Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông ôn thi vào chuyên Toán năm 2023

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
ƠN THI VÀO CHUN TỐN
Bài 1. Cho tam giác ABC vng tại A, có AH là đường cao. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu
của H lên AB, AC . Chứng minh các hệ thức sau:
a) BC 2  3 AH 2  BE 2  CF 2 .
b)

AB 3
BE

.
3
AC
CF

c)

AH 3
 BE  CF  BH  CH .
BC

d)

2
1
1


.
HE  HF
S ABH

S HAC

e)

3

BF 2  3 CE 2  3 BC 2 .

Bài 2. Cho tam giác ABC vng tại A, có AH là đường cao. Gọi K là hình chiếu của A lên
1
1
1
phân giác của góc ABC . BK cắt AH tại E . Chứng minh rằng:


.
2
2
AK
AB
AE 2
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC sao cho MA 2  MB  MC . Chứng
minh rằng M là trung điểm của BC hoặc M là hình chiếu của A lên BC.
Bài 4. Cho tam giác ABC vng tại A, có AH là đường cao. Gọi AM , AN lần lượt là đường
phân giác trong của góc BAH và CAH . Chứng minh rằng:
a) MN  AB  AC  BC.
b) MN 2  2 MB  NC .
Bài 5. Cho tam giác ABC vng tại A, có AD là đường phân giác.
a) Chứng minh rằng:

2
1
1


.
AD
AB AC

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC và HM , HN lần lượt là đường phân giác trong của
góc AHB , AHC . Chứng minh rằng: AD  MN .
Bài 6. Cho tam giác ABC vng tại A. Vẽ ra ngồi hình vng BCPQ. Gọi M , N lần lượt là
giao điểm của AP , AQ với BC. Chứng minh rằng: MN 2  CM  CN .


Bài tập về nhà
Bài 1. Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi năm 2020

 cắt HC tại D. Gọi
Cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao AH . Tia phân giác của HAC
K là hình chiếu vng góc của D trên AC. Tính AB, biết BC  25 cm và DK  6 cm.
Bài 2. Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Sở GD&ĐT Lâm Đồng năm 2022

  300.
Cho tam giác ABC vng tại A, có đường cao AH . Biết BC  AB  2, AC  10 và CAH
Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 3. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 – Trung Quốc năm 2022

  . Biết rằng điểm E nằm trên tia CB sao cho
Cho tam giác ABC vng tại C có BAC

  2.
EAB
Cho AC  2 và BC  1, hãy tính độ dài AE.
Bài 4. Đề thi HSG mơn Tốn lớp 9 huyện Diên Khánh – Đồng Nai năm 2021
Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  , có đường cao AH và AD là đường phân giác của

.
góc BAH
a) Chứng minh rằng:

AB 2
AC 2

.
BH
CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân và DH  DC  BD  HC.
c) Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH . Chứng minh
CE  AD.