Luận văn một số ứng dụng thực tế của lượng giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
-----------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA
LƯỢNG GIÁC

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

TS. Nguyễn Thanh Hùng

Huỳnh Tuyết Trân
MSSV: B1700046
Lớp: SP Toán K43

Cần Thơ – Năm 2022


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy cơ trong Bộ mơn Sư phạm Tốn
trường Đại Học Cần Thơ đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để em có được
nền tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý báu làm hành trang cho em
sau này.
Em xin gửi lời tri ân đặc biệt đến thầy TS. Nguyễn Thanh Hùng đã hướng dẫn, hỗ
trợ em nhiệt tình để hồn thành luận văn tốt nghiệp
Đề tài của em khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự

đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn và những người quan tâm đến đề tài này
để đề tài của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Cần Thơ, tháng 05 năm 2022
Sinh viên

Huỳnh Tuyết Trân

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ______________________________________________________1
MỤC LỤC _________________________________________________________2
PHẦN MỞ ĐẦU ____________________________________________________3
PHẦN NỘI DUNG __________________________________________________5
CHƯƠNG 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC __________________________5
1.1. Góc và cung lượng giác _______________________________________5
1.2. Cơng thức tính độ dài cung trịn và diện tích hình quạt trịn ___________7
1.3. Một số ví minh họa ___________________________________________8
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
_________________________________________________________________29
2.1. Giá trị lượng giác của một cung ________________________________29
2.2. Hàm số lượng giác __________________________________________29
2.3. Phương trình lượng giác cơ bản ________________________________35
2.4. Ứng dụng __________________________________________________37
2.5. Một số ví dụ minh họa _______________________________________40
CHƯƠNG 3. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC _______________________________________________63
3.1. Tam giác đồng dạng _________________________________________63

3.2. Tỷ số lượng giác của góc nhọn _________________________________64
3.3. Định lý sin _________________________________________________64
3.4. Định lý cơ-sin ______________________________________________64
3.5. Một số ví dụ minh họa _______________________________________65
PHẦN KẾT LUẬN _________________________________________________98
TÀI LIỆU THAM KHẢO ___________________________________________99

2


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lượng giác là một nhánh tốn học quan trọng, có nhiều ứng dụng. Cụ thể có thể nói
đến các ứng dụng như là việc đo đạc, tính tốn khoảng cách của các ngơi sao, hành
tinh trong thiên văn học; trong địa lý thì lượng giác thường dùng để đo khoảng cách
giữa các mốc giới. Các lĩnh vực khác cũng ứng dụng nhiều kiến thức lượng giác
như là lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, điện tử học, sinh học, chiếu chụp y
học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm) và trong nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất
đai và địa hình, kiến trúc,…
Các kiến thức về lượng giác cịn được sử dụng rất nhiều trong chương trình vật lý
phổ thông lớp 11 và 12 trong các chương về quang học, dao động điều hịa, điện
xoay chiều, sóng cơ, sóng âm, sóng điện từ,… Nhưng các bài tốn thực tế về lượng
giác trong các cuốn sách giáo khoa như “Đại số 10”, “Hình học 10” và “Đại số và
giải tích 11” cịn khá ít. Cũng vì điều này mà học sinh cảm thấy thiếu hứng thu khi
học chương lượng giác và khơng thể liên hệ các kiến thức mình đã được học về
lượng giác trong mơn tốn vào mơn vật lý 11 và 12.
Cũng vì lý do này mà tơi chọn thực hiện đề tài “Một số ứng dụng thực tế của
lượng giác” để làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu luận văn này là để tổng hợp lại các kiến thức về lượng giác

của các khối lớp, đồng thời tổng hợp và phân loại lại các bài toán thực về lượng
giác và giải chúng. Từ đó tạo ra nguồn tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy và
học của giáo viên và học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các khái niệm, định lý, tính chất liên quan đến lượng giác,
các bài tốn thực tế về lượng giác và tính ứng dụng của lượng giác.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu,… Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng
hợp, đánh giá các tài liệu liên quan đến lượng giác. Sưu tầm và chọn lọc và giải các
bài toán thực tế về lượng giác.
3


5. Nội dung luận văn
Luận văn được trình bày theo 3 chương:
Chương 1. Cung và góc lượng giác
Chương 2. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 3. Hai tam giác đồng dạng và hệ thức lượng trong tam giác.

4


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
1.1. Góc và cung lượng giác
1.1.1. Góc lượng giác
Góc lượng giác (Oa, Ob) được tạo thành bằng
cách quay tia Om quay điểm O luôn theo một chiều
sao cho tia Om xuất phát từ tia Oa và kết thúc tại tia

Ob , như hình 1.1. Khi đó ta nói tia Om qt một góc
lượng giác có tia đầu là tia Oa và tia cuối là tia Ob .

Hình 1.1

Ta quy ước, nếu tia Om quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thì góc
lượng giác (Oa, Ob) sẽ mang giá trị dương (xem hình 1.2). Cịn ngược lại, nếu tia
Om quay quanh O theo chiều cùng chiều kim đồng hồ thì góc lượng giác (Oa, Ob)
sẽ mang giá trị âm (xem hình 1.3).

Hình 1.2

Hình 1.3

Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ob nhiều
lần, mỗi lần như thế ta được một góc lượng giác
có tia đầu Oa, tia cuối Ob. Do đó, với hai tia Oa
và Ob cho trước thì ta có vơ số góc lượng giác
(một họ góc lượng giác) có tia đầu Oa, tia cuối
Ob (hình 1.4). Mỗi góc lượng giác như thế đều
được ký hiệu là (Oa, Ob) .

5

Hình 1.4


1.1.2. Cung lượng giác
Cho góc lượng giác (Oa, Ob) . Vẽ đường trịn tâm
O bán kính R cắt Oa tại A, cắt Ob tại B. Nếu tia

Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay
quanh O theo cùng một chiều (âm hoặc dương) từ
Oa đến Ob thì cũng đồng nghĩa với việc cho điểm
M chạy trên đường trịn theo một chiều tử điểm A
đến điểm B (hình 1.5). Khi đó ta nói điểm M vạch

nên một cung lượng giác AB có điểm đầu A,
điểm cuối B, tương ứng với góc lượng giác
(Oa, Ob) .

Hình 1.5

Ta quy ước, nếu tia Om quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thì

cung lượng giác AB sẽ mang giá trị dương. Còn ngược lại, nếu tia Om quay quanh

O theo chiều cùng chiều kim đồng hồ thì cung lượng giác AB sẽ mang giá trị âm.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường trịn định hướng ta có vô số cung lượng giác

điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được ký hiệu là AB .
1.1.3. Số đo của cung và góc lượng giác


Số đo của góc lượng giác (OA, OB) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.

Hình 1.6

Ví dụ như trong hình 1.6a) một điểm M di động trên đường trịn theo chiều dương
từ A đến B tạo nên cung

1

đường tròn, ta nói cung này có số đo , tương ứng với
4
2
6


góc lượng giác (OA, OB) có số đo là


2

. Trong hình 1.6b) điểm M đi tiếp một vịng



5
trịn nữa (thêm 2 ), ta được cung lượng giác AB có số đo là  2 
, tương
2
2
ứng với góc lượng giác (OA, OB) có số đo là

5
. Tương tự, trong hình 1.6c) ta có:
2

 
9

9
AB   2  2 
, (OA, OB) 
.
2
2
2
Trong hình 2.6d) do điểm M quay theo chiều âm từ A đến B tạo nên cung

3
đường
4


3
tròn, nên số đo của cung lượng giác AB là 
, tương ứng với góc lượng giác
4
(OA, OB) có số đo là 

3
.
4

1.2. Cơng thức tính độ dài cung trịn và diện tích hình quạt trịn
1.2.1. Cơng thức tính độ dài của một cung trịn
Trên một đường trịn bán kính R, cung có số đo  (rad) có độ dài là:
l R.

Đối với các trường hợp đường trịn có bán kính rất lớn nhưng góc ở tâm lại rất nhỏ

thì cung bị chắn (cung đối diện với góc ở tâm) và dây cung của nó sẽ có độ dài xấp
xỉ bằng nhau.

Hình 1.7

Do đó, chúng ta có thể sử dụng số đo của cung bị chắn để ước tính độ dài dây cung
trong nhiều vấn đề thực tế, đặc biệt là khi độ dài của cung bị chắn dễ tính hơn. Ví
dụ như tính đường kính của Mặt Trời thơng qua đường kính góc (kích thước biểu
7


kiến), xem hình 2.7. Trong đó thì  là góc ở tâm (đường kính góc của mặt trời) và r
xấp xỉ bằng khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.
1.2.2. Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn
Một hình quạt trịn bán kính R, có góc ở tâm là  (rad) có
diện tích là (hình 1.8):

1
S   R2 .
2

Hình 1.8

1.3. Một số ví minh họa
1.3.1. Số đo của góc và cung lượng giác
Câu 1. Một vận động viên chạy bộ trên một đường chạy
trịn như hình 1.9. Người đó bắt đầu tại điểm S và chạy
theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc không
đổi. Biết rằng cứ 30 phút người đó sẽ hồn thành đúng
một vịng chạy. Hỏi:

Hình 1.9

a) Trong 1 phút chạy bộ, người đó vạch nên một cung
lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?
b) Trong 40 phút chạy bộ, người đó vạch nên một cung lượng giác có số đo là bao
nhiêu radian?
c) Nếu người đó xuất phát từ S và chạy theo chiều cùng chiều kim đồng hồ, thì
trong 72 phút chạy bộ, người đó sẽ vạch nên một cung lượng giác có số đo là bao
nhiêu radian?
Giải
a) Vì người đó chạy đúng một vòng mất 30 phút ứng với 360 , nên cứ sau 1 phút
360

 6  .
chạy bộ người đó sẽ vạch nên một cung lượng giác có số đo là
60
30
b) Vì trong 1 phút chạy bộ người đó sẽ vạch nên một cung lượng giác có số đo là


30

, nên trong 40 phút chạy người đó sẽ vạch nên một cung lượng giác có số đo là
8


40.


30



4
.
3

c) Nếu người đó chạy theo chiều cùng chiều kim đồng hồ thì cung lượng giác được
người đó vạch nên sẽ mang giá trị âm, nghĩa là trong 1 phút chạy bộ người đó sẽ
vạch nên một cung lượng giác có số đo là 


30

.

Vậy trong 72 phút chạy theo chiều cùng chiều kim đồng hồ thì người đó vạch nên

12
một cung lượng giác có số đo là 72.  
.
30
5
Câu 2. Trái Đất hồn thành một vịng quay quanh trục của nó cứ sau mỗi 23 giờ, 56
phút và 4 giây. Tính gần đúng số radian mà Trái đất được quay trong một giây.
Giải
Vì trong 23 giờ, 56 phút, 4 giây (tức là 11644 giây) Trái Đất sẽ hoàn thành một
vòng quay tương ứng với 2 , nên số radian mà Trái Đất quay được trong một giây
2
 5, 4.104 (rad).

là  
11644
Câu 3. Giả sử quỹ đạo của Trái Đất là hình trịn. Hỏi trong ba tuần Trái Đất quay
quanh Mặt Trời thì Trái Đất vạch nên một cung lượng giác có số đo là bao nhiêu
radian? (Giả sử một năm có chính xác 52 tuần).

Hình 1.10

Giải
Để Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời đúng một vòng mất một năm (mất 52 tuần).

9


Số đo cung lượng giác được Trái Đất vạch nên trong một tuần quay quanh mặt trời
2 

 0,12 (rad).
là 1 
52 26
Số đo cung lượng giác được Trái Đất vạch nên trong ba tuần quay quanh mặt trời là
  31  3.0,12  0,36 (rad).
Câu 4. Một vòng đu quay có dạng hình trịn như
hình 1.11, thời gian thực hiện mỗi vòng quay
của đu quay là 38 phút. Tại thời điểm ban đầu,
một người vào bước cabin tại vị trí thấp nhất của
đu quay. Hỏi sau 60 phút quay liên tục kể từ thời
điểm ban đầu, người đó đã vạch nên một cung
lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

Hình 1.11

Giải
Số đo cung lượng giác được người đó vạch nên trong 1 phút là 1 

2 
 .
38 19

Số đo cung lượng giác được người đó vạch nên trong 60 phút là   601 

60
.
19

Câu 5. Một bánh xe đạp có các nan hoa được thiết kế như hình 1.12.
a) Mơ tả cách bạn tính số radian được tạo ra bởi một trong
các nan hoa của một bánh xe đạp đã quay được n vòng
quay.
b) Câu trả lời của bạn ở câu a) có phụ thuộc vào kích
thước của bánh xe đạp?
c) Tính số radian được tạo ra bởi một trong các nan hoa
của một bánh xe đạp đã quay hồn chỉnh 3,6 vịng.

Hình 1.12

Giải
a) Vì số radian được tạo ra bởi một trong các nan hoa của một bánh xe đạp đã quay
được 1 vòng là 2 , nên số radian được tạo ra bởi một trong các nan hoa của một
bánh xe đạp đã quay được n vòng là 2 n .

10


b) Không.
c) Số radian bánh xe đạp tạo ra khi quay hồn chỉnh 3,6 vịng là 2 .3,6 

36
.
5

Câu 6. Giả sử Trái Đất là một hình cầu. Tìm số đo của cung hình học  được tạo ra
bởi mỗi cặp thành phố trên bề mặt Trái Đất được cho bên dưới, với mỗi cặp thành
phố được cho phải có cùng kinh độ (nghĩa là nằm trên cùng một đường Bắc-Nam),
như hình 1.13.

Hình 1.13 Minh họa tọa độ của hai thành phố San Franciso và Seattle

a) San Franciso, CA, 3750' N và Seattle, WA, 4740' N.
b) Dallas, TX, 3250' N và Lincoln, NE, 4050' N.
c) Buffalo, NY, 4250' N và Durham, NC, 320' N.
Giải
a) Số đo cung hình học được tạo ra bởi hai thành phố San Franciso và Seattle là

  4740 ' 3750'  950' .
b) Số đo cung hình học được tạo ra bởi hai thành phố Dallas và Lincoln là

  4050 ' 3250 '  8 .
c) Số đo cung hình học được tạo ra bởi hai thành phố Buffalo và Durham là
11

  4250 ' 320'  1050' .
1.3.2. Độ dài của một cung trịn
Câu 7. Mắt người có hình dạng gần giống hình cầu, với phần phìn ra phía trước gọi
là giác mạc được mơ phỏng bằng hình 1.14 dưới đây.

Hình 1.14

a) Tính s (làm trịn đến hai chữ số thập phân), biết   119,7, r  5, 49 mm;
b) Tính r (làm trịn đến hai chữ số thập phân), biết s  11,5 mm,   118, 2 ;
c) Tính  (làm trịn đến phút), biết s  12,1 mm, r  5, 26 mm.
Giải:
a) Đổi   119,7 

b) Đổi   118, 2 

133
133
.5, 49  11, 47 mm.
. Ta có: s   r 
180
180
197
s 11,5
. Ta có: s   r  r  
 5,57 mm.
300
 197
300

c) Ta có: s   r   

s 12,1

 218' .
r 5, 26

Câu 8. Khoảng cách giữa hai điểm A và B trên Trái Đất được đo dọc theo một vịng
trịn có tâm C ở tâm Trái đất và bán kính bằng khoảng cách từ C đến bề mặt Trái

12


Đất (xem hình 1.15). Biết đường kính của Trái Đất là khoảng 12742 km, hãy tính
gần đúng khoảng cách giữa A và B nếu

4
ACB   ;
a) 
9
b) 
ACB  3 ;
c) 
ACB  60 ;
d) 
ACB  10 .
Hình 1.15

Giải
Bán kính của Trái Đất là

12742
 6371 km.
2

4
ACB   thì khoảng cách giữa hai điểm A và B là:
a) Nếu 
9
4
25484
6371.  
  8889,6 km.
9
9
b) Nếu 
ACB  3 thì khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6371.3  19113 km.



ACB  60  thì khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6371.  6671,7
c) Nếu 
3
3
km.


ACB  10 
d) Nếu 
thì khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6371.  1111,95

18
18
km.
Câu 9. Sân bay Quốc tế Nội Bài và sân bay Quốc tế Cần Thơ nằm xấp xỉ trên cùng
một kinh tuyến. Biết rằng sân bay Quốc tế Nội Bài có vĩ độ 2113' N, sân bay Quốc
tế Cần thơ có vĩ độ 1005' N và bán kính trái đất tại xích đạo là 6378 km. Tính
khoảng cách giữa hai sân bay trên.
Giải

13


Đặt điểm O, A, B lần lượt tại tâm Trái Đất, sân bay Quốc tế
Nội Bài, sân bay Quốc tế Cần Thơ và l là độ dài cung hình
AB (hình 1.16). Ta có l khoảng cách của hai sân bay.
học 

167
AOB  2113' 1005'  118' 
Ta có 
rad.
2700
167
.6378  1239,3 km.
AB là l   R 
Độ dài của cung 
2700

Hình 1.16

Vậy khoảng cách giữa hai sân bay là 1239,3 km.
Câu 10. Tính đường kính của Mặt Trời, biết khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời
là r  149,6.106 km và đường kính góc của mặt Trời là   032 ' .

Hình 1.17

Giải
Ta có   032'  9,3.103 (rad).
Đường kính của Mặt Trời xấp xỉ bẳng d   r  9,3.103.149,6.106  1391280 km.
Câu 11. Nhật thực toàn phần sẽ xảy ra khi Mặt Trăng đi qua giữa Trái Đất và Mặt
Trời. Khi đó người quan sát tại nơi xảy ra nhật thực toàn phần sẽ thấy đường kính
góc của Mặt Trăng lớn hoặc bằng đường kính góc của Mặt Trời, xem hình 1.18

Hình 1.18

14


a) Vì khoảng cách từ Mặt Trời và Mặt Trăng đến trái đất thay đổi theo thời gian,
nên hãy giải thích điều gì xảy ra với đường kính góc của Mặt Trời và Mặt Trăng
(đối với người quan sát tại nơi xảy ra nhật thực toàn phần trên Trái Đất) khi khoảng
cách của chúng từ Trái Đất tăng hoặc giảm.
b) Đường kính của Mặt Trời và Mặt Trăng lần lượt là D  1392700 km và
d  3474,8 km. Tìm khoảng cách lớn nhất mà Mặt Trăng có thể cách Trái Đất để
xảy ra nhật thực toàn phần khi Mặt Trời ở khoảng cách cực đại so với Trái Đất là
R  152,1 triệu km.
Giải
a) Gọi d là đường kính của Mặt Trăng, r là khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất,
 là đường kính góc của Mặt Trăng. Áp dụng cơng thức tính độ dài cung trịn ta có:

d r   

d
(*)
r

Vì đường kính d của Mặt Trăng khơng thay đổi nên dựa vào phương trình (*) ta
thấy  tỷ lệ nghịch với r, nghĩa là khi khoảng cách của Mặt Trăng và Trái Đất tăng
lên (giá trị của r tăng lên) thì đường kính góc của Mặt Trăng sẽ giảm (số đo góc 
giảm) và ngược lại.
Tương tự ta cũng có khoảng cách của Mặt Trời và Trái Đất tăng lên sẽ làm đường
kính góc của Mặt Trời giảm và ngược lại.
b) Khi Mặt Trăng đi qua giữa Trái Đất và Mặt Trời, để xảy ra nhật thực tồn phần
thì đường kính góc của Mặt Trăng ít nhất phải bằng đường kính góc của Mặt Trời.
Đường kính góc của Mặt Trời là  

D 1392700

 9,16.103  32,96'' .
R 152,1.106

Vậy khoảng cách lớn nhất từ Mặt Trăng đến Trái Đất để xảy ra nhật thực toàn phần
là:

r

d





3474,8
 379345 km.
9,16.103

Câu 12. Vào tháng 1 năm 2005, tàu vũ trụ Huygens của Cơ quan Vũ trụ Châu Âu
đã hạ cánh trên bề mặt của vệ tinh Titan (một trong những mặt trăng của Sao Thổ).
15


Titan có đường kính trung bình khoảng d  5149 km. Khi nhìn từ Sao Thổ, Titan
có đường kính góc là   0, 242 . Hỏi Titan cách Sao Thổ bao xa?
Giải
Ta có   0, 242  4, 22.103 (rad).
Khoảng cách từ vệ tinh Titan đến sao thổ là:

r

d





5149
 1220142 km.
4, 22.103

Câu 13. Xem hình 1.19 và trả lời các câu hỏi

sau:
a) Góc xem đối với ống kính tele 300 mm là
8°. Nếu chụp vật ở độ xa 380 m thì chiều rộng
gần đúng của phạm vi quan sát là bao nhiêu?
b) Góc xem của ống kính tele 1.000 mm là
2,5°. Nếu chụp vật ở độ xa 260 m thì chiều
rộng gần đúng của phạm vi quan sát là bao
nhiêu?
c) Góc xem của ống kính Mắt Cá là 180°. Nếu
chụp vật ở độ xa 100 m thì chiều rộng gần
đúng của phạm vi quan sát là bao nhiêu?

Hình 1.19

Giải
a) Đổi 8 

2
2
.380  53 m.
. Chiều rộng của phạm vi quan sát là l 
45
45

b) Đổi 2,5 


72

. Chiều rộng của phạm vi quan sát là l 


72

.260  11,3 m.

c) Đổi 180   . Chiều rộng của phạm vi quan sát là l   .100  314 m.
Câu 14. Nhà toán học Eratosthenes (Khoảng 276 – 195 TCN) đã đo chu vi của Trái
Đất bằng cách sau đây. Ông thấy rằng, vào một ngày nhất định Mặt Trời sẽ chiếu
thẳng trực tiếp xuống Syene. Đồng thời ở Alexandria cách Syene 804 km về phía
16


Bắc (trên cùng một kinh tuyến), các tia nắng chiếu xuống hợp với mặt đất một góc
7, 2 (như hình 1.20).

Hình 1.20

Hãy sử dụng những thơng tin trên để tính bán kính và chu vi của Trái Đất.
Giải
Đổi 7, 2 


25

.

Bán kính của trái đất là R 

804



 6398 km.

25
Chu vi của Trái Đất là C  2 R  2 .6398  40199,8 km.
Câu 15. Một sân vận động có kích thước được mơ phỏng như hình 1.21. Hãy tính
chu vi của sân vận động đó.

Hình 1.21

Giải:
17


Kẻ OM  AB .

Hình 1.22

Vì AOB cân tại O có OM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến vừa là
đường phân giác 
AOB nên ta có:

 
AOB
 75
 AOM 
2
.


AB
68
 AM 

 34 m

2
2
Xét AMO vuông tại M, ta có: OA 

AM
34
R
 34

sin 75
sin AOM





6 2 .

5
Đổi 
.
AOB  150 
6

AOB  34
AB là l  R.
Độ dài cung 



 56  92,15 m.

6 4 .

Vậy chu vi của sân vận động là 92,15 m.
Câu 16. Một bánh xe đạp có đường kính là 53 cm di chuyển được một khoảng cách
dài 41,25 m. Tính số đo góc lượng giác được tạo ra bởi một trong các nan hoa.
Giải
Chọn chiều dương là chiều quay của bánh xe đạp.
Bán kính của bánh xe đạp là r 

66
 33 cm  0,33 m.
2
18


Để di chuyển được một khoảng cách dài l  41, 25 (m) thì một trong các nan hoa
của bánh xe đạp đó phải quay một góc bằng  

l 41, 25

 125 (rad).
r 0,33

Câu 17. Một cái cốc hình nón được làm từ một
mảnh giấy hình quạt trịn có bán kính R = 6 cm và
5
góc ở tâm  
, như hình 1.23. Tính:
3
a) Chu vi C của miệng cốc.
b) Bán kính r của miệng cốc.
c) Chiều cao h của cốc.
d) Tính thể tích V của cốc.
Hình 1.23

Giải
a) Chu vi của miệng cốc là C   R 

b) Bán kính của miệng cốc là r 

5
.6  10  31, 4 cm.
3

C 10

 5 cm.
2
2

c) Áp dụng định lý Pytago ta có: h 2  r 2  62  h  62  r 2  62  52  11 cm.
d) Diện tích của đáy cốc là S   r 2  25 cm 2 .

1
1
Vậy thể tích cốc là V  Sh  25 11  86,8 cm3 .
3
3
Câu 18. Trả lời các câu sau:
a) Mơ tả cách bạn tình số radian được tạo ra bởi một rịng rọc có đường kính d = 10
cm quay không trượt nếu u (m) dây được kéo qua.
b) Câu trả lời của bạn ở câu a) có phụ thuộc vào đường kính của rịng rọc khơng?
Tại sao?

19


c) Tính số radian được tạo ra bởi sự quay khơng trượt của rịng rọc ở câu a) khi 5,75
m dây được kéo qua?
Giải
Chọn chiều dương là chiều quay của rịng rọc.
a) Bán kính của rịng rọc là r 

10
 5 (cm)  0,05
2

(m).
Gọi O là tâm của ròng rọc. Chọn một điểm M bất kỳ ở
ngồi rìa của rịng rọc sao cho OM = 0,05 m. Gọi điểm
M1 , M 2 lần lượt là vị trí của điểm M trước và sau khi
ròng rọc đã được kéo qua u (m) dây (xem hình 1.24).

Khi rịng rọc được kéo qua u (m) dây thì lúc đó điểm

M sẽ vạch nên một cung lượng giác M 1M 2 , cung

Hình 1.24

lượng giác này sẽ có độ dài đúng bằng u (m).
Vậy số radian mà ròng rọc tạo ra khi bị kéo qua u (m) dây là  

b) Có. Vì số radian mà ròng rọc tạo ra là  

u
u
(rad).

r 0,05

u 2u
phụ thuộc vào đường kính.

r d

c) Số radian được tạo ra bởi sự quay khơng trượt của rịng rọc ở câu a) khi 5,75 m
u
5,75
dây được kéo qua là  

 115 .
0,05 0,05
Câu 19. Một rịng rọc lớn có đường kính d = 7,6 cm được

sử dụng để cẩu hàng hóa, như trong hình 1.25.
a) Tìm qng đường mà hàng được nâng lên nếu quay rịng
7
rọc một góc có số đo bằng
.
4
b) Tìm góc (tính bằng radian) mà rịng rọc phải quay để
nâng hàng hóa lên một quãng đường bằng s (m).
20

Hình 1.25


Giải
Bán kính của rịng rọc là r 

d
 3,8 (cm)  0,038 (m).
2

a) Quãng đường mà hàng được nâng lên là l 

b) Số radian mà ròng rọc phải quay là  

7
.0,038  0, 2 (m).
4

s
s

(rad).

r 0, 038

Câu 20. Một bộ bánh xích của một chiếc xe đạp được minh họa như hình 1.26. Nếu
đĩa xích 1 có bán kính r1 quay một góc 1 (rad) thì góc  2 (rad) mà đĩa xích 2 có
bán kính r2 đã quay có số đo là bao nhiêu?

Hình 1.26

Giải
Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm của đĩa xích 1 và đĩa xích 2.
Chọn M và N lần lượt là hai điểm bất kỳ nằm trên rìa của đĩa xích 1 và đĩa xích 2
sao cho O1M  r1 và O2 N  r2 .
Gọi M 1 , M 2 lần lượt là vị trí của điểm M và N1 , N 2 lần lượt là vị trí của điểm N
trước và sau khi đĩa xích 1 quay một góc 1 (rad).
Khi đĩa xích 1 quay một góc 1 (rad) thì điểm M sẽ vạch nên một cung lượng giác

M 1M 2 , cung lượng giác này sẽ có độ dài đúng bằng l1  1r . Vì được nối với nhau
bằng sợ dây xích nên cùng lúc đó điểm N trên đĩa xích 2 cũng vạch nên một cung

lượng giác N1 N 2 có độ dài là l2  l1 .
21


Ta có: l2  l1  1r1   2 r2   2 

1r1
r2

(rad).

Câu 21. Một chiếc xe đạp có hai bánh, với
bánh phía sau được liên kết với bàn đạp và
dây xích như hình 1.27. Biết bánh trước có
đường kính 24 cm và bánh sau có đường kính
60 cm. Hỏi bánh trước sẽ quay một góc bao
nhiêu radian nếu bánh sau đã quay một góc 12
rad?

Hình 1.27

Giải
Bán kính bánh trước và bánh sau của xe đạp lần lượt là r1 

r2 

24
 12 cm và
2

60
 30 cm.
2

Sau khi bánh sau quay một góc  2  12 rad thì độ dài đoạn đường mà nó đi được là

l2   2 r2  12.30  360 cm, cũng đúng bằng độ dài đoạn đường mà bánh trước của
xe đạp đi được, nghĩa là khi đó bánh trước cũng đi được một đoạn có độ dài là
l1  l2  360 cm.

Vậy, số radian mà bánh trước sẽ quay được là 1 

l2 360

 30 rad nếu bánh sau
r2 12

đã quay một góc 12 rad.
Câu 22. Một bộ truyền ma sát có hai bánh xe được liên kết với nhau như hình 1.28,
trong đó bánh dẫn có đường kính là r1  26 cm và bánh bị dẫn có đường kính

r2  12 cm. Khi bánh dẫn quay quanh trục lực ma sát được tạo ra tại điểm tiếp xúc
của hai bánh xe khiến bánh bị dẫn quay. Hỏi:
a) Khi bánh dẫn hồn thành ba vịng quay thì bánh bị dẫn sẽ quay được bao nhiêu
vòng?
b) Bánh dẫn phải quay một góc bao nhiêu radian thì bánh bị dẫn mới hồn thành
một vịng quay?

22


Hình 1.28

Giải
Ta có: Chu vi của bánh dẫn là C1  2 .26  52 (cm) và chu vi của bánh bị dẫn là

C2  2 .12  24 (cm).
a) Gọi M 1 và M 2 lần lượt là hai điểm bất kỳ nằm trên bánh dẫn và bánh bị dẫn tại
vị trí ban đầu.
Sau khi bánh dẫn hồn thành ba vịng quay thì điểm M 1 trên bánh dẫn vạch nên

một cung lượng giác có độ dài l1  3C1  156 (cm). Cùng lúc đó điểm M 2 trên
bánh bị dẫn cũng vạch nên một cung lượng giác có độ dài l2  l1  156 (cm), tức là
bánh bị dẫn quay được n2 

l2 156

 6,5 (vòng).
C2 24

b) Để bánh bị dẫn hồn thành một vịng quay thì điểm M 2 phải vạch nên được một
cung lượng giác có độ dài l2  C2  24 (cm). Khi đó điểm M 1 trên bánh dẫn cũng
phải vạch nên được một cung lượng giác có độ dài l1  l2  24 (cm), tức là bánh
dẫn phải quay một góc 1 

l1 24 12

 .
r1
26 13

23


1.3.3. Diện tích hình quạt trịn
Câu 23. Một hệ thống tưới sử dụng một ống phun
thẳng dài 300 m xoay quanh một điểm trung tâm như
hình 1.29. Do có chướng ngại vật nên đường ống chỉ
được phép quay một góc 280 . Tính diện tích phần
được tưới bởi hệ thống.
Giải:

Hình 1.29

Đổi 280 

14
.
9

1 14
.3002  70000  219911,5 m 2 .
Diện tích phần được tưới là S  .
2 9
Câu 24. Một cửa kính hình chữ nhật có chiều dài 138 cm, chiều rộng 60 cm. Một
lưỡi gạt nước dài 43 cm, được gắn với một cánh tay dài 13 cm ở giữa đế cửa kính,
khi hoạt động cánh tay sẽ quay một góc 120 , như hình 1.30. Hãy ước tính tính
phần trăm diện tích cửa kính được lưỡi gạt qt qua.

Hình 1.30

Giải:
Diện tích cửa kính là Sck  138.60  8280 cm2 .

24