Vi phân đạo hàm cấp cao

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM
BÀI 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được định nghĩa vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n.
 Kĩ năng
+ Tính được vi phân của hàm số f  x  tại x0 cho trước.
+

Tìm vi phân của hàm số f  x  .

+

Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.

+ Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n.
+ Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan
đến đạo hàm cấp 2,3.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 1


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

I.

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Vi phân

Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và có đạo hàm tại x   a; b 

Nếu chọn hàm số y  x thì ta
có dy  dx  1.x  x .

. Gọi x là số gia của x .

Do vậy ta thường kí hiệu
Ta gọi tích f   x  .x là vi phân của hàm số y  f  x  tại x ứng với số
x  dx và dy  f   x  dx .

gia x . Kí hiệu df  x  hoặc dy , tức là
dy  df  x   f   x  .x .
Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Cơng thức tính gần đúng nhờ vi phân là

f  x0  x   f  x0   f   x0  .x.
Đạo hàm cấp cao
+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f  . Nếu f  cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được
kí hiệu là f  , tức là f    f    .
+ Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1
( với n   , n  2 ) là f 

n 1

. Nếu f 

n 1

cũng có đạo hàm thì đạo hàm

của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là



f  n  , tức là




f  n   f  n 1 .
+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai

s  t  là gia tốc tức thời của chuyển động s  s  t 

tại thời điểm t .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính vi phân
Bài tốn 1. Tìm vi phân của hàm số
Phương pháp giải
Ví dụ. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2x  7

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 2


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

a)Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với
số gia x  0, 02 .
b) Tìm vi phân của hàm số.
Hướng dẫn giải
a) Tính vi phân của hàm số f  x  tại x0 cho trước:
- Tính đạo hàm của hàm số tại x0 .

2
a) Ta có y  f   x   3 x  6 x  2 .

Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với

- Vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là số gia x  0, 02 là
df  1  f   1 .x   3.12  6.1  2  .0, 02  0,14 .

df  x0   f   x0  .x .
b) Tìm vi phân của hàm số f  x  .

2
b) dy  f   x  .x   3x  6 x  2  dx .

- Tính đạo hàm của hàm số.
- Vi phân của hàm số dy  df  x   f   x  .x .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  4 x 2  5 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 , ứng với số gia

x  0, 02 .
Hướng dẫn giải
2
Ta có y  f   x   3 x  4 x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với số gia x  0, 02 là

df  1  f   1 .x   3.12  4.1 .0, 02  0, 02 .
Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số y 

x
x 1
2

Hướng dẫn giải
2
2
 x2  1
x2 1
 x  x  1  2 x



dy

y
dx

dx .
Ta có y   2  
2
2

2
 x 1 
 x2  1  x2  1
 x2  1

Bài toán 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
Phương pháp giải
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f  x 

Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của

49, 25 (lấy 5

chữ số thập phân trong kết quả).
tại điểm x   x0  x  cho trước, ta áp dụng
Hướng dẫn giải

f
x


x

f
x

f
x
.


x
  0
 0  . Ta có 49, 25  49  0, 25 .
cơng thức  0
Xét hàm số f  x   x  f   x  

1
2 x

.

Chọn x0  49 và x  0, 25 , ta có

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 3


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

f  x0  x   f  x0   f   x0  .x
 49  0, 25  49 

1
.0, 25  7  0, 01786
2 49
 7, 01786

Vậy

49  0, 25  7, 01786 .

Ví dụ mẫu
1
.
0,9995

Ví dụ 1. Tính gần đúng
Hướng dẫn giải
a) Ta có

1
1

.
0,9995 1  0, 0005

Xét hàm số f  x  

1
1
 f  x   2 .
x
x

Chọn x0  1 và x  0, 0005 , ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x


1
 1  1.  0, 0005   1, 0005

1  0, 0005

Ví dụ 2. Tính gần đúng sin 46 .
Hướng dẫn giải

 

Ta có sin 46  sin  45  1   sin  
.
 4 180 
Xét hàm số f  x   sin x  f   x   cos x .
Chọn x0 



và x 
, ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x
4
180

 

 
2
2

 sin  


.

  sin  cos .
4
4 180
2
360
 4 180 
Bài tập tự luyện dạng 1
2
Câu 1: Vi phân của hàm số f  x   3 x  x tại điểm x  2 , ứng với x  0,1 là

A. -0,07.

B. 10.

C. 1,1.

D. -0,4.

Câu 2: Vi phân của hàm số y  x 2  5 x bằng biểu thức nào sau đây?
A. dy 

1
2 x2  5x

C. dy  

dx .

2x  5
2 x2  5x

dx .

B. dy 
D. dy 

2x  5
x2  5x

dx .

2x  5
2 x2  5x

dx .

Câu 3: Vi phân của hàm số y  x sin x  cos x là
A. dy   2sin x  x cos x  dx .

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

B. dy  x cos xdx

Trang 4


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

D. dy   sin x  cos x  dx

C. dy  x cos x

  3 
Câu 4: Dùng cơng thức vi phân làm trịn đến số thập phân thứ tư của tan  
 được kết quả
 3 80 
A. 1,2608.

B. 1,2611.

C. 1,3391

D. 1,3392.

Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

d  sin x 
  cot x .
d  cos x 

B.

d  sin x 
  tan x .
d  cos x 

C.

d  sin x 

 cot x .
d  cos x 

D.

d  sin x 
 tan x .
d  cos x 

Câu 6: Cho hàm số y  f  x    x  1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f  x  ?
2

A. dy  2  x  1 dx .

B. dy   x  1 dx .
2

C. dy  2  x  1 .

D. dy   x  1 dx .

Câu 7: Vi phân của hàm số y  x 3  9 x 2  12 x  5 là
2
A. dy   3 x  18 x  12  dx .

2
B. dy   3 x  18 x  12  dx .

2
C. dy    3x  18 x  12  dx .

2
D. dy   3 x  18 x  12  dx

Câu 8: Vi phân của hàm số là y  1  x 2 là
A. dy 
C. dy 

1
1 x

2

2x
1  x2

dx .

B. dy 

dx .

D. dy 

x
1  x2
1  x2
1  x2

dx .

dx .

Câu 9: Vi phân của hàm số là y  3 x  2 là
A. dy 

3
dx .
3x  2

B. dy 

1
dx .
2 3x  2

C. dy 

1
dx .
3x  2

D. dy 

3
dx .
2 3x  2

Câu 10: Vi phân của hàm số y 
A. dy  
C. dy  

8

 2 x  1

4

2

dx .

B. dy 

2

dx .

D. dy  

4

 2 x  1

2x  3
là
2x 1

 2 x  1

2

dx .

7

 2 x  1

2

dx .

Câu 11: Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là
A. dy   x cos x  sin x  dx .

B. dy   x cos x  dx .

C. dy   cos x  sin x  dx .

D. dy   x sin x  dx .

Câu 12: Xét hàm số y  f  x   1  cos 2 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng?

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 5


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

A. df  x  

C. df  x  

 sin 4 x
2 1  cos 2 x
2

cos 2 x

C. dy 

1  cos 2 x



2 x  sin 2 x
4 x x cos

2

x

 sin 4 x

dx .

1  cos 2 2 x
 sin 2 x
1  cos 2 2 x

dx .

tan x
là
x

2 x
dx .
4 x x cos 2 x

Câu 14: Cho hàm số y 
A. dy 

D. df  x  

dx .

2

Câu 13: Vi phân của hàm số y 
A. dy 

B. df  x  

dx .

B. dy 

 dx .

D. dy 



sin 2 x



4 x x cos 2 x

dx .



2 x  sin 2 x
4 x x cos

2

x

 dx .

1
. Vi phân của hàm số là
3x3

1
dx .
4

B. dy 

1
dx .
x4

C. dy  

1
dx .
x4

D. dy  x 4 dx .

Dạng 2: Đạo hàm cấp cao
Bài tốn 1. Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số
Phương pháp giải
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y  cos 2 x .
hai y   y  . Tính y  x0  .

Hướng dẫn giải

+ Cấp 3,4… ta tính tương tự.

2
Ta có y  cos x 

1
 1  cos 2 x   y   sin 2 x
2

 y  2cos 2 x  y  4sin 2 x .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y 

3x  1
.
x2

Hướng dẫn giải
Ta có y 

7

 x  2

2

2 
7  x  2  

  14
 y 
4
3
 x  2
 x  2

3 
 x  2  4 

14  x  2  

42
42
 

  168 .
 y  
 y  4 
6
4
8
5
 x  2
 x  2
 x  2
 x  2

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y  sin 2 2 x .
Hướng dẫn giải
2
Ta có y  sin 2 x 

1
 1  cos 4 x 
2

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 6

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

 y  2sin 4 x  y  8cos 4 x  y  32sin 4 x
 y  4  128cos 4 x  y  5  512sin 4 x
Bài tốn 2. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
Phương pháp giải
Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp của hàm số
y  sin x  n   *  .
Hướng dẫn giải



Bước 1: Tính y, y, y . Dựa vào các đạo hàm Ta có: y  cos x  sin  x  1. 2  ;
vừa tính, dự đốn cơng thức tính y  n  .



y   sin x  sin  x  2.  ;
2




 n
*
Dự đoán: y  sin  x  n  , n   .  1
2


Bước 2: Chứng minh cơng thức vừa dự đốn là Chứng minh  1 bằng quy nạp:
đúng bằng phương pháp quy nạp.



n  1 :  1 Hiển nhiên đúng.



Giả sử  1 đúng với n  k  1 nghĩa là



y k  sin  x  k 
2

Ta phải chứng minh  1 đúng với n  k  1 nghĩa là
ta phải chứng minh



y  k 1  sin  x   k  1  .  2 
2

Thật vậy, xét  2  ta có
'
 
  



VT  y k 1   y k   sin  x  k    cos  x  k 
2 
2

 



 sin  x   k  1   VP .
2

Suy ra  2  đúng,nghĩa là  1 đúng với n  k  1 .
Theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức



y n  sin  x  n  , n   *
2




Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y , y , y , tìm ra quy luật để dự đốn cơng thức
y  n  chính xác

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 7

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Ví dụ mẫu
3x  1
.
x2

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y 
Hướng dẫn giải
Ta có: y 

7

 x  2

2

, y 

7.2

 x  2

Bằng quy nạp ta chứng minh y

3

 n

, y 

7.2.3

 x  2

4

.

 1 .7.n ! 2

n 1 .  
 x  2
n



Với n  1 ta thấy  2  đúng.



Giả sử  2  đúng với n  k , tức là y

 k

 1 .7.k !

k 1 .
 x  2
k

k
k 1
 1 k .7.k 
1 .7.k !.  k  1  1 .7.  k  1 !
Ta có: y  k 1     k 1     
.

k 2
k 2
  x  2 
x

2
x

2







Do đó  2  đúng với mọi số tự nhiên n .
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức đạo hàm cấp cao của hàm số

 1 .7.n !
3x  1
 n

y
là y 
n 1 .
x2
 x  2
n

Bài toán 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để Ví dụ. Cho hàm số y  x sin x
chứng minh bất đẳng thức, giải Chứng minh x. y  2  y   sin x   xy  0 .
phương trình, bất phương trình.
Hướng dẫn giải
Ta có
y   x sin x    y '  x.sin x  x.  sin x  

 y  sin x  x cos x
y   sin x  x cos x  '   sin x     x cos x  
 cos x  x '.cos x  x.  cos x    2 cos x  x sin x .

Ta có x. y  2  y   sin x   xy  0
 x  2cos x  x sin x   2  sin x  x cos x  sin x   x 2 sin x  0
 2 x cos x  x 2 sin x  2 x cos x  x 2 sin x  0
00

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 8

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

(điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng minh y 3 . y  1  0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: y 

y 



2x  x2

1 x .

2x  x2 



 2x  x2 






  y '  2


2 x  x2

2 x  x2



  2x  x2    1  x 

2 x  x2

. 2x  x2   



2 x  x2

2x  x2

.





2

. 1  x 

2

2

1



 

1
y . y  1  0   2 x  x  .
Ta có
 2x  x 
2x  x2 .

1 x


2x  x2 . 1  x 

2 x  x2

1 x

1

2

3

2x  x2

2

.

3

3

2

3

 1  0  1  1  0

(điều phải chứng minh).
Ví dụ 2. Cho hàm số y 

sin 3 x  cos3 x
. Chứng minh y  y  0 .
1  sin x.cos x

Hướng dẫn giải

Ta có: y 



 sin x  cos x   sin 2 x  cos 2 x  sin x cos x 
1  sin x cos x

 sin x cos x   1  sin x cos x 
1  sin x cos x

 sin x  cos x

 y  cos x  sin x  y   sin x  cos x .
Ta có y  y  0   sin x  cos x  sin x  cos x  0  0  0 (điều phải chứng minh).
Ví dụ 3. Cho hàm số y 

2x  4
. Giải phương trình y  0 .
x  4x  3
2

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 9


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Hướng dẫn giải
Ta có y 

2  x  2
2x  4

x  4x  3  x  2 2 1
2

 2  x  2   2  x  2  2  2  2  x  2  .2  x  2  2  x  2  2  2
 y  
 

2
2
2
  x  2 2 1 


 x  2  2  1


 x  2   1




2
 2  x  2   2 
 y  
2 
2
  x  2   1 
 

2

2
2

2
4  x  2   x  2   1   2  x  2   2  .2  x  2   1 2  x  2 

 
 


4
2
 x  2   1



2
2
2
4  x  2   x  2   1    x  2   1  2  x  2   2 




4
2
 x  2   1



2
2
4  x  2   x  2   1  x  2   3






.
4
2
 x  2   1



2
2
4  x  2   x  2   1  x  2   3



 0
Ta có y  0 
.
4
2
 x  2   1



Điều kiện:  x  2   1  0 .
2

Khi đó y  0  x  2  0  x  2 .
Bài tập tự luyện dạng 2
3
2
Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f  x   x  x  4 tại điểm x  1 là

A. 1.

B. 10.

C. 4.

Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y 
A. y 

10

 x  2

2

.

B. y  

D. 16.

3x  1
là
x2

5

 x  2

4

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

.

C. y  

5

 x  2

3

.

D. y  

10

 x  2

3

.

Trang 10


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

 
Câu 3: Cho f  x   sin 3x . Giá trị của f     bằng
 2
A. -9.

B. 0.

C. 9.

D. -3.

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  cos 2 x là
A. y  2 cos 2 x .

B. y  2sin 2 x .

C. y  2 cos 2 x .

D. y  2sin 2 x .

Câu 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x   x sin x  3 là
A. f   x    x sin x .

B. f   x   2 cos x  x sin x .

C. f   x   sin x  x cos x .

D. f   x   1  cos x .

Câu 6: Cho hàm số y  f  x   sin x . Khẳng định nào sau đây sai?



A. y  sin  x   .
2

3

C. y  sin  x 
2


B. y  sin  x    .

.


 4
D. y  sin  2  x 

Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 5 x cos 2 x là
A. y  49sin 7 x  9sin 3 x .
C. y 

49
9
sin 7 x  sin 3x .
2
2

B. y  49sin 7 x  9sin 3 x .
D. y  

49
9
sin 7 x  sin 3 x .
2
2

Câu 8: Cho hàm số y  sin 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 4 y  y   0 .

B. 4 y  y  0 .

Câu 9: Cho hàm số y 
A. y  2 
C. y 

1

 1 x

2

 1 x

3

2

C. y  y tan 2 x .

D. y 2   y   4 .
2

2 x 2  3x
. Đạo hàm cấp hai của f là
1 x
B. y 

.

D. y 

.

2

 1 x

3

.

4

.

2

 1 x

Câu 10: Cho hàm số y  x 3  3x 2  x  1 . Phương trình y  0 có nghiệm là
A. x  2 .

B. x  4 .

C. x  1 .

D. x  3 .

4
4
Câu 11: Cho f  x   x  cos 2 x . Tìm f  x  .
4
A. f  x   24 x  16 cos 2 x .

4
B. f  x   16 cos 2 x .

4
C. f  x   24 x  8sin 2 x .

4

D. f  x   24  16 cos 2 x .

Câu 12: Cho hàm số y  x 2  1 khẳng định nào đúng?

 I  y. y  2 x ;
A. Chỉ  I  .

 II  y 2 . y  y .
B. Chỉ  II  .

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Trang 11


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 13: Cho hàm số y  1  3 x  x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  y    y. y   1 .

B.  y    2 y. y  1

C. y. y   y   1

D.  y    y. y   1

2

2

2

2

Câu 14: Cho hàm số f  x   2 x  1 .Giá trị của f   1 bằng
A. 3.

B. -3.

C.

3
.
2

D. 0.

Câu 15: Cho hàm số f  x   cos 2 x . Tính P  f     .
B. P  0 .

A. P  4 .

C. P  4 .

D. P  1 .



 
 4
Câu 16: Xét hàm số y  cos  2 x   . Nghiệm x  0;  của phương trình f  x   8 là
3

 2
A. x 


.
2

B. x  0, x 

Câu 17: Cho hàm số y 


.
6

C. x  0, x 


.
3

D. x  0, x 


.
2

1
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
x

A. yy 3  2  0 .

C. yy  2  y   0 .

D. yy  2  y 

2

B. yy 3  2 .

2

Câu 18: Cho hàm số y  sin 2 2 x . Giá trị của biểu thức y  3  y  16 y   16 y  8 là
A. -8.

B. 0.

D. 16sin 4x .

C. 8.

Câu 19: Đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x là


n

 n
A. y   1 cos  2 x  n  .
2




 n
n
B. y  2 cos  2 x   .
2




 n
n 1
C. y  2 cos  2 x  n  .
2




 n
n
D. y  2 cos  2 x  n  .

2


Câu 20: Đạo hàm cấp n của hàm số y  2 x  1 là
A. y

n

C. y

n

 1


n 1

 1


.3.5...  3n  1

 2 x  1
n 1

.

2 n 1

.3.5...  2n  1

 2 x  1

2 n 1

.

Câu 21: Đạo hàm cấp n của hàm số y 
A. y

 n

C. y

 n

n 1

 1


n 1

.3.5...  2n  1

 2 x  1

.

2 n 1

.3.5...  2n  3

 2 x  1

2 n 1

.

2x 1
là
x  3x  2

n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !

:
n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

D. y

n

 1


2

5.  1 .n ! 3.  1 .n !


n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

B. y

n

B. y

 n

n

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

D. y

 n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !



n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !


n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

Trang 12


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 22: Đạo hàm cấp n của hàm số y 
A. y

 n

C. y

 n

x
là
x  5x  6
2

 1 .3.n !   1 .2.n !

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

n

B. y

 1 .3.n !   1 .2.n !

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

 n

n

D. y

 n

 1 .3.n !   1 .2.n !

n
n .
 x  3
 x  2
n

n

 1 .3.n !   1 .2.n !

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

n

Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f  x   cos  x  a  là



 2021
 x    cos  x  a   .
A. f
2



 2021
 x    sin  x  a   .
B. f
2



 2021
 x   cos  x  a   .
C. f
2



 2021
 x   sin  x  a   .
D. f
2


Câu 24: Đạo hàm cấp n của hàm số y  sin 2 x là




 n
n 1
A. y  2 sin  2 x  n  .
2




 n
n 1
B. y  2 sin  2 x  n  .
2




 n
n
C. y  2 sin  2 x   .
2




 n
n
D. y  2 sin  2 x  n  .
2


 10   
Câu 25: Cho hàm số y  sin 3 x.cos x  sin 2 x . Giá trị của y   gần nhất với số nào dưới đây?
3

A. 454492.

B. 2454493.

C. 454491.

D. 454490.

x
Câu 26: Cho hàm số y  sin . Đạo hàm y  n  là
2
A.

1

x
sin   n  .
n
2
2
2


x
B. sin   n  .

2
2


x
n
C. 2 sin   n  .
2
2

D.

1
x

sin   n  .
n
2
2


Câu 27: Cho hàm số f  x    3 x 2  2 x  1 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x  0 .
9

 6
A. f  0   60480

 6
B. f  0   34560

 6
C. f  0   60480

 6
D. f  0   34560

THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 9 VÀ SỐ 10
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ 2 VÀ SỐ 3 VÀ SỐ 4

ĐÁP ÁN
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN
Dạng 1. Tính vi phân
SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 13


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

1-C
11 - B

2-D
12 - B

3-B
13 - C

4-A
14 - C

5-A

6-A

7-A

8-B

9-D

10 - A

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có: f   x   6 x  1  f   2   11  df  2   f   2  x  11.0,1  1,1 .
Câu 2.
Ta có dy  y dx 

2x  5
2 x2  5x

dx .

Câu 3.
dy   x sin x  cos x   dx   1.sin x  x.cos x  sin x  dx  x cos xdx .

Câu 4.
2
Xét hàm số f  x   tan x  f   x   1  tan x .

Chọn x0 


3
và x  
, ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x
3
80

 
3 
  3 
2   
 tan  
  tan  1  tan  .     1, 2608 .
3 
3   80 
 3 80 
Câu 5.
d  sin x   sin x   dx
cos x


  cot x .
Ta có
d  cos x   cos x   dx
sin x
Câu 6.


Ta có dy   x  1 2  dx  2  x  1 dx .


Câu 7.
Ta có dy   x 3  9 x 2  12 x  5   dx   3x 2  18 x  12  dx .
Câu 8.
Ta có dy 



1 x  

dx 



1 x




3 x  2 dx 

2



2

2 1 x

2



x
1 x

2

dx .

Câu 9.
Ta có dy 



3
dx .
2 3x  2

Câu 10.
8
 2 x  3 
dx .
Ta có dy  
 dx 
2
 2x 1 
 2 x  1

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 14


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 11.
Ta có dy   x sin x  cos x   dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx .
Câu 12.
Ta có y 

 1  cos

2

2x 

2 1  cos 2 x
2



2.2.cos 2 x.sin 2 x
2 1  cos 2 x
2

 sin 4 x



1  cos 2 x
2

 df  x  

 sin 4 x
1  cos 2 2 x

dx .

Câu 13.
1
1
1
.
. x  tan x .

2
2 x dx
Ta có dy   tan x  dx  2 x cos x


x
x 

1
1
sin x 1  1

  .

.
 dx
2
 2 cos x cos x 2 x  x
x  sin x cos x
.dx
2 x x .cos 2 x







2 x  sin 2 x
4 x .cos

2

x

 .dx

Câu 14.
1 3x 2
1
 1 
Ta có dy   3  dx  . 3 2   4 dx .

3 x 
x
 3x 
Dạng 2. Đạo hàm cấp cao
1-C
11 – D
21 - D

2-D
12 - D
22 – D

3–A
13 – A
23 - C

4-A
14 – A
24 – D

5–B
15 – C
25 - D

6-D
16 – A
26 – A

7-D
17 – D

27 – A

8–B
18 - B

9-B
19 – D

10 – C
20 - D

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
2
Ta có f   x   3x  2 x .

Suy ra: f   x   6 x  2 . Suy ra f   1  4 .
Câu 2.
5
Ta có y  3  x  2  y 

5

 x  2

2

 y   

10

 x  2

3

.

Câu 3.
Ta có f   x   3sin 3 x , suy ra f   x   9sin 3x .
 
 3
Do đó f      9sin  
 2
 2


  9 .


SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 15


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 4.
y  2cos x.   sin x    sin 2 x  y  2cos 2 x .
Câu 5.
Ta có y  f   x    x sin x  3   sin x  x cos x

Vậy y  f   x    sin x  x cos x    2cos x  x sin x .
Câu 6.
Ta có


 

3 




y  cos x  sin  x    y  sin  x     sin  x     y  sin  x      sin  x 

2
2 2
2
2 




3  

 y  4  sin  x 
   sin  x  2   sin x .
2 2

 4
Ta có sin  2  x    sin x  y .

Câu 7.
Ta có: y  sin 5 x cos 2 x 
Do đó y 

1
 sin 7 x  sin 3x  .
2

1
1
 7 cos 7 x  3cos 3x   y   49sin 7 x  9sin 3x  .
2
2

Câu 8.
Ta có: y  2 cos 2 x  y  4sin 2 x .
Xét đáp án A, 4 y  y   4sin 2 x  4sin 2 x .
Xét đáp án B, 4 y  y   4sin 2 x  4sin 2 x  0 .
Xét đáp án C, y tan 2 x  2 cos 2 x.

sin 2 x
 2sin 2 x  y .
cos 2 x

Xét đáp án D, y 2   y   sin 2 2 x  4 cos 2 2 x  4 .
2

Câu 9.
y  f  x 

2 x 2  3x
1
1
2
 2x  1
 y  f   x   2 
 y   f  
2
3 .
1 x
1 x
 1 x
 1 x

Câu 10.
Tập xác định: D   .
Ta có y  3 x 2  6 x  1  y  6 x  6  y  0  x  1 .
Câu 11.
SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 16


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11
3
2
Ta có: f   x   4 x  2sin 2 x , suy ra f   x   12 x  4 cos 2 x  f   x   24 x  8sin 2 x .

Do đó: f  4  x    f   x     24  16 cos 2 x .

Câu 12.
Ta có: y 

x
x 1
2

 y 

2
Xét y. y  x  1.

2
2
Xét y . y   x  1 .

x
x2  1

x

1

2

 1 x 2  1

.

 x , do đó khẳng định (I) sai.

1

 x  1 x  1
2

2



1
x2  1

 y  , do đó khẳng định (II) sai.

Câu 13.
Ta có
y  1  3x  x 2  y 2  1  3x  x 2  2 y. y  3  2 x  2.  y    2 y. y   2   y    y. y   1 .
2

2

Câu 14.
Ta có:
f  x   2x 1  f   x 







 2x 1
1
1

 f   x  


2x 1
2 2x 1
2x 1
 2 x  1 2 x  1

 2 x  1 


1

 2 x  1

.


 f   x  

 2 x  1
 2 x  1

3

3

 

3  2 x  1

2

 2 x  1  2 x  1
3

3



3

 2 x  1

.
5

Vậy f   1  3 .
Câu 15.
Ta có: f   x   2sin 2 x  f   x   4cos 2 x .
Do đó: f      4 .
Câu 16.



Ta có: f   x   2sin  2 x  

3



 f   x   4 cos  2 x  
3



 f   x   8sin  2 x  
3


SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 17

3


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11



 f  4  x   16 cos  2 x   .
3

Xét phương trình

 2





2x  
 k 2 
x   k



1


3
3
2
.
f  4  x   8  cos  2 x      

3
2

 2 x     2  k 2 
 x     k



6
3
3


 
Mà x  0;  nên chỉ có giá trị x  thỏa mãn.
2
 2
Câu 17.
Ta có y  

1
2
 y  3 .
2
x
x
3

2 1
2
Xét đáp án A, yy  2  0  3 .    2  0  6  2  0 (vơ lí).
x x
x
3

Xét đáp án B, yy  2  y 

2

2

2 1

4
 1 
 0  3 .  2   2   0  4  0 (vơ lí).
x x
x
 x 
3

2 1
2
Xét đáp án C, yy  2  3 .    2  6  2 (vơ lí).
x x
x
3

Xét đáp án D, yy  2  y 

2

2

2 1
2
2
 1 
 3 .  2   2   4  4 (đúng).
x x
x
x
 x 

Câu 18.
2
Ta có: y  sin 2 x  y 

1  cos 4 x
 y  2sin 4 x  y  8cos 4 x  y  3  32sin 4 x .
2

 3
Khi đó y  y  16 y  16 y  8  32sin 4 x  8cos 4 x  32sin 4 x  8  1  cos 4 x   8  0 .

Câu 19.







2
3
Ta có y  2cos  2 x   ; y  2 cos  2 x  2  ; y  2 cos  2 x  3  .
2
2
2






 n
n
Bằng quy nạp ta chứng minh được y  2 cos  2 x  n  .
2

Câu 20.
1
Ta có y  2 x  1 , y  

1

 2 x  1

3

, y 

 n
Bằng quy nạp ta chứng minh được y 

 1

3

 2 x  1
n 1

5

.

.3.5...  2n  3

 2 x  1

2 n 1

.

Câu 21.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 18


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Ta có: y 

5
3

.
x  2 x 1

Bằng quy nạp ta chứng minh được y

 n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !


n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

Câu 22.
2
Ta có: x  3  x  2   2  x  3 ; x  5 x  6   x  2   x  3  .

Suy ra y 

3
2

.
x3 x2

 1 
Mà 

 x2
nên ta có y

 n

 n

n
1 .1n.n !  1 .n !  1    1 .n !



,
 
n 1
n 1 
n 1
 x  2
 x  2   x  3   x  3
n

n

n

 1 .3.n !   1 .2.n !

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

n

Câu 23.



Ta có f   x    sin  x  a   cos  x  a   ;
2


2


f   x    sin  x  a    cos  x  a 
2
2




;


…
2021

f  2021  x   cos  x  a 
2





  cos  x  a   .
2



Câu 24.







2
3
Ta có: y  2sin  2 x   , y  2 sin  2 x  2  , y  2 sin  2 x  3  ;...
2
2
2





 n
n
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được y  2 sin  2 x  n  .

2

Câu 25.
Ta có y  sin 3 x.cos x  sin 2 x 

1
1
 sin 4 x  sin 2 x   sin 2 x   sin 4 x  sin 2 x  .
2
2

Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được  sin ax 
 10 
Do đó y  x  



 n

  1

n 1

 n

a n sin 
 ax  .
 2




1
1
9
9
 1 410.sin  5  4 x    1 .210.sin  5  2 x    410.sin 4 x  210 sin 2 x 
2
2

 
 y  10    454490,13
3
Câu 26.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 19


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11
 n
Chứng minh bằng quy nạp y 

Với n  1 ta có y 

1
 x n
sin  
n

2
2 2


 .  1


1
x 1
x 
cos  sin    .
2
2 2 2 2

 k
Giả sử  1 đúng với n  k , k   * tức là ta có y 

1
 x k 
sin  
.
k
2
2 2 

 k 1

Chứng minh  1 đúng với n  k  1 tức là cần chứng minh y

 x  k  1 

1
sin  
k 1
2
2
2


.


Thật vậy,ta có

 y  k     1k sin  x  k    1k 1 cos  x  k

 2
 2 2  2
2 2

 x  k  1 
1

  k 1 sin  
2
 2
2


.


Câu 27.
2
18
Giả sử f  x   a0  a1 x  a2 x  ...  a18 x .

 6
 6
2
12
Khi đó f  x   6!.a6  b7 x  b8 x  ...  b18 x  f  0   720a6 .
9

2
2
k
2
Ta có  3 x  2 x  1    1  2 x  3x    C9  2 x  3x 
9

9

k

k 0

9

k

k 0

i0

  C9k  Cki  2 x 

k i

9

k

 3x 2    C9k Cki 2k i  3 x k i
i

i

k 0 i  0

0  i  k  9
  k ; i    6;0  ,  5;1 ,  4; 2  ,  3;3 
Số hạng chứa x 6 ứng với k , i thỏa mãn 
k  i  6



0
2
3
 a6   C96C60 26  3  C95C51 24  3  C94C42 22  3  C93C33 20  3    84




 f  6  0   720.  64   60480.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 20