(SKKN 2022) phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12, thông qua bài toán xác định số phức, các phép toán về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12
THƠNG QUA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC, CÁC
PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Lý
Chức vụ: Giáo viên
Mơn: Tốn

THANH HÓA NĂM 2022



1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Những năm gần đây, đề thi mơn Tốn trong kỳ tốt nghiệp trung học phổ
thơng đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan.
Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà
trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm
vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng tốn quan trọng mà cần có khả
năng tư duy logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách
giải quyết nhanh nhất đến đáp án. Ngoài ra, với hình thức thi trắc nghiệm như
hiện nay các em học sinh thường quen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và
cố gắng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất.
Đáp ứng được sự thay đổi đó cần sự nỗ lực lớn đối với mỗi giáo viên chúng ta.

Trong đề thi Đại học và cao đẳng các năm trước cũng như đề thi THPT
các năm gần đây và mới nhất đề tham khảo của Bộ giáo dục năm 2022 thì câu
hỏi về xác định số phức, tìm phần thực, phần ảo, các phép tốn về số phức ln
xuất hiện và ở tất cả các mức độ kiến thức từ nhận biết, thơng hiểu, nvận dụng
đặc biệt có cả các câu mức độ vận dụng cao. Trong đề thi THPTQG lượng câu
hỏi nhiều và rộng thì đối với đối tượng học sinh yếu kém đa phần các em lựa
chọn theo hình thức may rủi. Chính vì thế mà chất lượng các bài thi của các em
hoàn toàn bị động, cùng đó là kéo theo tâm lý và ý thức học tập gần như khơng
có. Với hình thức thi trắc nghiêm thì các dạng tốn khơng bó hẹp ở một số dạng
theo lối mịn mà đã biến hố rất đa dạng trong đó có bài tốn liên quan đến xác
định số phức, các phép toán về số phức dành cho học sinh yếu kém đến học sinh
khá giỏi mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, các sách tham khảo cũng chưa
nhiều cho dạng tốn này do đó cả giáo viên và học sinh rất khó khăn để tìm
nguồn tài liệu trong giảng dạy và học tập khi khai thác ở chủ đề này. Qua thực
tế giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các
bài tốn theo từng dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,
làm quen và thành thạo các dạng toán này. Nhằm giúp các em học sinh lớp 12 ôn
thi thật tốt và đạt kết quả trong kì thi Tốt nghiệp THPT sắp tới, tơi mạnh dạn
viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận
toán học cho học sinh lớp 12 thơng qua bài tốn xác định số phức, các phép
tốn về số phức ”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển tư duy và lập luận tốn học cho học sinh
thơng qua các bài toán xác định số phức, các phép toán số phức giúp các em có khả
năng lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2022 đồng thời giúp đồng
nghiệp trong tổ chun mơn có thêm nguồn tài liệu tham khảo trong giảng dạy

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu và tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…).
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy).
1


- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của học sinh và
đối chứng).
2. Nội dung sáng kiến
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học. Năng lực được
hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng
những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành
cơng hoạt động đó.
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một
cá thể, một thứ phi vật chất. Song nó thể hiện được qua hành động và đánh
giá được nó qua kết quả của hoạt động.
Thơng thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng
2.1.2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu
tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và
linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào
thực tiễn.
Năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện qua việc thực hiện
các hành động:
+ So sánh phân tích, tổng hợp đặc biệt hóa, khái qt hóa, tương tự, quy nạp,

diễn dịch.
+ Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi kết luận.
+ Giải thích hoặc đều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện
toán học.
Năng lực tư duy và lập luận toán học ở cấp trung học phổ thông biểu
hiện như sau :
+ Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện
được sụ tương dồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và
lý giải được kết quả của việc quan sát.
+Sử dụng các phương pháp lập luận quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
2.1.3. Số phức, các phép toán về số pức.
2.1.3.1. Định nghĩa
Số phức là số có dạng z = a + bi có phần thực là a, phần ảo là b.
Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo.
2.1.3.2. Số phức liên hợp
Số phức là số có dạng z = a + bi , số phức liên hợp z = a − bi và cần nhớ i 2 = −1.
2.1.3.3. Biểu diễn hình học của số phức
M (ab; )
M
(
a
;
b
).
z
=
a
+
bi

Số phức
có điểm biểu diễn là
z
Số phức liên hợp = a − bi có điểm biểu diễn N (a; −b).
Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.
+) z = z; z + z′ = z + z ′; z − z ′ = z − z ′;

b

O

−b

y

z = a + bi

z = a −bi

a

Na(;−b)

2

x


z

z

+) z .z′ = z.z′;  ÷ = ; z.z = a 2 + b 2
 z ′  z′
2.1.3.4. Mô đun của số phức z là: z = a 2 + b 2
z

z

+) z.z ′ = z z′ • z ′ = z ′
+) z − z ′ ≤ z + z ′ ≤ z + z ′ • z − z ′ ≤ z − z ′ ≤ z + z ′
2.1.3.5. Phép cộng, trừ hai số phức Cho số phức z1 = a + b.i và z2 = c + d .i .
Khi đó z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d .i ) = ( a + c ) + ( b + d ) .i.
z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d .i ) = ( a − c ) + ( b − d ) .i.

2.1.3.6. Phép nhân hai số phức z1.z2 = ( a + b.i ) . ( c + d .i ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) .i.
k .z = k .(a + bi ) = ka + kbi

2.1.3.7. Phép chia hai số phức

z1 z1.z2 z1.z2 ( a + b.i ) . ( c − d .i ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ac + bd bc − ad
=
=
=
=
= 2
+
i.
2
z 2 z2 .z2

c2 + d 2
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
z2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Đối với các em học sinh khối 12 có học lực trung bình, yếu thì các bài tốn
xác định số phức, các phép toán về số phức ở mức độ nhận biết, thông hiểu là
phần kiến thức mà các em cảm thấy có thể tiếp thu tuy nhiên dễ mắc một số sai
lầm trong khi giải các bài tốn. Đối với các em học sinh khối 12 có học lực khá,
giỏi thì các bài tốn xác định số phức, các phép toán về số phức ở mức độ vận
dụng, vận dụng cao là phần kiến thức các em rất ngại, khó tiếp thu vì cần phải
sử dụng rất nhiều kiến thức liên quan. Với hình thức thi trắc nghiêm thì các dạng
tốn khơng bó hẹp ở một số dạng theo lối mịn mà đã biến hố rất đa dạng trong
đó có bài tốn liên qua đến xac định số phức, các phép toán về số phức dành cho
học sinh yếu kém đến học sinh khá giỏi mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp,
các sách tham khảo cũng chưa nhiều cho dạng toán này
2.3. Các giải pháp
2.3.1. Dạng tốn. Tìm số phức liên hợp, tổng, hiệu các số phức biết các số
phức cụ thể.
Phương pháp: Ôn tập khắc sâu cho học sinh các kiến thức cơ bản
- Sử dụng khái niệm số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi
- Sử dụng tính chất tổng hiệu của hai số phức
z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d .i ) = ( a + c ) + ( b + d ) .i.
z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d .i ) = ( a − c ) + ( b − d ) .i.

- Sử dụng tính chất nhân một số với số phức: k .z = k .(a + bi) = ka + kbi
Ví dụ 1. (Đề khảo sát Sở GDĐT Thanh Hóa 2022. Đợt 2)
Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 5i là
A. z = −2 + 5i . B. z = −2 − 5i . C. z = 2 + 5i .

Phân tích hướng giải.

D. z = 2 + i .

3


Sử dụng khái niệm số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi
Lời giải
Chọn C
Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 5i là z = 2 + 5i .
Nhận xét: Thơng qua ví dụ trên, giáo viên cần làm cho học sinh khắc sâu khái
niệm số phức liên hợp, trong ví dụ trên học sinh trung bình, yếu có thể bị mắc
sai lầm là đổi dấu phần thực nên chọn nhầm phương án B
Ví dụ 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Số phức liên hợp của số phức z = −3 + 5i là:
A. z = −3 − 5i .
B. z = 3 + 5i .
C. z = −3 + 5i . D. z = 3 − 5i .
Phân tích hướng giải.
Nắm vững khái niệm số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi
Lời giải
Số phức liên hợp của số phức z = −3 + 5i là z = −3 − 5i
Chọn A.
Ví dụ 3. (Đề minh họa - 2022) Cho số phức z = 3 − 2i khi đó số phức 2z bằng
A. 2 z = 6 − 2i .
B. 2 z = 6 − 4i .
C. 2 z = 3 − 4i . D. 2 z = −6 + 4i .
Phân tích hướng giải.
Sử dụng tính chất nhân một số với số phức: k .z = k .(a + bi) = ka + kbi
Lời giải

Chọn B
Số phức 2z bằng 2 z = 2(3 − 2i) = 6 − 4i
Ví dụ 4. (Đề khảo sát Sở GDĐT Thanh Hóa 2022. Đợt 2) Số Cho hai số phức
z = 3 + i, w = 2 + 3i . Tìm số phức z − w
A. 1 − 2i .
B. −1 + 2i .
C. 5 + 4i .
D. −1 + 2i .
Phân tích hướng giải.
Sử dụng tính chất hiệu của hai số phức
z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d .i ) = ( a − c ) + ( b − d ) .i.

Lời giải
Chọn A
Số phức z − w bằng 1 − 2i
Nhận xét: Trong 4 ví dụ trên, giáo viên cần làm cho học sinh khắc sâu khái
niệm số phức liên hợp, vận dụng tốt các phép toán về số phức. Đây là dạng bài
tốn mà giáo viên có thể giúp các em với học sinh yếu kém, trung bình luyện tập
thành thạo cách làm: Muốn tìm số phức liên hợp ta giữ nguyên phần thực và chỉ
cần đổi dấu phần ảo, các em sẽ chọn đúng đáp án. Tạo được sự kích lệ, tự tin,
ứng thú từ đó các em chủ động, tích cực làm bài.
2.3.2. Dạng tốn. Tìm số phức và các thuộc tính của nó biết biểu diễn hình
học của số phức .
Phương pháp : Số phức z = a + bi ⇔ có điểm biểu diễn là M (a; b).
4


Ví dụ 5. (Thanh Hóa -2019) Điểm
trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số
M

phức

A. 3 + 2i.
B. 2 − 3i.
C. −2 + 3i.
D. 3 − 2i.
Phân tích hướng giải.
- Quan sát hình vẽ xác định tọa độ điểm M ( −2;3)
- Dựa vào định biểu diễn hình học của số phức suy ra số phức cần tìm.
Lời giải
Điểm M ( −2;3) biểu thị cho số phức z = −2 + 3i.
Ví dụ 6. (Chun Lam Sơn Thanh Hóa 2019)
Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Chọn kết luận đúng về số phức
z.

A. z = 3 + 5i . B. z = −3 + 5i .
C. z = 3 − 5i .
D. z = −3 − 5i .
Phân tích hướng giải.
- Quan sát hình vẽ xác định tọa độ điểm M ( −3;5)
- Dựa vào định biểu diễn hình học của số phức suy ra số phức z
-Từ đó tìm được số phức liên hợp z = −3 − 5i
Lời giải
Tọa độ điểm M ( −3;5 ) ⇒ z = −3 + 5i ⇒ z = −3 − 5i .
Ví dụ 7. (Đề Thi KHTN -2019) Điểm M trong hình vẽ là biểu diễn hình học của
số phức nào dưới đây?
5


2

O
-1
A. z = 2 − i .
B. z = 2 + i .
C. z = −1 + 2i .
D. z = −1 − 2i .
Phân tích hướng giải.
-Quan sát hình vẽ xác định tọa độ điểm M (2; −1)
-Dựa vào định biểu diễn hình học của số phức suy ra số phức z
Lời giải
Điểm M (2; −1) nên nó biểu diễn cho số phức z = 2 − i .
Nhận xét: Trong các ví dụ trên, giáo viên ngồi việc cần giúp cho học sinh vận
dụng tốt khái niệm điểm biểu diễn hình học của số phức mà cịn giúp cho học
sinh nắm vững các định nghĩa về số phức liên hợp
Đối tượng học sinh yếu kém, trung bình thì đây là bài tốn mà giáo viên có
thể cho học sinh rèn luyện để các em có thể chọn đúng đáp án mà khơng phải
khoanh chừng.
2.3.3. Dạng tốn. Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa mãn 1 điều
kiện .
Phương pháp
- Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z = x + yi với x, y ∈ ¡ .
- Bước 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa
z, z , z ,... ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình ⇒ x, y .
Lưu ý
Trong trường phức £ , cho số phức z = x + y.i có phần thực là x và phần ảo là y
với x, y ∈ ¡ và i 2 = −1 . Khi đó, ta cần nhớ:
uuuu
r

2

2
Mơnđun của số phức z = x + y.i là z = OM = x + y =

.

Số phức liên hợp của z = x + y.i là z = x − y.i (ngược dấu ảo).
Hai số phức z1 = x1 + y1.i và z2 = x2 + y2 .i được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
 x1 = x2

(hai số phức bằng nhau khi thực = thực và ảo = ảo).
y
=
y
 1
2

Ví dụ 8. (Tham khảo-2022)
Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 2 x − 3 yi ) + ( 3 − i ) = 5 x − 4i với i là đơn vị ảo.
A. x = −1; y = −1 . B. x = −1; y = 1 . C. x = 1; y = −1 . D. x = 1; y = 1 .
Cách 1. Phân tích hướng giải.
- Biến đổi vế trái và đưa phương trình về dạng hai số phức bằng nhau.
- Sử dụng điều kiện hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng phần
thực, phần ảo bằng phần ảo.Từ đó tìm được x, y.
Lời giải
6


2 x + 3 = 5 x
x = 1
⇔

3 y + 1 = 4
y =1

( 2 x − 3 yi ) + ( 3 − i ) = 5 x − 4i ⇔ ( 2 x + 3) − ( 3 y + 1) i = 5 x − 4i ⇔ 

Chọn D
Cách 2. Kiểm tra từng đáp án. Sử dụng điều kiện hai số phức bằng nhau.
Thử đáp án A.
Thay x = −1; y = −1 vào điều kiện ta được ( −2 + 3i ) + ( 3 − i ) = −5 − 4i ⇔ 1 + 2i = −5 − 4i
Vì vậy đáp án A loại.
Thử đáp án B
Thay x = −1; y = 1 vào điều kiện ta được ( −2 − 3i ) + ( 3 − i ) = −5 − 4i ⇔ 1 − 4i = −5 − 4i
Vì vậy đáp án B loại.
Thử đáp án C:
Thay x = 1; y = −1 vào điều kiện ta được ( 2 + 3i ) + ( 3 − i ) = 5 − 4i ⇔ 5 + 2i = 5 − 4i
Nhận xét : Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo. Đây là
dạng toán giúp các em cịn yếu về kiến thức có thể chinh phục được mà không
phải khoanh chừng, bằng cách thử kiểm tra từng đáp án.
Ví dụ 9. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn ( 1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i . Tính
P = a+b

A. P = 1

B. P = −

1
2

C. P =

1
2

D. P = −1

Phân tích hướng giải.
- Trước hết ta phải xác định được số phức liên hợp z = a − b.i Thế z, z vào điều
kiện đã cho.
- Biến đổi đưa về dạng hai số phức bằng nhau. Từ đó tìm được a,b.
Lời giải
Ta có

( 1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i ⇔ ( 1 + i ) ( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = 3 + 2i
⇔ 3a − b + ( a + b ) i = 3 + 2i
1

a=

3
a
−
b
=
3


2
⇔
⇔
a − b = 2

b = − 3

2

Vậy P = a + b = −1 .
Ví dụ 10. Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z + 3 + 16i = 2 ( z + i ) . Môđun của z bằng
A. 13 .
B. 5 .
C. 5 .
Phân tích hướng giải.
- Gọi z = x + yi , ta cần tính modun của z bằng z = x 2 + y 2

D. 13 .

- Ta phải xác định được số phức liên hợp z = x − y.i
Thế z, z vào điều kiện đã cho.
- Biến đổi đưa về dạng hai số phức bằng nhau. Từ đó tìm được x,y.
7


Lời giải
Chọn A . Gọi z = x + yi .

( 2 − i ) z + 3 + 16i = 2 ( z + i )

⇔ ( 2 − i ) ( x + yi ) + 3 + 16i = 2 ( x − yi + i )

2 x + y + 3 = 2 x
⇔ 2 x + 2 yi − xi + y + 3 + 16i = 2 x − 2 yi + 2i ⇔ 
2 y − x + 16 = −2 y + 2

y +3 = 0
x = 2
⇔
⇔
− x + 4 y = −14
 y = −3

Suy ra z = 2 − 3i . Vậy z = 13 .
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z (2 − i) + 13i = 1 . Môđun của số phức z bằng
A. 8 .
B. 34 .
C. 34.
D. 8
A. 13 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 13 .
Phân tích hướng giải.
- Gọi z = x + yi , ta cần tính moodun của z bằng z = x 2 + y 2
- Ta phải xác định được số phức liên hợp z = x − y.i Thế z, z vào điều kiện đã
cho.
- Biến đổi đưa về dạng hai số phức bằng nhau. Từ đó tìm được x,y.
Lời giải
Ta có: ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i ⇔ ( 3 + 2i ) z = 1 + 5i ⇔ z = 1 + i
2

Ví dụ 12. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019)
2
Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i . Mô đun của số phức w = ( z + 1) z

bằng.
A. 2 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 4
Cách 1. Phân tích hướng giải.
- Từ giả thiết của bài tốn các em tìm được z = x + yi , ta cần tính modun của w
- Ta phải xác định được số phức liên hợp z = x − y.i . Khi đó zz = x 2 + y 2 .
- Biến đổi w = ( z + 1) z = z z + z đưa về dạng hai số phức bằng nhau. Từ đó tìm
được w.
Lời giải
Ta có: ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i ⇔ ( 3 + 2i ) z = 1 + 5i ⇔ z = 1 + i .
2

Do đó: w = ( z + 1) z = z z + z = ( 1 + i ) ( 1 − i ) + 1 − i = 2 + 1 − i = 3 − i .
⇒ w = 32 + 1 = 10 .

Cách 2. HS sử dụng máy tính để tìm số phức z, w và tính modun của w
4 + i − (2 − i) 2
Từ giả thiết của bài toán biến đổi về dạng z =
3 + 2i

+ Bấm Mode 2: Nhập biểu thức z = 4 + i − (2 − i) . Ta được kết quả
2

3 + 2i

8

z = 1+ i ,

+ Thay vào tính được w = ( 1 + i ) ( 1 − i ) + 1 − i = 3 − i
+ Bấm phiếm Shift hyp để tính modun của w ⇒ w = 3 − i = 10
Ví dụ 13. (Chuyên Bắc Giang 2019)
Tìm mơ đun của số phức z biết ( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i .
A.

1
9

B.

2
3

C.

2
9

D.

1
3

Phân tích hướng giải.
- Gọi z = x + yi , ta cần tính moodun của z bằng z = x 2 + y 2
- Ta phải xác định được số phức liên hợp z = x − y.i .
Thế z, z vào điều kiện đã cho.

- Biến đổi đưa về dạng hai số phức bằng nhau. Từ đó tìm được x,y.
- Từ đó ta tìm được modun của số phức z.
Lời giải
Chọn B
Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi
Do đó ( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i

⇔ ( 2a + 2bi − 1) ( 1 + i ) + ( a − bi + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i
⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = 2 − 2i
1

a = 3
( 2a − 2b − 1) + ( a − b + 1) = 2
3a − 3b = 2
⇔
⇔
⇔
a + b = 0
( 2a + 2b − 1) − ( a + b + 1) = −2
b = − 1

3

Khi đó z = a 2 + b 2 =

2
.
3

Nhận xét: Trong 5 ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận

dụng tốt điều kiện bằng nhau của hai số phức mà còn giúp cho học sinh nắm
vững các định nghĩa về số phức liên hợp; các phép toán về số phức, modun của
số phức, rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình
Với học sinh trung bình, khá thì đây là bài tốn mà giáo viên có thể cho học
sinh luyện theo cách 2 nhiều lần để quen qui trình làm, từ đó các em chủ động
làm bài chọn được đáp án đúng.
2.3.4. Dạng tốn . Tìm số phức và các thuộc tính của nó khi thỏa mãn 2 điều
kiện
Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z = x + yi với x, y ∈ ¡ .
Bước 2. Biến đổi điều kiện các điều kiện K (thường liên quan đến môđun,
biểu thức có chứa z, z , z ,... ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình
⇒ x, y .
9


Ví dụ 14. (Mã 105- 2017) Cho số phức z thỏa mãn z + 3 = 5 và
z − 2i = z − 2 − 2i . Tính z .
A. z = 17
B. z = 17
C. z = 10
Phân tích hướng giải.
- Gọi z = x + yi , ta cần tính moodun của z bằng z = x 2 + y 2

D. z = 10

- Từ các điều kiện 1 bài tốn z + 3 = 5 ta có phương trình ( x + 3)2 + y 2 = 25 . Từ
điều kiện 2 của bài toán z − 2i = z − 2 − 2i ta có phương trình
2
2
x 2 + ( y − 2 ) = ( x − 2)2 + ( y − 2 ) .

- Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được x, y.
- Từ đó ta tìm được modun của số phức z.
Lời giải
Chọn C
Đặt z = x + yi; x, y ∈ ¡
2
2
( x + 3) 2 + y 2 = 25
( x + 3) + y = 25
⇔
Theo bài ra ta có  x 2 + ( y − 2 ) 2 = ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 −4 x + 4 = 0



 y2 = 9
 y = ±3
⇔
⇔
. Vậy z = 10
x = 1
x = 1

Nhận xét: Trong ví dụ 14 trên, giáo viên cần giúp cho học sinh vận dụng tốt
kiến thức về modun của số phức đồng thời còn giúp cho học sinh rèn luyện cách
giải hệ phương trình.
Ví dụ 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 và
ảo?
A. 0
B. 2
Phân tích hướng giải.

- Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) , ta cần tính a, b.

z
là số thuần
z+2

C. Vô số

D. 1

- Từ các điều kiện 1 của bài tốn ta có phương trình z + 3i = 13 ⇔
⇔ a 2 + ( b + 3) = 13
2

- Từ điều kiện 2 của bài toán:

2
2
a 2 + b 2 + 2a
 a + b + 2a = 0 ( 2 )
z
=0⇔
là số thuần ảo ta có
2
z+2
b ≠ 0
( a + 2) + b2

- Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a, b.
Lời giải

Chọn D
Gọi số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ )
2
Ta có z + 3i = 13 ⇔ a + bi + 3i = 13 ⇔ a 2 + ( b + 3) = 13
⇔ a 2 + b2 + 6b − 4 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 4 − 6b ( 1)

10


2 ( a + 2 − bi )
z
2
2
= 1−
= 1−
= 1−
.
2
z+2
z+2
a + 2 + bi
( a + 2 ) + b2
a 2 + b 2 + 2a
2b
a + 2 ) + b 2 − 2a − 4
(
2b
=
+
i

=
+
i
2
2
2
2
( a + 2 ) + b2
( a + 2 ) + b2 ( a + 2) + b2 ( a + 2) + b2
2
2
a 2 + b 2 + 2a
 a + b + 2a = 0 ( 2 )
z
=
0
⇔

Do
là số thuần ảo nên
2
z+2
b ≠ 0
( a + 2) + b2
Thay ( 1) vào ( 2 ) ta có 4 − 6b + 2a = 0 ⇔ a = 3b − 2 thay vào ( 1) ta có
2

b = 0( L)
( 3b − 2 ) + b − 4 + 6b = 0 ⇔ 10b − 6b = 0 ⇔ b = 3 ⇒ a = −1
5

5

2

2

2

Vậy có một số phức cần tìm.
Nhận xét: Qua ví dụ trên, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi
giải bài toán. Cụ thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Căn cứ vào các điều kiện bài toán biến đổi lập được hệ phương trình ẩn a,b.
- Giải hệ tìm nghiệm chính xác.
- Căn cứ vào điều kiện bài tốn loại hoặc chọn nghiệm thỏa mãn.
Trong ví dụ trên học sinh thường mắc sai lầm là không chú ý đến điều
kiện b ≠ 0 , do đó chọn B. Do đó giáo viên giúp cho học sinh khắc sâu định nghĩa
về số phức thuần ảo.
Ví dụ 16 . (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa
mãn điều kiện z.z + z = 2 và z = 2 ?
A. 2 .
B. 3 .
Phân tích hướng giải.
- Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ ¡ ), ta cần tính x, y.

C. 1 .

D. 4 .

2
2

- Từ các điều kiện 1 bài toán z.z + z = 2 ta có phương trình x + y + x + yi = 2 .

- Từ điều kiện 2 của bài tốn

z
ta có phương trình
z+2

x2 + y 2 = 2

.

- Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được x, y.
Lời giải
2
Đặt z = x + yi ( x ; y ∈ ¡ ; i = −1 ).

 x 2 + y 2 + x + yi = 2
 4 + x + yi = 2
⇔ 2
Theo bài ra ta có: 
2
x + y = 4
x2 + y 2 = 2

2
 x = −2
( 4 + x ) + y 2 = 4
⇔ 2
⇔


2
 x + y = 4
 y=0
Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài tốn là z = −2 .

Ví dụ 17. (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều
kiện z + i 5 + z − i 5 = 6 , biết

z có mơđun bằng

5?
11


A. 3
B. 4
Phân tích hướng giải.
- Gọi z = a + bi , ta cần tính a, b.

C. 2

D. 0

- Từ các điều kiện thứ nhất của bài toán z + i 5 + z − i 5 = 6 ta có phương trình

(

a2 + b + 5

)

2

(

+ a2 + b − 5

)

2

= 6 . Từ điều kiện 2 của bài tốn ta có phương

trình a 2 + b 2 = 5 .
- Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a,b.
Lời giải
Chọn B
2
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , i = −1)

Ta có
2
 2
2
 z +i 5 + z −i 5 = 6

 a + b+ 5 + a + b− 5
⇔


 z = 5
 a 2 + b2 = 5

4

 2 16
a=±
a
=
2
2

36a + 16b = 144
5


5
⇔ 2
⇔
⇔

2
a + b = 5
b 2 = 9
b = ± 3

5
5


(

)

(

)

2

=6

Vậy có 4 số phức thỏa mãn.
Ví dụ 18. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa
mãn các điều kiện z1 = z2 = 2 và z1 + 2 z2 = 4 . Giá trị của 2z1 − z2 bằng
A. 2 6 .
B. 6 .
C. 3 6 .
Phân tích hướng giải.
- Giả sử z1 = a + bi , ( a , b ∈ ¡ ); z2 = c + di , ( c , d ∈ ¡ ).

D. 8 .

- Từ các điều kiện 1 của bài toán z1 = z2 = 2 ta có a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 4 .
- Từ điều kiện 2 của bài toán z1 + 2 z2 = 4 ta có phương trình
2
2
( a + 2c ) + ( b + 2d ) = 16 .
- Giải hệ phương trình trên ta tìm được 2z1 − z2 .
Lời giải

Giả sử z1 = a + bi , ( a , b ∈ ¡ ); z2 = c + di , ( c , d ∈ ¡ ).
Theo giả thiết ta có:

12


a 2 + b 2 = 4
 z1 = 2


⇔ c 2 + d 2 = 4
 z2 = 2


2
2
( a + 2c ) + ( b + 2d ) = 16
 z1 + 2 z2 = 4
a 2 + b 2 = 4

⇔ c 2 + d 2 = 4
 2
2
2
2
a + b + 4 ( c + d ) + 4 ( ac + bd ) = 16

( 1)
( 2)
( 3)

Thay ( 1) , ( 2 ) vào ( 3) ta được ac + bd = −1 ( 4 ) .
2
2
Ta có 2z1 − z2 = ( 2a − c ) + ( 2b − d ) = 4 ( a 2 + b2 ) + ( c 2 + d 2 ) − 4 ( ac + bd ) ( 5 ) .

Thay ( 1) , ( 2 ) , ( 4 ) vào ( 5 ) ta có 2 z1 − z2 = 2 6 .
Nhận xét: Thơng qua dạng tốn này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng
phân tích, quy lạ về quen, từ các giả thiết bài toán đã cho xác định được các mối
liên hệ của phần thực và phần ảo và thơng qua đó xác định được số phức và các
thuộc tính của nó. Trong dạng tốn này, giáo viên nên đưa ra các ví dụ từ mức
độ vừa phải đến phức tạp để học sinh sẽ nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin khi
gặp bài toán tương tự.
2.3.5. Một số bài tập đề nghị
Bài 1.(Tham khảo 2022) Cho hai số phức z = 10 + 3i và w = −4 + 5i . Tính | z + w | .
A. 100 .

B. 14 .

C. 10 .

D. 10 2 .

Bài 2. (Mã101-2021) Tìm hai số z = 4 + 2i và w = 3 − 4i . Số phức z + w là
A. z + w = 7+2i
B. z + w = 7-2i
C. z + w = 7+6i
D. z + w = 7-6i
Bài 3. (Mã 102 - 2019)
Cho số phức z thoả mãn 3 ( z − i ) − ( 2 + 3i ) z = 7 − 16i. Môđun của z bằng

A. 3.

B. 5.

C. 5.

D. 3.

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn 3 ( z + i ) − ( 2 − i ) z = 3 + 10i . Môđun của z bằng
A. 3 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 5 .

Bài 5. (THPT Cẩm Giàng 2 Năm 2019)
Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 2 x − 3 yi ) + ( 1 − 3i ) = −1 + 6i với i là đơn vị ảo.
A. x = 1 ; y = −3 .
B. x = −1 ; y = −3 . C. x = −1 ; y = −1 .
D. x = 1 ; y = −1 .
Bài 6. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 2 x − 3 yi ) + ( 3 − i ) = 5 x − 4i với i là đv ảo.
A. x = −1, y = −1

B. x = 1, y = 1

C. x = −1, y = 1

D. x = 1, y = −1

13


Bài 7.(Mã 101-2021) Xét các số phức z, w thỏa mãn điều kiện z = 1, w = 2 . Khi
z + i w − 6 − 8i đạt giá trị nhơ nhất. Tính z − w ?

A.

221
5

B. 5

C. 3

Bài 8. (Sở GDKonTum-2019) Có bao nhiêu số phức

(

2

29
.
5

D.

)

z thỏa mãn

z − 2 + 3i = z + 1 − i và z + 2 z + z = 5 ?

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

Bài 9. (Đề Tham Khảo -2019)
Tìm các số thực a, b thỏa mãn 2a + (b + i )i = 1 + 2i với i là đơn vị ảo.
1
2
Bài 10. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > 0 ) thỏa

A. a = 0, b = 1.

B. a = 1, b = 2.

C. a = 0, b = 2.

D. a = , b = 1.

mãn z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i . Tính S = a + b .
A. S = −17 .
B. S = 5 .
C. S = 7 .

D. S = 17 .
Bài 11. (SGD Điện Biên - 2019) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều
2
2
kiện: z − 3 − 4i = 5 và z + 2 − z − i = 33 . Module của số phức z − 2 − i bằng
A. 5 .
B. 9.
C. 25.
D. 5.
Bài 12. (TPTH Hàm Rồng Thanh Hoá 2019) Cho số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ )
thỏa mãn z + 2 + i − z ( 1 + i ) = 0 và z > 1 . Tính P = a + b .
A. P = 3 .
B. P = −1 .
C. P = −5 .
D. P = 7 .
Bài 13. Cho số phức z = −1 + 2i, w = 2 − i . Điểm nào trong hình bên
biểu diễn số phức z + w ?
A. P .

C. Q .

B. N .

D. M .

Bài 14.(Đề minh họa của Bộ GD&ĐT – 2022)
1

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w = | z | − z
có phần thực bằng

1
. Xét các số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn z1 − z2 = 2 , giá
8
2

2

trị lớn nhất của P = z1 − 5i − z2 − 5i bằng
A. 16.

B. 20 .

C. 10 .

D. 32 .

Bài 15.(Đề tham khảo 2022)

14


2

 2+i 
2019
Tìm số phức liên hợp của số phức z = 
÷ +i .
1
−

2
i



A. z = −1 .

B. z = −1 − i .

C. z = −1 + i .

D. z = i .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp ôn thi
THPT Quốc gia ở trường THPT Quảng Xương II năm học 2019-2020, năm học
2020-2021, 2021-2022. Trong quá trình triển khai đề tài này, học sinh thực sự
thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học
sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền
cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, phát triển tốt năng lực tư duy của học sinh
khi giải bài toán về số phức. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập,
nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng tốt ở từng bài
toán cụ thể. Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài thi học kỳ, thi thử
THPT Quốc gia, tơi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt.
Cụ thể tôi đã thực nghiệm kiểm tra kết quả như sau:
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2
- Dùng phép kiểm chứng test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung
bình của 2 lớp trước và sau khi tác động, trong đó một lớp thực nghiệm, một lớp

đối chứng.
Bảng 1: Bảng thiết kế nghiên cứu:
Tác động
Lớp
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
1- Thực nghiệm
học sinh lớp 12 qua bài toán xác định số phức, các
(38 hs)
phép toán về số phức.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
2- Đối chứng
học sinh lớp 12 qua bài toán xác định số phức, các
(40 hs)
phép toán về số phức.
Bảng 2: Tổng hợp kết quả chấm bài.

15


Lớp

Lớp 12A7- Lớp thực nghiệm

Lớp 12A8 - Lớp đối chứng

Điểm
trung bình
5.15
7.12
5.16

6.82
Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu trước tác
động là hoàn toàn tương đương. Sau khi có sự tác động cho kết quả hồn tồn
khả quan. Điều này minh chứng là điểm trung bình lớp thực nghiệm cao hơn lớp
đối chứng nghĩa là khả năng tư duy và lập luận toán học của học sinh lớp 12A7
được năng lên rõ rệt, không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác
động.
Bảng 3. Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu,
trung bình, khá, giỏi kết quả của lớp 12A7- Lớp thực nghiệm.
Lớp 12A7Thực
nghiệm
Trước TĐ

Sau TĐ

Tổng
cộng

Thang điểm
Kém

Yếu

T. bình

Khá

Giỏi

0

3

20

14

1

38

0%

7,89%

52,63% 36,84%

2,63%

100%

0

0

13

4

38

0%

0%

34,21%

10,53%

100%

21

55,26%
Chúng tơi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi, thảo luận và rút kinh
nghiệm. Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu
quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về
bản chất hình học cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập.
Và cho đến nay, những kinh nghiệm của tơi đã được tổ thừa nhận là có tính thực
tiễn và tính khả thi. Hiện nay, chúng tơi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để
giúp học sinh trường THPT Quảng Xương 2 học tập nội dung này một cách tốt
nhất để đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Dạy học giải bài tập tốn nói chung và dạy học giải bài tập xác định số phức
nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một trình
tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải tốn sẽ giúp học sinh dễ
dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy học tốn
cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu

hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp.
Mỗi dạng tốn tơi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm
những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. Tuy nhiên, vẫn còn một
16


số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, chưa chủ động, tích cực trong học tập
hoặc chưa có động cơ, hứng thú trong học tập. Do đó giáo viên trước hết phải
cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho
học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể vân
dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hồn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao,
cần lưu ý một số điểm sau:
Đối với giáo viên: Cần tâm huyết với nghề nghiệp, cần nắm bắt kịp thời
mục tiêu giáo dục 2018; luôn trao dồi kiến thức, phương pháp; ln tìm tịi,
nghiên cứu chương trình, phương pháp, đối tượng học sinh cụ thể để đưa ra
phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp đạt kết quả cao nhất trong giảng dạy.
Tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng
lực tư duy sáng tạo của học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm,
hướng điều chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích
cực hợp tác với các thầy cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê
nghiên cứu môn toán hơn.
Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên
trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh.
Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật
vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan.
Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong

trào đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng
phát huy năng lực học sinh, viết và áp dụng SKKN.
Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: Cần phổ biến trong toàn ngành những
sáng kiến kinh nghiệm hay, các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại
để đồng nghiệp tham khảo và áp dụng để có hiệu quả tốt nhất trong giảng dạy.
Hằng năm Sở giáo dục và đào tạo cần tổ chức hội thảo chuyên đề về viết
sáng kiến kinh nghiệm qua đó giúp giáo viên hình thành tốt kĩ năng viết
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực của bản thân tôi cùng với sự
giúp đỡ của các đồng nghiệp đã đúc rút ra được một số kinh nghiệm.Với khả
năng và ngơn ngữ của bản thân cịn có phần hạn chế nên khơng thể tránh khỏi
thiếu sót; rất mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề
tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi
dưỡng học sinh. Tôi xin chân thành cám ơn quý đồng nghiệp, đặc biệt là các
giáo viên trong tổ đã động viên và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để đề tài được
hồn thành.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người khác.

17


Nguyễn Văn Ngọc
Nguyễn Thị Lý
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. SGK giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
[2]. Sách BT giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
[3]. Đề thi chính thức và đề tham khảo tốt nghiệp THPT mơn Tốn của bộ giáo

dục các năm 2020, 2021. Đề Minh họa của bộ giáo dục năm 2022
[4]. Đề khảo sát chất lượng của các Sở giáo dục và các trường THPT trên cả
nước.
[5]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT năm 2017 đến năm 2021.
[6]. Các bài tốn về tính đơn điệu trên các diễn đàn Toán học như: Diễn đàn
giáo viên toán, Toán math; các trang mạng Internet, ...
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Lý
Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên mơn tốn trường THPT Quảng Xương 2

TT Tên đề tài SKKN
1.

Phát triển năng lực giải quyết
vấn đề sáng tạo cho học sinh
lớp 10C2 thông qua hoạt
động trải nghiệm: Ứng dụng
hệ thức lượng giác vào cuộc
sống thực tiễn

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
Ngành giáo dục
cấp tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

Năm học
đánh giá
xếp loại
2020-2021

18