PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
1










(DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011)

Gi tng: www.Mathvn.com













Bm sn. 16.03.2011

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
2

PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG PHN

I. Công thc tích phân tng phn:

Cho hai hàm s
( ), ( )

u x v x
liên tc và có đo hàm trên đon [a; b]. Ta có
   
' '
' ' ' '
uv u v uv uv dx u vdx uv dx
    
 
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv
     
  

b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
     
   
.
Ta có công thc:
 
1
b b
b
a
a a

udv uv vdu 
 

Công thc (1) còn đc vit di dng:
   
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
b b b
b
a
a a a
f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx  
 
 
  

II. Phng pháp gii toán:
Bài toán: S dng CT.TPTP xác đnh: I =

b
a
dxxf .)(

Phng pháp chung:
Cách 1:
Bc 1: Bin đi TP v dng: I =

b
a
dxxf .)(

=

b
a
dxxfxf .)().(
21

Bc 2: t:









v
du
dxxfdv
xfu
)(
)(
2
1
(Chn
0
C

)

Bc 3: Khi đó: I =
 

b
a
b
a
b
a
vduuvudv . (công thc (1))
Chú ý:
Vic đt
( ), ( )
u f x dv g x dx
 
(hoc ngc li) sao cho d tìm nguyên hàm
( )
v x
và vi phân
'
( )
du u x dx
 không quá phc tp. Hn na, tích phân
b
a
vdu

phi đn gin hn tích phân
b
a

udv


Cách 2:
Phân tích
'
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx

 
và s dng trc tip công thc (2)

- Nhn dng:
 s dng tích phân tng phn thì du hiu thng gp đó chính là tích ca hai loi hàm
s khác nhau (đôi khi là tích ca cùng mt loi hàm)

-Ý ngha:
Phng pháp TPTP nhm đa tích phân phc tp v tích phân đn gin hoc đ kh bt hàm
s di du tích phân (cui cùng ch còn li 1 loi hàm s di du tích phân)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
3


Chú ý:

- ôi khi tính TPTP mà cha có mt dng c th ta phi dùng các công thc đi s, lng giác hoc kt
hp vi phng pháp bin đi s thì mi xut hin các dng c th
Ví d 1: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau
4
0
1 cos 2
x
I dx
x





Gii:
Nhn xét:
Tích phân này nu đ nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nhng nu ta s dng công thc nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
     thì ly nguyên hàm ca đc ngay
Ta đc
4
2
0
1
2
cos
x

I dx
x




t
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 






Khi đó

4
0
1 1 1 1
tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 8 2 8 4
0 0
I x x xdx x

 
 
     


Chú ý:
- Ta có th s dng công thc (2) nh sau
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx x
x
  
 

 
 
       
 
 
  

- ng quên
1
2
trc du tích phân nhé
Ví d 2: (HDB – D 2003) Tính tích phân sau
2
1
3
0
x
I x e dx



Gii:
Ta có
2 2
1 1
3 2
0 0
x x
I x e dx x e xdx
 

 

t
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
    

i cn
0 0
1 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
1 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2 2 2
t t t t

e
I te dt te e dt e
     
 
(s dng công thc 2)
Chú ý:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
4

- D nhiên ta không cn bin đi s mà làm trc tip. Ta có
 
2 2
1 1
3 2 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
 
 
. n đây ta có th
s dng công thc (1) hoc công thc (2) tuy là ngn hn nhng đ phc tp cao hn nên tôi không đa ra, bn
đc t tìm hiu nhé
Ví d 3: (HTCKT – 1998) Tính tích phân sau
 
4

2
0
2cos 1
I x x dx

 


Gii:
Nhn xét:
Nu đ nguyên nh th mà tính thì qu tht nan gii. S dng công thc h bc
 
 
4 4 4
2
0 0 0
2cos 1 2 1 cos 2 1 cos 2
I x x dx x dx x xdx
  
      
 
  

t
sin 2
cos 2
2
du dx
u x
x

dv xdx
v






 






Khi đó
4
0
sin 2 1 cos2 1 2
. sin 2
4 4
2 2 8 4 8 4 8
0 0
x x
I x xdx

 
  

      




- ôi khi tính TPTP ta phi tính đn 2 hay 3 ln TPTP
Ví d:
(H – D 2007) Tính tích phân sau
4
3 2
1
5 1
ln
32
e
e
I x xdx

 


Gii:
t
2
4
3
2ln
ln
4
dx
du x
u x

x
x
dv x
v





 

 








Khi đó
4 4
2 3
1
1
1 1
ln . ln .
1
4 2 4 2
e

e
x e
I x x x dx I
   


Tính
3
1
1
ln .
e
I x x dx



t
3 4
ln
4
dx
du
u x
x
dv x
x
v








 







Khi đó
4 4 4
3 4
1
1
1 1 3 1
ln .
1 1
4 4 4 16 16
e
e e
x e e
I x x dx x

    


Vy

4 4 4 4
1
1 1 3 1 5 1
.
4 2 4 2 16 32
e e e e
I I
 
    
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
5

- ôi khi tính TPTP ta còn gp trng hp lp li tích phân ban đu (tích phân luân hi) hoc gp mt
tích phân mà làm trit tiêu mt tích phân
Ví d 1:
(TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln
e
x
I dx
x



Gii:

t
2
ln
2ln
ln
dx
u x
du x
x
dx
dv
v x
x

 

 

 

 




Khi đó
2
2
1
ln

ln .ln 2 1 2
1
e
e
x
I x x dx I
x
   


n đây ta coi nh mt phng trình bc nht theo I ta đc
1
3
I


Chú ý:
- ng nhiên ta có th làm bng phng pháp bin đi s
t ln
dx
t x dt
x
   . i cn
1
1 0
x e t
x t
 
 


 
 
 

Khi đó
1
3
2
0
1
1
0
3 3
t
I t dt
  


Hoc: a vào vi phân nh sau
 
2 3
2
1 1
ln ln 1
ln ln
1
3 3
e e
e
x x

I dx xd x
x
   
 

-  tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln
t
t
e x
t x
e dt dx



 




sau đó mi TPTP
Ví d 2: Tính tích phân sau
4
2
0
(sin cos 1)
(1 cos )
x
e x x
I dx
x


 




Gii:
4 4 4
1 2
2 2
0 0 0
(sin cos 1) sin
1 cos
(1 cos ) (1 cos )
x x x
e x x e e x
I dx dx dx I I
x
x x
  
 
    

 
  

Tính
4
2
2

0
sin
(1 cos )
x
e x
I dx
x





t
 
2
sin
1
1 cos
1 cos
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
v
x
x








 


 





Khi đó
4
4
2 1
0
1
4
1 cos 1 cos 2
2
0
1
2
x x
e e e
I dx I
x x




    
 



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
6

Vy
4
2
1
2
2
1
2
e
I I

  


Chú ý:
Nu nh ta tính đng thi

1 2
và
I I
thì cng ra nhng va mt công mà li dài nên ta chn tính
1
I
hoc
2
I
đ
làm trit tiêu đi
2
I
hoc
1
I
…Tùy vào tng bài đ ta chn (kinh nghim thôi)

- Thông thng ta s dng CT (1) vì nó d nhìn hn là CT (2)


MT S DNG C TH

Dng 1:
Tính tích phân
   
n
I P x Q x dx





vi


n
P x
là mt đa thc bc n và
 
2 2
1 1
; ;sin ;cos ; ,
cos sin
x x
x x
x
Q e
x
x
a

t


 
n
P x
Q x dx
u
dv







(Nu


n
P x
có bc n thì ta phi tính tích phân tng phn n ln (mi ln


n
P x
s gim 1
bc))
c bit:
- Khi




ln ;ln ;log ;ln
n
m
x x x f x
Q x 
 

 

t


 
n
Q x
P x dx
u
dv






(nu


ln
n
Q x x
 ta phi tính n ln tích phân)
- Khi











sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log
a a
x xQ x
x x

t


 
n
Q x
P x dx
u
dv






(thng thì ngi ta chn





1;
k
n
P x Q x x
 
cho đn gin)
Chú ý:
Trong dng này chúng ta s gp tích phân luân hi (Sau khi tính tích phân ln th hai s tr v tích phân
ban đu)



Loi 1: Khi
 
2 2
1 1
;
cos sin
Q x
x x


Bài tp gii mu:

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
7

Bài 1: Tính tích phân sau
3
2
4
sin
xdx
I
x





Gii:
t
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x







 
 





Áp dng công thc tính tích phân tng phn
 
3 3
2
4 4
9 4 3
1 1 3
3 3
cot cot . ln sin ln
3 36 2 2
sin
3
4 4
xdx
I x x xdx x
x
 
 
 


 


        
 

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
3 3
2
4 4
cot
sin
xdx
I xd x
x
 
 
  
 

Bài 2: Tính tích phân sau
3
2
0
cos
x
I dx
x




Gii:
t
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 






Áp dng công thc tính tích phân tng phn:
 
3 3 34
2
0 0 0 0
cos

3 sin 3
tan tan
3
3 cos 3 cos
cos
0
3 3
ln cos ln 2
3
3 3
0
d x
x x
I dx x x xdx dx
x x
x
x
  

 

 
      
   
   

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
3 3
2

0 0
tan
cos
x
I dx xd x
x
 
 
 


Bài tp t gii có hng dn:

Bài 1:
(HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau
1
2
0
sin
cos
x x
I dx
x




www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:

D: 01694 013 498
8

HD:
t
 
2
sin
1 cos
1
tan
cos
u x x
du x dx
dv dx
v x
x
 

 

 

 







Hoc
- Tách thành tng hai tích phân
1 2
3 3 3
2 2 2
0 0 0
sin sin
cos cos cos
I I
x x xdx x
I dx dx
x x x
  

  
  
 

Tính
1
I
bng TPTP và tính
2
I
bng đi bin s
- S dng trc tip công thc (2) ta có
   
1 1
2

0 0
sin
sin tan
cos
x x
I dx x x d x
x

  
 

Bài 2: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau:
4
0
1
ln 2
1 cos2 8 4
x
I dx
x


  



HD:
S dng công thc nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos

x x x
    
Khi đó
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x



. t
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x







 






Hoc: S dng trc tip công thc (2)
Ta có
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ) ln ln 2
4 4
2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx
x
  
 
 
 
       
 
 
  

Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:
 
1
2
0
tan tan1 ln cos1 0,5
I x xdx   


HD:
Phân tích
1 1
2
0 0
cos
x
I dx xdx
x
 
 

t
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x

dv
x






 






Chú ý: Công thc
2
2
1
tan 1
cos
x
x
 

Bài 4: Tính tích phân sau:
2
0
1 sin 2
xdx

I
x





HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
9

Bin đi
2
1 sin 2 1 cos 2 2cos
2 4
x x x
 
   
     
   
   
ri mi TPTP

Loi 2: Khi


sin ;cos

Q x x x


Chú ý: i vi dng này ta có th s dng phng pháp h s bt đnh
Nu bc ca


P x
bng hoc ln hn 3 ta nên gii theo phng pháp sau:
Bc 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos
I p x xdx A x x B x x C
 
   

, (1)
(A(x) và B(x) cùng bc vi


P x
)
Bc 2: Ly đo hàm hai v ca (1) :





( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos
p x x A x B x A x B x
 
   

S dng phng pháp h s bt đnh tìm đc A(x) và B(x)
Bc 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) ri kt lun.
(Có th áp dng cách này cho các dng cos
ax
e bxdx

; sin
ax
e bxdx

)

Bài tp gii mu:

Bài 1:
Tính tích phân sau
1
2 2
0
sin .
I x x dx




Gii:
 
1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0 0

1 cos2 1 1
sin . cos 2
2 2 2
x
I x xdx x dx x dx x x dx

 

   
   

S dng công thc (2) ta đc
2
1
1
3
1
2 2
0
0 0
0
1 1 1
(sin2 ) sin2 2 in2 .
6 4 6 4
x
x d x x x xs x dx

  
 
    

 

2
1
1
2 2 2 3 2
0
0 0
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cos2 ) cos2 cos2 sin(2 )
0
6 6 6 6
4 4 4 8 4
xd x x x xdx x

   
    
 
         
 
 
 

Bài 2:
(HDB – 2006) Tính tích phân sau
2
0
( 1)sin 2
I x xdx


 


Gii:
t
1
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x


 



 

 




Khi đó
2

2 2
0 0
0
1 1 1 1 1
cos 2 cos 2 sin 2 1
2 2 4 2 2 4 4
x
I x xdx x

 
 

 
        
 
 


Hoc: S dng trc tip công thc (2)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
10

   
2 2
0 0
1
( 1)sin 2 1 cos 2

2
I x xdx x d x
 
    
 

Bài 3: Tính tích phân sau
2
4
0
cos
I xdx




Gii:
t
2
2
t x x t dx tdt
    
i cn
2
0 0,
4 2
x t x t
 
     

S dng công thc (2)
Khi đó
 
2 2 2
0 0 0
2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2
2
0
I t tdt td t t t xdx
  


     
  

Vy
2
I

 
.
Bài 4: Tính nguyên hàm
3 2
( 2 3)sin
I x x x xdx
   


Gii:
3 2 3 2 3 2

( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sin
I x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C
            

(1)
Ly đo hàm hai v ca (1):
3 2 3 2
3 2
( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos
[ (3 ' ) (2 ' ) ' ]si
n (2)
x x x x a x a b x b c x c d x
ax a b x b c x c d x
          
     

ng nht đng thc trên ta đc h :
' 0
3 ' 0
2 ' 0
' 0
a
a b
b c
c d



 



 


 

và
' 1
3 ' 1
2 ' 2
' 3
a
a b
b c
c d
 


  


 


   


Gii h trên tìm đc :
1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4
a b c d a b c d

          

Vy
3 2 2
( 4 1)cos (3 2 4)sin
I x x x x x x x C
        
.
Hoc:
t


2
3 2
3 2 2
2 3
sin
cos
du x x dx
u x x x
dv xdx
v x

  

   


 


 




Hoc: S dng trc tip công thc (2)


3 2 3 2
( 2 3)sin ( 2 3) cos
I x x x xdx x x x d x
        
 


Bài tp t gii có hng dn:

Bài 2:
(HM C – 1998) Tính nguyên hàm sau:
3
sin 2 cos 6 sin 12 cos 12sin
I x xdx x x x x x x x C
      


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
11

HD:
t
t x
 sau đó mi TPTP
Bài 3: (HAN – D 1999) Tính tích phân sau:
2 2 2
0
sin 4
I x xdx


  


HD:
H bc và s dng TPTP
Ta có
 
2 2 2
0 0 0
1 1
1 cos 2 cos 2
2 2
I x x dx x dx x xdx
  
 
   
 
 

  

Bài 4: (HBKHN – 1994) Tính tích phân sau:
2
2
2
0
1
cos
16 4 2
I x xdx

 
   


HD:
H bc và s dng TPTP
Ta có
2 2
0 0
1
.cos 2
2
I xdx x xdx
 
 
 
 
 

 
 
 
. Tính
2
1
0
.cos 2
I x xdx




t
sin 2
cos 2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v






 







Bài 5: (TN – 2005) Tính tích phân sau:
2
2
0
( sin )cos
I x x xdx

 


HD:
t


2
( sin )
1 s
co
in 2
sin
s
x x
xdx
du x dx
u

dv
v x
 





 







Chú ý:
 đn gin ta nên tách thành tng hai tích phân
1 2
2 2 2
2 2
0 0 0
( sin ) cos cos sin cos
I I
I x x xdx x xdx x xdx
  
   
  
 

Tính
1
I
bng TPTP và tính
2
I
bng đi bin s
Bài 7: (DB H – D 2004) Tính tích phân sau:
2
2
4
0
sin 4
2
I x xdx


  


HD:
t
1
2
2
t x dt dx dx tdt
x
    
sau đó mi TPTP
Bài 8: (HKTHN – 2001) Tính tích phân sau:

3
3
3
0
sin 3 6
I xdx


 
 
 
  


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
12

HD:
t
 
2
3
2
3
1
3
3

t x dt dx dx t dt
x
     sau đó mi TPTP
Bài 9: (HDB – D 2005 – HC – 1998 ) Tính tích phân sau:
   
2
2
2
2
0
1 1 5
2 1 cos 1
8 4 2 8 8
I x xdx

 

       


HD:
S dng công thc h bc
2
1 cos 2
cos
2
x
x



Khi đó
     
1 2
2 2 2
0 0 0
1 cos2 1 1
2 1 2 1 2 1 cos 2
2 2 2
I I
x
I x dx x dx x xdx
  

 
     
 
 
  
 

Tính
1
I
bng cách s dng trc tip bng nguyên hàm và tích
2
I
bng TPTP

t
 

2
sin
2 1
c 2
2
2
os
x
xd
d
x
u dx
u
x
v
dv



 

 








Bài 10: (H M - 1997) Tính tích phân sau
 
2
2
0
1 sin
I x xdx

 


HD:
t


2
1 2
co
sin
s
x
xd
u
du xdx
v x
v xd

 




 
 






Hoc: S dng trc tip công thc (2)
   
 
2 2
2 2
0 0
1 sin 1 cos
I x xdx x d x
 
    
 

Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau
 
2
2
0
2
sin cos
2 3
I x x xdx



   


HD:
t


2
1 sin 2
sin
cos
sin
du x dx
u x x
dv xdx
v xdx
 


 


 






Chú ý:
- Tách thành tng hai tích phân thì đn gin hn
- Có th s dng trc tip công thc (2)

Bài 12: Tính các tích phân sau
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
13

a. (HDB – 2007)
2
2
2
0
cos 2
4
I x x dx


  


b.
 
3 2
4
2

1
1
sin
384 32 4
I x x dx

 
   


Bài 13: Tính tích phân sau:
2
1
1
4
cos 1 2
I xdx



   


HD:
t
1
t x
 
sau đó mi TPTP
Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau

a.


2
ln cos
cos
x
I dx
x


s:


ln cos tan tan
I x x x x C
   

b.


cos ln
I x dx


s:
   
cos ln sin ln
2
x

I x x C
  
 
 

c.
2
sin
I x xdx


s:
2
1 1
sin 2 cos 2
4 4 8
x
I x x x C
   
(HL_1999)

Loi 3: Khi


,
x x
Q x e a


Bài tp gii mu:

Bài 1:
Tính tích phân sau
1
0
x
I xe dx


.
Gii:
Cách 1:
t
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 

Khi đó
1 1
1 1
0 0
0 0
( 1) 1
x x x x

I xe dx xe e dx x e
     
 
.
Cách 2:
 
1 1 1
/ 1 1
/
0 0
0 0 0
( 1) 1
x x x x x
I xe dx x e dx xe x e dx x e
      
  
.
Bài 2: Tính tích phân sau
1
0
x
I xe dx


.
Gii:
t
1
2
2

t x dt dx dx tdt
x
    

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
14

Khi đó
 
1 1 1
1 1
2 2
0 0
0 0 0
2 2 2 2 4 2 2
t t t t t
I t e dt t e te dt e te e dt e
   
       
   
   
  

Bài 3: Tính tích phân sau
1
2
0

x
I x e dx



Gii:
t
2
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx






 






Khi đó
1 1 1

2 2
0 0 0
1
2 2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx
    
  

Tip tc tính:
1
0
x
J xe dx



t
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 

Khi đó

1 1
0 0
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx
   
 

Vy
2
I e
 

Bài 4: Tính tích phân sau
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx




Gii:
Ta có
2 2
sin sin

0 0
sin 2 2 sin cos
x x
I e xdx e x xdx
 
 
 

t
sin cos
t x dt xdx
  

i cn
0
0
1
2
x
t
t
x







 







Khi đó
1
2
sin
0 0
2 sin cos 2
x t
I e x xdx te dt

 
 

t
t t
u t du dt
dv e dt v e
 
 

 
 
 

Khi đó

1 1
0 0
1 1 1
1
0 0 0
t t t t t
I te dt te e dt te e
     
 

Vy
2
I


Bài 5: Tính tích phân sau
3
1
5
0
x
I x e dx



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
15

Gii:
t
3 2 2
3
3
dt
t x dt x dx x dx
    

i cn
0 0
1 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0

3 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e
      
  

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
3 3
1 1
5 3 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
 
 

Bài 6: (TN – 2008) Tính tích phân sau
 
1
0
1
x
I x e dx
 


Gii:
Cách 1:
t
 
1
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e x






 
 
 




Khi đó
   
1
2
0
1 1

3
1
0 0
2 2
x x x
x
I x e x e x dx e e
 
        
 
 


Cách 2:

 
1 1 1
0 0 0
1
x x
J
I x e dx xe dx xdx
   
  


Tính
1
0
x

J xe dx


đt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 
… bn đc t gii
Cách 3:
Làm nhanh
   
1 1
0 0
1
x x
I x e dx xd e x
   
 
…bn đc t gii
Bài 8: (H – D 2006) Tính tích phân sau
 
1
2
0

2
x
I x e dx
 


Gii:
t
 
2
2
1
2
x
x
du dx
x
e
u
e
v
dv


 
 

 









Khi đó
1 1
1
2 2
2 2 2
0 0
0
1 1 1 5 3
( 2) 1
2 2 2 4 4
x x x
e e
I x e e dx e

       


Hoc: S dng trc tip công thc (2)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
16

   
 
1 1
2 2
0 0
1
2 2
2
x x
I x e dx x d e
   
 

Bài 13: Tính tích phân sau
ln 2
0
.
x
J x e dx




Gii:
t
x x
dx v e
u x du dx
dv e
 

 

 
 
 
 


Khi đó
 
ln 2
ln 2
ln 2
0
0
0
1 ln 2
. .
2
x x x x
J x e e dx x e e
   

      



Bài tp t gii có hng dn:

Bài 1:

Tính tích phân sau:
3
2
2
3
0
3. 5
sin5
34
x
e
I e xdx



 


HD:
t
3
3
5cos5
sin 5
3
x
x
du xdx
u x
e

dv e dx
v






 






Bài 2: (HHH HCM – 1999) Tính tích phân sau:




2 2
2 1 2 3 4
x x
I x x e x x e C
      


HD:
t
2

2 1
x
u x x
dv e dx

  






Bài 3: (HC – 1998) Tính tích phân sau:
 
1
2
2
2
0
5 1
1
4
x
e
I x e dx

  


HD: (TPTP 2 ln)

t
 


2
2
2
1
2
2
1
x
x
du x dx
x
e
e dx
u
v
dv
  



 

 








Bài 4: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau:
2
2
0
x
I xe dx




HD:
t
2 2
2
x x
u du dx
dv v
x
e dx e
 
 
 
 

 
 

  
 

Bài 5: (HKT HN – 1999) Tính tích phân sau:
 
2
2
sin 3
0
1
.sin .cos 1
2
x
I e x xdx e

  


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
17

HD:
Phân tích
 
2 2
2 2
sin 3 sin 2

0 0
.sin .cos .sin cos 1 sin
x x
I e x xdx e x x x dx
 
  
 

t
2
sin sin cos
2
dt
t x x xdx
   sau đó mi TPTP
Bài 6: Tính tích phân sau:
2
3
3 1
2
0
1
x
x e
I dx
x





HD:
Phân tích
2 2
3 3
3 1 2 1
2 2
0 0
1 1
x x
x e x e
I dx xdx
x x
 
 
 
 

t
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  




sau đó mi TPTP
Bài 7: (HDB – B 2002) Tính tích phân sau:
 
0
2
3
2
1
3 4
1
7
4
x
I x e x dx
e

    


HD:
t
 
 
2
4
3
3
2

3
1
2 4
1
x
x
du
x
dx
u x
e
dv e dx
v x




 

 

 


 




Chú ý:  đn gin ta có th tách làm tng hai tích phân nh sau

 
1 2
0 0 0
2 2
3 3
1 1 1
1 1
x x
I I
I x e x dx xe dx x x dx
  
     
  
 

Tính
1
I
bng TPTP và
2
I
bng bin đi s
Bài 8: (HQGHCM – 1996) Tính các tích phân sau:
a.
1
0
1
x
I xe dx
 



b.
 
1
2
0
2
x
I x e dx e
  



Loi 4: Khi




ln ;ln ;log ;ln
n
m
Q x x x x f x

 
 


Bài tp gii mu:

Bài 1:
Tính tích phân sau
1
2
0
ln( 1)
( 2)
x
I dx
x





Gii:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
18

t
 
2
1
ln( 1)
1
1
2

2
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

 



 


 

 
 





.
Khi đó
 
  

1
1
0
1
1 1
ln 1 ln 2
0
2 1 2 3
dx
I x I
x x x
 
      
 
  
 


Tính
1 1 1
1
0 0 0
1
1 4
ln ln
0
( 1)( 2) 1 2 2 3
dx dx dx x
I
x x x x x


    
    
  
.
Vy I = –
1
3
ln2 + ln
4
3

Chú ý:
-  cho đn gin ta có th bin đi s
2
2
x t
t x
dx dt
 

  



sau đó mi TPTP
Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
1 1
2

0 0
ln( 1) 1
ln 1
2
( 2)
x
I dx x d
x
x

 
   
 


 
 

Bài 2: Tính tích phân
1
ln
e
I x xdx



Gii:
Cách 1:
t
2

ln
2
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v







 







Khi đó
2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1

2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
I x xdx x xdx

     
 
.
Cách 2:
/
2 2 2
1 1 1
1
1 1
ln ln . ln
2 2 2 4
e
e e e
x x e
I x xdx x dx x xdx
 

    
 
 
  
.
Vy
2

1
4
e
I

 .
Bài 3: Tính tích phân sau
2
5
1
ln
x
I dx
x



Gii:
t
5
4
ln
1
1
4
dx
u x
du
x
dv dx

v
x
x





 

 

 
 




www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
19

Khi đó
2
2
2 2
5 4 5 4
1

1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 64 4 256
4 4
x x dx
I dx
x x x x

 
        
 
 
 

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
2 2
5 4
1 1
ln 1 1
ln
4
x
I dx xd
x x
 
  
 
 
 

Bài 4: Tính tích phân sau
 
1
2
0
ln 1
I x x dx
 


Gii:
Cách 1:
t
2
1 2
t x dt xdx
   
i cn
0 1
1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
1 2
2
0 1
1
ln 1 ln
2
I x x dx tdt
  
 

t
ln
dx
u t
du
t
dv dt
v t






 







Áp dng công thc tính tích phân tng phn
2 2
1 1
2
ln ln 2ln 2 1
1
tdt t t dt
   
 

Vy
 
1
2
0
1
ln 1 ln 2
2
I x x dx
   


Cách 2:
t
 
2
2

2
2
1
l
2
n 1
x
du dx
u x
x
x
v d
x
d
v
x





 


 









….bn đc t gii
Bài 5: Tính tích phân sau
2
1
(2 1)ln
I x xdx
 


Gii:
t
2
ln
(2 1)
dx
du
u x
x
dv x dx
v x x






 

 


 

.
Khi đó
2 2
2 2
2 2 2
1 1
1 1
1
( ) ln 2ln 2 ( 1) 2ln 2 2ln 2
2 2
x x x
I x x x dx x dx x
x
 

          
 
 
 
.
Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
2 2
2
1 1

(2 1)ln ln
I x xdx xd x x
   
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
20

Bài 6: (HH – D 1998) Tính tích phân sau
2
2
1
ln
x
I dx
x



Gii:
t
2
1
2
ln
1
1

dx
du
u x
x
dx
dv x dx
x
v
x
x







 

 
 
 
  




.
Khi đó
2 2 2

2
2
1 1 1
2
1 1 1 1
ln ( ). ln 2 ln 2
1
2 2
dx dx
I x x dx
x x x x

         
  

1
2 2
1 1 1 1 1
ln 2 ln 2 ln 2
1 1
2 1 2 2 2
x
x

        

.
Hoc: S dng trc tip công thc (2)
2
2

2
1
1
ln 1
ln
x
I dx xd
x
x
 
  
 
 
 

Bài 7: Tìm nguyên hàm .
1
)1ln(
2
2
dx
x
xxx
I




Gii:
Vit I di dng

.
1
)1ln(
2
2
dx
x
x
xxI



t
 
























1
1
.
1
1
1
1
1ln
2
22
2
2
2
xv
x
dx
dx
xx
x
x
du
dx
x

x
dv
xxu

Khi đó




2 2 2 2
1ln 1 1ln 1 .
I x x x dx x x x x C
          


Bài 8: (H – D 2010) Tính tích phân sau
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
 
 
 
 


Gii:
Ta có

1 2
1 1 1
3 1
2 ln 2 ln 3 ln .
e e e
I I
I x xdx x xdx x dx
x x
 
   
 
 
  
 

Tính
1
1
ln
e
I x xdx


. t
2
ln
2
dx
du
u x

x
dv xdx
x
v







 







www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
21

Khi đó
2 2 2 2
1
1
1 1

1 1 1
ln
2 2 2 2 2 4
e e
e
x e x e
I x xdx
   

    
   
   


Tính I
2
: t t = lnx 
dx
dt
x

i cn khi x = 1 ; t = 0 và khi x = e ; t = 1.
Khi đó
1
1
2
2
0
0
1

2 2
t
I tdt
 
  
 
 

. Vy
2
2
2
e
I


Chú ý: Có th đt luôn nh sau
 
2
ln
3
2
3ln
dx
u x
du
x
dv x dx
v x x dx
x





 

 
 
 
 
 
 
 



Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
2
1 1
3
2 ln ln 3ln
e e
I x xdx xd x x
x
 
   
 
 
 

Bài 9: (H – B 2009) Tính tích phân sau
 
3
2
1
3 ln
1
x
I dx
x





HD:
t
 
2
3 ln
1
1
1
dx
u
du
x
dx

dv
v
x
x
x





 



 

 
 





Khi đó
3 3
1 1
3 3
3 ln 3 ln3 3 1 1 3 ln 3 3 ln3 3
ln ln
1 1

1 ( 1) 4 2 1 4 1 4 4 2
x dx x
I dx
x x x x x x
    
 
            
 
 
   
 
 
 

Cách 2:
Phân tích
     
2 2 2
3 ln 3 ln
1 1 1
x x
x x x

 
  

Khi đó
3 3 3
2 2 2
1 1 1

3 ln ln
3
( 1) ( 1) ( 1)
x dx x
I dx dx
x x x

  
  
  

Tính
3
3
1
2
1
1
3 3
3
( 1) 4
( 1)
dx
I
x
x

  





Và
3
2
2
1
ln
( 1)
x
I dx
x




t
2
ln
1
( 1)
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v
x

x





 

 


 







www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
22

Khi đó
3
3 3 3
2
1

1 1 1
ln ln 3 ln 3 3
ln
1 ( 1) 4 1 4 2
x dx dx dx
I
x x x x x
         
  
  

Vy
3
(1 ln3) ln 2
4
I   

Bài tp t gii có hng dn:

Bài 1:
(TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln 1
3
e
x
I dx
x
 



HD:
t
2
ln
2ln
ln
dx
u x
du x
x
dv
v x
dx
x

 

 

 

 




Chú ý:
 tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln

t
t
e x
t x
e dt dx



 




sau đó mi TPTP
Bài 2: (H – D 2008) Tính tích phân sau:
2
3
1
ln
x
I
x



HD:
t
3
2
ln

1
2
dx
u x
du
d
x
dv
v
x
x
x





 

 

 
 




Khi đó
2
2

1
2 3
1
1 1 3 2ln 2
ln
16
2 2
I x dx
x x

   


Bài 3: (H – D 2004) Tính tích phân sau:
 
3
2
2
ln 3ln3 2
I x x dx
   


HD:
t
 
2
2
2 1
ln

x
u
du
x x
dx
x x
dv dx
v x





 


 








Chú ý:
Nu phân tích







2
ln ln 1 ln ln 1
x x x x x x
     
thì tính toán s đn gin nhng dài hn
Bài 4: (HDB – B 2005) Tính tích phân sau:
3
2
1
2 1
ln
9
e
e
I x xdx

 


HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
23

t

2 3
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v







 







Bài 5: (HDB – 2005) Tính tích phân sau:
2 3
1
2 1
ln
9 9

e
I x xdx e
  


t
2
ln
u x
dv x dx






Bài 6: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau:
 
1
2
0
3 3
ln 1 . ln3
4 12
I x x x dx

    


HD:

t
 
2
2
2
2
ln 1
2 1
2
1
x
du dx
u
x
dv x d
x
x
v
x x
x





 

 

 




 




Bài 7: (H NN – 1997) Tính tích phân sau:
 
2
1
ln
0
1
e
e
x
I dx
x
 



HD:
t
 
2
1
ln

1
1
dx
u
du
x
dx
dv
v
x
x
x





 

 

 
 






Bài 8: (H HP – 1997) Tính tích phân sau:

 
2
1
1 ln
e
I x dx
 


HD:
t
 
 
2
1 ln
2 1 ln
dx
du x
u
x
dv dx
v x
x


 

 

 









Chú ý: Nu khai trin
 
2
2
1 ln 1 2ln ln
x x x
    thì tính toán s đn gin nhng dài hn
Bài 9: (HHH TPHCM – 2000) Tính tích phân sau:


2
2
1
ln 1
3
ln3 3ln 2
2
x
I dx
x

   



HD:
t
 
2
ln 1
1
1
dx
u
du
x
dx
v
x
x
d
v
x

 


 


 

 

 





www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
24

Bài 10: Tính tích phân sau:
 
 
3
2
0
1
ln 5 14ln14 5ln5 9
2
I x x dx
    


HD:
t


2

ln 5
u x
dv xdx

 






Hoc: t
2
5
t x
 
sau đó mi TPTP
Bài 11: Tính tích phân sau:
3 3
1
1 2 11
ln
9 18
e
x e
I x dx
x
 

  

 
 


HD:
Phân tích
3
2
1 1
x
x
x x

 
sau đó đt
2
ln
1
u x
dv x dx
x




 
 
 

 



Bài 12: Tính tích phân sau:
   
2
0
2 7 ln 1 24ln 3 14
J x x dx
    


HD:
t


 
ln 1
2 7
u x
dv x dx
 


 



Bài 13: Tính tích phân sau:
2
2

2
0
1
ln
1
x
I x dx
x






HD:
t
 
3
2
2
2
2
4
1
2
1
ln
1
x
du dx

x
x
u
x
dv xdx
x
v






 

 

 






 đn gin ta có th bin đi s trc bng cách đt
 
2
2
2
2

1
1
1
2
1
1
t
x
t
x
x
xd
t
t
x













 


sau đó mi TPTP
Bài 14: (PVBCTT – 1998) Tính tích phân sau:
 
3
2
1
5 1
.ln
27 27
e
e
I x x dx  


HD: (TPTP 2 ln)
t
2
3
2
2ln
ln
3
dx
du x
u x
x
x
dv x
v
x d






 

 








Chú ý:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
25

 tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln
t
t
e x
t x
e dx dx




 




sau đó mi TPTP
Bài 15: (HH – 1998) Tính tích phân sau:
 
2
2
1
ln 1
l ln 2
2
x
I dx
x
  


HD:
t
2
ln
u x
dx
dv
x









Bài 16: (HDB – 2006) Tính tích phân sau:
 
2
1
5
2 ln ln 4
4
I x x dx   


HD:
t
 
ln
2
u x
dv x




 




Bài 17: (HCT – D 1997) Tính tích phân sau:
1
2
0
1 10 1
ln 1 3ln3 ln 2
3 6
I x dx
x
 
    
 
 


HD:
t
2
1
ln 1u
x
dv x dx

 
 

 

 





Bài 18: (HL HCM– 2001) Tính tích phân sau:
10
2
2
1
50 99
lg 50
ln10
4ln 10
I x xdx   


HD: TPTP 2 ln
t
2
lg
u x
dv xdx






Chú ý:
 đn gin ta s dng công thc đi loga nh sau
2
2
ln
lg
ln10
x
x 

Loi 5: Khi










sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log
a a
Q x x x x x


Bài 1: Tính tích phân sau
2
2
1

cos (ln )
e
I x dx



.
Gii:
Ta có
 
2 2
2
1 1
1 1 1
1 cos(2ln ) ( 1) cos(2ln )
2 2 2
e e
I x dx e x dx
 

    
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com