Vành lũy đẳng nửa nguyên tố

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


TRƯƠNG TRÍ DŨNG

VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


TRƯƠNG TRÍ DŨNG

VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA NGUYÊN TỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã ngành: 84 60 104

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT

Đà Nẵng – Năm 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kì cơng trình nào khác.
Học viên thực hiện

Trương Trí Dũng


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TS. Lê Văn Thuyết đã tận
tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
giáo đã tận tình dạy bảo tơi trong suốt thời gian học tập của khóa học.
Trương Trí Dũng




MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Iđêan và vành nửa nguyên tố

....................................... 5

1.2. Một số lớp vành và đặc trưng

.......................................9

1.3. Về phần tử lũy đẳng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

CHƯƠNG 2. CẤU TRÚC CỦA VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA
NGUYÊN TỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.1. Mở đầu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Một số tính chất của iđêan và vành lũy đẳng nửa nguyên tố

. . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Vành ma trận và một số liên hệ của vành lũy đẳng nửa nguyên tố với một số lớp
vành thường gặp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Kí hiệu
R
M od − R
I(R)
A⊆B
A⊂B
inf
sup
R×S
Mn (R)
Z
R
N
N∗

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Nghĩa của kí hiệu
vành có đơn vị 1 6= 0.
phạm trù các R-môđun phải.
tập tất cả các phần tử lũy đẳng của vành R.
A là iđêan con (tập con) của B .
A là iđêan con (tập con) thực sự của B .
cận dưới đúng.
cận trên đúng.
tích trực tiếp của hai vành R và S .
vành các ma trận vuông cấp n trên vành R.
vành các số nguyên.
trường các số thực.
tập hợp các số tự nhiên (các số nguyên không âm).
tập hợp các số tự nhiên khác không.


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đại số kết hợp chuyên nghiên cứu các cấu trúc đại số với phép tốn
nhân có tính kết hợp. Là một ngành của đại số, các tư tưởng, phương
pháp và kết quả của đại số kết hợp đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh
vực của tốn học. Nói đến đại số kết hợp, ta khơng thể khơng nói đến lý
thuyết vành và mơđun, một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
trong đại số kết hợp. Có hai hướng chính để nghiên cứu vành và môđun.
Hướng thứ nhất là sử dụng môđun (phạm trù M od − R) để nghiên cứu
vành R. Hướng thứ hai là, nghiên cứu nội tại một vành, nghĩa là để tìm
hiểu về một vành, ta thường nghiên cứu các cấu trúc con, chẳng hạn các

iđêan của nó và mối liên hệ của chúng, đó chính là các đồng cấu. Với cách
làm đó, trước hết ta cần tìm hiểu về các iđêan nguyên tố.
Khái niệm iđêan nguyên tố là khái niệm được tổng quát hóa từ khái
niệm số nguyên tố. Một số nguyên p được gọi là số nguyên tố nếu với mọi
số nguyên m, n sao cho mn = p thì m = p hoặc n = p. Tổng quát, trong
một vành giao hoán R, iđêan P được gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi
x, y ∈ R sao cho xy ∈ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P . Và trong một vành R bất
kỳ, iđêan P của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi iđêan I, J ⊆ R
sao cho IJ ⊆ P thì I ⊆ P hoặc J ⊆ P . Người ta chứng minh được rằng,
một iđêan P của vành R là nguyên tố khi và chỉ khi với mọi a, b ∈ R sao
cho aRb ⊆ P thì a ∈ P hoặc b ∈ P .
Khi lấy giao của các iđêan nguyên tố, ta được một iđêan và gọi nó là
iđêan nửa nguyên tố. Tương tự với kết quả ta vừa nhắc đến trên đây, người
ta cũng chứng minh được rằng một iđêan P của vành R là nửa nguyên tố
khi và chỉ khi với mọi a ∈ R sao cho aRa ⊆ P thì a ∈ P . Đặc biệt, một
vành R là nửa nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nửa nguyên tố. Điều này
tương đương với: với mọi a ∈ R : axa = 0, ∀x ∈ R thì a = 0. Ở đây, nếu


2

thay a ∈ R : axa = 0, ∀x ∈ R thì a = 0 bằng một điều kiện mạnh hơn
ata = 0 với mọi ∀t ∈ A, một tập con nào đó của R thì a = 0, ta được
một lớp mới các vành của lớp các vành nửa nguyên tố. Tác giả Grigore
Călugăreanu đã nghiên cứu lớp các vành này với trường hợp A là tập tất
cả các phần tử khả nghịch của R, khi đó vành R có tính chất như vậy được
gọi là vành khả nghịch nửa nguyên tố. Trong bài báo của mình, tác giả đã
chỉ ra được rằng lớp vành khả nghịch nửa nguyên tố là một lớp con thực
sự của lớp các vành nửa nguyên tố, và chỉ ra một số tính chất quan trọng
của các iđêan và vành khả nghịch nửa nguyên tố, chẳng hạn, vành ma trận

trên một vành khả nghịch nửa nguyên tố là vành khả nghịch nửa nguyên
tố hay vành chính quy von Neumann là vành khả nghịch nửa ngun tố.
Độc giả có thể tìm hiểu chi tiết trong bài báo của Grigore Călugăreanu
([3]).
Với ý tưởng như vậy, trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lớp
các vành nói trên với A là tập tất cả các phần tử lũy đằng của R, ta đi
đến các định nghĩa sau:
Định nghĩa 0.1. Một iđêan P của vành R là lũy đẳng nguyên tố nếu
với mọi a, b ∈ R, aeb ∈ P , với mọi phần tử lũy đẳng e của R, thì a ∈ P
hoặc b ∈ P .
Một vành R được gọi là vành lũy đẳng nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan
lũy đẳng nguyên tố.
Định nghĩa 0.2. Một iđêan P của vành R là lũy đẳng nửa nguyên
tố nếu với mọi a ∈ R, aea ∈ P , với mọi phần tử lũy đẳng e của R, thì
a ∈ P.
Một vành R được gọi là vành lũy đẳng nửa nguyên tố nếu iđêan 0 là
iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố.
Nhắc lại rằng, một iđêan là nguyên tố hoàn toàn nếu với mọi a, b ∈

R, ab ∈ P thì a ∈ P hoặc b ∈ P . Vì phần tử đơn vị 1 của R cũng là phần
tử lũy đẳng nên mọi iđêan nguyên tố hoàn toàn cũng là iđêan lũy đẳng
nguyên tố, như vậy, với các iđêan, ta có


3

Nguyên tố hoàn toàn =⇒ Lũy đẳng nguyên tố =⇒ Nguyên tố.
Đối với vành giao hoán, các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan lũy đẳng
nguyên tố và iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố là trùng nhau.
Kết quả chính của luận văn này là đưa ra một số tính chất của lớp

các vành lũy đẳng nửa nguyên tố. Đặc biệt, ta chứng minh được rằng vành
quy gọn và vành chính quy von Neumann là các vành lũy đẳng nửa nguyên
tố (NT). Chúng ta có sơ đồ sau
Nguyên
tố
5
Miền

/

(

Lũy đẳng NT

Nửa
NT
6
)

Lũy đẳng nửa NT
Đặc biệt, đối với vành giao hoán, các khái niệm vành lũy đẳng nguyên tố,
vành nguyên tố và miền nguyên là trùng nhau; và các khái niệm lũy đẳng
nửa nguyên tố, nửa nguyên tố và thu gọn là trùng nhau.
Nhằm tìm hiểu về lớp các vành này, tơi chọn đề tài cho luận văn thạc
sĩ của mình là: “Vành lũy đẳng nửa nguyên tố”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số tính chất về iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố.
- Nghiên cứu cấu trúc của vành lũy đẳng nửa ngun tố.
- Tìm ví dụ để phân biệt lớp vành lũy đẳng nửa nguyên tố và lớp
vành nửa nguyên tố.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố của vành không giao hoán.
- Vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết vành và mơđun có
liên quan đến nội dung luận văn.


4

- Kiểm tra các tính chất đúng đối với các iđêan nửa ngun tố thì
có cịn đúng khơng nếu thay các iđêan nửa nguyên tố bằng các iđêan lũy
đẳng nửa ngun tố. Tìm các ví dụ minh họa.
- Trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày những kiến thức cần thiết và sẽ được sử dụng
trong luận văn.
Chương 2: Cấu trúc của vành lũy đẳng nửa nguyên tố
Chương này trình bày một số tính chất của iđêan lũy đẳng nửa nguyên
tố và vành lũy đẳng nửa nguyên tố. Đặc biệt, ta chứng minh được rằng,
vành ma trận trên một vành lũy đẳng nửa nguyên tố là một vành lũy đẳng
nửa nguyên tố. Đồng thời trình bày về mối liên hệ giữa vành lũy đẳng
nguyên tố và vành lũy đẳng nửa nguyên tố với miền, vành quy gọn.
Do thời gian thực hiện có hạn, năng lực bản thân cịn nhiều hạn chế
nên dù đã rất cố gắng, khóa luận khó tránh khỏi những sai sót. Kính mong
q thầy cơ và bạn đọc thơng cảm và góp ý cho luận văn được hồn chỉnh
hơn.

Xin chân thành cảm ơn!


5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ trình bày một số kiến thức sẽ được sử dụng trong luận
văn. Phần lớn nội dụng của chương này được lấy từ các tài liệu:
1. Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Lý thuyết Vành và Môđun,
NXB Đại học Huế.
2. Lê Văn Thuyết, Lê Đức Thoang (2017), Vành với điều kiện hữu hạn,
NXB Đại học Huế.
3. T.Y Lam (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Graduate
Texts in Mathematics, vol.131, Springer-Verlag.
1.1. Iđêan và vành nửa nguyên tố
Vành lũy đẳng nửa nguyên tố là một lớp con của lớp các vành nửa
nguyên tố. Một trong những hướng nghiên cứu chính của chúng ta là kiểm
tra xem các tính chất đúng với vành nửa nguyên tố thì có đúng với vành
lũy đẳng nửa ngun tố hay khơng. Như vậy, trước hết ta sẽ tìm hiểu về
iđêan và vành (nửa) nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.1. Một iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên
tố nếu P 6= R và với hai iđêan bất kỳ I, J ⊆ R,

IJ ⊆ P thì I ⊆ P hoặc J ⊆ P .
Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nguyên tố.
Ví dụ 1.1.2. (1) Trong vành các số nguyên Z, các iđêan nguyên tố
chính là các iđêan sinh bởi các số nguyên tố pZ.

(2) Với p là một số nguyên tố, khi đó iđêan

 


pZ pZ
a b
pZ pZ =
c d |a, b, c, d ∈ pZ
là một iđêan nguyên tố của vành M2 (Z).


6

(3) Các vành Z, M2 (Z) là các vành nguyên tố.
Mệnh đề 1.1.3 sau đây cho ta các đặc trưng của iđêan nguyên tố giúp
ta thuận tiện hơn trong việc kiểm tra một iđêan có phải iđêan ngun tố
hay khơng.
Mệnh đề 1.1.3. Cho P là một iđêan thực sự của vành R, các điều
kiện sau là tương đương:
(1) P là iđêan nguyên tố;
(2) Nếu I, J là các iđêan bất kỳ chứa thực sự P , thì IJ * P ;
(3) R/P là vành nguyên tố;
(4) Nếu I, J là các iđêan phải bất kỳ của R sao cho IJ ⊆ P , thì
I ⊆ P hoặc J ⊆ P ;
(5) Nếu I, J là các iđêan trái bất kỳ của R sao cho IJ ⊆ P , thì I ⊆ P
hoặc J ⊆ P ;
(6) Nếu x, y ∈ R với xRy ⊆ P , thì x ∈ P hoặc y ∈ P .
Chứng minh. Xem [2, Mệnh đề 3.2].
Giao của các iđêan ngun tố nhìn chung khơng phải là iđêan nguyên

tố, chẳng hạn trong vành Z, với các số nguyên tố p, q , ta có pZ, q Z là các
iđêan nguyên tố nhưng pq Z = pZ ∩ q Z khơng phải là iđêan ngun tố. Ta
có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.4. Giao của một họ bất kỳ các iđêan nguyên tố của
vành R là một iđêan của R và được gọi là iđêan nửa nguyên tố của R.
Vành R được gọi là vành nửa nguyên tố nếu iđêan 0 là iđêan nửa
nguyên tố.
Ví dụ 1.1.5. Trong vành Z, mọi iđêan nửa nguyên tố của nó đều có
dạng nZ, trong đó n = p1 ...pk với k ∈ N, p1 , ..., pk là các số nguyên tố đôi
một phân biệt.
Từ định nghĩa này, ta thấy rằng iđêan nguyên tố cũng là iđêan nửa
nguyên tố và giao của các iđêan nửa nguyên tố là một iđêan nửa nguyên
tố.


7

Định nghĩa 1.1.6. Một tập hợp S với một quan hệ thứ tự trên nó
được gọi là một dàn đầy đủ nếu mọi tập con của nó đều có cận trên đúng
(sup) và cận dưới đúng (inf) trong S .
Dễ thấy, tập tất cả các iđêan nửa nguyên tố của vành R với quan hệ
thứ tự bao hàm tạo thành một dàn đầy đủ. Tuy nhiên điều này không
đúng đối với tập tất cả các iđêan nguyên tố.
Tương tự với đặc trưng 6 (Mệnh đề 1.1.3) của iđêan nguyên tố, đối
với iđêan nửa nguyên tố ta có đặc trưng sau.
Mệnh đề 1.1.7. Một iđêan P của vành R là nửa nguyên tố khi và
chỉ khi với mọi x ∈ R thỏa mãn xRx ⊆ P thì x ∈ P .
Chứng minh. Xem [2, Định lí 3.14].
Mệnh đề trên cho ta hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.8. Cho P là một iđêan của vành R. Những điều kiện sau

là tương đương:
(1) P là một iđêan nửa nguyên tố.
(2) Nếu I là một iđêan bất kỳ của R thỏa mãn I 2 ⊆ P , thì I ⊆ P.
(3) Nếu I là một iđêan bất kỳ của R chứa thực sự P , thì P 2 * P .
(4) Nếu I là một iđêan phải bất kỳ của R thỏa mãn I 2 ⊆ P , thì

I ⊆ P.
(5) Nếu I là một iđêan trái bất kỳ của R thỏa mãn I 2 ⊆ P , thì I ⊆ P.
Chứng minh. Xem [2, Hệ quả 3.15].
Đối với vành đa thức, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.9. Cho T là tập gồm các biến giao hoán lẫn nhau và
giao hoán với các phần tử của R . Khi đó:
(1) Vành đa thức R[T ] là vành nguyên tố khi và chỉ khi R là vành
nguyên tố.
(2) Vành đa thức R[T ] là vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R là vành
nửa nguyên tố.


8

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (2). Phần chứng minh của (1) có
thể xem trong [6,(10.18)].
Giả sử R[T ] là vành nửa nguyên tố. Khi đó với mọi a ∈ R sao cho
aRa = 0. Suy ra aR[T ]a = 0, vì R[T ] là vành nửa nguyên tố nên a = 0.
Ngược lại, giả sử R là vành nửa nguyên tố, với mọi f ∈ R[T ] sao cho
f R[T ]f = 0. Đặt

T0 = {x ∈ T |degx (f ) > 0} ⊆ T.
Dễ thấy T0 là tập hữu hạn và f R[T0 ]f = 0. Ta sẽ chứng minh f = 0 bằng
quy nạp theo số phần tử của T0 . Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường

hợp T0 có một phần tử hay R[T0 ] = R[x] là vành đa thức một biến. Gọi

a là hệ số cao nhất của đa thức f , khi đó f R[T0 ]f = 0, suy ra aRa = 0
và vì R là vành nửa nguyên tố nên a = 0. Do đó f = 0. Vậy R[T ] là vành
nửa nguyên tố.
Ta cũng có một kết quả tương tự đối với vành ma trận.
Mệnh đề 1.1.10. (1) Một vành R là nguyên tố khi và chỉ khi Mn (R)
là vành nguyên tố.
(2) Một vành R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi Mn (R) là vành nửa
nguyên tố.
Trong quá trình chứng minh, ta sẽ sử dụng kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.11. Với mọi iđêan của vành I của vành Mn (R), tồn
tại duy nhất iđêan J của vành R sao cho I = Mn (J).
Chứng minh. Xem [6,(3.1)].
Chứng minh Mệnh đề 1.1.10. Ta sẽ chứng minh (2). Phần chứng
minh của (1) có thể xem trong [6,(10.20)].
Giả sử R không là nửa vành nguyên tố. Theo mệnh đề 1.1.8, tồn tại
iđêan I 6= 0 của R sao cho I 2 = 0. Suy ra Mn (I)2 = 0, do đó Mn (R)
khơng là vành nửa ngun tố.


9

Ngược lại, giả sử Mn (R) không là vành nửa nguyên tố, tức là tồn tại
iđêan I của Mn (R) sao cho I 2 = 0. Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.11, tồn tại
duy nhất iđêan P của R sao cho I = Mn (P ). Vì I 2 = 0 nên P 2 = 0. Vậy
R không là vành nửa nguyên tố.
1.2. Một số lớp vành và đặc trưng
Trong luận văn này, ngồi tìm hiểu một số tính chất cơ bản của vành
và iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố, ta cũng tìm hiểu về mối liên hệ giữa vành

lũy đẳng (nửa) nguyên tố với các lớp vành quan trọng như miền, vành quy
gọn, vành nửa đơn, vành Artin, vành chính quy von Neumann, .v.v.
Định nghĩa 1.2.1. (1) Tập L các mơđun con nào đó của M được
gọi là thỏa điều kiện dãy giảm (DCC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ⊇ L2 ⊇ ... ⊇ Ln ⊇ ...
trong L, tồn tại n ∈ N sao cho Ln+i = Ln (∀i ∈ N).
(2) Môđun MR được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các mơđun
con nào đó của M đều có phần tử tối tiểu.
(3) Một vành R được gọi là Artin phải (tương ứng, trái) nếu môđun

RR (tương ứng, R R) là Artin.
Định lý sau đây cho ta các đặc trưng của môđun Artin.
Định lý 1.2.2 Cho MR và A là một môđun con của M . Các điều
kiện sau tương đương:
(1) M là Artin,
(2) A và M/A là Artin,
(3) M thỏa DCC đối với tập các môđun con.
Chứng minh. Xem [1, Định lý 1.1.3].
Ví dụ 1.2.3. Xét các không gian vectơ trên trường R, không gian
vectơ hữu hạn chiều là R-môđun Artin, không gian vectơ vô hạn chiều
không là R-môđun Artin.


10

Định nghĩa 1.2.4. (1) Một R-môđun M được gọi là đơn nếu M 6= 0
và khơng có mơđun con khơng tầm thường nào.
(2) Cho (Ti )i∈I là một tập các môđun con đơn của R-môđun M . Nếu
M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn này, nghĩa là

M=

M

Ti (∗)

i∈I

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M .
(3) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa
đơn.
(4) Vành R được gọi là đơn nếu R khơng có iđêan (hai phía) thực sự
nào.
(5) Vành R được gọi là nửa đơn phải (tương ứng, trái) nếu môđun
RR (tương ứng, R R) nửa đơn.
Ví dụ 1.2.5. (1) Thể là vành đơn.
(2) Zp = Z/pZ được xem như là các Z-môđun đơn.
(3) Zn = Z/nZ(n 6= 0) được xem như là các Z-môđun nửa đơn khi và
chỉ khi n là tích của các số nguyên tố đôi một khác nhau hoặc khi n = ±1.
(4) ZZ không nửa đơn. QZ cũng không nửa đơn vì khơng có mơđun
con đơn nào.
(5) Mỗi khơng gian vectơ V trên trường K là nửa đơn.

V =

M

xK,

x∈B

trong đó B là cơ sở của V .
Định lý sau đây cho ta một đặc trưng rất cơ bản của Wedderburn về
vành có vật sinh phải đơn.
Định lý 1.2.6. (Định lý Wedderburn) Vành R có một vật sinh
phải đơn khi và chỉ khi R đẳng cấu với vành ma trận Mn (D), trong đó
D là thể và số tự nhiên n nào đó. Hơn nữa, nếu TR là một vật sinh phải


11

đơn cho R, thì ta có đẳng cấu vành R ' Mn (D) trong đó D =End(TR )
và n = c(RR ) (độ dài của RR ).
Chứng minh. Xem [1, Định lý 2.2.2].
Từ định lý này, ta có các đặc trưng quan trọng khác của vành có vật
sinh phải đơn.
Mệnh đề 1.2.7. Các điều kiện sau là tương đương với vành R:
(1) R có một vật sinh trái đơn,
(1’) R có một vật sinh phải đơn,
(2) R là đơn và Artin trái,
(2’) R là đơn và Artin phải,
(3) Với R T đơn nào đó, R R ' T (n) với n nào đó,
(3’) Với TR đơn nào đó, RR ' T (n) với n nào đó,
(4) R đơn và R R là nửa đơn,
(4’) R đơn và RR là nửa đơn.
Chứng minh. Xem [1, Mệnh đề 2.2.3].
Định nghĩa 1.2.8. Vành thỏa điều kiện tương đương của Mệnh đề
này thường được gọi là vành Artin đơn.
Ví dụ 1.2.9. Từ Định lý 1.2.6, ta thấy ngay rằng vành các ma trận

trên một thể là vành Artin đơn.
Định lý sau cho ta một đặc trưng rất quan trọng của các vành nửa
đơn.
Định lý 1.2.10. (Định lý Wedderburn-Artin) Một vành R là
nửa đơn phải nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn
các vành Artin đơn.
Chứng minh. Xem [1, Định lý 2.3.1].
Từ các định lý trên, ta thấy rằng một vành là nửa đơn phải khi và
chỉ khi nó cũng là nửa đơn trái. Và do đó, ta chỉ nói đến vành nửa đơn mà
khơng đề cập đến phía của nó. Các định lý trên cũng cho ta thấy rằng một


12

vành là nửa đơn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số
hữu hạn các vành ma trận trên một thể.
Định lý sau đây cho ta một đặc trưng của vành nửa đơn thông qua
vành nửa nguyên tố và vành Artin.
Định lý 1.2.11. Đối với vành R, các mệnh đề sau tương đương:
(1) R là nửa đơn,
(2) R là nửa nguyên tố và Artin phải,
(3) R là nửa nguyên tố và thỏa điều kiện DCC trên các iđêan phải
chính.
Chứng minh. (1)⇒(2): Trước hết, ta thấy rằng theo Mệnh đề 1.1.10,
vành các ma trận trên một thể là vành nửa nguyên tố. Do đó nếu R là
vành nửa đơn thì R đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn các
vành ma trận trên một thể là vành nửa nguyên tố và Artin phải.
(2)⇒(3): Hiển nhiên.
(3)⇒(1): Trong quá trình chứng minh, ta sẽ sử dụng hai bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.12. Nếu R thỏa điều kiện DCC trên các iđêan phải chính

thì mọi iđêan trái I 6= 0 của vành R đều chứa một iđêan phải tối tiểu khác
không.
Chứng minh. Giả sử không tồn tại iđêan phải tối tiểu của vành R
nằm trong I , khi đó với mọi x ∈ I , vì xR ⊂ I nên xR không là iđêan tối
tiểu, suy ra tồn tại x1 ∈ xR sao cho xR ⊃ x1 R. Tiếp tục q trình này,
ta có dãy giảm ngặt khơng dừng các iđêan phải chính

xR ⊃ x1 R ⊃ x2 R ⊃ x3 R ⊃ ...
Điều này mâu thuẫn với giả thiết R thỏa điều kiện DCC trên các iđêan
phải chính.
Bổ đề 1.2.13. (Bổ đề Brauer) Nếu I là một iđêan tối tiểu của
vành R thì hoặc I 2 = 0 hoặc I = eR, với e là phần tử lũy đẳng của R
(tức là e2 = e).


13

Chứng minh. Giả sử I 2 6= 0. Khi đó tồn tại a ∈ I sao cho aI 6= 0.
Vì aI ⊆ I và I tối tiểu nên aI = I . Do đó tồn tại e ∈ I sao cho ae = a.
Ta có J = {x ∈ I|ax = 0} là một iđêan của R và J ⊂ I (vì e ∈
/ J ), do đó
J = 0. Mặt khác, ta có a(e2 − e) = 0 nên e2 − e ∈ J , tức là e2 = e. Vì I
là iđêan phải tối tiểu của R và 0 6= eR ⊆ I nên I = eR.
Trở lại với chứng minh (3)⇒(1): Giả sử R không nửa đơn. Theo Bổ
đề 1.2.12, tồn tại iđêan tối tiểu I1 của R. Theo Hệ quả 1.1.8, R là vành
nửa nguyên tố nên I12 6= 0. Do đó theo Bổ đề 1.2.13, tồn tại một phần tử
lũy đẳng e1 ∈ R sao cho I1 = e1 R. Khi đó ta có RR = e1 R ⊕ (1 − e1 )R.
Vì J1 = (1 − e1 )R 6= 0 nên theo Bổ đề 1.1.12, tồn tại iđêan phải tối
tiểu I2 ⊂ J1 (vì R không nửa đơn). Bằng lập luận tương tự như trên,
ta thấy rằng tồn tại phần tử lũy đẳng e2 ∈ R sao cho I2 = e2 R. Ta có

e2 R ⊕ (1 − e1 − e2 )R = J1 . Vì e2 R = I2 6= 0 nên J2 = (1 − e1 − e2 )R ⊂ J1 .
Tiếp tục q trình này, ta có một dãy giảm ngặt khơng dừng các iđêan
phải chính

J1 ⊂ J2 ⊂ J3 ⊂ ...
Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng vành R là nửa đơn.
Định nghĩa 1.2.14. Một vành R là vành chính quy von Neumann
nếu mỗi phần tử r ∈ R, thì tồn tại r0 ∈ R sao cho r = rr0 r.
Ví dụ 1.2.15. (1) Thể là vành chính quy von Neumann.
(2) Vành M2 (R) là vành chính quy von Neumann.
Định nghĩa 1.2.16. (1) Một phần tử x ∈ R là lũy linh nếu tồn tại
số n ∈ N sao cho xn = 0.
(2) Một vành R là vành quy gọn nếu nó khơng chứa phần tử lũy linh
nào khác 0.

Ví dụ 1.2.17. (1) Trong vành Mn (R), A =

0 1
0 0



lũy linh.
(2) Z là vành quy gọn. Cịn Z4 khơng là vành quy gọn.

là phần tử


14

Định nghĩa 1.2.18. (1) Một iđêan I của R được gọi là iđêan lũy linh
nếu tồn tại n ∈ N sao cho I n = 0.
(2) Một iđêan I của R được gọi là iđêan linh nếu mọi phần tử của nó
đều là phần tử lũy linh.
Dễ thấy một iđêan lũy linh thì mọi phần tử của nó đều lũy linh. Do
đó iđêan lũy linh là iđêan linh. Chiều ngược lại nhìn chung là khơng đúng.
Ví du 1.2.19. (1) Trong vành ma trận tam giác trên cấp 2 trên vành

R, iđêan


0 R
A= 0 0





=



0 x
0 0 |x ∈ R

là iđêan lũy linh.
(2) Xét vành R = R[x1 , x2 , ..., xn , ...]/hx21 , x32 , ..., xn+1
n , ...i và I =

hx1 , x2 , ..., xn , ...i. Khi đó I là iđêan linh nhưng khơng là iđêan lũy linh.

1.3. Về phần tử lũy đẳng
Định nghĩa 1.3.1. Một phần tử x ∈ R là lũy đẳng nếu x2 = x.
Ví dụ 1.3.2. (1) Dễ thấy mọi vành R đều có hai phần tử lũy đẳng
là 0 và 1.
(2) Trong vành Mn (R), ngoài các phần tử lũy đẳng tầm
 thường
 là 0
1 0
và E , ta còn có các phần tử lũy đẳng khác chẳng hạn A = 0 0 .
Định nghĩa 1.3.3. Cho I là một iđêan của vành R, ta nói các lũy
đẳng nâng được modulo I nếu với mỗi lũy đẳng x ∈ R/I tồn tại một phần
tử lũy đẳng x của R sao cho x = x + I .
Mệnh đề 1.3.4. Nếu I là iđêan linh của vành R, thì mọi lũy đẳng
nâng được modulo I .
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan linh của vành R và r + I là một
lũy đẳng của vành R/I(r ∈ R). Khi đó (r + I)2 = r + I , tức là r2 − r ∈ I .
Vì I là iđêan linh nên tồn tại số nguyên dương n sao cho (r2 − r)n = 0,
suy ra


15
n
X

(−1)i Cni r2n−i = 0.

i=0

Do đó

rn =

n−1
X

(−1)n+i Cni r2n−i = r

i=0

n−1
X

!

(−1)n+i Cni rn−i−1 rn .

i=0

Đặt

s=

n−1
X

(−1)n+i Cni rn−i−1 ,

i=0

ta có rn = rsrn . Do đó rn = (rs)rn = (rs)2 rn , lặp lại q trình này,

ta có rn = (rs)n rn . Vì rs = sr nên rn = rn sn rn , suy ra rn sn = (rn sn )2 .
Do đó e = rn sn là phần tử lũy đẳng.
Mặt khác, vì r2 − r ∈ I nên rk+2 − rk+1 = rk (r2 − r) ∈ R, với mọi

k ∈ N∗ . Do đó
n

r −r =

n−2
X

(rn−i − rn−i−1 ) ∈ I ,

i=0

suy ra tồn tại a ∈ I sao cho rn = r + a. Thay vào rn = rn+1 s, ta có

r + a = (r + a)rs = r2 s + ars,
suy ra

r2 s − r = a − ars = a(1 − rs) ∈ I .
Hơn nữa, vì r2 − r ∈ I nên tồn tại b ∈ I sao cho r2 = r + b. Như vậy,

(r + b)s − r = r2 s − r ∈ I ,
suy ra rs − r ∈ I , do đó

(rs)2 − s2 = (rs − r)(rs + r) ∈ I .

16

Tương tự, ta có (rs)n − rn ∈ I . Vậy (rs)n − r = [(rs)n − rn ] + (rn − r) ∈ I ,
tức là, r + I = e + I .
Từ mệnh đề trên, ta thấy Ví dụ 1.2.17(1) cho ta biết về một iđêan

 


0 x
0 R
A= 0 0 =
0 0 |x ∈ R
mà các lũy đẳng nâng được modulo A.


17

CHƯƠNG 2

CẤU TRÚC CỦA VÀNH LŨY ĐẲNG NỬA
NGUYÊN TỐ

2.1. Mở đầu
Theo định nghĩa, một vành R là lũy đẳng nửa nguyên tố khi và chỉ
khi iđêan 0 là iđêan lũy đẳng nửa nguyên tố, tức là với mọi a ∈ R, aea = 0
với mọi phẩn tử lũy đẳng e ∈ I(R), thì a = 0. Một cách tương đương ta
có: một vành R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi với mọi a 6= 0, tồn tại một
phần tử lũy đẳng e ∈ I(R) sao cho aea 6= 0. Nếu a2 6= 0, điều kiện trên là
hiển nhiên đúng vì 1 ∈ I(R), do đó trong điều kiện trên chỉ cần kiểm tra

đối với các phần tử có bình phương bằng 0. Như vậy, ta có thể phát biểu
định nghĩa trên như sau:
Định nghĩa 2.1.1. Vành R là vành lũy đẳng nửa nguyên tố khi và
chỉ khi với mọi a ∈ R, a2 = 0, tồn tại một phần tử lũy đẳng e ∈ I(R) sao
cho aea 6= 0.
Như đã nói ở chương mở đầu, đối với vành giao hoán, khái niệm nửa
nguyên tố và lũy đẳng nửa ngun tố là trùng nhau, ta có ngay các ví dụ
về vành lũy đẳng nửa nguyên tố sau:
Ví dụ 2.1.2. (1) Trường là một vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
(2) Vành đa thức Z[x] là vành lũy đẳng nửa nguyên tố.
0
(3) Vành các ma trận tam giác
 trên
 Mn (R) không phải vành lũy đẳng
1 1
nửa nguyên tố. Chẳng hạn I = 0 0 là phần tử lũy đẳng của Mn0 (R),






0 1
0 1
1 1
0 1
tuy nhiên A = 0 1 6= 02×2 và AIA = 0 1
0 0
0 1 = 02×2 .