Tài liệu Bài tập phương trình lượng giác ppt

I. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Thí dụ 1.
33 2
2(sin cos3 cos sin3 ) 3sin 2 .xx xx x+=

(,
2
xk
π
=
,
62
xm
ππ
= +
, ).km∈

Thí dụ 2.
2 2 44
23
sin cos cos sin .
36 4
x x xx
ππ
  
+ + −= − +
  
  

(,
6

xk
π
π
=±+
).k ∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng
2
sin ( );u
α
+
2
cos ( )u
β
+
ta thường làm như sau:
- Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của
cos
góc nhân đôi.
- Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn.
Công thức:
44 22
cos sin cos sin cos2 .xx xx x−=−=

Thí dụ 3.
2(cos2 sin3 ) 5(cos3 sin2 ) 0.xx xx++ −=

( 2,
2
xk

π
π
=−+
23 2
,
5 10 5
xm
απ π
=−++
, ).km∈
2
(cos ,
29
α
=
5
sin ).
29
α
=

Lưu ý: Giải PT
(sin cos ) (sin cos ) 0au vbv u++ +=
bằng cách đặt
22
cos ;
a
ab
α
=

+
22
sin ;
b
ab
α
=
+
22
0,ab+≠

đưa về dạng
sin( ) cos( ) 0.uv
αα
++ −=

(A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
(0;2 )
π
của phương trình

cos3 sin3
5 sin cos2 3.
1 2sin2
xx
xx
x
+

+=+


+


12
5
(, )
33
xx
ππ
= =
.
(A-2003)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2 .
1 tan 2
x
x xx
x
−= + −
+

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(A-2009)
(1 2sin ) cos
3.
(1 2sin )(1 sin )
xx
xx
−
=
+−

2
(,
18 3
xk
ππ
=−+
).k ∈

(B-2003)
2
cot tan 4sin 2 .
sin2
xx x
x
−+ =

(,
3
xk

π
π
=±+
).k ∈

(B-2004)
2
5sin 2 3(1 sin )tan .x xx−= −

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2006)
cot sin 1 tan tan 4.
2
x
xx x


++ =



(,
12
xk
π
π
= +
5
,
12
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2009)
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin ).x xx x x x+ +=+

( 2,
6
xk
π
π
=−+

2
,
42 7
xm
ππ
= +
, ).km∈

(D-2002) Tìm
x
thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng của phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0.x xx− + −=

(,
2
x
π
=
3
,
2
x
π
=
5
,

2
x
π
=
7
).
2
x
π
=

(D-2005)
44
3
cos sin cos sin 3 0.
4 42
xx x x
ππ
  
+ + − − −=
  
  

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(D-2007)
2
sin cos 3cos 2.
22
xx
x

++ =



( 2,
2
xk
π
π
= +
2,
6
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0.x xxx− −=

(,

18 3
xk
ππ
= +
,
62
xm
ππ
=−+
, ).km∈

(D-2010)
sin2 cos2 3sin cos 1 0.x x xx− + − −=

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

II. ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA

Thí dụ 4. Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác
ABC
cùng là nghiệm của phương trình sau thì
ABC
là
tam giác đều:
tan 2sin2 2 3.xx+=


Lưu ý: Nếu trong phương trình có
tan (2 ) 0a u bf u c+ +=
trong đó
f
là một trong các hàm số
sin,
cos,
tan,
cot,

thì đặt
tantu=
và biến đổi phương trình theo công thức
2
2
sin2 ;
1
t
u
t
=

+
2
2
1
cos2 ;
1
t
u
t
−
=
+
2
2
tan2
1
t
u
t
=
−
về phương
trình bậc 2 hoặc 3 đối với
.t

Thí dụ 5.
33
3
1 sin cos sin2 .
2

xx x++ =

( 2,
2
xk
π
π
=−+
2,xm
ππ
= +
, ).km∈

Lưu ý: Nếu đặt
sin costxx= +
thì
2
sin 2 1;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Nếu đặt
sin costxx= −
thì

2
sin2 1 ;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Trong cả 2 trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt và thử lại điều kiện
2.t ≤

Thí dụ 6.
3
sin .sin2 sin3 6cos .xx x x+=

( arctan 2 ,xk
π
= +
,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

Lưu ý: Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc nhất và bậc ba đối với

sin x
và
cos ,x
ta có thể chia hai vế của
phương trình cho
3
cos x
hoặc
3
sin x
để đưa PT đã cho về PT bậc ba của
tan x
hoặc
cot .x

III. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Thí dụ 7. Giải phương trình:
sin sin2
1.
sin3
xx
x
+
= −

(,
2
xk
π
π

= +
).k ∈

Lưu ý: Công thức
sin3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin .
33
xxx x x x x
ππ
  
= + −= + −
  
  

cos3 cos (1 2sin )(1 2sin ) 4cos cos cos .
33
xx x x x x x
ππ
  
=− += + −
  
  

Thí dụ 8.
2sin 2 cos 3sin 2 0.
4
x xx
π

− + + +=




( 2,
6
xk
π
π
=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
2,
2
n
π
π
−+
2,p
ππ
+
, , , ).kmnp∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng:

2
sin sin ;a xb xc++

2
cos cosa xb xc++
thì lưu ý cách phân
tích thành tích:
2
12
( )( ).at bt c a t t t t+ += − −

Thí dụ 9.
2sin 3cos 2tan 3cot 5 0.xxxx+ + + +=

1
( arccos 1 2 ,
4
2
xk
π
π

=± −+


3
arctan ,
2
xm
π
=−+
, ).km∈

Lưu ý: Các hệ thức hay dùng:
(sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ;
cos sin
ab
ax x b x x x x xx
xx

+ ++ + += + + +


(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos ) .
cos sin
ab
axx bxx xxxx
xx

− ++ − += + − +



(A-2005)
22
cos 3 cos2 cos 0.xx x−=
(
,
2
xk
π
=
).k ∈

(A-2006)
66
2(cos sin ) sin cos
0.
2 2sin
x x xx
x
+−
=
−

5
( 2,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(A-2007)
22
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .xx xx x+ ++ =+

(,
4
xk
π
π

=−+
2,
2
xm
π
π
= +
2,xp
π
=

, , ).kmp∈

(A-2008)
11 7
4sin .
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π

+=−




−



(,
4
xk
π
π
=−+
,
8
xm
π
π
=−+
5
,
8
xp
π
π
= +
, , ).kmp∈

(A-2010)
(1 sin cos2 )sin
1
4
cos .

1 tan
2
x xx
x
x
π

++ +


=
+

( 2,
6
xk
π
π
=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(A-2011)
2

1 sin 2 cos2
2sin sin2 .
1 cot
xx
xx
x
++
=
+

(,
2
xk
π
π
= +
2,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2002)
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .xxxx−=−

(,
9

k
x
π
=

,
2
m
x
π
=
, ).km∈

(B-2005)
1 sin cos sin2 cos2 0.xx x x++ + + =

(,
4
xk
π
π
=−+
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(B-2007)
2
2sin 2 sin7 1 sin .xx x+ −=

(,
84
xk
ππ
= +
52
,
18 3
xm
ππ
= +
, ).km∈

(B-2008)
3 3 22
sin 3cos sin cos 3sin cos .x x x x xx−= −

(,
42
k
x
ππ
= +
,
3

xm
π
π
=−+
, ).km∈

(B-2010)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0.x xx x x+ + −=

(,
42
xk
ππ
= +
).k ∈

(B-2011)
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .xx xx x x x+ = ++

( 2,
2
xk
π
π
= +
2
,
33
xm
ππ

= +
, ).km∈

(D-2003)
2 22
sin tan cos 0.
24 2
xx
x
π

− −=



( 2,
2
xk
π
π
= +
,
4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2004)

(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sin .x x x xx− +=−

( 2,
3
xk
π
π
=±+
,
4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2006)
cos3 cos2 cos 1 0.x xx+ − −=

(,xk
π
=
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(D-2008)
2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos .x xx x+ +=+

2
( 2,
3
xk
π
π
=±+
,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(D-2011)
sin2 2cos sin 1
0.
tan 3
x xx
x
+ −−
=
+

( 2,

3
xk
π
π
= +
).k ∈

IV. ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 10.
2
(cos4 cos2 ) 5 sin3 .xx x−=+

( 2,
2
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng:
sin 1;x ≤
cos 1;
x
≤
22
sin cos .a xb x a b+ ≤+

Nếu
,mn

là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì
22
sin cos sin cos 1.
mn
xxxx± ≤+ =

(A-2004) Cho
∆
ABC
không tù, thỏa mãn điều kiện
cos2 2 2 cos 2 2 cos 3.ABC++=
( 90 , 45 )A BC= = =

.
I. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
(A-2005)
22
cos 3 cos2 cos 0.xx x−=
(
,
2
xk
π
=
).k ∈

(A-2006)
66
2(cos sin ) sin cos
0.

2 2sin
x x xx
x
+−
=
−

5
( 2,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng
2
sin ( );u
α
+
2
cos ( )u
β
+
ta thường làm như sau:
- Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của
cos
góc nhân đôi.
- Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn.

Công thức:
44 22
cos sin cos sin cos2 .xx xx x−=−=

Thí dụ 1.
2(cos2 sin3 ) 5(cos3 sin2 ) 0.xx xx++ −=

( 2,
2
xk
π
π
=−+
23 2
,
5 10 5
xm
απ π
=−++
, ).km∈
2
(cos ,
29
α
=
5
sin ).
29
α
=

Lưu ý: Giải PT
(sin cos ) (sin cos ) 0au vbv u++ +=
bằng cách đặt
22
cos ;
a
ab
α
=
+
22
sin ;
b
ab
α
=
+
22
0,ab+≠

đưa về dạng
sin( ) cos( ) 0.uv
αα
++ −=

(B-2009)
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin ).x xx x x x
+ +=+

( 2,
6
xk
π
π
=−+

2
,
42 7
xm
ππ
= +
, ).km∈

(A-2009)
(1 2 sin ) cos
3.
(1 2sin )(1 sin )
xx
xx
−
=
+−

2
(,
18 3
xk

ππ
=−+
).k ∈

(A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
(0;2 )
π
của phương trình

cos3 sin3
5 sin cos2 3.
1 2sin2
xx
xx
x
+

+=+

+


12
5
(, )
33
xx
ππ
= =
.

(A-2003)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2 .
1 tan 2
x
x xx
x
−= + −
+

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(B-2003)
2
cot tan 4sin2 .
sin2
xx x
x
−+ =

(,
3
xk

π
π
=±+
).k ∈

(B-2004)
2
5sin 2 3(1 sin )tan .x xx−= −

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2006)
cot sin 1 tan tan 4.
2
x
xx x


++ =



(,
12
xk
π
π
= +
5
,
12
xm
π
π
= +
, ).km∈

(D-2002) Tìm
x
thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng của phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0.x xx− + −=

(,
2

x
π
=
3
,
2
x
π
=
5
,
2
x
π
=
7
).
2
x
π
=

(D-2005)
44
3
cos sin cos sin 3 0.
4 42
xx x x
ππ
  

+ + − − −=
  
  

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

(D-2007)
2
sin cos 3cos 2.
22
xx
x

++ =



( 2,
2
xk
π
π
= +
2,

6
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0.x xxx− −=

(,
18 3
xk
ππ
= +
,
62
xm
ππ
=−+
, ).km∈

(D-2010)
sin2 cos2 3sin cos 1 0.x x xx− + − −=

( 2,
6
xk
π
π

= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

II. ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA
(DB2-D2007)
(1 tan )(1 sin2 ) 1 tan .xx x−+=+

( , , ).
4
xkx kk
π
=π =− +π ∈

Thí dụ 2. Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác
ABC
cùng là nghiệm của phương trình sau thì
ABC
là
tam giác đều:
tan 2sin2 2 3.xx+=


Lưu ý: Nếu trong phương trình có

tan (2 ) 0a u bf u c+ +=
trong đó
f
là một trong các hàm số
sin,
cos,
tan,
cot,

thì đặt
tantu=
và biến đổi phương trình theo công thức
2
2
sin2 ;
1
t
u
t
=
+
2
2
1
cos2 ;
1
t
u
t
−

=
+
2
2
tan2
1
t
u
t
=
−
về phương
trình bậc 2 hoặc 3 đối với
.t

Thí dụ 3.
33
3
1 sin cos sin2 .
2
xx x
++ =

( 2,
2
xk
π
π
=−+
2,xm

ππ
= +
, ).km∈

Lưu ý: Nếu đặt
sin costxx= +
thì
2
sin 2 1;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Nếu đặt
sin costxx= −
thì
2
sin2 1 ;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−

=

Trong cả 2 trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt và thử lại điều kiện
2.t ≤

Thí dụ 4.
3
sin .sin 2 sin3 6cos .xx x x+=

( arctan2 ,xk
π
= +
,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

Lưu ý: Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc nhất và bậc ba đối với
sin x
và
cos ,x
ta có thể chia hai vế của
phương trình cho
3
cos x
hoặc
3

sin x
để đưa PT đã cho về PT bậc ba của
tan x
hoặc
cot .x

III. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Thí dụ 5. Giải phương trình:
sin sin2
1.
sin3
xx
x
+
= −

(,
2
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Công thức
sin3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin .
33
xxx x x x x
ππ
  

= + −= + −
  
  

cos3 cos (1 2sin )(1 2sin ) 4cos cos cos .
33
xx x x x x x
ππ
  
=− += + −
  
  

Thí dụ 6.
2sin 2 cos 3sin 2 0.
4
x xx
π

− + + +=



( 2,
6
xk
π
π
=−+
7

2,
6
xm
π
π
= +
2,
2
n
π
π
−+
2,p
ππ
+
, , , ).kmnp∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng:

2
sin sin ;a xb xc++
2
cos cosa xb xc++
thì lưu ý cách phân
tích thành tích:
2
12
( )( ).at bt c a t t t t+ += − −

Thí dụ 7.

2sin 3cos 2tan 3cot 5 0.xxxx+ + + +=

1
( arccos 1 2 ,
4
2
xk
π
π

=± −+


3
arctan ,
2
xm
π
=−+
, ).km∈

Lưu ý: Các hệ thức hay dùng:
(sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ;
cos sin
ab
ax x b x x x x xx
xx

+ ++ + += + + +



(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos ) .
cos sin
ab
axx bxx x xxx
xx

− ++ − += + − +



(A-2007)
22
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2 .xx xx x+ ++ =+

(,
4
xk
π
π
=−+
2,
2
xm
π
π
= +
2,xp
π
=

, , ).kmp∈

(D-2003)
2 22
sin tan cos 0.
24 2
xx
x
π

− −=



( 2,
2
xk
π
π
= +
,
4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(A-2011)

2
1 sin 2 cos2
2sin sin 2 .
1 cot
xx
xx
x
++
=
+

(,
2
xk
π
π
= +
2,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(A-2008)
11 7
4sin .
3
sin 4

sin
2
x
x
x
π
π

+=−



−



(,
4
xk
π
π
=−+
,
8
xm
π
π
=−+
5
,

8
xp
π
π
= +
, , ).kmp∈

(A-2010)
(1 sin cos2 )sin
1
4
cos .
1 tan
2
x xx
x
x
π

++ +


=
+

( 2,
6
xk
π
π

=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2002)
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .xxxx−=−

(,
9
k
x
π
=

,
2
m
x
π
=
, ).km∈

(B-2005)

1 sin cos sin2 cos2 0.xx x x++ + + =

(,
4
xk
π
π
=−+
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(B-2007)
2
2sin 2 sin7 1 sin .xx x+ −=

(,
84
xk
ππ
= +
52
,
18 3
xm

ππ
= +
, ).km∈

(B-2008)
3 3 22
sin 3cos sin cos 3sin cos .x x x x xx
−= −

(,
42
k
x
ππ
= +
,
3
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(B-2010)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0.x xx x x+ + −=

(,
42
xk
ππ

= +
).k ∈

(B-2011)
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .xx xx x x x+ = ++

( 2,
2
xk
π
π
= +
2
,
33
xm
ππ
= +
, ).km∈

(D-2004)
(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin .x xx xx− +=−

( 2,
3
xk
π
π
=±+
,

4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2006)
cos3 cos2 cos 1 0.x xx+ − −=

(,xk
π
=
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(D-2008)
2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cos .x xx x+ +=+

2
( 2,
3
xk
π

π
=±+
,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(D-2011)
sin2 2cos sin 1
0.
tan 3
x xx
x
+ −−
=
+

( 2,
3
xk
π
π
= +
).k ∈

IV. ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 8.

2
(cos4 cos2 ) 5 sin3 .xx x−=+

( 2,
2
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng:
sin 1;x ≤
cos 1;x ≤
22
sin cos .a xb x a b+ ≤+

Nếu
,mn
là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì
22
sin cos sin cos 1.
mn
xxxx± ≤+ =

(A-2004) Cho
∆
ABC
không tù, thỏa mãn điều kiện
cos2 2 2cos 2 2cos 3.ABC++=

( 90 , 45 )A BC= = =

.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
(DB1-D2008)
( )
44
4 sin cos cos4 sin2 0.xx xx+ ++=

( , ).
4
x kk
π
=− +π ∈

(DB1-D2007)
2 2sin cos 1.
12
xx
π

−=



( , , ).
43
xkxkk
ππ
= +π = +π ∈

(DB2-D2006)
32
4sin 4sin 3sin2 +cos 0.x x xx++ =

2
( 2, 2, ).
23
x kx kk
ππ
=+π=± +π∈

(DB1-D2006)
33 2
cos sin 2sin 1.xx x++ =

( , 2, 2, ).
42
xkxkxkk
ππ
=−+π = π =−+ π∈

(DB2-D2005)
2
2
cos2 1
tan 3tan .
2 cos
x
xx

x
π−

+− =



( , ).
4
x kk
π
=− +π ∈

(DB1-D2005)
22 3
sin cos2 cos (tan 1) 2sin 0.xx xx x+ −+ =

5
( 2, 2, ).
66
x kx kk
ππ
=+π= +π∈

(DB2-D2004)
sin sin 2 3(cos cos2 ).xx xx+= +

22
( , 2 , ).
93

x k x kk
ππ
= + = −π− π ∈

(DB1-D2004)
2sin cos2 sin 2 cos sin 4 cos .x x xx xx+=

( , , ).
3
xkx kk
π
=π =± +π ∈

(DB2-D2003)
2cos4
cot tan .
sin2
x
xx
x
= +

( , ).
3
x kk
π
=± +π ∈

(DB1-D2003)
2

cos (cos 1)
2(1 sin ).
sin cos
xx
x
xx
−
= +
+

( 2, 2, ).
4
x kx kk
π
=−+π=π+π∈

(DB2-D2002) Xác định
m
để phương trình
44
2(sin cos ) cos4 2sin2 0x x x xm+ + + −=
có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn
0; .
2
π




(DB1-D2002)
2
1
sin .
8cos
x
x
=

357
( 2, 2, 2, 2 ).
88 8 8
x kx kx kx kk
ππππ
=+π= +π= +π= +π∈

(DB2-B2010)
2
1
cos 2 cos 2 sin (cos2 1)
44 4
x x xx
  
+ − + +=
  
  
ππ
với
;.
44

x
ππ

∈−



(DB2-B2008)
2
3sin cos2 sin2 4sin cos .
2
x
xxx x++=

(DB1-B2008)
1
2sin sin 2 .
3 62
xx
ππ
  
+− −=
  
  

( 2 , , ).
23
x k x kk
ππ
= + π =− +π ∈

(DB2-B2007)
sin 2 cos2
tan cot .
cos sin
xx
xx
xx
+=−

( 2 , ).
3
x kk
π
=±+ π ∈

(DB1-B2007)
53
sin cos 2cos .
2 4 24 2
xx xππ
  
−− −=
  
  

( 2, 2, 2, ).
32
x kx kx kk
ππ

=+π=+π=π+π∈


(DB2-B2006)
cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0.x xx x++ − =

( , 2, 2, ).
42
xkxkxkk
ππ
=+π=+π=π+π∈


(DB1-B2006)
22 2
(2sin 1) tan 2 3(2cos 1) 0.
xx x
− + −=

( , ).
62
x kk
ππ
=±+ ∈

(DB2-B2005) Tìm nghiệm trên khoảng
(0; )π
của phương trình
22
3

4sin 3cos2 1 2cos .
24
x
xx
π

− =+−



575
,, .
18 18 6
xxx
πππ

= = =



(DB1-B2005)
sin2 cos2 3sin cos 2 0.x x xx+ + − −=

5
2, 2, 2, 2, .
2 66
x kx kx kx kk
π ππ

=+π=π+π=+π= +π∈





(DB2-B2004)
sin 4 sin7 cos3 cos6 .xx xx=

( , , ).
20 10 2
x k x kk
ππ π
= + = +π ∈

(DB1-B2004)
11
2 2 cos .
4 sin cos
x
xx
π

++ =



( , ).
4
x kk
π
=± +π ∈

(DB2-B2003)
( )
2
2 3 cos 2sin
24
1.
2cos 1
x
x
x
π

−−−


=
−

( (2 1) , ).
3
x kk
π
= + +π ∈

(DB1-B2003)
62
3cos4 8cos 2cos 3 0.xxx− + +=

( , , ).

42
x k xkk
ππ
=+ =π∈

(DB2-B2002)
44
sin cos 1 1
cot2 .
5sin2 2 8sin 2
xx
x
xx
+
= −

( , ).
6
x kk
π
=± +π ∈

(DB1-B2002)
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1 .
cos
xx

x
x
−
+=

2 52
( , , ).
18 3 18 3
x kx kk
π π ππ
=+=+∈

(DB2-A2008)
2
sin 2 sin .
4 42
xx
ππ
 
−= −+
 
 

( , 2 , ).
43
x kx k k
ππ
= +π =± + π ∈

(DB1-A2008)
2
tan cot 4cos 2 .xx x= +

( , , ).
42 82
x kx kk
ππ ππ
=+ =−+ ∈

(DB2-A2007)
2
2cos 2 3sin cos 1 3(sin 3cos ).x xx x x+ += +

2
( , ).
3
x kk
π
= +π ∈

(DB1-A2007)
11
sin2 sin 2cot2 .
2sin sin 2
xx x
xx
+− − =

( , ).

42
x kk
ππ
=+∈

(DB2-A2006)
2sin 2 4sin 1 0.
6
xx
π

− + +=



7
( , 2 , ).
6
xkx k k
π
=π= +π∈