Nghiên cứu tính chất phi cổ điển của trạng thái nén hai mode

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG
THÁI NÉN HAI MODE

ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY
Khoa Vật lý
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tơi nghiên cứu tính chất phi cổ
điển của trạng thái nén hai mode. Qua nghiên cứu, chúng tôi thấy rằng
trạng thái nén hai mode thể hiện tính chất nén tổng nhưng khơng thể
hiện tính chất nén hiệu. Trạng thái này thỏa mãn tiêu chuẩn đan rối
của Hillery - Zubairy và tính chất đan rối thể hiện hồn tồn. Qua khảo
sát tính antibunching chúng tôi nhận thấy rằng độ mạnh, yếu phụ thuộc
vào biên độ kết hợp r. Ngồi ra, chúng tơi chứng minh được trạng thái
nén hai mode vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz. Những kết quả
trên cho thấy trạng thái nén hai mode là trạng thái phi cổ điển điển
hình.
1. GIỚI THIỆU
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, vấn đề làm thế nào
để truyền tín hiệu đi xa nhưng vẫn đảm bảo tính lọc lựa cao và giảm được thăng giáng
đến mức thấp nhất là vấn đề cấp thiết cho các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm.
Sự xuất hiện tạp âm và thăng giáng lượng tử đã làm cho tín hiệu bị nhiễu và giảm chất
lượng truyền tin. Vì lý do này mà các nhà khoa học đã tìm các phương pháp tạo ra các
trạng thái vật lý mà ở đó các thăng giáng lượng tử được hạn chế đến mức tối đa có thể và
sau đó áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo các dụng cụ quang học đảm bảo tính lọc lựa
và chính xác cao. Nghiên cứu các tính chất của trạng thái nén hai mode là vấn đề nóng và
mang tính thời sự, là bước đệm trong q trình nghiên cứu. Các tính chất phi cổ điển bậc
thấp đã được nghiên cứu tuy nhiên các tính chất bậc cao vẫn chưa được khảo sát. Vì vậy,
trong bài báo này, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu, tính
chất rối, tính chất antibuching và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz. Trạng thái
nén hai mode được Gantsog and Tanas [1] đưa ra như sau
X
|ξiab = (cosh r)−1

[− exp (ıθ) tanh r]n |n, niab ,
(1)
trong đó r là biên độ kết hợp và |n, niab là các trạng thái Fock tương ứng với hai mode
của trường điện từ là a và b.
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 37-43


38

ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY

2. TÍNH CHẤT NÉN TỔNG
Chúng tơi sử dụng q trình nén tổng được đưa ra bởi Hillery [2] vào năm 1989 để khảo
sát tính chất nén tổng hai mode. Tốn tử nén tổng trong trường hợp này được định nghĩa
như sau

1  iφ †ˆ†
Vˆφ =
e a
ˆ b + e−iφ a
ˆˆb ,
(2)
2
trong đó a
ˆ† và a
ˆ tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ nhất, ˆb† và ˆb là
toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ hai. Một trạng thái thỏa mãn điều kiện sau thì
có tính chất nén tổng
E


2 1 D
ˆa + N
ˆb + 1 ,
N
(3)
∆Vˆφ <
4
2 D E D E 2

ˆa (N
ˆb ) lần lượt là toán tử số
với mọi giá trị của φ, trong đó ∆Vˆφ = Vˆ 2 − Vˆφ , N
φ

hạt của mode a và mode b. Thông qua điều kiện này để xem xét tính chất nén tổng của
trạng thái nén hai mode. Để dễ dàng cho việc khảo sát chúng tôi đưa ra tham số nén tổng
hai mode S,
D E D E2 1 D
E
ˆa + N
ˆb + 1 ,
S = Vˆφ2 − Vˆφ −
N
(4)
4
trong đó một trạng thái thể hiện tính chất nén tổng hai mode nếu S< 0 và mức độ thể
ˆˆb ta có
ˆ†ˆb† + e−iφ a
hiện càng mạnh nếu S càng âm. Khi đó, với Vˆφ = 21 eiφ a

1
S=
4



iφ †ˆ†

e a
ˆ b

2



−iφ

+ e


2
1 nD iφ †ˆ† E D −iφ ˆEo2
†ˆ† ˆ
ˆ
ˆb
a
ˆb + 2ˆ
e a
ˆ b + e a
.

aba
ˆb −
4

(5)

Sử dụng trạng thái nén hai mode ở biểu thức (1) và lấy trung bình trạng thái này để tính
biểu thức (5) ta được
∞

X




1
2
S=
1−x
cos 2(φ − θ) (x2n+2 (n + 1)(n + 2) + x2n−2 n(n − 1) + 2x2n n2
4
n=0
(6)
(∞
)2
 2n+1


X
1
2n−1
2 2

cos(φ − θ) x
(n + 1) + x
n)
,
− 1−x
4
n=0

trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R). Dựa vào tham số nén tổng S đã được đưa ra
ở biểu thức (6) chúng tôi khảo sát và thu được kết quả về sự phụ thuộc của mức độ nén
tổng hai mode theo biên độ kết hợp r
Hình vẽ cho thấy khi θ = π2 , 3(π)
2 thì tính nén tổng thể hiện rõ ràng nhất và tăng khi r
tăng. Vậy trạng thái nén hai mode có tính chất nén tổng.


NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI NÉN...

Hình 1: Sự phụ thuộc của S vào r và θ =

π
2

39

với φ = 0.

3. TÍNH CHẤT NÉN HIỆU
Tương tự như trường hợp nén tổng hai mode, theo Hillery [2] toán tử nén hiệu được định
nghĩa như sau



ˆ φ = 1 eiφ a
ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb .
(7)
W
2
Một trạng thái được gọi là nén hiệu nếu thỏa mãn
2

ˆ φ < 1 |hNa − Nb i| ,
∆W
(8)
4
2 D
E D E2

ˆφ , N
ˆ a (N
ˆb ) lần lượt là toán tử số
ˆφ = W
ˆ2 − W
với mọi giá trị của φ, trong đó ∆W
φ

hạt của mode a và mode b. Đây chính là điều kiện để chúng tơi đi khảo sát tính chất nén
hiệu hai mode của trạng thái nén hai mode trong bài báo này. Để dễ dàng cho việc khảo
sát chúng tôi đưa vào tham số nén hiệu hai mode D
D

E D
E2
D
E
ˆ2 − W
ˆφ −1 N
ˆa − N
ˆb ,
D= W
(9)
φ
4
trong đó một trạng thái bất kỳ nếu D < 0 thì có tính chất
 nén hiệu hai mode
 và mức độ
1
iφ
†
−iφ
†
ˆ
ˆ
ˆ
thể hiện càng mạnh nếu D càng âm. Khi đó, với Wφ = 2 e a
ˆb + e a
ˆ b ta được


1  iφ ˆ† 2  −iφ †ˆ2
D=

e a
ˆb
+ e a
ˆ b +a
ˆˆb† a
ˆ†ˆb + a
ˆ†ˆbˆ
aˆb†
4
E
1 nD iφ ˆ† E D −iφ †ˆEo2 1 D ˆ
ˆb |.
−
e a
ˆb + e a
ˆ b
− | Na − N
(10)
4
4
Bằng cách lấy trung bình trạng thái nén hai mode chúng tôi thu được tham số nén hiệu
hai mode như sau
∞
X


1
D = (1 − x2 )
x2n n + n2 ,
(11)
2

n=0


40

ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY

trong đó x = tanh r,( với−1 < x < 1, x ∈ R). Kết quả khảo sát tham số nén hiệu D ở biểu
thức (11) và biên độ kết hợp r được thể hiên trên hình vẽ 2

Hình 2: Sự phụ thuộc của D vào r.
Qua hình vẽ cho thấy rằng D > 0 với mọi giá trị của biên độ kết hợp r. Vì vậy, trạng thái
nén hai mode khơng thể hiện tính chất nén hiệu hai mode.
4. TÍNH ANTIBUNCHING
Theo Lee. C. T [3], tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode
trong trường bức xạ được đưa ra dưới dạng
E
E D
D
ˆ (m+1)
ˆ (n−1) + N
ˆa(n−1) N
ˆa(m+1) N
N
b
b
E
E D
D
Rab (m, n) =

− 1 < 0,
(12)
(m)
(m)
(n)
(n)
ˆa N
ˆ
ˆa N
ˆ
N
+ N
b

b

ˆa = a
ˆb = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b trong trường
trong đó N
ˆ† a
ˆ, N
bức xạ. Xét trường hợp n = m, lấy trung bình của trạng thái nén hai mode ta kết quả sau



2 −1
∞
m
m
∞

m
X

X
Y
Y
Y
Rab (m, m) = 
x2k
(k − j)
(k − j + 2)
x2k  (k − j + 1)
− 1 ,,


k=0

j=0

j=2

k=0

j=1

(13)
trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R). Khảo sát tham số Rab (m, m)) trong các
trường hợp cụ thể chúng tơi có được kết quả như sau.
Qua hình vẽ chúng tôi nhận thấy rằng tại r = 0 tính antibunching đột ngột tăng mạnh và
giảm dần khi r tăng. Với m càng lớn thì tính antibunching càng giảm (với cùng giá trị r)

Vậy tính phản kết chùm của trạng thái nén hai mode thể hiện càng mạnh trong khoản r
rất nhỏ.


NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI NÉN...

41

Hình 3: Sự phụ thuộc của Rab (m, m)) vào r với m = 1, 2, 3.(Đường biểu diễn các
tham số tương ứng với màu đỏ, màu xanh lam và màu xanh lục.)

5. TÍNH CHẤT ĐAN RỐI
Chúng tơi khảo sát tính chất đan rối [4] của trạng thái nén hai mode dựa theo tiêu chuẩn
của Hillery - Zubairy được đưa ra như sau
h
i1
2
Eab = h(ˆ
a† )m (ˆ
a)n ih(ˆb† )m (ˆb)n i − | h(ˆ
a)m (ˆb)n i |,

(14)

trong đó a
ˆ† và a
ˆ tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ nhất, ˆb† và ˆb
là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ hai. Trong đó một trạng thái bất kỳ thể
hiện tính chất đan rối nếu Eab < 0. Xét trong trạng thái nén hai mode với với trường hợp
n = m ta thu được

∞
m
X
Y




2
2k
2
2k
x cos mθ
(k − j + 1)

,
= (1 − x )
x
(k − j + 1) −

(1 − x )

(15)
j=1
j=1
k=0
k=0


Eab

∞
X

m
Y



,

trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R) trạng thái nén hai mode thể hiện tính chất
đan rối và Eab khơng phụ thuộc vào pha nén θ. Khảo sát các trường hợp đồ thị của Eab
với m = 1, 2, 3 chúng tơi có một số kết quả như sau
Qua khảo sát đồ thị Eab chúng tôi nhận thấy rằng với trạng thái nén hai mode |ξiab thì
Eab ln nhỏ hơn 0 nên |ξiab là một trạng thái rối hoàn toàn.


42

ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY

Hình 4: Sự phụ thuộc của Eab với m = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn các tham số tương
ứng với màu xanh lam, màu đỏ và màu tím.)
6. SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong trường cổ điện có dạng:
h

 D †2 2 Ei 21
†2
2
ˆb ˆb
a
ˆ a
ˆ

D
E

I=
− 1 ≥ 0.

†ˆ†ˆ

ˆ b ba
ˆ


a

(16)

Nếu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bị vi phạm thì trạng thái đó là trạng thái mang tính
chất phi cổ điển. Nghĩa là
h

Ei 1
D
2
a
ˆ†2 a
ˆ2 ˆb†2ˆb2

D
E