(SKKN 2022) MỘT SỐ GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH YẾU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC
GIẢI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – YẾU

Người thực hiện: Lê Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học


MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................1
II. NỘI DUNG.......................................................................................................1
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................2
2. Thực trạng ......................................................................................................2
3. Một số giải pháp thực hiện……………………………………………………2
3.1. Giải pháp 1…………………………………………………………………………
2
3.2. Giải pháp 2.....................................................................................................
4
3.3. Giải pháp 3……………………………………………................................ 9
3.4. Giải pháp 4………………………………………………………………. 10

3.5. Giải pháp 5……………………………………………………………….. 12
III. KẾT LUẬN CHƯƠNG.................................................................................14
1. Kết luận nghiên cứu........................................................................................15
2.
Kết
chung.................................................................................................15

luận

DANH MỤC ......................................................................................................
PHỤ LỤC………………………………………………………………………


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thực tiễn dạy học giải tích 12 cho thấy, chủ đề Nguyên hàm – Tích phân
là nội dung kiến thức khó đối với nhiều học sinh. Đây cũng là chủ đề chiếm một
phần quan trọng trong kỳ thi THPT quốc gia, gây nhiều khó khăn trong dạy và
học. Học sinh lại quen với kiểu tư duy xi( Như bài tốn tìm đạo hàm của hàm
số) nên khi phải tìm bài tốn ngược( Tìm nguyên hàm) gây trở ngại ngay mới
đầu tiếp cận và nội dung này cịn có nhiều cơng thức khó nhớ, khó thuộc.
Làm thế nào để tạo niềm tin hứng thú cho học sinh khi học, đặc biệt là đối
tượng học sinh trung bình - yếu, để các em khơng chỉ tiếp cận được mà còn biết
áp dụng tốt các bài tốn về tìm ngun hàm, tích phân của một số hàm số
thường gặp bằng bảng nguyên hàm, hai phương pháp cơ bản như đổi biến số,
nguyên hàm tích phân từng phần,…Và cao hơn nữa là các em cảm thấy hứng
khởi, tự tìm tịi, khám phá, kết nối giữa giả thiết và kết luận, giữa bài toán chưa
biết cách giải và bài tốn đã có cách giải, linh hoạt giải quyết các bài tốn vận
dụng như các bài tốn tìm ngun hàm, tích phân có chứa hàm ẩn,.. Tơi đã ln
trăn trở, mị mẫm, tìm tịi hướng giải quyết cho vấn đề từ thấp đến cao và mạnh

dạn chọn đề tài: “ Một số giải pháp bồi dưỡng năng lực giải tốn Ngun hàm
- Tích phân cho học sinh trung bình – yếu”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh THPT
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng tốn trong chương trình phổ
thơng.
3. Đối tượng nghiên cứu
HS lớp 12A2 và lớp 12A7 năm học 2020 -2021
4. Phương pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương
pháp giảng dạy mơn Tốn, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học,...có liên quan
đến đề tài như năng lực, năng lực toán học,...
* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát
thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh.
* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của đề tài.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:

1


- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và các cơng
thức được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình tốn trung học
phổ thơng.
- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực tốn nói
riêng.
2. Thực trạng:
* Ngun nhân khách quan:
Chất lượng đầu vào thấp, việc lĩnh hội kiến thức cơ bản đối với các em

còn vất vả. Bên cạnh đó, gia đình chủ yếu là thuần nơng, điều kiện cịn khó
khăn, nhiều gia đình phải đi làm ăn xa, việc quan tâm đến học tập của con em
còn hạn chế nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt, chưa xác định
được động cơ học tập.
* Nguyên nhân chủ quan:
- Nội dung Nguyên hàm – Tích phân có nhiều khái niệm mới, cơng thức
mới, có tính trừu tượng cao, khó nhớ, khó thuộc, cần kết hợp linh hoạt các thao
tác tư duy như tư duy logic, phân tích, tổng hợp, tư duy ngược,...
- Các dạng tốn trong SGK chưa nhiều, chỉ mới dừng lại ở các bài toán
đơn giản, vận dụng định nghĩa, định lý máy móc, khơng phân loại các bài tốn
thành từng dạng để giải quyết.
- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, rất hay mắc sai lầm khi áp
dụng các công thức giải bài tập.
3. Một số giải pháp thực hiện
3.1. Giải pháp 1: Giới thiệu bài toán với tư cách là tình huống gợi vấn
đề
* Một tình huống có vấn đề cần thỏa mãn các điều kiện sau: Tồn tại một
vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức và gây niềm tin ở khả năng.
Giới thiệu bài toán với tư cách là tình huống gợi vấn đề với mục đích làm
cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học
sinh.
'
Ví dụ: Tìm hàm số F  x  sao cho F  x   f ( x) biết:

a ) f ( x)  3 x 2 với x  ¡
1
b) f ( x)  , x   0;  
x

HS sẽ chỉ ra được một hàm số thỏa mãn chẳng hạn:

a) F ( x)  x3 , b) F ( x)  ln x ? Có bao nhiêu hàm số F  x  thỏa mãn
F '  x   f ( x ) , chúng có quan hệ với nhau thế nào (Các nguyên hàm sai khác hằng
số C)  Khái niệm nguyên hàm
2


Yêu cầu học sinh nêu bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, hàm hợp tương
ứng tôi lật ngược vấn đề: Nếu biết đạo hàm của một hàm số, có thể tìm được
hàm số gốc của đạo hàm đó khơng (Từ đạo hàm suy ngược ra nguyên hàm)? Có
bao nhiêu hàm số thỏa mãn, chúng có quan hệ với nhau thế nào? Từng bước
hoàn thiện bảng các nguyên hàm cơ bản  Nguyên hàm của hàm số hợp tương
ứng  Trường hợp thường gặp u  ax  b
Hàm sơ cấp
1)  dx  x  C
2)  x dx 

3)



x 1
 C    1
 1

dx
 ln x  C  x  0 
x

Hàm số hợp u  u  x 
1)  du  u  C .

2)  u du 

3)



u 1
 C    1
 1

Thường gặp
1
a

1) Vi phân d  ax  b   dx
2)   a x  b  dx 


1 1

(ax b) 1 C
a  1

dx
1
du
 ln ax  b  C  a  0 
 ln u  C  u  x   0  3) 
ax  b a
u

4)  cos xdx  sin x  C

4)  cos udu  sin u  C

4)  cos(ax  b)dx 

5)  sin xdx   cos x  C

5)  sin udu   cos u  C

1
5)  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C
a

6) 

1
dx  tan x  C
cos 2 x

Với x 
7) 


 k
2

1
dx   cot x  C .

sin 2 x

6) 

1
du  tan u  C
cos 2 u

Với u  x  
7) 

1
du   cot u  C
sin 2 u

Với u  x   k

8)  e x dx  e x  C

8)  eu du  eu  C

ax
 C  0  a  1
ln a

9)  a u du 

6) 

dx

1
 tan  ax  b   C
cos  ax  b  a

7) 

dx
1
 cot  ax  b   C
sin  ax  b 
a

2


 k
2

Với x  k

9)  a x dx 

1
sin( ax  b)  C
a

au
 C  0  a  1
ln a

2

8)  e ax b dx 

1 ax  b
e
C
a

9)  a px  q dx 

1
a px  q  C  0  a  1
p.ln a

Bước đầu các em làm một số bài tập áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản
theo mức độ tăng dần chẳng hạn tìm:  x 3dx ?   x3 dx ?    2 x  1 dx ?
3

Thậm chí cịn u cầu áp dụng cơng thức nào? Các giá trị tương ứng có trong
cơng thức bằng bao nhiêu? Rồi tìm nguyên hàm của các hàm số trên biết
F (1)  5 ?

3


Dấu hiệu

Có thể đặt
t

Ví dụ
I 

x 2 dx
.
x 1

3

1 Có

f ( x)

2 Có

(ax  b) n

t  ax  b

I   x ( x  1) 2018 dx .

3 Có

a f ( x)

t  f ( x)

I 4

4 Có

dx
và ln x
x

hoặc biểu
thức chứa ln x

I 

f ( x)

t  x 1

1

0

hoặc biểu thức

Đặt

0



t  ln x

t  ex

0

e

1

I 

e tan x 3
dx .
cos 2 x

1  3ln x .ln x
.dx . Đặt t  1  3ln x
x

ln 3 2 x

e

4e x  3.dx .

e x dx

6 Có

sin xdx

t  cos x

I 3

7 Có

cos xdx

t  sin x

I   2 sin 3 x cos xdx .

8 Có

9 Có

chứa

e

dx
cos 2 x

t  tan x

dx
sin 2 x

t  cot x

x



0

sin 3 x
dx
2cos x  1

Đặt

Đặt



0


4
0

t  x 1

t  tan x  3

Đặt

5 Có

0

Đặt

t  4e x  3

t  2cos x  1

Đặt

t  sin x



I 

1
1
dx   4 (1  tan 2 x)
dx
4
0
cos x
cos 2 x

Đặt

t  tan x


I  4

6



ecot x
ecot x
dx  4
dx .
1  cos 2 x
2sin 2 x
6

Đặt

t  cot x

3.2. Giải pháp 2: Hệ thống hóa các bài tốn theo dạng, giúp học sinh
xây dựng và khai thác kiến thức, kỹ năng giải tốn đó theo từng dạng
Trong SGK giới thiệu hai phương pháp cơ bản là đổi biến số và nguyên
hàm, tích phân từng phần, cần định hướng cho học sinh xây dựng các dạng
thường gặp như:
Đối với dạng đổi biến số, dấu hiệu chung:
Nếu hàm số chứa căn  đặt t  căn
Nếu hàm số chứa mẫu  đặt t  mẫu
Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao  đặt t  biểu thức chứa lũy thừa bậc
cao
Cụ thể:

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Đối với dạng Ngun hàm – Tích phân từng phần: Thì cần hướng dẫn HS
cách đặt u  ?, dv  ? như thế nào. Có thể liệt kê các dạng thường gặp như:
1.

 p  x  ln  ax  b  dx  u  ln  ax  b 
4


sin  ax  b 

2.  p  x  . cos  ax  b  dx  u  p  x 
 axb
e

……………..
Thay vì phải học thuộc, nhớ các dạng thường gặp cách đặt u  ?, dv  ? ,
tôi giúp các em cách nhớ dễ dàng thơng qua câu : Nhất lốc – Nhì đa – Tam
lượng – Tứ mũ để chỉ thứ tự ưu tiên đặt u trong biểu thức dưới dấu nguyên
hàm. Thơng qua các ví dụ cụ thể u cầu các em xác định cách đặt u  ?, dv  ?
như thế nào
Bằng phương pháp nguyên hàm từng phần hãy nêu cách đặt u  ?, dv  ?
là hợp lý ?
u  log 2 x
a )  x log 2 xdx ?  
dv  xdx
b)  x sin 2 xdx ?

u  x
 
dv  sin 2 xdx

c)  sin x.e x dx ?



d )   3 x  x  1 e dx ?
2

x

u  sin x

x
dv  e dx

u  3 x 2  x  1

x
dv  e dx

Sau khi HS đã xác định đúng cách đặt u, dv thì hướng dẫn HS hồn thiện
bài toán và làm các bài toán khác ở mức độ cao hơn mang tính tổng hợp hơn
như:
1.Tính  cos xdx
2. Tính

  1  sin x  sin

2

x  sin 3 x  ... dx,....

Đối với Nguyên hàm – Tích phân dạng phân thức
P x
 Q  x  dx . Trong đó P  x  và Q  x  là các đa thức theo biến x có bậc
lần lượt là m và n . Tơi giao các ví dụ cụ thể, sau đó u cầu HS tổng qt hóa
thành dạng và nêu cách giải ?
Tính

 Trường hợp 1: m  n .
Lấy P  x  chia cho Q  x  để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
5


1

2 x3  7 x 2  3 x  1
dx .
2
x

1
0

Ví dụ 1: Tính I  

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P  x   2 x3  7 x 2  3 x  1 cho đa thức
3
2
Q  x   2 x  1 ta được: 2 x  7 x  3 x  1  x 2  3 x  1 .

2x 1
2x 1
1
 x 3 3x 2 1
 1 11 1
1 
 2
I

x

3
x

d
x

 ln 2 x  1    ln 3 .
 
Bước 2:

 
0 6 2
2x 1 
2
2
 3

0

 Trường hợp 2: m  n . Phương pháp hệ số bất định





n
2
Bước 1: Đưa Q  x  về dạng Q  x    ax  b   cx  d  px  qx  r (Trong đó

px 2  qx  r  0 vô nghiệm).
P  x
A
B
C
N
Mx  P
L 
 2
 1 .
Bước 2: Đặt Q  x   ax  b  cx  d 
2
n
 cx  d 
 cx  d  px  qx  r

Bước 3: Quy đồng mẫu và đồng nhất hệ số của  1 để tìm các giá trị A , B ,
C , …, M , N , P .
2

Ví dụ 2: Tính I  
1

1

dx
x  x  1

A

B

2

.
C

2
Ta có: x x  1 2  x  x  1  x  1 2  1  A  x  1  Bx  x  1  Cx  * .





o Cách 1:

 *

 1   A  B  x2   2 A  B  C  x  A .

x   1;0 ta có hệ sau:
A  B  0
A  1
1
1
1
1


 

 2 A  B  C  0   B  1 
.
2
x x  1  x  1 2
A 1
C  1 x  x  1



o Cách 2:
Cho x  0 : thay vào  * ta được: A  1 .
Cho x  1 : thay vào  * ta được: C  1 .
Với A  1 và C  1 , ta cho x  1  B  1 .


1
x  x  1

2



1
1
1


x x  1  x  1 2 .

6


2
1
1
1 

x
1 2
4 1


I



d
x


ln


ln
 .
Vậy


  x x 1
2
1
x

1
x

1
3
6



x

1


1


Một số trường hợp đặc biệt:
a) Bậc của P  x  nhỏ hơn bậc của Q  x  1 đơn vị ( m  n  1 ).
Thử đặt t  Q  x  và tính dt .
du

 Nếu dt  k .P  x  dx thì sử dụng   ln u .
u
 Nếu dt  k .P  x  dx thì sử dụng phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân dạng I  

mx  n
2

ax  bx  c

dx :

 Nếu ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm phân biệt thì sử ta sử dụng
phương pháp hệ số bất định.
 Nếu ax  bx  c  0 có nghiệm kép x  x0 thì I  
2

mx  n
a  x  x0 

2

dx , sau

đó đặt t  x  x0 .

 Nếu ax 2  bx  c  0 vơ nghiệm thì ta sử dụng phương pháp lượng
giác hoá.
c) Một số nguyên hàm cần nhớ:
1 

dx

 x 2  a 2  2a  ln
dx

 x  x  a



xa
xa

1 xa
ln
a 
x


 C .


dx

 x  x  a



1
x
ln

a xa


 C .



 C


Đối với nguyên hàm, tích phân hàm ẩn : Đây là dạng vận dụng, vận
dụng cao có nhiều tài liệu tham khảo phân dạng và rèn luyện. Bài tập loại này
khó, đa dạng, tơi xin trình bày một hướng giải quyết nhỏ trong một số bài tốn
có mặt trong các đề thi những năm gần đây mà HS dễ tiếp cận thay vì phải nhớ
cơng thức dài dịng khó nhớ như sau :
Bước 1 : Cô lập cụm f ' ( x), f ( x) , f n ( x ) hoặc biểu thức chứa f ( x) sang một vế
(Nếu ở dạng phân thức thì f ' ( x) phải ở tử).
Bước 2 : Lấy nguyên hàm hai vế hoặc tích phân hai vế ( Tùy u cầu bài tốn)
Ví dụ 1 : Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên  1;4 thỏa
2
3
mãn x  2 xf  x    f ' ( x)  , x   1;4  , f  1  . Tính f  4 
2
7

Để tính được f  4  ta phải xác định được f ( x) ?.
2

 f ' ( x) 
f ' ( x)
  x
Yêu cầu HS biến đổi thực hiện bước 1 được : 
 x
1  2 f ( x)
1  2 f ( x)
Hướng 1 : Lấy nguyên hàm hai vế kết hợp điều kiện f  1 
được f ( x) . Từ đó tính được f  4  .
Hướng 2 : Bài toán yêu cầu tính f  4  đã cho f  1 
phân hai vế :
4



1

3
tìm C xác định
2

3
nghĩ ngay đến lấy tích
2

4
4 14
f ' ( x)
14
dx   xdx  1  2 f ( x )   1  2 f (4)  2 
1
3
3
1  2 f ( x)
1

 f (4) 

391
18

Ví dụ 2 : Cho hàm số f ( x)  0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x)   2 x  3 . f 2 ( x)
a
1
. Biết tổng f  1  f  2   ...  f  2017   f  2018   với
b
2
a
a  , b Ơ * , l phõn số tối giản. Tính b  a ?
b

và f (0) 

Đến bài toán này nhiều HS đã biết thực hiện được việc cô lập:

f '  x
f 2 ( x)

 2x  3

Bài tốn u cầu gì ? Xác định f  x  như thế nào ?Lấy nguyên hàm hai vế hay
tích phân hai vế ?
f '  x

 f 2 ( x) dx    2 x  3 dx 

1
1
 x 2  3x  C  f  x   2
f ( x)
x  3x  C

1
 C  2 Nên
2
1
1
1 
 1
f  x   2

 

 x  1  x  2   x  1 x  2 
x  3x  2

Mà f  0  

Khi đó :
1  1009
1
f  1  f  2   ...  f  2017   f  2018     

 2 2020  2020
 a  1009, b  2020( do a  ¢ , b  ¥ * )  b  a  3029
8


3.3. Giải pháp 3: Khắc phục sai lầm của học sinh
Trong q trình dạy học phần này tơi phát hiện ra một số lỗi học sinh
thường mắc phải như:
- Không nắm vững định nghĩa
- Hiểu sai bản chất các công thức tính ngun hàm cơ bản, nhầm lẫn giữa
các cơng thức, thậm chí cịn tự sáng tác ra cơng thức dẫn đến áp dụng giải sai
bài toán
- Đổi biến số nhưng khơng tính vi phân cho biến mới
- Áp dụng khơng đúng phương pháp ngun hàm từng phần
- Thậm chí cịn sai sót do kỹ năng tính tốn, sử dụng máy tính cịn chưa
thành tạo,...
Để khắc phục những lỗi mà học sinh hay mắc tơi lồng ghép cả trong q
trình giảng dạy khi học sinh tiếp cận kiến thức mới và khi rèn luyện giải bài tập,
dưới nhiều hình thức như: Yêu cầu nắm được kiến thức trọng tâm, phân tích nhận xét – đánh giá sai lầm trong lời giải bài toán của bạn, cách khắc phục đối
với từng lỗi. Cụ thể như sau:
* Yêu cầu nắm được định nghĩa nguyên hàm – tích phân. Giúp học sinh xác
định điều kiện để có hàm số F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K là gì?

b

Khi nào sử dụng được cơng thức Newton – Leibniz

 f  x  dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a )

a

b

tạo cho các em thói quen khi tính

 f ( x)dx

cần kiểm tra tính liên tục của hàm số

a

y  f ( x) trên  a; b  ?

2

Ví dụ 1: Tính tích phân sau :

1

  x  1

2

dx

0

2

2

1
0  x  1 2 dx  x  1 0  1  1  2

Lời giải sai:

Phân tích sai lầm: y 

1

1

 x  1

2

không xác định tại x  1  0; 2 nên không liên tục

trên  0; 2 . Do đó khơng sử dụng được cơng thức Newton – Leibniz
Ví dụ 2: Chứng minh rằng F ( x)  (1  x)e  x là một nguyên hàm của hàm
x
số f ( x )  xe x trên ¡ . Từ đó tìm ngun hàm của hàm số g ( x)   x  1 e ?
x
Khi tìm nguyên hàm của hàm số g ( x)   x  1 e học sinh làm như sau:

 g ( x) dx   ( x  1)e

x

dx   xe  x dx   e  x dx  (1  x)e  x  C   e  x  C    xe  x

9


Nguyên nhân sai: HS đã áp dụng đúng bài toán và tính chất nhưng các em
đã viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm dẫn đến sai kết quả.
* Yêu cầu HS nắm được và học thuộc( Từ việc hiểu, xây dựng và áp
dụng) bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản – nguyên hàm hàm số hợp tương
ứng, nguyên hàm của hàm số hợp tương ứng thường gặp với u  ax  b . Tạo thói
quen khi mới học tốn ngun hàm là kiểm tra cơng thức lấy đạo hàm của
ngun hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho khơng? Đặc biệt đối với bài
tốn tìm ngun hàm của hàm số lượng giác.
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của I   sin 2 xdx, J   cos 2 xdx,
I   sin 2 xdx  2 cos 2 x  C ,

Lời giải sai:

J   cos2 xdx  2sin 2 x  C

8

Ví dụ 4: Tính tích phân



x  1dx

0

8

Lời giải sai:

8



x  1dx   x  1d ( x  1) 

0

0

8
1
1

3

2 x 1 0

Nguyên nhân sai: Cả ví dụ 3 và ví dụ 4 HS nhầm giữa cơng thức đạo hàm và
ngun hàm.
5
Ví dụ 5: Tìm ngun hàm I   (3x  2) dx

Lời giải sai: I   (3x  2)5 dx 

(3 x  2)6
C
6

Nguyên nhân sai:
x n 1
 C với n  1 mà
n 1
u n 1
n
 C với n  1
không xác định được đây là nguyên hàm của hàm hợp  u du 
n 1

HS vận dụng công thức nguyên hàm cơ bản  x n dx 

( Không lấy vi phân cho biến mới) hoặc không vận dụng luôn công thức

 (ax  b)

n

1 1
dx  .
(ax  b) n 1  C
a n 1
1

Ví dụ 6: Tính tích phân sau xe x dx

0

1

1

1

0

0

0

x
x
Lời giải sai:  xe dx   xdx. e dx 

x2 1 x 1 1
.e   e  1
2 0 0 2

Nguyên nhân sai: Thay vì vận dụng cơng thức tích phân từng phần HS lại tự
sáng tác ra cơng thức tích phân của một tích.
1

1

1

x
x
Lời giải đúng:  xe dx  xe 0  e 0  1
0

3.4. Giải pháp 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính
10


Xuất phát từ sự đổi mới trong quá trình kiểm tra, đánh giá năng lực học
sinh và sự thay đổi từ hình thức thi Tự luận sang Trắc nghiệm khách quan địi
hỏi học sinh khơng chỉ cần có nền kiến thức rộng mà cịn sâu, cần có kỹ năng
tính tốn nhanh, chính xác đồng thời phải kết hợp linh hoạt các thao tác tư duy
như so sánh, phân tích, tổng hợp, phán đoán,...điều này thường hạn chế ở các
học sinh trung bình khá trở xuống. Tuy nhiên, nếu có sự hỗ trợ của máy tính
cầm tay để giải tốn trắc nghiệm giúp các em tự tin lựa chọn đáp án đúng, tiết
kiệm tối đa thời gian mang lại hiệu quả thiết thực trong bài thi.
Sử dụng máy tính giải tốn về nguyên hàm - tích phân được chia thành
các dạng như sau: Giải toán về nguyên hàm, giải toán về tích phân và ứng dụng
của tích phân. Trong đó giải tốn về tích phân và ứng dụng của tích phân học
sinh dễ thực hiện bằng máy tính và cho kết quả nhanh, chính xác.

b

 f ( x)dx

* Dạng: Tính tích phân

( Trong đó các đáp án bài cho đều là số

a

vô tỷ như căn thức, số e, số  )
b

 f ( x)dx  A

Thực hiện cú pháp:

a

+) Nhập tích phân trên vào máy tính
+) Nhấn CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án đáp
án cho rồi nhấn phím dấu bằng, nếu được kết quả bằng 0 thì chọn phương án
đó
Ví dụ : Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng
1

A)  x 2 x 2  1dx
0

1

Cú pháp:  x
0

A

x B  1dx 

1

B )  x x  1dx
0

1

C )  x x 2  1dx
0

5503
?
12500
1

D )  x 2 x  1dx
0

5503
12500

+) Nhập tích phân vào máy tính

+) Nhấn CALC máy hỏi A? B? Ta lần lượt nhập vào cho cặp (A, B) từng
bộ (2;2), (1;1 ), (1;2 ), (2;1 ) tương ứng với các phương án rồi nhấn dấu bằng,
phương án nào cho kết quả bằng 0 là đáp án đúng. Chọn D
* Đối với tích phân của hàm số lượng giác phải kiểm tra máy tính để ở
chế độ Radian và chú ý cách nhập hàm lượng giác mũ như nhập sin 2 x phải nhập

 sin  x  

2


4

Ví dụ: Tính tích phân sau

 sin


6

2

dx
x cot x

11


A.2



4



3 1

B.2





3 1

4

C. 4 3  1

D. 4 3  1

* Thậm chí có những câu hỏi hạn chế máy tính nhưng cần nắm vững tính
chất cơ bản kết hợp chức năng của máy tính chúng ta vẫn giải quyết bài toán
5
1
dx  a ln 3  b ln 5 với a, b  ¢ .Tính giá trị biểu
như: Cho tích phân 
x
3

x

1
1
thức: S  a 2  ab  3b 2
A. 4

B.1

C.0

D.5

Tuy nhiên, ở bài tốn này giải bình thường còn nhanh hơn việc nhớ và
thực hiện một loạt lệnh máy tính cầm tay! Nắm bản chất, thực hiện các suy luận
toán học để giải toán vẫn là yêu cầu then chốt.
3.5. Giải pháp 5: Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan
theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng thấp – Vận dụng
cao( Dựa trên các câu hỏi có trong các đề thi THPT quốc gia của những năm
trước)
Phù hợp với năng lực học sinh là điều rất quan trọng, tôi tham khảo tài
liệu trên mạng, dựa theo chuẩn kiến thức, yêu cầu cần đạt và các câu hỏi có
trong đề thi THPT quốc gia biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan
theo các mức độ.
MỨC ĐỘ 1 : NHẬN BIẾT
Mục tiêu: Giúp HS làm quen với khái niệm nguyên hàm, thuộc và vận
dụng được bảng nguyên hàm cơ bản, bảng ngun hàm mở rộng vào các bài
tốn.
Một số ví dụ:
3

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 

x4 3 2x
A.  f  x  dx 
 
C
4 x ln 2
C.



3
f  x  dx  x   2 x  C
x
4

B.
D.

3
 2x ?
2
x



x4 3
f  x  dx 
  2x  C
4 x



x4 3 2x
f  x  dx 
 
C
4 x ln 2

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là:
1
A. x 2  cos 2 x  C
2

1
B. x 2  cos 2 x  C
2

C. x 2  2cos 2 x  C

D. x 2  2cos 2 x  C

Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  

1
.
2x  1
12

A.  f  x  dx 
C.



1
2x  1  C
2

f  x  dx  2 x  1  C

B.

 f  x  dx  2

2x  1  C

D.

f  x  dx 

1



 2 x  1 2 x  1

C

……………

MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU
Mục tiêu: Sau khi thành thạo dạng toán sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản và mở rộng để tìm nguyên hàm của hàm số, HS sẽ vận dụng các phương
pháp đổi biến, nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số phức
tạp hơn. Làm tốt các dạng bài tập này, HS sẽ đạt được mốc 6,5 đến 7 trong các
đề thi THPTQG.
Một số ví dụ:
Câu 1: Cho hàm số f  x thỏa mãn f ' x  2  5sin x và f  0  10. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. f  x   2 x  5cos x  5

B. f  x   2 x  5cos x  3

C. f  x   2 x  5cos x  10

D. f  x   2 x  5cos x  15

Câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x
A.  f  x  dx  e x
C.



3

1

 C.

1 3

f  x  dx  e x 1  C .
3

B.
D.

3

1

.
3



f  x  dx  3e x



x 2 x3 1
f  x  dx  e
 C.
3

1

 C.

Câu 3: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   e 2 x , biết F(0) = 1
A. F  x   e

2x

e2 x 1
2x
x
B. F  x  
 C. F  x   2e  1 D. F  x   e
2
2

Câu 4: Tìm một nguyên hàm F  x của hàm số f  x   ax 
F  1 ; F  1  4; f  1  0.
3x2 3 7
A. F  x  


4
2x 4
C. F  x  

3x2 3 7


2
4x 4

b
 x  0  biết rằng
x2

3x2 3 7
B. F  x  


4
2x 4
D. F  x  

3x2 3 1


2
4x 2

…………
13


MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG
Mục tiêu: Sau khi HS biết vận dụng các phương pháp đổi biến, phương
pháp nguyên hàm, tích phân từng phần để làm các bài tốn phức tạp hơn thì HS
sẽ tiếp tục vận dụng kiến thức giải quyết các bài tốn ngun hàm, tích phân
chứa hàm ẩn.Ở loại này, tôi chia đối tượng HS để bồi dưỡng, thực hiện phân
dạng, rèn luyện giải toán theo các dạng( như cách làm ở biện pháp 2)đồng thời
giải quyết những bài tốn khơng có dạng.
Một số ví dụ:
3x
x
Câu 1. Cho F  x    x  1 e là một nguyên hàm của hàm số f  x  e . Tìm

3x
nguyên hàm của hàm số f   x  e .

 f  x  e
C.  f   x  e
A.

3x

dx   6  3x  e x  C

3x

dx   2 x  1 e x  C

 f  x  e
D.  f   x  e

3x

B.

dx   6 x  3 e x  C

3x

dx   6  3x  e x  C

Câu 2. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên ¡ và thỏa mãn đồng thời các
x. f  x 

, x  R và f  0   e. Giá trị của f 3
điều kiện sau f  x   0, f   x  
x2  1
bằng A. e1
B. e2
C. e
D. e2

 

Câu 3. Cho hàm số f  x  xác định trên R \  1;1 và thỏa mãn f   x  

1
.
x2  1

 1
1
Biết rằng f  3  f  3  0 và f    f   2.
 2
 2
Tính T  f  2   f  0   f  5 
1
B. T  ln 2
2

A. T  ln 2  1

Câu 4. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

 f  x  

2
và f  0   f   0   1. Giá trị của f  1 bằng

A. 4

B.

D. T  ln 4  2

C. T  ln 2  2

9
2

2

 f  x  . f   x   15 x 4  12 x, x  R

C. 10

D.

5
2

…………
III. KẾT LUẬN CHƯƠNG
1. Kết quả nghiên cứu

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực
nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra và thu được kết quả như sau:

Điểm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số
lượng
14

Lớp

bài

TN (12A7)

0

0

0

1

9

12 15

6

5

2

50

ĐC (12A2)

0

0

1

5

15 12 10

3

2

0

48

Lớp TN có 2% điểm dưới trung bình, 98% điểm từ trung bình trở lên,
trong đó có 56% khá giỏi. Có 2 em đạt điểm tuyệt đối.
Lớp ĐC có 12,5% điểm dưới trung bình, 87,5% điểm trung bình trở lên,
trong đó có 31,25% điểm khá giỏi, khơng có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp
đối chứng nhất là bài đạt trung bình - khá.
2. Kết luận
Sau khi áp dụng các biện pháp thì hiệu quả đạt được của từng biện pháp
như sau:
Biện pháp 1: Kính thích hứng thú của học sinh, tạo dấu ấn, điểm nhấn về
mối quan hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm, HS dễ hiểu, dễ suy luận khi thiết lập
công thức lồng phát triển tư duy hàm cho HS.
Biện pháp 2: HS khơng cịn bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán thường gặp,
biết nhận dạng, biết qui lạ về quen, không chỉ làm tốt các bài tốn có sẵn dạng

mà cịn linh hoạt giải quyết các bài toán khác.
Biện pháp 3: HS biết sửa chữa và tránh những lỗi thường gặp. Đặc biệt,
khi phân tích lời giải sai đã khắc họa sâu trong tư duy của các em về lời giải
đúng, tính chất và lỗi sai cần tránh.
Biện pháp 4: Vận dụng biện pháp này mang lại kết quả nhanh, chính xác,
tiết kiệm được thời gian.
Biện pháp 5: Việc phân bậc kiến thức đã tạo môi trường học tập, HS nào
cũng được hoạt động theo năng lực của mình. Khi GV điều hành có thể tuần tự
nâng cao yêu cầu và cũng có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết đã mang
lại hiệu quả cao trong giảng dạy.
Trong q trình giảng dạy tơi áp dụng linh hoạt các biện pháp, nhận thấy
đã gây được hứng thú học tập cho HS, các em tỏ ra tự tin, chắc chắn, hiểu bài
khi kiểm tra nội dung kiến thức phần này.
Với thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường phổ thơng gần 20 năm, tơi
ln tìm tịi, mị mẫm, học hỏi đồng nghiệp, thử nghiệm giảng dạy nhằm nâng
cao chất lượng giáo dục bộ môn Tốn nói chung và dạy học phần ngun hàm
tích phân nói riêng.
Song, dù đã cố gắng nhưng khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong
được q thầy cơ góp ý, bổ sung để nội dung được hoàn thiện và mang lại hiệu
quả cao trong dạy học.
Xin chân thành cảm ơn!
15


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày
tháng 5 năm 2022
ĐƠN VỊ
Tơi xin cam đoan đây là nội dung của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Lê Mai

DANH MỤC
16


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT

Họ và tên tác giả:

Lê Mai

Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Đông Sơn 2
Cấp đánh

Kết quả

Năm học

giá xếp loại

đánh giá

đánh giá

Sở GD&ĐT

xếp loại

xếp loại

1.

Một số biện pháp nhằm nâng
cao chất lượng trong dạy học
giải bài tập lượng giác

Sở GD&ĐT

C

2008 – 2009

2.

Phát triển năng lực khái qt
hóa cho học sinh thơng qua
khai thác các bài toán

Sở GD&ĐT

B

2009 – 2010

3.

Phát huy năng lực huy động

kiến thức cho học sinh trong
dạy học giải bài tập hình học
khơng gian

Sở GD&ĐT

C

2010 – 2011

4.

Dạy học giải bài tập SGK
hình học 10 theo quan điểm
hoạt động (Nhằm bồi dưỡng
năng lực giải tốn cho học
sinh trung bình – yếu).

Sở GD&ĐT

C

2011 – 2012

5.

Phát huy năng lực huy động
kiến thức trung gian, nhằm
bồi dưỡng các tư duy trí tuệ
cho học sinh thơng qua dạy

học giải phương trình – bất
phương trình vơ tỉ

Sở GD&ĐT

C

6.

Một số biện pháp nhằm xây
dựng tập thể lớp đồn kết,
vững mạnh

Sở GD&ĐT

B

2016-2017

7.

Rèn năng lực giải tốn cho
học sinh lớp 11 thông qua dạy
học chủ đề Tổ hợp - Xác suất

Sở GD&ĐT

B

2019-2020

8.

Một số giải pháp giáo dục

Sở GD&ĐT

C

2020-2021
17

TT

Tên đề tài SKKN

2014 – 2015


hiệu quả kỹ năng sống cho
học sinh qua công tác chủ
nhiệm lớp.

PHỤ LỤC
18


Một số bài tốn về Ngun hàm – Tích phân được phân theo mức độ phù
hợp với năng lực học sinh.
MỨC ĐỘ 1 : NHẬN BIẾT

Mục tiêu: Giúp HS làm quen với khái niệm nguyên hàm, thuộc và vận
dụng được bảng nguyên hàm cơ bản, bảng nguyên hàm mở rộng vào các bài
toán.
Câu 1: Nếu
A. f  x  

1

x  0;  thì hàm số f  x là

 f  x dx  x  ln 2x  C với

1

1
1
1 1
1
 . B. f  x  x  . C. f  x 
 ln(2x). D. f  x  
 .
2x
x2 x
x2
x2 2x

Câu 2: Cho I   x3 x2  5dx, đặt u  x25 Khi đó viết I theo u và du ta được:









4
3
4
3
A. I   u  5u du B. I   u  5u du





4
2
C. I   u2du D. I   u  5u du

Câu 3: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
cos2 x

thỏa mãn

F(0)=1. Tìm F(x).
A. F  x  tanx 1

B. F  x   tanx

C. F  x  tanx 1

3
Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  x 

x4 3 2x
A.  f  x dx   
C
4 x ln2

C.

 f  x dx  x

4



3 x
2 C
x

B.
D.

3
2

x

D. F  x   tanx 1

 2x ?



x4 3 x
f  x dx 
 2 C
4 x



f  x dx 

x4 3 2x
 
C
4 x ln2

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  2x  sin2x là:
1

1

A. x2  cos2x  C B. x2  cos2x  C C. x2  2cos2x  C D. x2  2cos2x  C
2
2

Câu 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x 
A.  f  x dx 
C.

1
2x  1  C
2

 f  x dx 

2x  1 C

1
2x  1

.

B.

 f  x dx  2

D.

 f  x dx   2x  1

2x  1  C
1
2x  1

C

Câu 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  e2018x.
A.  f  x dx  e2018x  C

B.

1

 f  x dx  2018e

2018x

C

19


C.

 f  x dx  2018e

2018x

C

D.

 f  x dx  e

2018x

.ln2018 C

Câu 8: Hàm số F  x  cos3x là nguyên hàm của hàm số:
A. f  x 

sin3x
x

B. f  x  3sin3x C. f  x  3sin3x

D. f  x   sin3x

Câu 9: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai ?
A.  kf  x dx  k f  x dx với k ¡ .
B.   f  x  g x dx   f  x dx   g x dx với f  x , g x liên tục trên R.
C.  x dx 
D.

2 1
x
 C với   1.
 1

  f  x dx  f  x .

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  4x31 là:
A.  x4  C

B. 

x4
 x C
4

Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f  x 
1
x

A.  dx  ln x .

1

 x dx  ln x  C

B.

C. 12x2  C

D.  x4  x  C

1
là
x
1

1

1

C.  x dx   2  C D.  dx  ln x  C
x
x

Câu 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  tan2x





2
A.  tan2xdx  2 1 tan 2x  C

C.  tan2xdx 





1
1 tan2 2x  C
2

B.  tan2xdx   ln cos2x  C
1
2

D.  tan2xdx   ln cos2x  C

Câu 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  52x

A.  52x dx  2.

52x
 C.
ln5

C.  52x dx  2.52x ln5 C.
Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x 
A. 
C.

2
3

dx  2ln 2x   C.
4x  3
2

2

1

3

 4x  3dx  2 ln 2x  2  C.

B.  52x dx 

25x
 C.

2.ln5

D.  52x dx 

25x1
 C.
x 1

2
.
4x  3
2

1

2

1 

B.

 4x  3dx  4 ln 4x  3  C.

D.

 4x  3dx  2 ln 2x  2   C.

3

20

Câu 15: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f  x 
x2  1
A. y 
x 1

x2  x  1
B. y 
x 1



x2  3x  3
C. y 
x 1

x2  2x

 x  1 2

?

x2  x  1
D. y 
x1



x

x
Câu 16: Tính nguyên hàm I   2  3 dx

A. I 

x
x
ln2 ln3
ln2 ln3
ln2 ln3

 C B. I  x  x  C C. I  2  3  C D. I  

C
2
3
2
3
2
3
ln3 ln3

Câu 17: Tìm H    4 2x  1dx.
5

8

5

2

5

1

5

A. H   2x  1 4  C B. H   2x  1 4  C C. H   2x  1 4  C D. H   2x  1 4  C
5
5
5
Câu 18: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A.   f  x .g x  dx   f  x dx. g x dx. B.  k.f  x dx  k. f  x dx
C.   f  x  g x  dx   f  x dx   g x dx. D.

 f ' x dx  f  x  C

1
4

Câu 19: Hàm số F  x  ln4 x  C là nguyên hàm của hàm số trong các hàm số
dưới đây ?
A. f  x 

x
ln3 x

.

B. f  x 

1
xln3 x

.

C. f  x 

ln 3x
x

D. f  x 

x ln3 x
.
3

Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x3  2x là:
A.

x4
 x2  C
4

B.

x4
 x2  C
4

C.

x4
C
4

D. x2  C

Câu 21: Cho hàm số y  f  x liên tục trên R và thỏa mãn

 f  x dx  4x

3

 3x2  2x  C. Hàm số f  x là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. f  x  12x2  6x  2 C

B. f  x  12x2  6x  2

C. f  x  x4  x3  x2  Cx

D. f  x  x4  x3  x2  Cx  C '

Câu 22: Tìm họ nguyên hàm  sin2 xdx
x sin2x
C
2
4

A. 

B.

x sin2x

C
2
2

C.

x sin2x

C
2
4

D.

x sin2x

C
2
2

Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  2 x  3x là
A. 2x x 

3x2

C
2

B.

4
3x2
3
3x2
3x2
x x
 C C. x x 
 C D. 4x x 
C
3
2
2
2
2

21


Câu 24: Nguyên hàm của hàm số f  x  cos3x là:
1
3

B.  sin3x  C

A. 3sin3x  C

1
3

D. sin3x  C

C.  sin3x  C

Câu 25: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  2018x.
2018x
C
A.
log2018

2018x1
B.
C
x 1

2018x
C.
C
ln2018

D. 2018x.ln2018 C

Câu 26: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
B.  0dx  C

A.  exdx  ex  C

C.

1

 x dx  ln x  C

D.  dx  x  C

Câu 27: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x  x2. Giá trị của biểu
thức F ' 4 là
A. 2

B. 4

Câu 28: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y 
2

1

A.   x  1 2 dx 
C.

1

  x  1 2

 x  1 3

dx 

C

1
C
x 1

C. 8

D. 16

1

 x  1 2
1

1

B.

  x  1 2 dx  x  1 C

D.

  x  1 2 dx 

1

2

 x  1

3

C

Câu 29: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x3  x  1 là:
A.

x4 x3

C
4 2

B.

x4 x2

 x C
4 2

C. x4 

x3
 x C
2

D. 3x2  C

1

x

Câu 30: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  4x5   2018 là:
2
3

A. x6 ln x  2018x  C
C.

2 6
x  ln x  2018x  C
3

4
B. 20x 

D.

1
x2

C

4 6
x  ln x  2018x  C
6

Câu 31: Nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  x  2x là
2x
C

ln2

B. F  x 

x2
 2x ln2  C
2

x2
 2x  C
2

D. F  x 

x2 2x

C
2 ln2

A. F  x  1
C. F  x 

Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  sin5x  2 là
22


1
5

1

5

B.  cos5x  2x  C

A. 5cos5x  C

C. cos2x  2x  C D. cos5x  2x  C

Câu 33: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  cos2x.
1
2

A.  cos2xdx  2sin2x  C

B.  cos2xdx   sin2x  C

C.  cos2xdx  sin2x  C

D.  cos2xdx  sin2x  C

1
2

Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  2cos2x là
A.  sin2x  C

B. 2sin2x  C

C. sin2x  C

Câu 35: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x 
1
2

A. ln 2x  3  C

B.

1
ln 2x  3  C
2

D. 2sin2x  C

1
là:
2x  3

C. ln 2x  3  C

D.

1
ln 2x  3  C
ln2

Câu 36: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  sin2x.
A.  sin2xdx  
C.  sin2xdx 

cos2x
C
2

B.  sin2xdx   cos2x  C

cos2x
C
2

D.  sin2xdx  2cos2x C

Câu 37: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  cos x?
B. y  cot x

A. y tanx
Câu 38: Tìm
A. 

1
2

x

dx 

D. y  sinx

C. y sinx

1

 x2 dx.

1
C
x

B.

1

1

 x2 dx   x  C

C.

1

1

 x2 dx  2x  C

D.

1

2

 x2 dx  ln x

C

Câu 39: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  x  cos x.
A.  f  x dx 
C.



x2
 sinx C
2

f  x dx  xsin x  cosx  C

B.
D.

 f  x dx  1 sinx C


x2
f  x dx 
 sinx C
2

Câu 40: Họ nguyên hàm của hàm số y  cos3x là
A.

sin3x
C
3

B. 

sin3x
C
3

C. sin3x  C

D.  sin3x  C

Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  5x4  2 là
A. x5  2x  C

B.

1 5
x  2x  C
5

C. 10x  C

D. x5  2
23