Toan9 1516 tap1 2 HH

§4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 164 : Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài
các đoạn BH, CH, AH, AC nếu biết:
1) AB = 6cm; BC = 10cm .

3) AB = 12cm; BC = 13cm .

2) AB = 20cm; BC = 25cm .

4) AB = 3cm; BC = 2cm .

Bài 165 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài
các đoạn BC, AH, BH, CH nếu biết:
1) AB = 3cm, AC = 4 cm

3) AB = 12cm, AC = 5cm

2) AB = 12cm, AC = 9cm

4) AB = 3cm, AC = 1cm

Bài 166 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài
các đoạn AH, BC, AB, AC nếu biết:
1) BH = 9cm, CH = 16cm

3) BH = 18cm, CH = 8cm

2) BH = 1cm, CH = 3cm

4) BH = 25cm, CH = 144 cm

Bài 167 :
1) Tính NP và MH.
2) Tính NH và HP.

Bài 168 :
1) Tính EG và EK
2) Tính FK và KG.

Bài 169 :
1) Tính BC và AB.
2) Tính AC và AH.

Bài 170 : Cho tam giác ABC có đường cao AH, đường trung tuyến AM. Hãy tính AH,
AM biết rằng AB = 5cm, AC = 12cm và BC = 13cm.
Bài 171 : Cho tam giác DEF vuông tại D có DI là đường cao. Tính độ dài DI nếu biết:
1) DE = 15cm, DF = 20cm

3) DE = 12cm, EF = 15cm

2) DE = 7cm, DF = 24 cm

4) EI = 9cm, EF = 25cm


Bài 172 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, đường cao AH. Hãy tính độ dài
các đoạn AB, AC nếu biết:
1) AH = 2cm, BC = 5cm.

2) AH = 12cm, BC = 26cm.

Bài 173 : Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH. Hãy tính độ dài các đoạn
AH, AC nếu biết:
1) AB = 6cm, CH = 3 2cm .

2) AB = 60cm, CH = 27cm .

Bài 174 : Cho tam giác ABC vng tại A có AB > AC, đường cao AH và đường trung
tuyến AM. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn AM, HM, BH, CH, AB, AC nếu biết:
1) AH = 4, 8cm, BC = 10cm.

2) AH = 12cm, BC = 25cm.

Bài 175 : Cho tam giác ABC vng tại A có các đường trung tuyến BM và CN. Biết
rằng: BM = 73cm, CN = 2 13cm . Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Bài 176 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu
của H lên AB và AC. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.
Bài 177 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Chứng minh rằng
AB2 − AC2 = BH 2 − CH2 .

Bài 178 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D
và E. Chứng minh rằng: CD2 − CB2 = ED2 − EB2 .
Bài 179 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có I là trung điểm cạnh BC. Cho M là điểm
bất kỳ sao cho MI = AI (M khác A, B và C). Chứng minh rằng:
AB2 + AC2 = MB2 + MC2 .

Bài 180 : Cho hình thang vng ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có hai đường chéo
AC và BD vng góc với nhau tại H. Chứng minh rằng AH . AC = DH .DB
Bài 181 : Cho hình chữ nhật ABCD và M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của
hình chữ nhật. Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 .
Bài 182 : Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau tại

O. Chứng minh rằng:

1) AB2 + BC2 + CD2 + DA 2 = 2 ( OA 2 + OB2 + OC2 + OD 2 )

2) AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Bài 183 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm D của cạnh AC kẻ DE vng
góc với BC tại E. Chứng minh rằng:
1) BE2 − CE2 = BD2 − CD2

2) AB2 = BE2 − CE2

Bài 184 : Cho tam giác ABC có A = 30o . Trong nữa mặt phẳng bờ BC, không chứa
điểm A, vẽ tam giác BDC đều. Trong nữa mặt phẳng bờ AC, không chứa B, vẽ tam
giác ACE đều. Chứng minh rằng: AB2 + AC2 = AD2 .
Bài 185 : Cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao AH. Chứng minh rằng:
BC2 = 2AH 2 + BH 2 + CH 2 .

Bài 186 : Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao CK. Chứng minh rằng:
AB2 + BC2 + CA 2 = KB2 + 2KA 2 + 3KC2 .


Bài 187 : Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H . Trên các
đoạn HB, HC lần lượt lấy các điểm I , J sao cho AIC = AJB = 90o . Chứng minh rằng:
AI = AJ .

Bài 188 : Cho hình thang vng ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có hai đường chéo
AC và BD vng góc với nhau tại H. Chứng minh rằng AH . AC = DH .DB .
Bài 189 : Cho hình thang vng ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có AC vng góc
với BD tại H. Biết rằng HB = 8cm, HD = 18cm. Hãy tính diện tích hình thang.
AD 8

= . Hãy tính
Bài 190 : Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo BD = 68cm và
AB 15
độ dài các cạnh của hình chữ nhật.
Bài 191 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Tính các cạnh của tam
HB 9
=
giác ABC biết rằng
và AH = 48 .
HC 16
Bài 192 : Cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao AH. Tính AH biết rằng
AB 3
= và BC = 125cm .
AC 4
Bài 193 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường trung tuyến AM.
AB 3
= và AH = 42 . Hãy tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vng
Biết rằng
AC 7
lên cạnh huyền.
Bài 194 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường trung tuyến AM.
AH 40
AB
=
Biết rằng
và AB  AC . Hãy tính tỉ số
.Cho tam giác ABC vng tại A
AM 41
AC
có đường phân giác AD. Biết rằng DB = 15cm , DC = 20cm . Hãy tính độ dài AB, AC

và AD.
Bài 195 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm và AC
= 12 cm. Hãy tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 196 : Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Biết
rằng BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
Bài 197 : Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vng góc với AC tại H, tia BH cắt DC tại I
và cắt đường thẳng AD tại K.
1) Chứng minh rằng AH . AC = BH .BK .
2) Chứng minh rằng BH 2 = HI .HK .
Bài 198 : Cho hình thang vng ABCD (góc A và góc D bằng 90o), có hai đường chéo
AC và BD vng góc với nhau tại H. Chứng minh rằng AB.DC = AH . AC .
Bài 199 : Cho hình thang ABCD có AB // CD và hai đường chéo vng góc với nhau.
Biết rằng BD = 15cm và đường cao hình thang bằng 12cm. Tính diện tích hình thang
ABCD.


Bài 200 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường phân giác AD. Biết
HC 9
DC
= , hãy tính
rằng
.
HB 4
DB
Bài 201 : Cho tam giác ABC vng tại A có AB < AC, AH là đường cao, CH = 9cm và

AB = 2 13cm . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
1) Tính độ dài DE.
2) Các đường thẳng vng góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N.
Tính diện tích tứ giác DENM.

Bài 202 : Cho hình thang ABCD vng tại A có AB // CD và AB < CD. Kẻ AH vng
góc với BD tại H. Tính diện tích hình thang ABCD nếu biết BC = 13cm, CD = 14cm
và DB = 15cm.
Bài 203 : Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
hai tia Ax, By lần lượt vng góc với AB tại A và B. Trên tia Ax lấy điểm C và trên
tia By lấy điểm D sao cho CO và DO vng góc với nhau.
1) Chứng minh rằng AB 2 = 4 AC.BD .
2) Cho M là điểm bất kỳ thuộc CD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vng góc
của M lên OC, OD. Chứng minh rằng MC. MD = EO. EC + FO.FD
Bài 204 : Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB
và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AMC = ANB = 90o . Chứng minh rằng
AM = AN.
Bài 205 : Cho tam giác ABC vng cân tại A có đường trung tuyến BM. Kẻ CD vng
góc với BM tại D và DH vng góc với AC tại H. Chứng minh rằng AH = 3HD.
Bài 206 : Cho hình vng ABCD và một điểm M thuộc cạnh BC khác B và C. Gọi N là
1
1
1
=
+
giao điểm của hai đường thẳng AM và DC. Chứng minh rằng
.
2
2
AB
AM
AN 2
Bài 207 : Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD vng góc với CD và AD = CD. Vẽ
đường cao BH. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh
1

1
1
=
+
rằng
.
2
2
CD
CE
CB 2
Bài 208 : Cho hình thoi ABCD có góc B là góc tù và BH là đường cao. Chứng minh
1
1
1
=
+
rằng
.
2
2
BH
AC
BD 2
Bài 209 : Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Biết
rằng AH = 14cm và BH = 30cm. Hãy tính độ dài AB.
Bài 210 : Cho tam giác ABC vng tại A có AB > AC và đường cao AH. Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của HB và HA. Gọi F là giao điểm CE và AD, I là điểm đối xứng
của A qua F. Chứng minh rằng CIH = CBI .
Bài 211 : Xét tam giác ABC vng tại A, có AH là đường cao và cạnh huyền BC = 2a.

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.


1) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài DE.

AH 3
2) Chứng minh rằng S ADHE =
.
BC
3) Tìm giá trị lớn của diện tích S ADHE .
Bài 212 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC = a, AC = b, AB = c và
AD = h. Chứng minh rằng tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt h, b + c và a + h là
một tam giác vuông.
Bài 213 : Cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm S,
vẽ AT vng góc với BS tại T. Chứng minh rằng:
1) THS = TCS .
Bài 214 :

2) AB + AC  AH + BC .

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC = a, AC = b, AB = c và

AD = h. Vẽ DE vng góc với AB tại E, DF vng góc với AC tại F. Chứng minh rằng:

b2c
bc 2
1) AE = 2 2 và AF = 2 2 .
b +c
b +c
BE c3

= .
CF b3
3) BC.BE.CF = EF 3 .
2)

Bài 215 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn và D là hình chiếu của A trên cạnh BC.
Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AD .
Bài 216 : Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Chứng minh rằng:

BC2
.
2
Bài 217 : Cho hình thang ABCD (BC song song với AD) và E, F lần lượt là hình chiếu
AB2 + AC2 = 2AM 2 +

của B, C lên AD. Chứng minh rằng:
1) AC2 − AF 2 = CD2 − FD2 và BD2 − ED2 = AB2 − EA2 .
2) AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2AD.BC .
Bài 218 : Cho tứ giác lồi ABCD, I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh
rằng: AB2 + BC2 + CD2 + DA 2 = AC2 + BD2 + 4IJ2 .
Bài 219 : Cho hình vng ABCD và M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC. Kéo dài AM
cắt tia DC tại N. Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt tia CB tại E. Chứng
minh rằng:

1
1
1
=
+
.

2
2
AB
AM
AN 2

Bài 220 : Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao là AH và BK. Qua B kẻ đường
thẳng vng góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. Chứng minh rằng:
1
1
1
=
+
.
2
2
BK
BC
4AH 2

Bài 221 : Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng 2 ( AB 2 + AD 2 ) = BD 2 + AC 2 .


Bài 222 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM, AB
= 3cm và AC = 4cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.
1) Tính AH, SABC, SBCDE.
2) Tính khoảng cách từ M đến DE.
3) Gọi F là giao điểm AM và DH, G là giao điểm AM và HE. Chứng minh tứ
giác BFCG là hình bình hành và tính SBFCG.
Bài 223 : Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của

H lên AB, AC. Chứng minh rằng:
1) BC 2 = 3 AH 2 + BE 2 + CF 2

AB 2 HB
2)
=
AC 2 HC
AB3 BE
3)
=
AC 3 CF

4) AH 3 = BC.HE.HF
5) AH 3 = BC.BE.CF
6)

3

BE 2 + 3 CF 2 = 3 BC 2

§5. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 224 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính tỉ số lượng giác của các góc B và C
trong các trường hợp sau:
1) AB = 3cm và AC = 4cm.

5) AC = 2cm vaø BC = 2cm .

2) AB = 6cm và BC = 10cm.

6) AB = 3 3cm vaø AC = 3cm

3) AC = 5cm và BC = 12cm.
4) AB = 5cm và BC = 1dm.

Bài 225 : Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH. Hãy tính sinB, cosB, tanB,
cotB rồi suy ra sinC, cosC, tanC, cotC nếu biết:
1) AB = 30cm và AH = 24cm.
2) AB = 9cm và AH = 7,2cm.

5) BH = 25cm và CH = 9cm.
6) BH = 9cm và CH = 16cm.

3) BH = 2cm và AH = 2 3 cm.
4) AH = 6cm và CH = 2 3cm .
Bài 226 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài các cạnh AC và BC trong các
trường hợp sau:
3
3
1) AB = 12cm ; tan B =
4) AB = 1cm ;
sin B =
4
2
2) AB = 2 3cm; cot B = 3
5
3) AB = 15cm ; cos B =
13
Bài 227 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài các cạnh AB và AC trong các
trường hợp sau:
3

3) BC = 2cm ;
tan B = 3
1) BC = 15cm ; sin B =
5
9
4) BC = 41cm ; cot B =
5
40
2) BC = 13cm ; cos B =
13


Bài 228 : Giải các tam giác vuông sau:

Bài 229 :
1) Tính NP và MH.
2) Tính NH và HP.
3) Tính các góc MNP và MPN.

Bài 230 :
1) Tính EG và EK
2) Tính FK và KG.
3) Tính các góc EFK và EGK
4) Tính các góc FEK và KEG.

Bài 231 :
1) Tính BC và AB.
2) Tính AC và AH.
3) Tính các góc ABC và ACB
4) Tính các góc BAH và CAH.

Bài 232 :
1) Tính MP và NP.
2) Tính độ dài tia phân giác NK.


Bài 233 :
1) Tính MN.
2) Tính NP, HP.
3) Tính MP.
4) Tính các góc MNP và MPN.
5) Tính các góc NMH và HMP.
Bài 234 :
1) Tính BK.
2) Tính góc ABK.
3) Tính AB.
4) Tính AH.
5) Tính AC.
6) Tính BH, CH.
Bài 235 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Chứng minh rằng:
AB sinB = AC sinC.
Bài 236 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Chứng minh rằng:
BC = AB cosB + AC cosC.
Bài 237 : Cho tam giác ABC nhọn có đường trung tuyến AM = AB. Chứng minh rằng
tanB = 3tanC.
Bài 238 : Cho tam giác ABC có trực tâm H là trung điểm của đường cao AA’. Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2.
Bài 239 : Cho tam giác ABC vuông cân tại C, AB = 2a và M là trung điểm của cạnh AB.
Trên đường trung trực của đoạn AM lấy điểm D, nằm cùng một nữa mặt phẳng với
C bờ AB.
1) Tính các góc và diện tích của tứ giác ABCD theo a.

2) Gọi I là giao điểm của MC và BD. Tính IC theo a.
Bài 240 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Giải tam giác ABC biết:

(

)

sin 2 C − 1 + 3 sin Ccos C + 3cos 2C = 0 .
Bài 241 : Cho tam giác ABC, tính độ dài cạnh BC biết rằng:
1) AB = 1cm, AC = 2cm, BAC = 1200
2) AB = 2cm, AC = 3cm, BAC = 300
Bài 242 : Giải tam giác ABC có AB =

3 2
cm , ABC = 60o và ACB = 45o .
2

Bài 243 : Giải tam giác ABC có AC = 6cm , ABC = 45o và ACB = 30o .
Bài 244 : Cho tam giác ABC có AB = AC = 2cm và BC = 2cm .
1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
2) Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho ACD = 30o . Tính ADC và AD.


3) Giải tam giác BCD.
Bài 245 : Giải tam giác ABC biết rằng AC = 2cm; BC = 3 3cm và ACB = 30o .
Bài 246 : Giải tam giác ABC biết rằng AC = 2cm; BC = 4 2cm và ACB = 45o .
Bài 247 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin B = cosC và cosB = sinC
2) tan B = cot C và cot B = tanC
3) tan B.cot B = 1 và tan C.cot C = 1

4) sin2 B + cos2 B = 1 và sin2 C + cos2 C = 1
5) 1 + tan 2 B =
6) 1 + cot 2 B =

1
cos2 B
1
sin B
2

1

và 1 + tan 2 C =
và 1 + cot 2 C =

cos2 C
1
sin 2 C

Bài 248 : Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = sin 23o − cos 67o
2) B = cos34o − sin 56o
Bài 249 : Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = sin10o + sin 40o − cos 50 o − cos80 o
2) B = cos15o + cos35o − sin 55o − sin 75o
tan 27o tan 63o
3) C =
cot 63o cot 27o
cot 20o cot 45o cot 70o
4) D =

tan 20o tan 45o tan 70o
Bài 250 : Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin4 x + cos4 x = 1 - 2sin2xcos2x
2) sin6x + cos6x = 1 - 3sin2xcos2x
3) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x
4) cot2 x − cos2 x = cot2 x cos2 x
5)

tan2 x − tan2 y
tan2 x tan2 y

6) tanx.tany =

=

sin2 x − sin2 y
sin2 x sin2 y

tanx + tany
cotx + coty

Bài 251 : Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = sin 2 15o + sin 2 35o + sin 2 55o + sin 2 75o
2) B = cos2 15o + cos2 35o + cos2 55o + cos2 75o
3) C = tan15o.tan 35o.tan 55o.tan 75o
4) D = cot15o.cot 35o.cot 55o.cot 75o
5) E = tan 2 15o.tan 2 35o.tan 2 55o.tan 2 75o
6) F = cot 2 15o.cot 2 35o.cot 2 55o.cot 2 75o

3) C = tan18o − cot 72o

4) D = cot 36o − tan 54 o


7) G = sin 2 10o + sin 2 20o + ... + sin 2 80o + sin 2 90 o
8) H = cos2 10o + cos2 20o + ... + cos2 80o + cos2 90o
9) K = tan10o tan 20o...tan 80 o tan 90 o
10) L = cot10o cot 20o...cot 80o cot 90o
11) M = sin 2 5o + sin 2 10 o + ... + sin 2 85o + sin 2 90 o
12) N = cos2 5o + cos2 10o + ... + cos2 85o + cos2 90o
13) O = tan 5o tan10o tan15o...tan 85o
14) P = cot 5o cot10o cot15o...cot 85o
15) Q = sin 2 1o + sin2 2o + sin2 3o... + sin 2 89o + sin 2 90o
16) R = cos2 1o + cos2 2o + cos2 3o... + cos2 89o + cos2 90o
17) S = tan 2 1o tan 2 2o tan 2 3o...tan 2 89o
18) T = cot 2 1o cot 2 2 o cot 2 3o...cot 2 89o

§6. ĐƯỜNG TRỊN
Bài 252 : Cho đường trịn tâm O đường kính AC. Vẽ hai dây cung AB và CD song
song với nhau, chứng minh rằng B, O, D thẳng hàng.
Bài 253 :

Cho tứ giác ABCD có hai góc đối đỉnh B và D cùng bằng 180o . Gọi O là

trung điểm của AC. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một
đường tròn.
Bài 254 : Cho tam giác ABC đều có I và K là trung điểm của AB và AC. Chứng minh
rằng B, I, K và C cùng thuộc đường trịn đường kính BC.
Bài 255 : Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE. Gọi O và I lần lượt là
trung điểm của BC và DE. Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm B, C, D và E cùng thuộc một đường trịn.

2) OI vng góc với DE.
Bài 256 : Cho đường trịn tâm O, có đường kính AB và dây CD khơng cắt nhau (điểm
C nằm giữa A và D trên (O)). Vẽ OI, AH và BK cùng vng góc với CD ở I, H và K.
Chứng minh rằng I là trung điểm của HK và CH = DK.
Bài 257 : Cho đường tròn tâm O có hai dây cung AB và CD. Gọi OH, OK là khoảng
cách từ O đến dây AB và CD tương ứng. Chứng minh rằng:
1) Nếu AB = CD thì AH = CK và OH = OK.
2) Nếu OH = OK thì AB = CD.
Bài 258 : Cho đường trịn tâm O và hai dây cung AB, CD dài bằng nhau. Hai đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại I. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD
tương ứng. Chứng minh OH = OK và IH = IK.
Bài 259 : Cho tam giác (O; R) có đường kính AI. Gọi H là trung điểm của OI. Vẽ dây
cung BC vng góc với OI tại H. Chứng minh tam giác ABC đều.


Bài 260 : Cho đường trịn tâm O đường kính BC. Lấy A thuộc (O) và A khác B, C. Vẽ
AH vng góc với BC ở H. Giả sử H nằm giữa O và B. Vẽ đường kính AD. Chứng
minh rằng:
1) AB. AC = AD. AH
2) CAH = BAD
Bài 261 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong (O), có trực tâm H và đường kính AK.
1) Chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình bình hành.
2) Kẻ OM vng góc với BC ở M. Chứng minh rằng H, M, K thẳng hàng.
3) Chứng minh rằng AH = 2OM.
Bài 262 : Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O; R). Tia MO cắt (O) tại A và B (A nằm
giữa O và M). Lấy C bất kỳ thuộc (O) và khác hai điểm A và B. Chứng minh rằng:
MA < MC < MB.
Bài 263 : Trên nữa đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy điểm C và D (C nằm giữa A
và D). Tia AC cắt tia BD tại M. Chứng minh rằng đường kính MH của đường trịn
ngoại tiếp tam giác MCD vng góc với AB.

Bài 264 : Cho đường trịn tâm O có hai dây AB và CD dài bằng nhau và vng góc với
nhau tại I. Giả sử IA = 1cm, IB = 7cm. Tính bán kính của (O).
Bài 265 : Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 8cm và nội tiếp trong đường trịn tâm O
và có bán kính bằng 5cm. Vẽ đường kính AD cắt BC tại H. Tính độ dài BH và BC.
Bài 266 : Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 40cm, BC = 48cm và tiếp tiếp trong (O).
Tính độ dài bán kính của (O).
Bài 267 : Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho AOB = 120o . Gọi I là trung điểm
của AB và kéo dài OI cắt đường tròn tại C.
1) Tính số đo AOI , rồi suy ra độ dài AI, AB và OI theo R.
2) Tứ giác ACBO là hình đặc biệt gì và tính diện tích.
Bài 268 : Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong (O; R). Tính chiều dài các cạnh và chiều
cao của tam giác theo R.
Bài 269 : Cho (O; R) có dây AB có độ dài bằng R 3 . Vẽ đường kính BC. Tính sin ACB
rồi giải tam giác ABC.
Bài 270 : Cho (O; R) có dây AB có độ dài bằng R 3 . Vẽ đường kính CD vng góc
với dây AB tại H, C thuộc cung lớn AB.Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 271 : Cho hình vng ABCD có chiều dài các cạnh là a và tâm là O. Lấy tương ứng
lần lượt các điểm E, F, G, H trên các cạnh AB, BC, CD và DA sao cho AE = BF = CG
= DH = x.
Bài 272 : Chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn và xác
định tâm của đường trịn đó.
1) Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vng.
2) Tìm vị trị E trên cạnh AB sao cho diện tích hình vng EFGH là nhỏ nhất.


Bài 273 : Cho đường trịn tâm O, đường kính AB và có dây cung CD khơng cắt AB (C
nằm giữa A và D). Vẽ AH và BK cùng vuông góc với CD tại H và K. Chứng minh
rằng OH = OK và hai điểm H, K nằm ngoài đường trịn.

§7. TIẾP TUYẾN

Bài 274 : Cho điểm A nằm bên ngồi đường trịn tâm O. Đường trịn đường kính AO
có tâm I cắt (O) tại hai điểm B và C.
1) Tam giác OAB và tam giác OAC là tam giác đặc biệt gì? Chứng minh.
2) Chứng minh rằng AB và AC là hai tiếp tuyến của (O).
Bài 275 : Cho đường trịn tâm O có bán kính bằng 5cm và một điểm B cách O một
khoảng 13cm. Lấy điểm A thuộc (O) sao cho AB = 12cm.
1) Tam giác OAB là tam giác đặc biệt gì?
2) Chứng minh rằng đường thẳng BA tiếp xúc với (O).
Bài 276 : Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến AB với B là tiếp điểm.
Lấy điểm C thuộc (O) khác B sao cho AB = AC.
1) Chứng minh rằng tam giác OAB bằng tam giác OAC.
2) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của (O).
Bài 277 : Cho (O) có hai điểm A, B thuộc đường tròn (A, O, B không thẳng hàng). Tiếp
tuyến của (O) tại A cắt tia phân giác của góc AOB tại C. Chứng minh rằng BC cũng
là tiếp tuyến của (O).
Bài 278 : Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O, lấy điểm B sao cho AB = AO.
Trên (O) lấy điểm C khác A sao cho BA = BC. Chứng minh rằng tứ giác OABC là
hình vng và BC là một tiếp tuyến của (O).
Bài 279 : Trên tiếp tuyến tại A của đường trịn tâm O bán kính bằng R, lấy điểm I sao
cho AI = R 3 . Lấy điểm B trên (O) khác A sao cho IB = IA.
1) Tính tan AIO .
2) Tính AIB và chứng minh BI tiếp xúc với (O).
3) Kéo dài BO cắt tia IA tại K. Tính độ dài các cạnh của tam giác IBK theo R.
Bài 280 : Trên tiếp tuyến tại B của (O; R) lấy điểm A sao cho OA = 2R. Lấy điểm C
khác B và thuộc (O) sao cho AB = AC. Gọi H là giao điểm OA và BC.
1) Tính sin OAB và BAC .
2) Tính độ dài BC theo R và chứng minh AC tiếp xúc với (O).
3) Tính độ dài OH và HA.
Bài 281 : Hai tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại A. Vẽ đường kính CD của (O).
Chứng minh OA vng góc với BC và OA // BD.

Bài 282 : Gọi A là giao điểm của hai tiếp tuyến tại B, C của đường tròn tâm O. Từ O kẻ
tia vng góc với OB cắt AC tại D. Chứng minh rằng OD // AB và DO = DA.


Bài 283 : Cho đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ điểm M trên tiếp tại A
của (O), vẽ tiếp tuyến MN với (O) (N là tiếp điểm). Gọi H và K là hình chiếu vng
góc của N lên AB và tia AM. Chứng minh rằng:
1) HK đi qua trung điểm của AM.
2) ba đoạn OM, HK và AN đồng qui.
Bài 284 : Cho AB là đường kính của đường trịn tâm O bán kính bằng R. Cho dây BC
= R. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt tia BC tại D. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AD tại M.
1) Tính ABC và AD theo R.
2) Tính AOM và AM theo R
Bài 285 : Cho đường trịn tâm O đường kính BC và có bán kính bằng R. Tiếp tuyến
của (O) tại A cắt đường thẳng BC ở I. Chứng minh rằng: IB.IC = IO2 − R 2 và
IB.IC = IA 2 .

Bài 286 : Cho đường trịn (O; R) có dây BC và M là một điểm thuộc đường tròn. Tiếp
tuyến tại M của (O) cắt dây BC kéo dài tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên đường
thẳng BC. Chứng minh rằng.
1) AB + AC = 2AH.
2) AB + AC  2AM
Bài 287 : Trên nữa đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M. Đường trịn tâm M
tiếp xúc với AB tại H. Vẽ tiếp tuyến AC và BD của (M) với C và D là hai tiếp điểm.
1) Chứng minh rằng OM / /BD và OM / /AC .
2) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng và đường thẳng CD tiếp xúc với (O).
3) Giả sử rằng CD = 2a. Tính AC. BD theo a.
Bài 288 : Cho AC là đường kính của (O). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn O, ta
lấy điểm I. Vẽ dây cung CB song song với OI. Chứng minh rằng:
1) IOA = IOB .

2) Đường thẳng IB là tiếp tuyến của (O).
Bài 289 : Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên tiếp tuyến tại A của (O), lấy
điểm I sao cho IA lớn hơn bán kính của (O). Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường
tròn (O) với tiếp điểm là B.
1) Chứng minh rằng BC / /OI .
2) Đường thẳng vng góc với AC tại O cắt tia CB tại H. Chứng minh rằng

IH / /AC .
3) Gọi K là giao điểm của tia OB và tia IH. Chứng minh rằng tam giác IOK cân
tại K.
Bài 290 : Cho đường trịn tâm O có dây AB sao cho AOB là góc tù. Tiếp tuyến của (O)
tại A và dây AB lần lượt cắt tia phân giác của góc AOB tại C và K. Vẽ BI vng góc
với AC tại I và cắt OC tại H. Chứng minh rằng:
1) H là trực tâm của tam giác ABC.


2) AH / /OB
3) Tứ giác AHBO là hình thoi.
Bài 291 : Cho đường trịn tâm O, bán kính bằng R, có xy là tiếp tuyến tại A của đường
trịn. Điểm M di động trên O. Ta vẽ MH vuông góc với xy tại H. Tia phân giác của

AOM cắt tia MH tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên (O) thì I cũng di động
trên một đường cố định.
Bài 292 : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại
A. Điểm K thuộc (O) và khác A, B. Tiếp tuyến tại K của (O) cắt xy tại M. Vẽ KH
vuông góc với AB tại H và KH cắt BM tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của
đoạn thẳng KH.
Bài 293 : Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Đường thẳng a tiếp xúc với đường
tròn (O) tại A. Điểm K thuộc (O) và khác A, B. Vẽ KH vng góc với AB tại H và
gọi I là trung điểm của KH. Gọi M là giao điểm của tia BI và đường thẳng a. Chứng

minh rằng:
1) OM / /BK và AK vng góc với OM.
2) MK là tiếp tuyến tại K của (O).
Bài 294 : Cho điểm B thuộc đường trịn O có đường kính AC. Lấy điểm D trên tia AB
sao cho AD = 3 AB. Tia Dy vng góc với DC cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E. Gọi I
là hình chiếu của E trên đường thẳng AD. Chứng minh
1) EAI = BCA và EDI = BCD .
2) cot EAI = 2cot EDI , suy ra AB = BI = ID.
Bài 295 : Cho nữa đường trịn tâm O, đường kính AB. Vẽ hai tiếp Ax và By cùng ở
nửa mặt phẳng chứa nữa đường tròn, bờ là đường thẳng AB. Tiếp tuyến của (O) tại
điểm M bất kỳ nằm trên nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Chứng
minh rằng:
1) AC + BD = CD.
2) COM và MOD phụ nhau.
3) AC.BD = R 2 .
Bài 296 : Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Vẽ hai tia Ax, By cùng một phía so với
đường thẳng chứa AB và cùng vng góc với AB. Vẽ zOt = 90o sao cho Oz cắt Ax
tại C và Ot cắt By tại D. Chứng minh rằng
1) CO là tia phân giác của ACD .
2) AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD.
3) CD tiếp xúc với đường trịn đường kính AB.
Bài 297 : Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH. Đường trịn tâm I đường
kính BH cắt AB tại D. Đường trịn tâm J đường đường kính HC cắt AC tại E. F là
giao điểm của AH và DE.
1) Chứng minh rằng FD = FH = FE.


2) Chứng minh rằng FID = FIH ; FJE = FJH và DE là đường tiếp tuyến
chung của hai đường tròn (I) và (J).
3) Gọi M là trung điểm BC. Giả sử BC = 2a, AH = h. Hãy tính lần lượt độ dài

MA, MH, HB, HC, AB và AC theo a và h.
Bài 298 : Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt nhau tại A. Điểm D di
động trên cung lớn BC. Vẽ dây CE song song với AD. Tìm vị trí của D trên cung lớn
BC để diện tích tam giác ADE là lớn nhất.
Bài 299 : Trên nữa đường tròn đường kính AB, lấy điểm K khác A và B. Gọi H là hình
chiếu của K trên đoạn AB và I là trung điểm của HK. Tia BI cắt tia tiếp tuyến Ax
của nữa đường tròn tại M. Chứng minh MK tiếp xúc với nữa đường tròn đã cho.
Bài 300 : Cho AC là đường kính của đường trịn tâm O. Trên tiếp tuyến tại A của (O),
lấy điểm I sao cho IA lớn hơn bán kính của (O). Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với tiếp
điểm là B. Từ O kẻ tia vng góc với AC cắt tia CB tại H và cắt tia IB tạiD. OI cắt
AH tại E. OB cắt IH tại K. Chứng minh rằng:
1) AOI = OCH và KOI cân tại K.
2) ba điểm D, E, K thẳng hàng.
Bài 301 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By ở
trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. Lấy điểm M bất kỳ thuộc (O).
Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. AD cắt BC tại I và MI cắt
AB tại H. Chứng minh rằng MH // Ax // By và điểm I là trung điểm của đoạn MH.
Bài 302 : Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm O cắt nhau tại M và OM cắt AB
tại H. Từ M vẽ cát tuyến cắt (O) lần lượt tại C và D. Vẽ IO vuông góc với CD tại I và
cắt đường thẳng AB tại K.
1) Chứng minh rằng OI.OK = OH.OM.
2) Chứng minh rằng OIC OCK .
3) Có nhận xét gì về hai đường thẳng KC và KD.
Bài 303 : Bên ngoài (O; R), lấy điểm A sao cho OA = R 2 rồi vẽ đường trịn đường
kính OA cắt (O) tại B và C.
1) Chứng minh AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) và tính AB, AC theo R.
2) Tứ giác ABOC là hình gì? Tại sao?

§8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Bài 304 : Cho đường trịn tâm O bán kính bằng 13cm và đường trịn tâm O’ bán kính

bằng 15cm cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng OO’ cắt AB tại H. Giả sử
rằng AB = 24cm.
1) Chứng minh rằng OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB và tính độ
dài AH, OH và O’H.


2) Tính độ dài của OO’ trong hai trường hợp: H thuộc đoạn OO’ và H nằm
ngoài đoạn OO’.
Bài 305 : Cho đường trịn tâm O bán kính bằng 12cm và đường trịn tâm O’ bán kính
bằng 5cm. Giả sử rằng OO’ = 13cm.
1) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau.
2) Gọi A và B là hai giao điểm của hai đường tròn. Chứng minh rằng AO là tiếp
tuyến của (O’).
3) Chứng minh rằng OO’ vuông góc với AB tại trung điểm H của AB. Tính độ
dài của AH và AB.
Bài 306 : Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O. Gọi O’ là tâm đường trịn đường kính
OA.
1) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
2) Giả sử (O) có dây AB cắt (O’) tại C khác A. Tam giác AO’C có gì đặc biệt?
Chứng minh rằng ACO' = ABO và O’C // OB.
3) Chứng minh rằng C là trung điểm của đoạn AB.
Bài 307 : Cho đường tròn tâm O bán kính bằng R và đường trịn tâm O’ bán kính R’
tiếp xúc ngồi tại A. Vẽ tiếp tuyến OM của (O’) tại M. Tam giác OMO’ là tam giác
gì? Tính OM theo R và R’.
Bài 308 : Hai đường trịn tâm I và I’ tiếp xúc ngồi với nhau tại A. Đường thẳng qua A
cắt (O) tại B và cắt (O’) tại C.
1) Chứng minh rằng ABI = ACI ' .
2) Chứng minh rằng OB // O’C và tiếp tuyến Bx của (O) song song với tiếp
tuyến Cy của (O’).
Bài 309 : Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ đường tiếp tuyến

chung ngoài với tiếp điểm B thuộc (O) và tiếp điểm C thuộc (O’). Tiếp tuyến chung
trong tại A cắt BC tại I.
1) AI là đường đặc biệt gì của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC
vuông tại A.

1
1
AIB , AIO ' = AIC và OIO ' vuông tại I.
2
2
3) Chứng minh rằng OO’ tiếp xúc với đường trịn đường kính BC.
2) Chứng minh rằng AIO =

Bài 310 : Cho điểm A thuộc đoạn thẳng II’. Ta đặt R = IA và R’ = I’A.
1) Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường trịn (I; R) và (I’; R’).
2) Đường thẳng qua A cắt (I) tại B và cắt (I’) tại C. Vẽ đường kính BD của (I) và
đường kính CE của (I’). Chứng minh rằng BD // CE.
AD R
=
3) Chứng minh rằng IAD đồng dạng với I 'AE và
.
AE R '


Bài 311 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn
tâm O qua A và tiếp xúc với BC tại B, đường tròn tâm I qua A và tiếp xúc với BC tại
C.
1) Chứng minh rằng MOA = MOB và MIA = MIC .
2) Chứng minh rằng O, A và I thẳng hàng.
3) Xác định vị trí tương đối của (O) và (I). AM có vai trị gì đối với (O) và (I).

Bài 312 : Cho đường trịn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB
và (S) là đường trịn đường kính AC. Trên đường trịn (O) lấy hai điểm tùy ý phân
biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với
đường tròn (S). Chứng minh rằng:
1) BM // CP và BN // CQ.
2) MN // PQ.
Bài 313 : Hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AC của
(O) và đường kính AD của (O’).
1) Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và CD = 2OO’.
2) Một cát tuyến quay quanh A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Vẽ OI vng góc
với MN tại I, O’H vng góc với MN tại H. Chứng minh rằng

MN = 2IH  OO' .
3) Xác định vị trí của cát tuyến để MN lớn nhất.
Bài 314 : Hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B. Gọi K là trung điểm
của OO’. Đường thẳng qua A và vuông góc với AK cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N.
Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn MN.
Bài 315 : Cho hai đường tròn tâm O và tâm I tiếp xúc ngoài nhau tại E. Vẽ hai tiếp
tuyến chung ngoài AB và CD với A và D là hai tiếp điểm thuộc (O); B và C là hai
tiếp điểm thuộc (I). Chứng minh rằng:
1) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
2) BC + AD = AB + CD.
Bài 316 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính R, cắt nhau tại hai điểm A
và B sao cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB. Đường thẳng qua A cắt (O)
tại C và cắt (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Chứng minh rằng BC = BD.
Bài 317 : Cho đường trịn tâm O bán kính bằng 12cm và đường trịn tâm O’ bán kính
bằng 16cm cắt nhau tại 2 điểm A và B. OO’ cắt AB tại I. Giả sử độ dài OO’ là bội
chung của 4 và 5. Tính độ dài AB và OI.
Bài 318 : Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ tiếp
tuyến chung ngoài với tiếp điểm B thuộc (O) và tiếp tiếp điểm C thuộc (O’). Tiếp

tuyến chung tại A cắt BC tại I.
1) Tính độ dài BC theo R và R’.
2) Tính diện tích tam giác IOO’ theo R và R’.


Bài 319 :

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ tiếp

tuyến chung ngoài BC với tiếp điểm B thuộc (O) và tiếp điểm C thuộc (O’). Giả sử
có đường trịn tâm O” tiếp xúc ngồi với cả hai đường trịn (O) và (O’), đồng thời
tiếp xúc với đoạn BC tại H.
1) Tính bán kính R” của (O”) theo R và R’.
2) Giả sử rằng BOO' = 60o , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa R và R’.
Bài 320 : Cho nữa đường trịn tâm O đường kính AB. Điểm C đi động trên đoạn thẳng
AB. Gọi I và K lần lượt là tâm của đường trịn đường kính AC và đường kính BC.
Tiếp tuyến chung tại C của đường tròn (I) và đường tròn (K) cắt đường tròn (O) tại
D. AD cắt đường tròn (I) tại M và BD cắt đường tròn (K) tại N.
1) Chứng minh rằng MN = CD và tìm vị trí của C để MN là nhỏ nhất.
2) Tìm vị trí điểm C để diện tích tứ giác CMDN là lớn nhất.