣) = sin 𝑣. cos 𝑢𝐢 + sin𝑣. sin 𝑢𝐣 + cos 𝑣𝐤, (với: 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋; ≤ 𝑣 ≤ 𝜋)
2
𝜋

18. 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑧 2 = 36
Đặt: 𝑥 = sin 𝑣. cos 𝑢,

𝑦 = 3 sin 𝑣. sin 𝑢,

𝑧 = cos 𝑣

9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑧 2 = 9(sin2 𝑣 cos2 𝑢) + 4(9sin2 𝑣 sin2 𝑢) + 36(cos2 𝑣)
= 36sin2 𝑣 (cos2 𝑢 + sin2 𝑢) + 36cos 2 𝑣
= 36sin2 𝑣 + 36cos2 𝑣 = 36

Véctơ biểu diễn nửa trên hình ellipsoid đã cho là:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 sin 𝑣. cos 𝑢𝐢 + 3 sin𝑣. sin 𝑢𝐣 + cos 𝑣𝐤,
(với: 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋;

19. 𝑥 2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = −1, 𝑧 =3
Đặt; 𝑥 = 2 cos 𝑢,

𝑦 = 2 sin 𝑢,

Có: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4(cos2 𝑢 + sin2 𝑢) = 4

𝜋
≤ 𝑣 ≤ 𝜋)
2

𝑧 = 𝑣 (−1 ≤ 𝑣 ≤ 3)

Véctơ biểu diễn của phần hình trụ đã cho là:

download by :


17

𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤,

(với: 0 ≤ 𝑢 ≤ 2π, và − 1 ≤ 𝑣 ≤ 3)

20. 9𝑦2 + 4𝑧 2 = 36, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3
Đặt: 𝑥 = 𝑢 (0 ≤ 𝑢 ≤ 3) ,

𝑦 = 2 cos 𝑣,

𝑧 = 3 sin 𝑣

9𝑦 2 + 4𝑧 2 = 9(4cos 2 𝑣) + 4(9sin2 𝑣)

= 36(cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 36

Véctơ biểu diễn phần hình trụ cần tính là:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢𝐢 + 2 cos 𝑣𝐣 + 3 sin 𝑣𝐤,

(với: 0 ≤ 𝑢 ≤ 3, và 0 ≤ 𝑣 ≤ 2π)

Tài liệu tham khảo
_Soo T. Tan, Multivariable Calculus, Cengage Learning, 2009.
_Nguyễn Đình Huy và nnk, Giáo trình Giải Tích 2, NXB Đại học Quốc Gia,2018.

download by :


18

KẾT THÚC BÀI BÁO CÁO
Trước tiên, các thành viên nhóm 10 chúng em thân gửi lời cảm ơn chân thành đến
cơ Trần Ngọc Diễm (giảng viên lí thuyết) đã truyền đạt cho chúng em đủ vốn kiến
thức để có thể giải quyết được những bài tập có liên quan và cả trong việc nhóm tìm
nguồn tài liệu tham khảo để thực hiện đề tài.
Dù đã có nhiều khó khăn trong quá trình tìm hiểu và phải làm việc online để đề
phịng dịch bệnh nhưng cuối cùng nhờ cơng sức của cả nhóm nên đã hồn thành bài
báo cáo về đề tài được giao. Qua đó, mỗi thành viên trong nhóm được củng cố lại kiến
thức, hiểu rõ hơn cũng như ứng dụng của phần lí thuyết trong việc mơ tả các hiện

tượng ngoài thực tế, quan trọng hơn là học được cách làm việc nhóm sao cho hiệu quả
nhất. Cuối cùng, cảm ơn các bạn sinh viên nhóm 10 đã dành thời gian để nghiên cứu
đề tài và hoàn thành tốt tất cả các việc đã đảm nhiệm.
 Hết 

download by :