DÃY SỐ - CẤP SỐ

Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.MATHVN.com Trang 1








I. Phng phỏp qui np toỏn hc

chng minh mnh cha bin A(n) l mt mnh ỳng vi mi giỏ tr nguyờn dng
n, ta thc hin nh sau:
ã
Bc 1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1.
ã
Bc 2: Gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng n = k tu ý (k

1), chng minh rng
mnh ỳng vi n = k + 1.
Chỳ ý: Nu phi chng minh mnh A(n) l ỳng vi vi mi s nguyờn dng n

p thỡ:
+ bc 1, ta phi kim tra mnh ỳng vi n = p;
+ bc 2, ta gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng bt kỡ n = k

p v phi chng
minh mnh ỳng vi n = k + 1.

Baứi 1: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú:
a) 1 + 2 + + n =
( 1)
2
n n
+
b)
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2
6
n n n
n
+ +
+ + + =
c)
2
3 3 3
( 1)
1 2
2
n n
n
ộ ự
+
+ + + =
ờ ỳ
ở ỷ
d)
2

1.4 2.7 (3 1) ( 1)
n n n n
+ + + + = +

e)
( 1)( 2)
1.2 2.3 ( 1)
3
n n n
n n
+ +
+ + + + = f)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =
+ +

Baứi 2: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú:
a)
2 2 1
n
n
> +
(n 3) b)
2
2 2 5
n

n
+
> +

c)
2 2
1 1 1
1 2
2
n
n
+ + + < -
(n 2) d)
1 3 2 1 1
.
2 4 2
2 1
n
n
n
-
<
+

e)
1 1
1 2
2
n
n

+ + + < f)
1 1 1 13

1 2 2 24
n n n
+ + + >
+ +
(n > 1)
Baứi 3: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú:
a)
3
11
n n
+ chia ht cho 6. b)
3 2
3 5
n n n
+ +
chia ht cho 3.
c)
2 2 2 1
7.2 3
n n
- -
+
chia ht cho 5. d)
3
2
n n
+

chia ht cho 3.
e)
2 1 2
3 2
n n
+ +
+
chia ht cho 7. f)
13 1
n
-
chia ht cho 6.

Baứi 4: Chng minh rng s ng chộo ca mt a giỏc li n cnh l
( 3)
2
n n
-
.
Baứi 5: Dóy s (a
n
) c cho nh sau:
1 1
2, 2
n n
a a a
+
= = +
vi n = 1, 2,
Chng minh rng vi mi n ẻ N* ta cú:

1
2cos
2
n
n
a
+
=
p
.




CHNG III
D

Y S




C

P S



www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 2 www.MATHVN.com

II. Dóy s

1. Dóy s

: *
( )
u
n u n
đ
Ơ Ă
a
Dng khai trin: (u
n
) = u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Dóy s tng, dóy s gim

ã
(u
n
) l dóy s tng

u
n+1
> u

n
vi
"
n
ẻ
N*.


u
n+1
u
n
> 0 vi
"
n
ẻ
N*


1
1
n
n
u
u
+
>
vi
"
n

ẻ
N* ( u
n
> 0).

ã
(u
n
) l dóy s gim

u
n+1
< u
n
vi
"
n
ẻ
N*.


u
n+1
u
n
< 0 vi
"
n
ẻ
N*

1
1
n
n
u
u
+
<
vi
"
n
ẻ
N* (u
n
> 0).
3. Dóy s b chn

ã
(u
n
) l dóy s b chn trờn


$
M
ẻ
R: u
n

Ê
M,
"
n
ẻ
N*.

ã
(u
n
) l dóy s b chn di


$
m
ẻ
R: u
n


m,
"
n
ẻ
N*.

ã
(u
n

) l dóy s b chn


$
m, M
ẻ
R: m
Ê
u
n

Ê
M,
"
n
ẻ
N*.

Baứi 1: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u
n
) cho bi:
a)
2
2
2 1
1
n
n
u
n

-
=
+
b)
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
+ -
=
+
c)
2
1
1
n
n
u
n
-
=
+

d)
1
3
n

n
u
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ
e)
2
cos
n
u n n
= + f)
( 1)!
2
n
n
n
u
+
=
Baứi 2: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u
n
) cho bi:
a)
( )
1 1
1
2, 1
3
n n

u u u
+
= = +
b)
1 2 2 1
15, 9,
n n n
u u u u u
+ +
= = = -
c)
1 1
2
2
0,
1
n
n
u u
u
+
= =
+
d)
1 2 2 1
1, 2, 2
n n n
u u u u u
+ +
= = - = -

Baứi 3: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u
n
), d oỏn cụng thc s hng tng quỏt u
n
v chng
minh cụng thc ú bng qui np:
a)
1 1
1, 2 3
n n
u u u
+
= = +
b)
2
1 1
3, 1
n n
u u u
+
= = + c)
1 1
3, 2
n n
u u u
+
= =
d)
1 1
1, 2 1

n n
u u u
+
= - = +
e)
1 1
1, 7
n n
u u u
+
= = +
e)
1
5
4
u
=
,
2
1
1
+
=
+
n
n
u
u
S: a)
n

n
u
1
2 3
+
= -
b)
n
u n
8
= +
c)
n
n
u
1
3.2
-
=
d)
n
u
1
= -
e)
n
u n
7 6
= -
f)

n
n
n
u
1
1
2 1
2
+
+
+
=
Baứi 4: Xột tớnh tng, gim ca cỏc dóy s (u
n
) cho bi:
a)
2 1
3 2
n
n
u
n
+
=
-
b)
4 1
4 5
n
n

n
u
-
=
+
c)
( 1)
2
n
n
u
n
-
=
+

d)
2
2
1
1
n
n n
u
n
+ +
=
+
e)
2

cos
n
u n n
= + f)
2
n
n
u
n
-
=
Baứi 5: Xột tớnh b chn trờn, b chn di, b chn ca cỏc dóy s (u
n
) cho bi:
a)
2 3
2
n
n
u
n
+
=
+
b)
1
( 1)
n
u
n n

=
+
c)
2
4
n
u n
= +

Trn S Tùng www.MATHVN.com
www.MATHVN.com Trang 3

d)
2
2
2
1
n
n n
u
n n
+
=
+ +
e)
2
2
n
n
u

n n n
=
+ +
f)
( 1) cos
2
n
n
u
n
= -
p



III. Cp s cng

1. nh ngha: (u
n
) là cp s cng
Û
u
n+1
= u
n
+ d,
"
n
Î
N* (d: công sai)

2. S hng tng quát:
1
( 1)
n
u u n d
= + - vi n
³
2
3. Tính cht các s hng:
1 1
2
k k
k
u u
u
- +
+
= vi k
³
2
4. Tng n s hng đu tiên:
1
1 2
( )

2
n
n n
n u u
S u u u

+
= + + + = =
1
2 ( 1)
2
n u n d
é ù
+ -
ë û


Baøi 1: Trong các dãy s (u
n
) di đây, dãy s nào là cp s cng, khi đó cho bit s hng đu và
công sai ca nó:
a) u
n
= 3n – 7 b)
3 2
5
n
n
u
+
= c)
2
n
u n
=

d)
3
n
n
u
=
e)
7 3
2
n
n
u
-
= f)
1
2
n
n
u
= -

Baøi 2: Tìm s hng đu và công sai ca cp s cng, bit:
a)
1 5 3
1 6
10
17
u u u
u u
ì

+ - =
í
+ =
î
b)
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
ì
+ - =
í
+ =
î
c)
3
14
15
18
u
u
ì
= -
í
=
î

d)

7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
ì
- =
í
=
î
e)
7 15
2 2
4 12
60
1170
u u
u u
ì
+ =
ï
í
+ =
ï
î
f)
1 3 5
1 2 3
12

8
u u u
u u u
ì
+ + = -
í
=
î

Baøi 3: a) Gia các s 7 và 35 hãy đt thêm 6 s na đ đc mt cp s cng.
b) Gia các s 4 và 67 hãy đt thêm 20 s na đ đc mt cp s cng.
Baøi 4: a) Tìm 3 s hng liên tip ca mt cp s cng, bit tng ca chúng là 27 và tng các
bình phng ca chúng là 293.
b) Tìm 4 s hng liên tip ca mt cp s cng, bit tng ca chúng bng 22 và tng các
bình phng ca chúng bng 66.
Baøi 5: a) Ba góc ca mt tam giác vuông lp thành mt cp s cng. Tìm s đo các góc đó.
b) S đo các góc ca mt đa giác li có 9 cnh lp thành mt cp s cng có công sai d = 3
0
.
Tìm s đo ca các góc đó.
c) S đo các góc ca mt t giác li lp thành mt cp s cng và góc ln nht gp 5 ln góc
nh nht. Tìm s đo các góc đó.
Baøi 6: Chng minh rng nu 3 s a, b, c lp thành mt cp s cng thì các s x, y, z cng lp
thành mt cp s cng, vi:
a)
2 2 2 2 2 2
; ;
x b bc c y c ca a z a ab b
= + + = + + = + +

b)
2 2 2
; ;
x a bc y b ca z c ab
= - = - = -

Baøi 7: Tìm x đ 3 s a, b, c lp thành mt cp s cng, vi:
a)
2
10 3 ; 2 3; 7 4
a x b x c x
= - = + = -
b)
2
1; 3 2; 1
a x b x c x
= + = - = -

Baøi 8: Tìm các nghim s ca phng trình:
3 2
15 71 105 0
x x x
- + - =
, bit rng các nghim s
phân bit và to thành mt cp s cng.
Baøi 9: Ngi ta trng 3003 cây theo mt hình tam giác nh sau: hàng th nht có 1 cây, hàng
th hai có 2 cây, hàng th ba có 3 cây, …. Hi có bao nhiêu hàng?
www.MATHVN.com Trn S Tùng
Trang 4 www.MATHVN.com
IV. Cp s nhân

1. nh ngha: (u
n
) là cp s nhân
Û
u
n+1
= u
n
.q vi n
Î
N* (q: công bi)
2. S hng tng quát:
1
1
.
n
n
u u q
-
= vi n
³
2
3. Tính cht các s hng:
2
1 1
.
k k k
u u u

- +
= vi k
³
2
4. Tng n s hng đu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
u q
S vôùi q
q
é
= =
ê
-
ê
= ¹
ê
-
ë


Baøi 1: Tìm s hng đu và công bi ca cp s nhân, bit:

a)
4 2
5 3
72
144
u u
u u
ì
- =
í
- =
î
b)
1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
ì
- + =
í
+ =
î
c)
3 5
2 6
90
240
u u

u u
ì
+ =
í
- =
î

d)
1 2 3
1 2 3
14
. . 64
u u u
u u u
ì
+ + =
í
=
î
e)
1 2 3
1 2 3
21
1 1 1 7
12
u u u
u u u
ì
+ + =
ï

í
+ + =
ï
î
f)
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
30
340
u u u u
u u u u
ì
+ + + =
ï
í
+ + + =
ï
î

Baøi 2: a) Gia các s 160 và 5 hãy chèn vào 4 s na đ to thành mt cp s nhân.
b) Gia các s 243 và 1 hãy đt thêm 4 s na đ to thành mt cp s nhân.
Baøi 3: Tìm 3 s hng liên tip ca mt cp s nhân bit tng ca chúng là 19 và tích là 216.
Baøi 4: a) Tìm s hng đu ca mt cp s nhân, bit rng công bi là 3, tng s các s hng là
728 và s hng cui là 486.
b) Tìm công bi ca mt cp s nhân có s hng đu là 7, s hng cui là 448 và tng s các
s hng là 889.
Baøi 5: a) Tìm 4 góc ca mt t giác, bit rng các góc đó lp thành mt cp s nhân và góc cui
gp 9 ln góc th hai.
b)  dài các cnh ca DABC lp thành mt cp s nhân. Chng minh rng DABC có hai

góc không quá 60
0
.
Baøi 6: Tìm bn s hng liên tip ca mt cp s nhân, trong đó s hng th hai nh hn s hng
th nht 35, còn s hng th ba ln hn s hng th t 560.
Baøi 7: S s hng ca mt cp s nhân là mt s chn. Tng tt c các s hng ca nó ln gp 3
ln tng các s hng có ch s l. Xác đnh công bi ca cp s đó.
Baøi 8: Tìm 4 s hng đu ca mt cp s nhân, bit rng tng 3 s hng đu là
148
9
, đng thi,
theo th t, chúng là s hng th nht, th t và th tám ca mt cp s cng.
Baøi 9: Tìm 3 s hng đu ca mt cp s nhân, bit rng khi tng s th hai thêm 2 thì các s đó
to thành mt cp s cng, còn nu sau đó tng s cui thêm 9 thì chúng li lp thành mt
cp s nhân.
Baøi 10: Tìm 4 s trong đó ba s đu là ba s hng k tip ca mt cp s nhân, còn ba s sau là
ba s hng k tip ca mt cp s cng; tng hai s đu và cui bng 32, tng hai s gia
bng 24.
Baøi 11: Tìm các s dng a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lp thành mt cp s cng và (b + 1)
2
,
ab + 5, (a + 1)
2
lp thành mt cp s nhân.
Baøi 12: Chng minh rng nu 3 s
2 1 2
, ,
y x y y z
- -
lp thành mt cp s cng thì 3 s x, y, z lp

thành mt cp s nhân.


Trn S Tùng www.MATHVN.com
www.MATHVN.com Trang 5

BÀI TP ÔN CHNG III

Bài 1: Tính tng :
S n n
1.2 2.3 ( 1)
= + + + +

Bài 2: Dãy s
( )
n
u
xác đnh bi công thc:
1
1
1
3 1
n n
u
u u
+
=
ì
ï
í

= -
ï
î
vi
1
n
³
.
Chng minh dãy s tng bng phng pháp quy np
Bài 3: Cho dãy s )(
n
u xác đnh bi:
4
5
1
=u và
2
1
1
+
=
+
n
n
u
u vi mi 1
³
n .
a) Bng phng pháp quy np, chng minh vi mi 1
³

n ta có 1
2
1
1
+=
+n
n
u .
b) Chng minh rng dãy s )(
n
u là dãy gim và b chn.
Bài 4: Xét tính tng, gim ca dãy s
( )
n
u
vi:
a)
n
n
u
2
-
= b)
3 1
4
n
n
n
n
u

+
=
Bài 5: Cho dãy s (u
n
) xác đnh bi u
1
=2 và
1
2
n n
u u
+
= +
vi mi
1
n
³
. Chng minh u
n
= 2
vi mi
1
n
³
. Có nhn xét gì v dãy s này ?
Bài 6: Cp s cng:
a) Tìm các nghim ca phng trình: x x x
3 2
–15 71 –105 0
+ =

. Bit rng các nghim này
to thành mt cp s cng.
b) Cho mt cp s cng bit tng ba s hng đu tiên bng –6 và tng các bình phng ca
chúng bng 30. Hãy tìm cp s cng đó.
c) Cho phng trình x m x m
4 2 2
–(3 4) ( 1) 0
+ + + =
. nh m d phng trình có bn
nghim phân bit lp thành mt cp s cng.
d) Cho các s a, b, c tho mãn
1 1 1
, ,
a b a c b c
+ + +
to thành mt cp s cng. Chng minh
rng
a b c
2 2 2
, ,
cng to thành mt cp s cng
e) Nu s th p, th q và th r ca mt cp s cng ln lt là a, b, c. Chng minh rng:

q r a r p b p q c
( – ) ( – ) ( – ) 0
+ + =

f) Cho bit tng n s hng ca mt cp s cng là
n
S n n

(5 –3)
= . Tìm s hng th p ca
cp s cng đó.
g) Cho hai cp s cng ln lt có tng n s hng là
n
S n
7 1
= +
và
n
T n
4 7
= +
. Tìm t s
11
11
u
v
ca 2 s hng th 11 ca hai cp s đó.
Bài 7: Cp s nhân:
a) Tìm s hng đu và công sai ca cp s nhân, bit s hng th hai là 16 và tng ba s
hng đu bng 56.
b) Mt cp s nhân
( )
n
u
có 5 s hng, bit công bi
1
4
q

=
và
1 4
24
u u
+ =
. Tìm các s hng
ca cp s nhân này.
Bài 8: Cp s cng – Cp s nhân:
a) Các s
x y x y x y
6 , 5 2 , 8
+ + +
, theo th t đó lp thành cp s cng. ng thi
1, 2, 3
- + -
x y x y
theo th t đó lp thành cp s nhân. Hãy tìm x và y.
b) Cho 3 s có tng bng 28 lp thành cp s nhân. Tìm cp s nhân đó bit nu s th nht
gim 4 thì ta đc 3 s lp thành cp s cng.
c) Tìm hai s
a
và
b
bit ba s:
1
,
8
a
+

,
b
theo th t lp thành mt cp s cng và ba s
1, ,
a b
theo th t lp thành mt cp s nhân.
www.MATHVN.com Trn S Tùng
Trang 6 www.MATHVN.com
d) Ba s có tng là 217 có th coi là ba s hng liên tip ca mt CSN, hoc là các s hng
th 2, th 9 và th 44 ca mt CSC. Hi phi ly bao nhiêu s hng đu ca CSC đ tng
ca chúng là 280?
e) Mt CSC và mt CSN có s hng th nht bng 5, s hng th hai ca CSC ln hn s
hng th 2 ca CSN là 10, còn các s hng th 3 bng nhau. Tìm các cp s y?
Bài 9: Cho dãy s (u
n
) vi
2 5
2 5
n n
n
n n
u
-
=
+
. Tính
10
1 2 10
1 1 1

1 1 1
S
u u u
= + + +
- - -
.
Bài 10: Cho dãy s (u
n
), kí hiu tng n s hng đu tiên ca nó là S
n
, đc xác đnh
2
37
2
nn
S
n
-
= .
a) Tính u
1
, u
2
, u
3
.
b) Chng minh dãy s trên là mt cp s cng và xác đnh s hng tng quát ca nó.