(SKKN 2022) sử dụng hiệu quả phương pháp đặt trục số giúp học sinh giải nhanh các bài toán tìm tham số m của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước phần 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ SỬ DỤNG HIỆU QUẢ “PHƯƠNG PHÁP ĐẶT TRỤC SỐ” GIÚP
HỌC SINH GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN TÌM THAM SỐ M
CỦA HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA MÃN
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – PHẦN 1”

Người thực hiện: Phạm Thị Liên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn

MỤC LỤC

THANH HĨA, NĂM 2022


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU.......................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................2
2.1.Cơ sở lí luận của SKKN..............................................................................2
2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu..............................................................2
2.3. Các giải pháp thực hiện..............................................................................3

2.4. Hiệu quả của SKKN.................................................................................17
3. KẾT LUẬN ................................................................................................17
3.1. Kết quả nghiên cứu...................................................................................17
3.2. Kiến nghị và đề xuất.................................................................................20
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN....................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................23


SKKN năm 2022

1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lí do chọn đề tài:
Giáo dục thế hệ trẻ là nhiệm vụ mà tất cả các quốc gia trên thế giới đều coi
là chiến lược của dân tộc mình. Vì thế đại hội IX Đảng cộng sản Việt Nam trong
nghị quyết ghi rõ “giáo dục là quốc sách hàng đầu” tương lai của một dân tộc,
một quốc gia phải nhìn vào nền giáo dục của quốc gia đó.
Nêu về tầm quan trọng của Giáo dục cho thế hệ trẻ, nhân ngày khai trường
đầu tiên của Việt Nam dân chủ cộng hịa Chủ tịch Hồ Chí Minh nói: “Non sơng
Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài
vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm châu được hay khơng, chính
là nhờ một phần lớn cơng học tập của các em”.
Trong thời đại ngày nay khi khoa học kĩ thuật của nhân loại phát triển như
vũ bão, nền kinh tế tri thức có tính tồn cầu thì nhiệm vụ của ngành giáo dục vô
cùng to lớn “giáo dục là chìa khóa mở đường cho tương lai và sự phồn vinh
của đất nước”, quyết định sự thành bại của một quốc gia trên trường quốc tế,
quyết định sự thành bại của mỗi cá nhân trong trường đời rộng lớn.
Để bắt nhịp với yêu cầu của nhân loại, phương pháp học tập ngày nay đã
thay đổi, giáo dục phải giúp học sinh phát hiện và phát triển tài năng sáng tạo,
khả năng thích ứng của bản thân. Xuất phát từ những yêu cầu cao của thực tiễn
xã hội như trên, việc đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở các bậc học

nói chung và bậc học THPT nói riêng là một vấn đề cần thiết và khơng thể
chậm trễ.
Trong quá trình dạy học ở trường THPT, qua học hỏi kinh nghiệm từ đồng
nghiệp, nghiên cứu sách báo, mạng internet...bản thân tôi đã rút ra được một số
kinh nghiệm trong quá trình dạy học. Trên thực tế hiện nay, việc đổi mới
phương pháp dạy học cịn mang tính hình thức, việc vận dụng các phương pháp
dạy học theo hướng tích cực cịn gặp nhiều khó khăn do nhiều lí do (nhận thức
của giáo viên, phương tiện dạy học, nội dung chương trình sách giáo khoa, cơ sở
vật chất…) cịn nhiều điều bất cập.
Mặt khác, sách giáo khoa nói chung, sách Giải tích 12 nói riêng mà cụ thể
là trong bài “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” khơng đề cập đến tìm giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, hay những bài tốn
ngược như tìm m để giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất thỏa mãn điều kiện nào
đó. Đặc biệt đây là dạng câu hỏi mức độ VD –VDC nên địi hỏi HS phải tìm tịi
nghiên cứu thêm. Tuy nhiên nhiều sách chỉ mới dừng lại ở phương pháp đại số,
phương pháp thông thường, mà chưa để cập đến phương pháp giải nhanh. Các
sách tham khảo ít đề cập đến phương pháp này bản thân tôi trong q trình ơn
thi TN - THPT nhiều năm tơi thấy sử dụng rất hiệu quả. Vì vậy việc tìm ra một
phương pháp giải nhanh để phù hợp với xu hướng thi hiện nay là một tất yếu.
Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Sử dụng hiệu
quả “phương pháp đặt trục số” giúp học sinh giải nhanh các bài tốn tìm
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

1


SKKN năm 2022

tham số m của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước –
phần 1”. Hy vọng qua đề tài này, tôi chia sẽ kinh nghiệm của mình trong việc

nâng cao chất lượng dạy học nói chung, dạy học mơn Tốn nói riêng.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Theo phương pháp truyền thống thì việc giải các bài tốn về tìm m để
GTNN; GTLN của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện nào đó,
chỉ phù hợp với các hàm số cơ bản, tuy nhiên gặp hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
làm theo phương pháp truyền thống khá dài, mất khá nhiều thời gian, phương
pháp truyền thống này sẽ không đáp ứng được yêu cầu hiện nay. Vì vậy trong
sáng kiến này tôi mạnh dạn đưa “ Phương pháp đặt trục số ” vào giảng dạy, với
mục đích giúp HS có thể tìm ra một phương pháp giải nhanh các bài tập, giúp
học sinh chuyển được từ những bài toán phức tạp trở thanh bài toán đơn giản
hơn, giúp học sinh hứng thú hơn với mơn Tốn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Các bài tập về tìm m để hàm số y  f  x   m có GTLN, GTNN thỏa mãn
điều kiện cho trước.
- Học sinh trường: Trung học phổ thông Thạch Thành 3 khối 12 (sau khi
học xong bài giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chương 1 giải tích 12 )
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Để tiến thực hiện sáng kiến tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Phương
pháp quan sát thực tế, phương pháp trao đổi trực tiếp với giáo viên và học sinh
về những vấn đề liên quan đến SKKN, phương pháp nghiên cứu, phương pháp
thống kê – phân tích số liệu thực nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
“ Phương pháp đặt trục số ” tuy không phải là phương pháp tối ưu nhất,
nhưng nó là một trong những phương pháp giải nhanh các bài tốn về tìm m để
hàm số y  f  x   m có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước. Qua đó
cho HS thấy được cái hay, cái mới trong việc làm trắc nghiệm mơn tốn. [8].
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Bài tập về tìm m để hàm số y  f  x   m có GTLN, GTNN thỏa mãn điều
kiện cho trước là những bài toán rất hay gặp trong chương trình tốn 12 và xuất

hiện trong đề thi TN - THPT rất nhiều. Tuy nhiên cách giải truyền thống thì khá
khó, dài và khá phức tạp. Nếu làm theo cách truyền thống thì khơng phải học
sinh nào cũng làm được trong khoảng thời gian vô cùng ngắn hoặc làm được
mất khá nhiều thời gian. Đặc biệt càng khó với học sinh học sinh miền núi (học
sinh trường THPT Thạch Thành 3- 2/3 học sinh là dân tộc thiểu số điều kiện
kinh tế và học tập cịn khó khăn) việc tiếp cận với phương pháp mới chưa nhiều.
Trong sách giáo khoa khơng đề cập đến, rất ít sách tham khảo đề cập đến
min, max của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhưng cịn một số hạn chế, trình
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

2


SKKN năm 2022

bày sơ sài số lượng bài tập ít nên học sinh chưa hiểu sâu sắc, chưa giúp học sinh
vận dụng nhanh thành thạo trong giải nhanh các bài tập về tìm m để hàm số
y  f  x   m có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước. [8].
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi có đề cập đến phương pháp giải
nhanh đó là: “ Sử dụng hiệu quả “ phương pháp đặt trục số ” giúp học sinh
giải nhanh các bài tốn tìm tham số m của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
thỏa mãn điều kiện cho trước – phần 1”. (Ở phần 1 này, tôi mới cho HS làm
quen với phương pháp đặt trục số, giúp HS sử dụng thành thạo được phương
pháp này vào những dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản) vào giảng dạy trong
các tiết ôn tập về chủ đề tìm m để min, max của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
thỏa mãn điều kiện cho trước, với mục đích giúp học sinh giải nhanh hơn trong
giải toán trắc nghiệm.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
Để giải quyết thực trạng trên, tôi mạnh dạn đưa ra SKKN “ Sử dụng hiệu
quả “ phương pháp đặt trục số ” giúp học sinh giải nhanh các bài tốn tìm

tham số m của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước –
phần 1”.vào giảng dạy trong các tiết ơn tập về chủ đề tìm min, max của hàm
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2.3.1. Cơ sở của phương pháp đặt trục số.
Sử dụng phương pháp đặt trục số để tìm m sao cho hàm số y  f  x   m
có giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất L. Khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Ta thực hiện tính toán và đặt trục số
L - α = a; L -β = b; -L - α = c; -L -β = d ( Giả sử a < b < c < d ).

*.Cụ thể:
m = b
m = a
max f  x  +m  L  L > 0   
; min f  x  +m  L  L > 0   
α;β
α;β 
m = c
m = d
m  b
m  b
max f  x  +m  L  L > 0   
; max f  x  +m  L  L > 0   
α;β
α;β
m  c
m  c

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

3

SKKN năm 2022
m  a
m  a
min f  x  +m  L  L > 0   
; min f  x  +m  L  L > 0   
α;β
α;β
m  d
m  d
max f  x  +m  L  L > 0   b  m  c; max f  x  +m  L  L > 0   b < m < c
α;β

α;β

min f  x  +m  L  L > 0   a  m  d; min f  x  +m  L  L > 0   a  m  d;
α;β

α;β

*. Chú ý:
- Nếu bài toán mới cho x   ;   thì ta phải tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số f  x  trên đoạn  ;   . Tức chỉ ra f  x    m; n .
- Nếu bài toán chưa cho các dạng như trên thì ta thơng qua các bước đặt
để đưa bài toán về một trong các dạng như trên.[7].
2.3.2. Sử dụng phương pháp đặt trục số tìm m để:
max f  x  +m  L  L > 0 
α;β

Phương pháp: Ta thực hiện tính tốn và đặt trục số
L - α = a; L -β = b; -L - α = c; -L -β = d

( Giả sử a < b < c < d ).
m = b
.
m = c

f  x  +m  L  L > 0   
Từ đó ta suy ra: max
α;β




2.3.2.1. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số y  x3  3x  m trên đoạn 0;2 bằng 3. Số phần tử của S là
A. 0 .

B. 6 .

C. 1 .

D. 2 .

(THPT Đông Hưng, Thái Bình 2021) [6].
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Cách 1 : Làm theo cách thông thường :

Xét hàm số f  x   x3  3x  m
 x  1  0; 2

Ta có: f '( x)  3x 2  3; f '( x)  0  

 x  1  0; 2
Bảng biến thiên của hàm số f  x 

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

4


SKKN năm 2022

TH 1 : 2  m  0  m  2 . Khi đó

 max f  x    (2  m)  2  m  2  m  3  m  1 (loại).
0;2

2  m  0
 2  m  0 .Khi đó : m  2  2  m  2  2  m
m  0

TH 2 : 

 max f  x    (2  m)  2  m  2  m  3  m  1 (thỏa mãn).
0;2

m  0

 0  m  2 . Khi đó : m  2  2  m  2  2  m
 2  m  0

TH 3 : 

 max f  x    2  m  2  m  3  m  1 (thỏa mãn).
0;2

TH 4:  2  m  0  m  2 . Khi đó
 max f  x    2  m  2  m  3  m  1 (loại).
0;2

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn .
Cách 2 : Sử dụng phương pháp đặt trục số :
Đặt f  x   x 3  3x liên tục trên đoạn 0; 2 .
 x  1  0; 2

Ta có: f '( x)  3x 2  3; f '( x)  0  

 x  1  0; 2
f  0   0; f 1  2; f  1  2; f  2   2

Từ đó ta suy ra: min f  x  = -2; max f  x   2
0;2




0;2

f  x  m  3 .
Bài tốn trở thành tìm m để max
 2;2

Thực hiện tính và đặt trục số ta được:

3   2   5; 3  2  1;  3   2   1;  3  2  5
 m  1
m  1

Suy ra, ycbt  

Như vậy sử dụng phương pháp đặt trục giải nhanh hơn, đã đưa bài toán
mức độ vận dụng trở nên đơn giản hơn, phù hợp với xu hướng thi hiện nay.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2;6 và có đồ thị như hình vẽ.

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

5


SKKN năm 2022

Tổng bình phương các giá trị của tham số m để max f ( x)  m  10 là
A. 202 .
B.170 .
C.130 .
D. 250 .
(THPT Lê Thánh Tông, Quảng Nam 2020) [7].
Hướng dẫn giải:

Chọn C
Sử dụng phương pháp đặt trục số:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x  2;6   f  x  1;3 
Thực hiện tính và đặt trục ta được:
10   1  11; 10  3  7; 10   1  9; 10  3  13

 m  9
2
. Khi đó :  9  72  81  49  130
m  7

Suy ra, ycbt  

Ví dụ 3 : Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2; 4 và có bảng biến thiên như sau

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số g  x   cos 2 x  4sin 2 x  m  3 bằng 8
m  9
B. 
.
m  5

 m  7
A. 
.
 m  11

 m  11
C. 
.
m  9

 m  7
D. 
.[4].
m  5

Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: cos 2 x  4sin 2 x  3  3cos 2 x  1
 g  x   3cos 2 x  1  m

đặt t  3cos2 x 1 khi đó g  x   f  t   m với mọi x  R  t  2;4
Từ bảng biến thiên suy ra max f  t   3; min f  t   1 .
2;4

2;4

f t   m  8 .
Bài tốn trở thành tìm m để  max
1;3




Thực hiện tính và đặt trục số ta được:

8   1  9; 8  3  5;  8   1  7;  8  3  11

 m  7
.

m  5

Suy ra, ycbt  

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

6


SKKN năm 2022

2.3.2.2. Bài tập vận dụng.
Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số f  x   x3  3x  m trên đoạn  0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần
tử của S là:
A. 16 .
B. 16 .
C. 12 .
D. 2 . [2].
Câu 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của
hàm số y  x2  2 x  m trên đoạn  1; 2 bằng 5. Tập hợp S là con của tập hợp
nào dưới đây?

A.  6; 3   0; 2  .

B.  4;3 .

C.  5; 2    0;3 .

D.  0;   .

(Liên trường – Nghệ an 2021) [6].
Câu 3. Cho hàm số f  x   x  3x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  f  sin x  1  m bằng 4. Tổng
các phần tử của S bằng
A. 4 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 6 .
THPT (Lê Trung Kiên – Phú Yên 2020) [6].
2.3.3. Sử dụng phương pháp đặt trục số tìm m để:
3

min f  x  +m  L  L > 0 
α;β

Phương pháp: Ta thực hiện tính tốn và đặt trục số
L - α = a; L -β = b; -L - α = c; -L -β = d ( Giả sử a < b < c < d ).

Từ đó ta suy ra:
m = a
min f  x  +m  L  L > 0   
α;β
m = d

Ví dụ 1 : Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm
số f  x   x 2  2 x  m trên  1; 2 bằng 5.
A. 3 .

B. 2 .

C.1 .
D. 4 .
(THPT Lương Tài, Bắc Ninh 2021) [6].
Hướng dẫn giải:

Chọn B
Cách 1 : Làm theo cách thông thường.
+) Đặt g  x   x 2  2 x  m .
+) Ta có: g ,  x   2 x  2  g ,  x   0  2 x  2  0  x  1 .
 g  1  m  3 min g  x   m  1

-1;2
g  x   min 0; m 1 ; m 3
+)  g 1  m  1  
. Vậy min
 1;2 
max g  x   m  1


 -1;2
 g  2  m

Ta xét các trường hợp sau:
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

7



SKKN năm 2022

TH1:
 m  1  5
m6 .

 m  1  m  3

TH2: .
 m  3  5
 m  8

 m  1  m  3

Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Sử dụng phương pháp đặt trục số.
Đặt f  x   x 2  2x liên tục trên đoạn  1; 2 .
Ta có: f '( x)  2 x  2; f '( x)  0  x  1  1; 2
f 1  1; f  1  3; f  2   0

Từ đó ta suy ra: min f  x  =  1; max f  x   3
-1;2




-;2

f  x  m  5 .

Bài tốn trở thành tìm m để min
1;3




Thực hiện tính và đặt trục số ta được:
5   1  6; 5  3  2;  5   1  4;  5  3  8

 m  8
m  6

Suy ra, ycbt  

Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 2 : Tính tổng các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  cos3 x  4cos2 x  5cos x  m  3 bằng 11 .
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải:

D.1 . [4].

Chọn D
Sử dụng phương pháp đặt trục số:
Đặt t = cosx; t  -1;1 .
Khi đó f  t  = t 3 - 4t 2 +5t +3 liên tục trên đoạn  1;1 .

t  1   1;1
Ta có: f '(t )  3t  8t  5; f '( x)  0   5
t    1;1
 3
f  1  7; f 1  5
2

Từ đó ta suy ra: min
f  t  = -7; max f  x   5
-1;1




-1;1

f  t   m 11 .
Bài tốn trở thành tìm m để  min
7;5




Thực hiện tính và đặt trục số ta được:
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

8


SKKN năm 2022

11   7   18; 11  5  6;  11   7   4;  11  5  17

 m  17
. Vậy tổng các giá trị của m bằng: 17 18  1.
 m  18

Suy ra, ycbt  

Ví dụ 3 : Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để min f ( 8  4 x  4 x 2  1)  m  5 với x   1;1
A. 5 .

B. 2 .

C. 3 .
D. 4 .
(THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội 2020) [6].
Hướng dẫn giải:

Chọn B
Sử dụng phương pháp đặt trục số:
Đặt u  8  4 x  4 x 2  1 . Xét hàm số u  g ( x)  8  4 x  4 x 2  1 trên  1;1
g '( x) 

2  4x
8  4x  4 x2

0 x

1
  1;1 .
2

1
Ta có: f  1  1; f    2; f 1  1  2 2
2
 
Từ đó ta suy ra: x   1;1  u   1;2 

Dựa vào đồ thị ta thấy u   1; 2  2  f  u   8
f u   m  5 .
Bài tốn trở thành tìm m để  min
2;8




Thực hiện tính và đặt trục ta được:

5  2  3; 5  8  3;  5  2  7;  5  8  13

 m  13
m  3

Suy ra, ycbt  

Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

9


SKKN năm 2022

2.3.3.2. Bài tập vận dụng.
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0; 4 và có đồ thị như hình vẽ.

Tổng bình phương các giá trị của tham số m để min f ( x)  m  2 là
A. 36

B. 20

C. 4

D. 40

(Sở Sóc Trăng 2019) [6].
Câu 2 : Cho hàm số y  x  2 x  m  1 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 2 bằng 18. Tổng số
phần tử của S bằng
4

A. 14

2

B. 10

C. 5

D. 4

(THPT Nguyễn đăng đạo – Bắc Ninh 2019) [6].
Câu 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x   s inx  1  m bằng 2
 m  5
A. 
.
m  5

 m  1
B. 
.
m  1

 m  5
C. 
.
m  1

m  5
D. 
.
 m  1

(THPT Nguyễn Trãi –Hải Dương 2021) [6].
2.3.4. Sử dụng phương pháp đặt trục số tìm m để:
min f  x  +m  L  L > 0  hoặc min f  x  +m  L  L > 0 

α;β

α;β

Phương pháp: Ta thực hiện tính toán và đặt trục số.
L - α = a ; L -β = b; - L - α = c; -L -β = d ( Giả sử a < b < c < d ).

Từ đó ta suy ra:
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

10


SKKN năm 2022
m  a
m  a
min f  x  +m  L  L > 0   
min f  x  +m  L  L > 0   
;
α;β
 m  d α;β
m  d

2.3.4. 1. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 : Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị
9
2

nhỏ nhất của hàm số y  x3  x 2  6 x  3  m trên đoạn  0;3 không bé hơn 5.
Tổng các phần tử của S bằng

C. 7 .

B. 1 .

A. 1 .

D. 0 .

( THPT Nguyễn Trung Thiên - Hà Tĩnh 2021) [6].
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Cách 1 : Làm theo cách thông thường.
9
2

Xét hàm số y  x3  x 2  6 x  3  m liên tục trên đoạn  0;3 .
 x  1  0;3

Ta có: f '( x)  3x 2  9 x  6; f '( x)  0  

 x  2   0;3
1
3
f  0   3  m; f 1 
 m; f  2   1  m; f  3   m
2
2
3
f  x  = -3+m; max f  x    m

Từ đó ta suy ra: min
0;3
0;3
2
3

TH1:   m   3  m   0 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn
2

0;3 là 0 .
3

3

TH1:   m   3  m   0 . Khi đó min y = min   m ; 3  m  .
0;3
 
2

2

Vì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  0;3 không bé hơn 5 nên:


3
 m  4
 3
 
  m  3  m
m  8

 2
   m  2
  3  m  5

m  8


3
  3
 m

 m   13

4
   m  3  m


2

  2

7
 3
m 
2
  m  5

 2

13

 
   m   2


Suy ra các giá trị m   10;10 thỏa mãn yêu cầu bài toán là
S  10; 9; 8; 7;8;9;10 . Vậy tổng các giá trị của m cần tìm là 7

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

11


SKKN năm 2022

Cách 2 : Sử dụng phương pháp đặt trục số :
9
2

Đặt f  x   x3  x 2  6 x  3 liên tục trên đoạn  0;3 .
 x  1  0;3

Ta có: f '( x)  3x 2  9 x  6; f '( x)  0  

 x  2   0;3
1
3
f  0   3; f 1  ; f  2   1; f  3 
2
2
3

f  x  = -3; max f  x  
Từ đó ta suy ra: min
0;3
 
0;3
2
Bài tốn trở thành tìm m để min f  x   m  5 .
3

 3; 2 



Thực hiện tính và đặt trục số ta được:
5   3  8; 5 

3 7
3
13
 ;  5   3  2;  5   
2 2
2
2;

m  8
8  m  10

Suy ra, ycbt 
mà m  Z , m   10;10  
 m   13

 10  m   13

2

2
 m 10; 9; 8; 7;8;9;10 . Vậy tổng các giá trị của m cần tìm là 7 .

Ví dụ 2 : Cho hàm số f (x ) xác định và liên tục trên [-

5;7 ], có

bảng biến thiên sau:

Tìm m để GTNN của hàm số y  f  x   m không bé hơn 12.
 m  10

A. 
.
 m  21

 m  10

C. 21  m  10 .

B. 
.
 m  21

D. 14  m  3 .[3].

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Sử dụng phương pháp đặt trục số :
Dựa vào bảng biến thiên ta có x   5;7  f  x    2;9
f  x   m 12 .
Bài tốn trở thành tìm m để min
2;9




Thực hiện tính và đặt trục ta được:

12  2  10; 12  9  3;  12  2  14;  12  9  21

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

12


SKKN năm 2022

 m  10
 m  21

Suy ra, ycbt  

2.3.4. 2.Bài tập vận dụng.
Câu 1: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m   6;6 sao cho giá
1

3
Tổng giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu?
A. 10 .
B. 8 .

trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  9 x  m  10 trên đoạn  0;3 không bé hơn 12 .
C. 11 .
D. 12 .
(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) [6].
Câu 2: Cho hàm số f (x ) xác định và liên tục trên R , có bảng biến thiên sau:

Tìm m để GTNN của hàm số y  f  x   m không bé hơn 6 trên đoạn  1;1 .
m  6

A. 
.
 m  10

m  2

C. 6  m  2 .

B. 
.
 m  6

D. 10  m  6 .

(Nguyễn Trãi- Hải Dương - 2021) [6].
Câu 3: Cho hàm số y  f  x  , liên tục trên  2;7  và có đồ thị như hình vẽ.

y
3
2
1

x
-2 -1

1

2

4

7

-1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x   m
không bé hơn 2022.
A. m  2025 .

B. m  2023 .

 m  2023
C. 
. D. 2025  m  2023 .
 m  2025

(THPT Xuân Đỉnh- Hà Nội - 2020) [6].

2.3.5. Sử dụng phương pháp đặt trục số tìm m để :
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

13


SKKN năm 2022
min f  x  +m  L  L > 0  hoặc min f  x  +m  L  L > 0 
α;β

α;β

Phương pháp: Ta thực hiện tính tốn và đặt trục.
L - α = a ; L -β = b; -L - α = c; -L -β = d

( Giả sử a < b < c < d ).

Từ đó ta suy ra:

min f  x  +m  L  L > 0   a  m  d ; min f  x  +m  L  L > 0   a < m < d
α;β 

α;β

2.3.5.1. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số nguyên

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  4x 2  2x  m trên đoạn  0;1 nhỏ hơn hoặc bằng 4?

A. 12.

B. 14.

C. 13.

D. 15. [1]

Hướng dẫn giải:
Cách 1 : Sử dụng phương pháp thông thường:
Xét hàm số f  x   4 x2  2 x  m liên tục trên đoạn  0;1 , ta có:
f   x   8 x  2 ; f   x   0  x     0;1 . f  0   m ; f 1  m  6
1
4

Trường hợp 1:
y  m . Kết hợp với giả thiết ta có 0  m  4 . 1
Nếu m  0  min
0;1
y  m  6 .
Trường hợp 2: Nếu m  6  0  m  6  min
0;1
m  6  4
 10  m  6 .  2 
 m  6

Kết hợp với giả thiết ta có 

y 04.
Trường hợp 3: Nếu m  m  6  0  6  m  0  min
0;1

Trường hợp này thỏa mãn.  3
Từ 1 ,  2  và  3 ta được m  10; 4 .
Vì m là số nguyên nên m 10, 9, 8,..., 2,3, 4 .
Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Sử dụng phương pháp đặt trục số :
Xét hàm số f  x   4 x 2  2 x liên tục trên đoạn  0;1 , ta có:
f   x   8 x  2 ; f   x   0  x     0;1 .
f  0   0;

1
4

f 1  6 ;.

Suy ra max f  x   6 ; min f  x   0 .
0;1
0;1

 

f  x  m  4 .
Bài tốn trở thành tìm m để min
0;1

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

14


SKKN năm 2022

Thực hiện tính và đặt trục ta được:

4  0  4; 4  6  2;  4  0  4;  4  6  10

Suy ra, ycbt  10  m  4 mà m  Z  m 10; 9; 8;...;0;1;...; 4
Vậy có 15 số ngun m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  f  x  , liên tục trên  3; 2 và có bảng biến thiên như
hình dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của
hàm số y  f  2sin x   m trên  0;   nhỏ hơn 12.

A. 44 .

B. 45 .

C. 38 .

D. 41 . [1].

Hướng dẫn giải :
Sử dụng phương pháp đặt trục số:
Đặt 2sinx = t ; x  0;    t  0;2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f  t   2 ; min f  t   0 .
0;2
0;2 





f  t   m 12 .
Bài tốn trở thành tìm m để min
0;2




Thực hiện tính và đặt trục ta được:

12  0  12; 12  2  10;  12  0  12;  12  2  14

Suy ra, ycbt  14  m  12 mà m  Z  m 14; 13; 12;...;0;1;...;12
Vậy có 27 số nguyên m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  f  x  , liên tục trên 1;5 và có đồ thị như hình vẽ. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x   m nhỏ
hơn 2022.

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

15


SKKN năm 2022
A. m  2026 .

 m  2022
C. 
.
 m  2026

B. m  2022 .

D. 2026  m  2022 .[3].

Hướng dẫn giải :
Sử dụng phương pháp đặt trục số :
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy max f  x   4 ; min f  t   0 .
1;5
1;5 

 

f  t   m  2022 .
Bài toán trở thành tìm m để min
0;4




Thực hiện tính và đặt trục ta được:
2022  0  2022; 2022  4  2018;  2022  0  2022;  2022  4  2026

Suy ra, ycbt  2026  m  2022
Vậy 2026  m  2022 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2.3.5.2. Bài tập vận dụng.

Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ
bên.

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị nhỏ
nhất của hàm số y  x2  2 x  m  4 trên đoạn  1;3 không vượt quá 4 .
Tổng các phần tử của S bằng
A. 1 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 0 .[5].
Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2; 4 và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  cos 2 x  4sin 2 x  3  m trên  0;   không vượt quá 8
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

16


SKKN năm 2022
A. 21 .

B. 19

C. 18 .

D. 20 .[2].

Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị nhỏ
nhất của hàm số y  x2  2 x  m trên đoạn  1; 2 không vượt quá 5 . Số phần tử

của S bằng
A. 15 .

B. 16 .

C. 14 .

D. 12 . [7].

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
- Đối với bản thân, đồng nghiệp: Trước khi nghiên cứu bản thân trao đổi
với đồng nghiệp về phương pháp giải nhanh các bài tốn tìm m để hàm chứa dấu
giá trị tuyệt đối đạt GTLN,GTNN, bởi nếu làm theo phương pháp truyền thống
thì mất khá nhiều thời gian, gặp khó khăn trong q trình làm bài, bởi nó khá
dài, tính tốn đơi khi nhầm lẫn, nếu giải thơng thường thì dài khơng đáp ứng
được u cầu của bộ môn hiện nay. Nhưng sau khi đưa ra “ phương pháp đặt
trục số” thì nó giúp cho GV giảng dạy dạng này cho học sinh trở nên đơn giản
hơn, học sinh dễ hiểu hơn .
- Đối với học sinh: “Phương pháp đặt trục số” mới đầu rất bỡ ngỡ với
học sinh, tuy nhiên chỉ làm 1 đến 2 lần học sinh hiểu và quen dần với phương
pháp này, giúp tính rất nhanh trong việc tìm tham số m thỏa mãn hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối đạt GTLN, GTNN. Trong sáng kiến tôi đưa ra “Sử dụng
hiệu quả phương pháp đặt trục số để giải nhanh các bài tốn tìm tham số m
của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước – phần 1.”.
với kĩ thuật đặt trục số sẽ giúp học sinh hạn chế được việc phải tính tốn nhiều,
bài tốn cịn rất hiệu quả trong tình huống các em khơng nhớ hết các các bước
làm của phương pháp truyền thống, vẫn giải quyết được bài toán rất nhanh, đáp
ứng được u cầu của mơn tốn học hiện nay. Từ việc giải quyết được các bài
toán hiệu quả, cải thiện được điểm số sẽ giúp các em có hứng thú học tập bộ

mơn tốn học hơn. Đặc biệt đã cho thấy tiến bộ rõ rệt của học sinh khi dạy học
theo phương pháp trong sáng kiến so với phương pháp dạy học trước đây vẫn áp
dụng.
3. KẾT LUẬN.
3.1.Kết quả nghiên cứu.
Bằng các phương pháp nghiên cứu khoa học như: Phân tích lí thuyết, tổng hợp
tài liệu, điều tra cơ bản, tổng kết kinh nghiệm sư phạm và sử dụng một số
phương pháp thống kê tốn học trong việc phân tích thực nghiệm sư phạm…
Trong sáng kiến đã trình bày “Sử dụng hoạt hiệu quả phương pháp đặt trục số
để giải nhanh các bài tốn tìm tham số m của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
thỏa mãn điều kiện cho trước – phần 1.”. giúp học sinh vận dụng thành thạo và
phát huy tối đa thế mạnh của phương pháp giải nhanh, đặc biệt trong những tình
huống cho hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Kết quả thực nghiệm.
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

17


SKKN năm 2022

- Đối tượng thực nghiệm:Học sinh trường THPT Thạch Thành III.
- Cách thức thực hiện: Tiến hành dạy theo phương pháp giải nhanh nêu
trong sáng kiến cho các lớp 12A1, 12A3 còn hai lớp 12A4, 12A5 dạy theo
phương pháp thơng thường. Sau đó cho học sinh các lớp trên làm cùng một bài
kiểm tra trắc nghiệm về chủ đề “Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
y  f  x   m có GTLN,GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước” thu được kết quả
như sau:
Lớp

Sĩ
số

Điểm dưới 5

Điểm từ 5
đến dưới 6,5

Điểm từ 6,5
đến dưới 8

Điểm trên 8

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

12A1

42

2

4,75

6

14,29

7

16,67

27

54,29

12A3

42

3

7,16

8

19,04

16

38,09

15

35,71

12A4

42

8

19,05

25

59,52

8

19,05

1

2,38

12A5

42

6

14,28

28

66,67

8

19,05

0

0,00

Ghi
chú

Dựa trên kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy chất lượng học tập của
học sinh các lớp thực nghiệm cao hơn học sinh các lớp đối chứng, điều đó thể
hiện ở các điểm chính sau:
+ Tỷ lệ % học sinh yếu kém, trung bình của lớp thực nghiệm thấp hơn hẳn
lớp đối chứng.
+ Tỷ lệ % học sinh đạt điểm khá giỏi của lớp thực nghiệm cao hơn hẳn lớp
đối chứng. Thông qua kết quả thực nghiệm đã bước đầu khẳng định được tính
đúng đắn của phương pháp mà sáng kiến đưa ra.

Ngồi ra thơng qua việc lên lớp, dự giờ, trao đổi với giáo viên bộ mơn và
học sinh, qua việc phân tích chất lượng lĩnh hội của học sinh ở những bài
kiểm tra, tôi nhận thấy việc sử dụng phương pháp giải nhanh là một trong
những phương pháp rất cần thiết, rất phù hợp trong thời điểm hiện nay.Cụ
thể:
- Ở các lớp thí nghiệm số học sinh làm được rất ít hoặc khơng làm được,
bởi đây là một trong những dạng toán vận dụng, làm các bước theo phương pháp
truyền thống rất dài và khó nhớ. Ở các lớp thực nghiệm HS tham gia phát biểu
xây dựng bài nhiều hơn so với các lớp đối chứng. Khơng khí lớp học sơi nổi
hơn, đa số học sinh được lôi cuốn vào nội dung bài học, các em khơng cịn thụ
động mà chủ động thực hiện các hoạt động do giáo viên đưa ra.
- Phương pháp giải nhanh đã kích thích được tính tích cực suy nghĩ, tìm tịi,
sáng tạo của học sinh. Các em khơng chỉ tiếp thu được những nội dung kiến
thức cơ bản mà cịn có khả năng phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát và vận
dụng kiến thức một cách hợp lí. Đây là yếu tố giúp học sinh ở lớp thí nghiệm có
kết quả học tập tốt hơn nhiều so với lớp đối chứng.
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

18


SKKN năm 2022

LỚP 12A4

LỚP 12A5
66.7

70.0

59.5

60.0
50.0

40.0
30.0

19.1

19.1 19.1

14.3

20.0

10.0

2.4 0.0

0.0

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Biểu đồ thể hiện kết quả bài kiểm tra ở 2 lớp 12A4 và 12A5
không dạy phương pháp giải nhanh.

LỚP 12A1

60.0

LỚP 12A3

54.3

50.0
40.0

38.1

35.7
26.7

30.0

14.3

20.0

19.0
4.8 7.2

10.0
0.0

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Biểu đồ thể hiện kết quả bài kiểm tra ở 2 lớp 12A1 và 12A3 sau
khi dạy phương pháp giải nhanh.
Như vậy nhìn vào biểu đồ ta thấy : Hai lớp được học tỉ lệ điểm khá, giỏi
cao hơn hẳn so với hai lớp không dạy, điều này cho thấy phương pháp mà
sáng kiến đưa ra bước đầu đã khẳng định được tính đúng đắn.
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

19


SKKN năm 2022

3.2. Kiến nghị và đề xuất.
3.2.1. Đối với sở giáo dục.
Thường xuyên tổ chức cho giáo viên tham gia các lớp tập huấn về dạy
học, giáo dục.
Đưa các sáng kiến kinh nghiệm đạt hiệu quả cao vào áp dụng trong các
nhà trường.
3.2.2. Đối với nhà trường:
Có thêm nhiều sách tham khảo, và tạo điều kiện cho các em mượn sách về
nhà.

Tăng cường bổ sung, hoàn thiện cơ sở vật chất, phương tiện, công nghệ thông tin nhằm hỗ trợ đắc lực cho quá trình đổi mới dạy học; tạo điều kiện thuận
lợi, ủng hộ tích cực cho sự chủ động sáng tạo của giáo viên và học sinh.
3.2.3. Đối với địa phương, gia đình:
Gia đình cần quan tâm đến việc học hành của con cái mình nhiều hơn,
Cần giành nhiều thời gian giám sát việc học ở nhà của các em. Cần mua sắm
sách vở, đồ dùng học tập cần thiết và đầy đủ cho các em.
Với những điều tơi trình bày ở trên thật ra là q trình vừa giảng dạy, vừa
học hỏi, vừa áp dụng trong thực tế. Vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn,
chắc chắn đề tài sẽ có phần chưa thỏa đáng, bản thân tơi mong được góp ý bổ
sung của sở giáo dục và các bạn đồng nghiệp. Hy vọng đề tài của tôi được phổ
biến rộng trong nhà trường để các bạn đồng nghiệp có thể xem là tài liệu tham
khảo.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Phó hiệu trưởng

Thanh Hóa, ngày 8 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người thực hiện

Đỗ Duy Thành

Phạm Thị Liên

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

20

SKKN năm 2022

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
CẤP SỞ GD&ĐT CÔNG NHẬN

STT

Tên SKKN

1

Đưa một số bài tốn vào dạy trong
bài phương trình đường thẳng
trong khơng gian, giúp học sinh
trường THPT Thạch Thành 4 học
tốt phần viết phương trình đường
thẳng trong khơng gian.

2

Hướng dẫn học sinh biết cách khai
thác và mở rộng nhiều cách giải
cho một số bài tốn khá đơn giản
trong SGK tốn 10.

Năm học

Cấp
đáng
giá xếp

loại
Sở
GD&ĐT

2012-2013

C

Thanh
Hóa

Sở
GD&ĐT
2013-2014

C
Thanh
Hóa
Sở
GD&ĐT

3

Hướng dẫn học sinh biết cách sử
dụng cấp số cộng, cấp số nhân để
xây dựng phương pháp tìm cơng
thức của một số dạng dãy số có 2014-2015
cơng thức truy hồi đặc biệt nhằm
củng cố và nâng cao kiến thức về
dãy số cho học sinh lớp 11.

Sở
GD&ĐT

4

“Phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của học sinh trong học tập
mơn tốn thơng qua bài dạy “Bài
3 tiết 26 - Bài tập ứng dụng định 2016-2017
lý sin và cosin - Hình học 10 ban
cơ bản” bằng việc tích hợp một số
kiến thức thực tiễn’’

Sở
GD&ĐT

5

“ Nâng cao hiệu quả giảng dạy
trong bài “Hệ trục toạ độ - Hình
học 10 ban cơ bản” bằng việc tích
hợp một số kiến thức của các mơn
học khác, giúp học sinh hứng thú
hơn , nâng cao tính tích cực, chủ
động sáng tạo của học sinh trong
học tập mơn Tốn ở trường THPT

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

Xếp loại

2017-2018

Thanh
Hóa

Thanh
Hóa

Thanh
Hóa

C

C

C

21


SKKN năm 2022

6

7

Thạch Thành 4”
“Sử dụng phương pháp dạy học

Sở
tích hợp liên môn trong giảng dạy
GD&ĐT
bài "tiết 9,10: Hệ trục tọa độ Thanh
Hình học 10 ban cơ bản” để nâng 2019-2020
Hóa
cao sự hứng thú, tính tích cực, chủ
động sáng tạo trong học tập mơn
tốn của học sinh lớp 10 trường
THPT Thạch Thành 4”.
“Sử dụng hiệu quả “phương pháp
Sở
ghép trục” để giải nhanh các bài
GD&ĐT
tập về tìm số điểm cực trị của hàm 2020 -2021
Thanh
hợp, giúp học sinh giải nhanh các
Hóa
bài tập về tìm số điểm cực trị phần 1”

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

C

C

22


SKKN năm 2022

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1 ].Đoàn Quỳnh – Phạm Khắc Ban – Doãn Minh Cường – Nguyễn Khắc
Minh –Trắc nghiệm Toán 12 –Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[2 ] Nguyễn Phú Khánh – Huỳnh Đức Khánh – Giải nhanh đề thi Trắc
nghiệm Toán 12– Nhà xuất bản ĐH Quốc Gia Hà Nội.
[3 ] Đề thi tuyển sinh đại học các năm, Bộ Giáo dục.
[4 ] Huỳnh Đức Khánh – Huỳnh Thanh Tuấn – Vũ Quốc Triệu – Trắc
nghiệm 12 – Nhà xuất bản Đồng Nai.
[5 ] PGS.TS Nguyễn Văn Lộc– 1990 Bài tập trắc nghiệm Toán 12 - Nhà xuất
bản
ĐH Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
[6 ] Đề thi Thử THPT Quốc Gia của các trường và các tỉnh.
[7 ] Các nhóm tốn học: Strong team Tốn VD – VDC, Diễn đàn giáo viên
Tốn, Nhóm Tốn VDC-HSG THPT…
[8 ] Bộ GD&ĐT (2018), Tài liệu tập huấn “ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên
trung học phổ thông về dạy học tích cực ”.

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

23