Khảo sát sự tồn tại tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái photon tần số tổng tạo ra từ các photon kết hợp, nén kết hợp và kết hợp thêm photon

KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI TÍNH CHẤT PHẢN KẾT
CHÙM BẬC CAO CỦA TRẠNG THÁI PHOTON TẦN
SỐ TỔNG TẠO RA TỪ CÁC PHOTON KẾT HỢP, NÉN
KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP THÊM PHOTON

NGUYỄN THỊ KIM OANH
NGUYỄN THỊ KIM ANH - VÕ THỊ LY
Khoa Vật lý
Tóm tắt:Bài báo này trình bày kết quả khảo sát điều kiện xuất hiện
tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái photon tần số tổng được
sinh ra từ hệ tương tác ba photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, nén
kết hợp và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến. Các
điều kiện này chính là sự lựa chọn bộ tham số đặc trưng cho các trạng
thái của ba photon ban đầu được rút ra từ việc khảo sát bằng đồ thị
bằng phần mềm Mathematica.
1. GIỚI THIỆU
Năm 1900, Plank đưa ra thuyết lượng tử của năng lượng bức xạ. Năm 1905, Albert Einstein
phát hiện ra rằng ánh sáng khơng chỉ có tính chất sóng mà cịn có tính chất hạt, hạt ánh
sáng được gọi là photon. Năm 1960, bằng thực nghiệm của mình, Maiman đã tạo ra laser
Rubi, đánh dấu sự ra đời của hai lĩnh vực khoa học hết sức quan trong là Điện tử học
lượng tử và Quang phi tuyến. Cũng từ đây các khái niệm như: trạng thái kết hợp, trạng
thái nén, thawnmg gián lượng tử... được ra đời. Trạng thái kết hợp được đưa ra vào năm
1963 bởi Glauber [1] và Sudashan [2], đây là một trạng thái cổ điển, song vì nó có các biên
độ trực giao ứng với giá trị lượng tử chuẩn nên ta có thể xem nó là trạng thái rạnh giới
giữa trạng thái cố điển và trạng thái phi cổ điển. Trạng thái nén là trạng thái phi cổ điển
đầu tiên được đưa ra vào năm 1970 bởi D. Stoler, [3], [4] sau đó được Hollenhorst [5] đặt
tên vào năm 1979. Tiếp đến là trạng thái kết hợp thêm photon được đưa ra bởi Agarwal
và Tara [6]. Đây là trạng thái trung gian giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, nó
thể hiện rõ các tính chất phi cổ điển như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson, tính
chất phản kết chùm. Năm 2000, hai tác giả Nguyễn Bá Ân và Võ Tình [7] đã khảo sát các
trường hợp nén tổng và hiệu đa mode tổng quát của n mode (n > 3) trong môi trường

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 52-61


TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CỦA PHOTON TẦN SỐ TỔNG...

53

quang phi tuyến có các mode ở đầu vào ở trạng thái Fock, kết hợp và nén kết hợp; xét
điều kiện các mode ở ngõ ra có tần số tổng hoặc tần số hiệu của tần số các mode ở đầu
vào. Năm 2013, tác giả Lê Triệu Bá Vương [8]đã khảo sát tính chất phản kết chùm bậc
cao của photon tần số tổng ở ngõ ra của hệ n ban đầu ở trạng thái Fock, kết hợp và nén.
Trong bài báo này chúng tơi trình bày các kết quả khảo sát sự tồn tại tính chất phản kết
chùm bậc cao của trạng thái photon tần số tổng tạo ra từ các photon kết hợp, nén kết hợp
và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến.
2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ TRẠNG THÁI PHOTON TẦN SỐ TỔNG CĨ TÍNH CHẤT PHẢN
KẾT CHÙM
Ta có thể hiều các photon có tính chất ở trạng thái phản kết chùm là các photon có khuynh
hướng không kết chùm với nhau. Khái niệm này đầu tiên được dự đoán bằng lý thuyết bởi
Kimble [9], Mandel [10], Carmichael và Walls [12] vào năm 1976.
Xét quá trình vật lý xảy ra trong môi trường quang phi tuyến, trong đó có N photon ứng
với các tần số ω1 , ω2 , ω3 , . . . , ωN kết hợp với nhau để tạo thành một photon có tần số tổng
ΩS = ω1 + ω2 + ω3 + . . . + ωN .
Hamiltonian ứng với sự sinh ra photon tần số tổng ΩS có dạng [7]:

bs =
H

N
X



†
ωj n
b j + ΩS n
b S + gs b
cs b
c1 . . . b
cN + H.c ,

(1)

j=1

trong đó n
bj = b
c†j b
cj , n
bS = b
c†s b
cs với b
c†j , b
cj và b
c†s , b
cs theo thứ tự là toán tử sinh, hủy ứng với
các mode ωj và ΩS . Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán Bose - Einstein, H.c là thành phần
liên hiệp Hermite. Hamiltonian (1) cho biết số hạng đầu là năng lượng của các photon, số
hạng thứ hai là năng lượng photon tần số tổng, số hạng cuối thể hiện phần năng lượng
tương tác giữa photon tần số tổng với các photon khác, hằng số tương tác gs giả thiết là

thực.
Vì các photon dao động trong miền quang học với tần số có 1015 Hz nên thành phần biến
thiên nhanh được tách riêng và viết dưới dạng
bj (t)e−iωj t ;
b
cj (t) = C

bs (t)e−iΩS t
b
cs (t) = C

(2)

bj (t) và C
bs (t) biến thiên chậm theo thời gian. Sau này ta sẽ thấy
Trong đó các tốn tử C
chúng phụ thuộc tường minh vào bậc thời gian gs t, do đó khẳng định sự biến thiên chậm
của chúng vì thơng thường gs  ωj , ΩS . Phương trình chuyển động Heisenberg ứng với
Halmitonian (1)


54

NGUYỄN THỊ KIM OANH và cs.

bj (t)
dC
˙
b
C

= −igs
j (t) ≡
dt

N
Y

b † (t)C
bs (t),
C
k

(3)

k=1, k6=j
N

Y
bs (t)
dC
˙
b
bk (t).
C
= −igs
C
s (t) ≡
dt

(4)

k=1

Vì quá trình tương tác chỉ xảy ra trong quá trình các mode truyền qua môi trường phi
tuyến , môi trường này thường có kích cỡ nano - mét nên các mode chỉ tương tác trong
khoảng thời gian rất ngắn (pico - giây) nên các tốn tử có thể được khai triển Taylor theo
thời gian và chỉ giữ lại các đóng góp đến O(t2 ). Nghĩa là CS (t) phụ thuộc thời gian.


ăb
ăb
bs C
bs (0), C
b
b
cho gn, ta t C
s (0) ≡ C s , C s (0) ≡ C s
N

Y
1 2 ăb

b
bj 1 gs2 t2 C
bs Fbs (N ),
bs (t) = C
bs + tC
b
C
C

s + t C s = Cs − igs t
2
2

(5)

j=1

Do đó
b † (t) = C
b † + igs t
C
s
s

N
Y
j=1

b † − 1 g 2 t2 C
b † Fbs (N ).
C
s
j
2 s

(6)

trong đó
Fbs† (N, t)

 Y
 Y
N 
N
N 
N
Y
Y
†
bj (t) −
bj (t) =
b C
bj −
b† C
b
= Fbs (N, t) =
1+N
N
1+C
C
j
j j.
j=1

j=1

j=1

(7)

j=1

Điều kiện để một trạng thái có tính chất phản kết chùm bậc cao k trong trường hợp đơn
mode theo C. T. Lee trong [11] là:
R(l, m; k) =

hˆ
n(l+k) ihˆ
n(m−k) i
−1<0
hˆ
n(l) ihˆ
n(m) i

(8)

bs† (t)C
bs (t) là toán tử số hạt ứng với các mode ở ngõ vào; l, m, k là các số
trong đó n
ˆC = C
nguyên dương thỏa mãn điều kiện l ≥ m, k ≥ 1.
Xét trong trường hợp đơn mode, chọn l = 1, m = k, ta có điều kiện để có photon tần số
tổng ở trạng thái phản kết chùm bậc k có thể viết lại như sau:

 

(k+1)
(k)
V (CS (t); k) = n

ˆC
− n
ˆ C hˆ
nC i < 0,
(9)
trong đó
n
ˆ

(k)

=

k−1
Y

(ˆ
n − j) = n
ˆ (ˆ
n − 1)(ˆ
n − 2)...(ˆ
n − k + 1) = CˆS+k (t)CˆSk (t).

j=0

(10)


TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CỦA PHOTON TẦN SỐ TỔNG...

55

Từ (5) và (7), ta có

bsm (t) =
C

m

N
Y
1 2 2b b
b
b
Cs − igs t
Cj − gs t Cs Fs (N ) ,
2

(11)


m
N
Y
1 2 2 b† b
†
†
b
b
Cs + igs t

Cj − gs t Cs Fs (N ) .
2

(12)

j=1

b †m (t) =
C
s

j=1

b và B
b giao hoán được với nhau, áp dụng nhị thức Newton để khai triển,
Xét hai toán tử A
đồng thời bỏ qua các số hạng bậc ba của B. Ta được biểu thức sau:

m
b2.
b(m−2) B
b + m(m − 1) A
b
b
bm + mA
b(m−1) B
A+B
=A
2

(13)

Tại thời điểm ban đầu, các mode ΩS và ωj không tương quan với nhau. Áp dụng biểu thức
bs†m (t) đồng thời vì gs t << 1, nên có thể bỏ qua các thành phần
bsm (t) và C
(21) để tính C
lớn hơn hoặc bằng bậc ba của gs t. Kết quả thu được

b †m (t) = C
b †m + imgs t
C
s
s

N
Y
j=1

bsm (t) = C
bsm − imgs t
C



N
Y
b †m−1 C
b † − g 2 t2 m C
b †m Fbs (N ) + m(m − 1) C
b †m−2

b †2
C
C
s
s
s
j
j
2 s
2

N
Y
j=1

j=1



N
Y
bsm Fbs (N ) + m(m − 1) C
bsm−2
bj2
bsm−1 C
bj − gs2 t2 m C
C
C
2
2

j=1

Thế hai kết quả này vào (10) ta có

n

(m)



N
N
Y
Y
†
†m b m
†m b m−1
†m−1 b m
b
b
b
b
b
= Cs Cs − imgs t Cs Cs
Cj − Cs
Cs
Cj
j=1



b †m C
b m Fbs (N ) − m2 C
b †m−1 C
b m−1
− gs2 t2 mC
s
s
s
s

j=1
N
Y

b† C
b
C
j j

j=1



N
N
m(m − 1) b †m b m−2 Y b 2 b m b †m−2 Y b †2
+
Cs Cs
Cj + Cs Cs

Cj
.
2
j=1

(14)

j=1

Tại thời điểm ban đầu mode ΩS chỉ có thể ở trạng thái chân khơng hoặc trạng thái kết
hợp. Vì ở trạng thái chân khơng, giá trị của hàm tương quan vô nghĩa nên chúng ta giả sử
các mode ΩS ở trạng thái kết hợp vói tham số kết hợp αs = rs eiθs . Vì vậy chúng ta có


56

NGUYỄN THỊ KIM OANH và cs.




bsm
C


=

αsm

bs†m C

bsm−1
C



=



= |αs |2(m−1) αs∗ ,




bs†m C
bsm−2 = |αs |2(m−2) αs∗2 ,
C


†m b m
b
Cs Cs = |αs |2m ,



bs†m
C



= αs∗m ,


†m−1 b m
b
Cs
Cs


bs†m−2 C
bsm
C

rsk eimθs ,

bs†m−1 C
bsm−1
C

(15)



= |αs |2(m−1) αs

(16)

= |αs |2(m−2) αs2 ,

(17)

= |αs |2(m−1) .

(18)

Thế các kết quả tính từ (15) đến (18) vào (14), tiếp tục lấy kết quả thế vào (9), ta thu
được điều kiện có tính chất phản kết chùm bậc cao k > 1 cho photon tần số tổng của hệ
ba mode (N = 3) ở ngõ vào

V (Cs (t), k) =

2kgs2 t2 rs2k

Y
3 

b† C
b
C
j j





3 
Y
−2iθs
2
b

− Re e
Cj

j=1

j=1


2 
Y
 
3 
3 
Y
−2iθs
b
b
b†
+ Re e
Cj
− Re
Cj
C
< 0.
j
j=1

(19)

j=1

Dễ thấy rằng số hạng nằm trong hai dấu ngoặc vuông của biểu thức V (Cs (t), k) hồn tồn
khơng phụ thuộc vào thời gian và thừa số 2kgs2 t2 rs2k luôn dương nên khơng có ảnh hưởng
đến tính âm hay dượng của hàm V (Cs (t), k). Do đó, khi khảo sát xem hệ có tính chất phản
kết chùm hay khơng thì chúng ta chỉ cần khảo sát thành phần trong hai dấu ngoặc vuông.
V =

3 
Y

b† C
b
C
j j





3 
Y
−2iθs
2
b
− Re e
Cj

j=1

j=1


2 
Y
 
3 
3 
Y
−2iθs
b
b
b†
+ Re e
Cj
− Re
Cj
C
< 0.
j
j=1

(20)

j=1

3. KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CHO TRẠNG
THÁI PHOTON TẦN SỐ TỔNG VỚI BA PHOTON Ở NGÕ VÀO GỒM MỘT PHOTON KẾT HỢP, MỘT NÉN KẾT HỢP VÀ MỘT KẾT HỢP THÊM PHOTON.
Biểu thức (20) trong trường hợp này được viết lại như sau
bp† C
bp ihC

bq† C
bq ihC
ba† C
ba i − hC
bp ihC
bp† ihC
bq ihC
bq† ihC
ba ihC
ba† i
V =hC


bp2 ihC
bq2 ihC
ba2 i < 0.
bp i2 hC
bq i2 hC
ba i2 − e−2iθs hC
+ Re e−2iθs hC

(21)


TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CỦA PHOTON TẦN SỐ TỔNG...

57

bp , tham số kết hợp αp = rp eiθp , ta có
Với photon kết hợp |αp i ứng với C

2
2
bp i = αp , hC
b † i = α∗ , hC
b 2 i = α 2 , hC
b †2 i = α∗2 , hC
b† C
b
hC
p
p
p
p
p
p
p p i = |αp | = rp .

bq , tham số kết hợp αq = rq eiθq và tham số nén
Còn photon nén kết hợp |αq , zq i với C
zq = sq eiχq , ta thu được
bq i = rq .eiθq , hC
bq† i = rq .e−iθq , hC
bq i2 = rq2 .ei2θq , hC
bq† i2 = rq2 .e−i2θq ,
hC
b2 i =
hC
q






†b
2
2
2 i2θq
iχq
b
rq e
− e sinh sq cosh sq , hCq Cq i = rq + sinh sq .

ba , tham số kết
Cuối cùng với photon ở trạng thái kết hợp thêm photon |αa , mi ứng với C
hợp αa = ra eiθa , ta tính được
Pm
Pm
2
2
+
∗
i=0 Li (−|αa | )
i=0 Li (−|αa | )
ˆ
ˆ
,
h
C
i
=

α
,
hCa i = αa
a
a
Lm (−|αa |2 )
Lm (−|αa |2 )
Pm
Pm
2
2
2
2
+2
∗2
i=0 (m + 1 − i)Li (−|αa | )
i=0 (m + 1 − i)Li (−|αa | )
ˆ
ˆ
hCa i = αa
,
h
C
i
=
α
,
a
a
Lm (−|αa |2 )

Lm (−|αa |2 )
(m + 1)Lm+1 (−|αa |2 )
b† C
b
hC
− 1.
a ai =
Lm (−|αa |2 )
Thay các giá trị trung bình trên vào (21), ta thu ta thu được hệ số phản kết chùm của
trạng thái photon ở ngõ ra (t > 0):



(m + 1)Lm+1 (−ra2 )
−
1
V =rp2 rq2 + sinh2 (sq )
Lm (−ra2 )
!2
m
X
2
Li (−ra )
+ rp2 rq2 ra2 i=0
{cos[2(θp + θq + θa − θs )] − 1}
(Lm (−ra2 ))2



2i(θp +θa −θs )

2 2iθq
iχq
− Re e
rq e
− e sinh(sq )cosh(sq )
m
X
(m + 1 − i)Li (−ra2 )

× rp2 ra2 i=0

Lm (−ra2 )

.

(22)

Biểu thức này phức tạp khó nhận biết bằng giải tích, do đó chùng ta sử dụng kết quả tính
số và vẽ đồ thị, thông qua đồ thị để rút ra một số kết quả cụ thể về điều kiện tồn tại tính
chất phản kết chùm của photon tần số tổng ở ngõ ra của hệ tương tác 3 mode photon kết
hợp, nén kết hợp và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến.
Trong q trình tính số, vẽ đồ thị, để đơn giản và khơng mất tính tổng qt chúng tơi
chọn các biên độ kết hợp rp = rq = ra = r, biên độ nén sq = s, pha χq = χ.


58

NGUYỄN THỊ KIM OANH và cs.

Hình 1: Hình (1a) khảo sát hàm V theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp r và

pha của trạng thái nén kết hợp χ khi m=2, θs = π/2, s = 0.5. Hình (1b) khảo sát
theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp r khi χ = 0, s = 1.2, θs = π/2 với các
giá trị của m = 2, 3, 4 tương ứng với các đường liền nét, đường chấm chấm và đường
chấm gạch.

Do hệ số phản kết chùm V của photon tần số tổng là hàm của các tham số pha kết hợp
θp , θq , θa , θs , pha nén χ, biên độ kết hợp rp = rq = ra = r và biên độ nén s nên sự khảo
sát sự tồn tại và mức độ của tính chất phản kết chùm thơng qua V rất phức tạp và do đó
khơng kém phần phong phú
Hình (1a) cho thấy rằng khi cho các tham số khác có các giá trị khơng đổi thì giá trị biên
độ kết hợp r càng tăng và pha nén χ = `π với ` là các số nguyên và các giá trị lân cận các
giá trị đó thì tính chất phản kết chùm của photon tần số tổng thể hiện rõ nét nhất.
Hình (1b)mơ tả hệ số phản kết chùm phụ thuộc vào các tham số thêm photon m = 2, 3, 4,
biên độ nén s và biên độ kết hợp r. Trong trường hợp này, khi biên độ nén s tăng thì tính


TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CỦA PHOTON TẦN SỐ TỔNG...

59

chất phản kết chùm xuất hiện chậm hơn tại vị trí biên độ kết hợp r có giá trị lớn hơn và
ngược lại, khi biên độ nén s giảm, hệ số phản kết chùm xuất hiện nhanh chóng.

Hình 2: Hình (2a) khảo sát đồ thị hàm V theo biên độ kết hợp của trạng thái kết
hợp r và biên độ nén trạng thái nén kết hợp s khi m=2, θs = π/2, χ = 0. Hình (2b)
khảo sát theo biên độ nén của trạng thái nén kết hợp s khi r = 2, θs = π/2 với các
giá trị của m = 2, 3, 4 tương ứng với các đường liền nét, đường chấm chầm và đường
chấm gạch.
Tại các tham số thích hợp, hàm V âm trong hình (2a), tức là thể hiện tính phản kết chùm.
Khi pha của trạng thái nén kết hợp χ = 0, tính chất này được thể hiện rõ nét.

Với bộ tham số trong hình (2b), tính chất phản kết chùm của hệ chỉ xuất hiện khi s có
giá trị trong khoảng từ 0 đến 1.6, và trong khoảng này mức độ âm của hàm V tăng theo
m = 2, 3, 4 tuần tự ứng với các đường liền nét, đường chấm chấm và đường chấm gạch.
Giá trị của hệ số phản kết chùm cịn phụ thuộc vào giá trị của các góc pha kết hợpθs và
góc pha nén χ khi các tham số khác khơng đổi, điều này được thể hiện trong hình 3.


60

NGUYỄN THỊ KIM OANH và cs.

Hình 3: Hình (3) khảo sát đồ thị hàm V theo pha của trạng thái nén kết hợp χ và
pha của mode có tần số tổng θs khi m = 2, s = 0.2, r = 4.
4. KẾT LUẬN
Tóm lại, bằng các cách áp dụng lý thuyết hoàn toàn lượng tử và một số phép gần đúng
thích hợp, chúng tơi đã tính tốn và đưa ra được biểu thức giải tích hệ số phản kết chùm
của photon tần số tổng tại ngõ ra của hệ tương tác gồm ba photon ban đầu ở trạng
thái kết hợp, nén kết hợp và kết hợp thêm photon. Khảo sát với đồ thị bằng phần mềm
Mathematica cho thấy rằng với các tham số thích hợp của các photon ban đầu thì photon
tần số tổng thể hiện tính chất phản kết chùm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Glauber R. J. (1963), "Coherent and incoherent states of the Radiation field", Phys.
Rev. B, 131(6), pp.2766-2788.
[2] Sudarshan E.C.G.(1963), "Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams", Physical Review Letters, 10, pp.277-279.
[3] Stoler D. (1970), "Equivalence classes of minimum-uncertainty packets: I", Phys. Rev.
D 1, pp. 3217-19.
[4] Stoler D. (1971), "Equivalence classes of minimum-uncertainty packets: II", Phys.
Rev. D 4, pp. 1925-26.
[5] Hollenhorst N. N. (1979), "Quantum limits on resonal-mass gravitational radiation
detectors", Phys. Rev. D, 19(6), 1669-79.

[6] Agarwal G. S. and Tara K. (1991), Nonclassical properties of States generated by
excitations on a coherent state, Phys. Rev. A, 43(1), pp. 492-497.


TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CỦA PHOTON TẦN SỐ TỔNG...

61

[7] Nguyen Ba An and Vo Tinh (1999), "General multimode sum-squeezing", Physical
Letters A, 261, pp. 34-39.
[8] Lê Triệu Bá Vương (2013),Khảo sát tính chất phản kết chùm của photon tần số tổng
ở ngõ ra của hệ N photon tương tác ban đầu ở trạng thái đơn mode Fock, đơn mode
kết hợp và đơn mode nén, Luân văn thạc sĩ Vật lý, chuyên ngành Vật lý lý thuyết &
Vật lý toán, Trường ĐHSP, Đại học Huế.
[9] Kimble J. and Walls D. F. (1987), ” Special issue on Squeezed state of the Electrmagnetic field”, J. Opt. Soc. Am. B, 4(10), pp. 1453-1727.
[10] Hong C. K. and Mandel L. (1984), "Higher-Order squeezing of a Quantum field",
Phys. Rev. Lett, V.54, N.4.
[11] Lee C. T. (1990), "Many-photon antibunching in generalized pairs coherent states",
Phys. Rev. A, V.41, N.5, pp. 1569-1575.
[12] Walls (1983), Squeezed states of light, Nature, 50, pp. 38-46.

NGUYỄN THỊ KIM OANH
NGUYỄN THỊ KIM ANH
VÕ THỊ LY
SV lớp Vật lý tiên tiến 3, khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế