Dãy số cấp số cộng cấp số nhân ( LT )

Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện
như sau:
•
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
•
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k
≥
1), chứng minh rằng mệnh đề đúng
với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n
≥
p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
≥
p và phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh một tính chất số học bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số
7 1
n
-
chia hết cho 6.
Ví dụ 2: Giả sử a là nghiệm của phương trình
2
3 1 0x x- + =
. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì

1
n
n
n
b a
a
= +
luôn là số nguyên.
Dạng2: Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
a)
2
1.2 2.5 (3 1) ( 1)n n n n+ + + - = +
b)
2
1 1 1 1 2
1 1 1 1
4 9 16 ( 1) 2( 1)
n
n n
æ ö
æ öæ öæ ö
+
÷
ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
- - - - ÷=
÷ ÷ ÷
ç

ç ç ç
÷
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ç
÷
ç
è øè øè ø
+ +
è ø
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 ta đều có:
1 1 1 1 13

1 2 3 2 24n n n n
+ + + + >
+ + +
Ví dụ 2: Cho n số dương
1 2
, ( 2)
n
x x x n ³
. Chứng minh bất đẳng thức:
1 2 1 2
(1 )(1 ) (1 ) 1
n n
x x x x x x+ + + > + + + +
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Chứng minh một tính chất số học, đại số bằng quy nạp
Bài 1: chứng minh các đẳng thức sau (

*
n ¥Î
)
a)
11 1
n
-
chia hết cho 10
b)
3 3
3 26 27
n
n
+
- -
chia hết cho 169.
….Lưu hành nội bộ….
1
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số
5 4 3
5 4 3 30
n n n n
+ + -
là số nguyên.
Bài 3: Cho số thực a sao cho
1
a
a
+

là số nguyên. Chứng minh rằng
1
n
n
a
a
+
là số nguyên với mọi số
nguyên dương n.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n luôn có ít nhất một số nguyên dương k sao cho
2 2
k
n n< <
.
Bài 5: Chứng minh số tập con của tập có n phần thử (
1n ³
) là
2
n
Bài 6: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh (
4n ³
) là
( 3)
2
n n-
Bài 7: Giả sử
cosj
là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
cosnj
là số hữu tỉ.

Bài 8: Với mỗi số tự nhiện
1n ³
, ta đặt
2 2 2
n
a = + + +
( n dấu căn). Chứng minh rằng
1
2.cos
2
n
n
a
+
p
=
Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a)
2
1.4 2.7 3.10 (3 1) ( 1)n n n n+ + + + + = +
b)
2
1 3 5 (2 1)n n+ + + + - =
c)
2
2 2 2 2
(4 1)
1 3 5 (2 1)
3

n n
n
-
+ + + + - =
d)
1 1 1 1

1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1) 3 1
n
n n n
+ + + + =
- + +
e)
(3 1)
1 4 7 (3 2)
2
n n
n
-
+ + + + - =
f)
1
3 1
1 3 9 3
2
n
n-
-
+ + + + =
Bài 10: Giả sử

1x ¹
. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có:
1
1
2 4
2 2
1 2 4 2 1 2

1 1 1 1
1 1
n n
n n
x x x x
x x
+
+
+ + + + = +
+ + + -
+ -
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi
1n ³
, ta có:
a)
2
4 4 4 4 2 1
1 1 1 1
1 9 25 (2 1) 2 1
n
n n
æ ö

æ öæ öæ ö
+
÷
ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
- - - - ÷=-
÷ ÷ ÷
ç
ç ç ç
÷
÷ ÷ ÷
ç ç ç
ç
÷
ç
è øè øè ø
- -
è ø
b)
1
2 2 2 1 2
( 1) ( 1)
1 2 3 ( 1) .
2
n
n
n n
n
-

-
- +
- + - + - =
c)
1 1 1 1 1 1
1
2 3 2 1 1 2 2n n n n
- + - + = + + +
+ + +
d)
1.3.5 (2 1).2 ( 1)( 2) 2
n
n n n n- = + +
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
2 n (n+1)
sin sin sin 2sin sin
3 3 3 6 6
np p p p p
+ + + =
….Lưu hành nội bộ….
2
C lờn, tiờu dit ht ng ny thụi ! <3 i gii ụi, Tt l õy Fighting!
Bi 13: Chng minh cỏc bt ng thc sau bng quy np vi n>1;
a)
1
1.2.3 2
n
n
-
>

vi n>2
b)
1 1 1 1
1
2 3
n
n n
+
+ + + + >
Bi 14: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n>1, ta u cú
2
4 (2 )!
1 ( !)
n
n
n n
<
+
Bi 15: Chng mnh rng vi mi s nguyờn dng n, ta cú:
2 2 2
1x x x x+ + + < +
( n du cn )
Đ2. DY S
A. Lí THUYT
1. nh ngha: Mt hm s u xỏc nh trờn tp
*
Ơ
cỏc s nguyờn dng gi l dóy s vụ hn.
Kớ hiu
*

( )
:
n u n
u đ
a
Ơ Ă
. t
( )
n
u u n=
. Ta gi
n
u
l s hng tng quỏt ( hay s hng th n) ca dóy s.
2. Cỏch cho mt dóy s:
Cho bng cụng thc ca s hng tng quỏt
Cho bng cụng thc truy hi
Cho bng cỏch mụ t
3. Dóy s tng, dóy s gim:
(u
n
) l dóy s tng u
n+1
> u
n
vi n N*.
u
n+1
u
n

> 0 vi n N*
1
1
n
n
u
u
+
>
vi n N* ( u
n
> 0).
(u
n
) l dóy s gim u
n+1
< u
n
vi n N*.
u
n+1
u
n
< 0 vi n N*
1
1
n
n
u
u

+
<
vi n N* (u
n
> 0).
4. Dóy s b chn:
(u
n
) l dóy s b chn trờn M R: u
n
M, n N*.
(u
n
) l dóy s b chn di m R: u
n
m, n N*.
(u
n
) l dóy s b chn m, M R: m u
n
M, n N*.
B. CC DNG TON
Dng 1: Tỡm cỏc s hng ca dóy s
Vớ d 1: Cho dóy (u
n
) c xỏc nh bi
2
2 5
1
n

n
u
n
+
=
+
a) Hóy vit 7 s hng u tiờn ca dóy s.
b) Tỡm sao cho
1
5
n
u =
Vớ d 2: Cho dóy (u
n
) c xỏc nh bi
ỡ
ù
ù
ù
ù
-
ù
=
ớ
ù
-
ù
ù
ù
+

ù
ợ
2
khi n chaỹn
1
1
khi n leỷ
1
n
n
n
u
n
n
.Lu hnh ni b.
3
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
b) Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều khác nhau.s
Ví dụ 3: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
p
= cos
3
n
n
u
a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị.

Dạng2: Tìm công thức tổng quát của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số
( )
n
a
được xác định bởi
+
ì
=
ï
ï
í
ï
= ³
ï
î
1
1
5
3 , 1
n n
a
a a n
. Chứng minh rằng
-
=
1
5.3
n
n

a
với mọi n.
Ví dụ 2: Cho dãy số
( )
n
a
được xác định bởi
+
ì
=
ï
ï
í
ï
= + ³
ï
î
1
1
1
3 2 , 1
n n
a
a a n n
. Chứng minh rằng
-
=- - +
1
1 5
.3

2 2
n
n
a n
Ví dụ 3:
Dạng 3: Xét tính tăng giảm của dãy số
Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số (u
n
) cho bởi các công thức sau:
a)
+
=
+
1
2 1
n
n
u
n
b)
-
=
+
2 1
1
n
n
u
n
c)

-
=
3
n
n
u
n
d)
-
=
+
3 1
3 1
n
n
n
u
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của dãy số (u
n
):
a)
-
=
+
( 1)
1
n
n
u
n

b)
=
+
5
( 1)
n
n
u
n n

Dạng 4: Xét tính bị chặn của dãy số
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số sau bị chặn:
a)
+
=
+
2 1
1
n
n
u
n
b)
+
+ -
=
+
1
3 ( 1)
2 2

n
n
n
u
n
c)
+
=
+
2
2 3
2 1
n
n
u
n
d)
=
+ + -2 1 2 1
n
n
u
n n
Ví dụ 2: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn của các dãy số sau đây:
a)
2sin( 1) -3cos
n
u n n= +
b)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)
n
u
n n
= + + +
+
c)
2
2 1
n
u n= +
d)
1 1 1

( 1) ( 2) ( )
n
u
n n n n n n n
= + + +
+ + +
Dạng 5: Một số tính chất khác của dãy số
….Lưu hành nội bộ….
4
C lờn, tiờu dit ht ng ny thụi ! <3 i gii ụi, Tt l õy Fighting!
Vớ d 1: Cho dóy s
( )
n
u
tha món

1 2
1
2
1, 2
1
n
n
n
u u
u
u
u
+
+
ỡ
= =
ù
ù
ù
ù
+
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ợ
a) Tớnh 5 s hng u tiờn ca dóy s.
b) Chng minh rng dóy

( )
n
u
tun hon, ngha l tn ti s t nhiờn p khỏc 0 sao cho
,
n p n
u u n
+
= "
Vớ d 2: Cho dóy s
( )
n
u
xỏc nh bi cụng thc
3 4
n
n
u
n
-
=
.
a) Tỡm nhng giỏ tr nguyờn dng ca n sao cho
3 0,1 ; 3 0,01
n n
u u- < - <
b) Chng minh rng vi mi s
0e>
luụn cú s N sao cho vi n>N thỡ
3

n
u - <e
Vớ d 3:
C. BI TP T LUYN
Xỏc nh s hng ca dóy s
Bi 1: Vit 5 s hng u tiờn ca cỏc dóy s sau:
a)
2 1
n
n
u
n
=
+
b)
2
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
- +
=
+
c)
2
sin
3

n
n
u
p
=
d)
3
2 1
n
n
u
n
=
-
Bi 2: Cho dóy s (u
n
) c xỏc nh bi
1 2
1 1
2, 2 2
2 7
n n n
u u
u u u
+ -
ỡ
ù
=- =
ù
ớ

ù
= -
ù
ợ
a) Hóy vit 7 s hng u tiờn ca dóy s
b) Chng minh dóy s cú vụ s s hng õm cng nh vụ s s hng dng
Bi 3: Cho dóy s (u
n
) c xỏc nh bi
ỡ
+
ù
ù
ù
ù
+
ù
=
ớ
ù
ù
ù
ù
ù
ợ
2 1
khi n chaỹn
1
2 -1
khi n leỷ

n
n
n
u
n
n
a) Vit 6 s hng u tiờn ca dóy s;
b) Tỡm m, n ( m khỏc n) sao cho
=
m n
u u
Bi 4: Cho dóy s (u
n
) c xỏc nh bi cụng thc
p
=sin
6
n
n
u
a) Hóy vit 6 s hng u tiờn ca dóy s;
b) Chng minh rng tp cỏc giỏ tr ca dóy s l hu hn.
Bi 5: Cho dóy s (a
n
) c xỏc nh nh sau: a
n
l s d ca s t nhiờn n trong phộp chia cho 6.
a) Tớnh 7 s hng u tiờn ca dóy s;
b) Chng minh rng nu
=

m n
a a
thỡ
- 6Mm n
Xỏc nh cụng thc dóy s
Bi 6: xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s (u
n
) trong mi trng hp sau
a)
+
= =
1 1
2, 4
n n
u u u
b)
+
=- = +
1 1
3, 2
n n
u u u
Bi 7: Cho dóy s (u
n
) c xỏc nh bi
+
ỡ
=
ù
ù

ù
ớ
-
ù
= +
ù
ù
ợ
1
1
1
1 2
3 , 1
2
n n
u
n
u u n
. Chng minh rng:
-
= +
1
1
(3 )
2
n
n
u n
.Lu hnh ni b.
5

Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
Xét tính đơn điệu của dãy số
Bài 8: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a)
= -
2
3
n
u n n
b)
-
=
+
3 1
2
n
n
u
n
c)
+
=
+
2
2 1
n
n
u
n
d)

-
=
+
( 1) .
2 1
n
n
n
u
n
Bài 9: xét tính đơn điệu của các dãy số cho bởi các công thức sau:
a)
+
=
+ +
1
1
n
n
u
n n
b)
=
+2
n
n
u
n
c)
= >

-
2
1
( 1)
1
n
u n
n
d)
= -
2
1 1
n
u
n n
Bài 10: Xét tính tăng giảm của các dãy số cho bởi các công thức sau”
a)
= + + + +
2 2 2
1 1 1
1
2 3
n
u
n
b)
= + + +
+
1 1 1

2 2 1 3
n
u
n n n
c)
+
= + + +
+ + +
1 2

2 3 2 2
n
n n n
u
n n n
d)
æ öæ ö æ ö
+
÷ ÷ ÷
ç ç ç
=
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è øè ø è ø
+ + +
1 2

2 3 2 2

n
n n n
u
n n n
Bài 11: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức
+
ì
=-
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
1
1
4
2
n n
u
u u
a) Chứng minh rằng dãy số (u
n
) tăng;
b) Xác định n sao cho
>10000
n

u
Bài 12: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức
+
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
1
1
3
5
3
n n
u
u u
a) Chứng minh rằng dãy số (u
n
) tăng;
b) Xác định n sao cho
>10000
n

u
Bài 13: Cho các dãy số (u
n
) và (v
n
) được xác định bởi các công thức:
= + +
2
1
1
2
n
u n n
,
= - +
2
3
1
2
n
v n n
. Xét tính tăng giảm của các dãy số trên.
Xét tính bị chặn của dãy số
Bài 14: Xét tính bị chặn của các dãy số:
a)
= + -2
n
u n n
b)
+

=
+ +
1
2
n
n
u
n n
c)
= + -2 ( 1)
n
n
u
d)
= +
1 1
cos
n
u
n n
Bài 15: Xét tính bị chặn của dãy số
a)
=
3
1
n
u
n
b)
+

=
+
2
3
1
n
n n
u
n
c)
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
ç
è ø
1
2
n
n
u
d)
=
-
2
2 1
n

n
n
u
Bài 16: Xét tính bị chặn của các dãy số
a)
-
=
3
3
3 2
n
n
u
n
b)
p p
= +sin cos
3 4
n
n n
u
c)
= +
8
2
n
u n
n
d)
= + + + +

+ +
1 1 1 1

2 2 1 2 2 3
n
u
n n n n
….Lưu hành nội bộ….
6
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
Bài 17: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi
+
ì
=
ï
ï
ï
í
+
ï
=
ï
ï
î
1
1

1
2 3
3
n
n
u
u
u
a) Chứng minh rằng dãy số (u
n
) bị chặn trên bởi số 3;
b) Chứng minh rằng dãy số (u
n
) tăng.
Một số tính chất khác của dãy số
Bài 18: Cho dãy số (a
n
) được xác định bởi :
+
= = + +
1
1,
m n m n
a a a a mn
với mọi m, n
a) Chứng minh rằng
+
= + +
1
1

n n
a a n
b) Chứng minh rằng
+
=
( 1)
2
n
n n
a
với mọi n.
Bài 19: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi
+
ì
ï
ï
=
ï
í
ï
ï
= + +
ï
î
1
1
1
2007

( 1) 1
n n
u
nu n u
a) Chứng minh rằng
= + - 1
2007
n
n
u n
b) Tính tổng
+ + +
1 2

n
u u u
Bài 20: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi
= 3 3 3 3
n
u
( n dấu căn )
a) Chứng minh rằng
-
=
2
1
3
n n

u u
b) Chứng minh rằng
+
+
=
1
1
1 2.
3
.
n
n
n
u
u u u
với mọi
³ 1n
Bài 21: Cho dãy số
-
=
4 3
2
n
n
u
n
a) Chứng minh rằng dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên.
b) Xác định n sao cho

- <
1
2
1000
n
u
Bài 22: Cho dãy số (a
n
) được xác định bởi
+ +
ì
= =-
ï
ï
í
ï
= + =
ï
î
1 2
2 1
1, 7
5 6 , 1,2
n n n
a a
a a a n
. Chứng minh rằng
=- - -
1 13
.6 .( 1)

7 7
n n
n
a
§3. CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số cộng
⇔
u
n+1
= u
n
+ d,
∀
n
∈
N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d= + −
với n
≥
2
3. Tính chất các số hạng:
1 1
2

k k
k
u u
u
− +
+
=
với k
≥
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )

2
n
n n
n u u
S u u u
+
= + + + =
=
1
2 ( 1)
2
n u n d
 
+ −
 

….Lưu hành nội bộ….
7
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng 2, 5, 8, 11,… Hãy tính
1 10 10
, , ,a d a S
Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
) biết:
a)
7 15
27, 59= =u u
b)
9 2 13 6
5 , 2 5= = +u u u u
Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng trong mỗi trường hợp sau:
a)
12 18
34, 45= =S S
b)
16 21 10
152 2
, 3
3
= =S S S
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (u
n
) có tổng n số hạng đầu tiên là

2
3= +
n
S n n
a) Tính
10
S
b) Xác định số hạng đầu tiên u
1
, công sai d và số hạng thứ n của cấp số cộng đó.
Ví dụ 5: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng bình phương của các số đó bằng
14
9
.
Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
Ví dụ 6: Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn
4 8 12 16
16+ + + =u u u u
. Tính
1 2 19
+ + +u u u
.
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên n biết:
a)
2 5 8 3 1 155+ + + + - =n
b)
1 2 1
2007

- -
+ + + =
n n
n n n
Dạng2: Chứng minh một dãy số là cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi công thức
5 3= -
n
u n
. Chứng minh rằng dãy (u
n
) là cấp số cộng.
Ví dụ 2: Cho dãy số (a
n
) được xác định bởi
1 1
3 3, vôùi n 2
+ -
= - + ³
n n n
a a a
. Chứng minh rằng dãy số (b
n
)
xác định bởi
1
2
-

= -
n n n
b a a
là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu
cot,cot ,cotB C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
2 2 2
, ,a b c
cũng tạo thành cấp số cộng.
Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (a
n
). Chứng minh các hệ thức sau đây:
a)
1
( ),vôùi moïi n>k
2
- +
= +
n n k n k
a a a
b)
4 2 6
1
3
- =
n n n
S S S
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (a

n
). Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) 0- + - + - =
p q r
q r a r p a p q a
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (a
n
). Chứng minh rằng:
1 2 2 3 1 1
1 1 1 1

-
-
+ + + =
n n n
n
a a a a a a a a
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định các yếu tố của cấp số cộng
Bài 1: Cho cấp số cộng (u
n
) có
1
4, 3= =-u d
. Tính
10 10 20 20
, , ,u S u S
….Lưu hành nội bộ….
8
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!

Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng biết:
a)
6 11
16, 32= =u u
b)
3 7 6 12
20, 15+ = + =u u u u
c)
4 5 6 7 8
24, 12+ + = + =u u u u u
d)
12
2 3
6
19
, 0
7
= + =
u
u u
u
Bài 3: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng trong những trường hợp sau:
a)
5 10
10, 5= =u S
b)
5 20
24, 11= =-S S
c)
20 10 15 5

2 , 3= =S S S S
d)
20 10 5
5 3 2
= =
S S S
Bài 4: Một cấp số cộng (u
n
) có
1 2
3, 35=- =u u
.
a) Tìm công sai của cấp số cộng b) Tính
15 15
,u S
Bài 5: Một cấp só cộng (u
n
) có tổng n số hạng đầu tiên S
n
được cho bởi công thức
2
3 2= +
n
S n n
. Hãy xác
định số hạng tổng quát u
n
của cấp số cộng đó.
Bài 6:
a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 9 và tổng các bình phương của

chúng là 77.
b) Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của
chúng là 165.
Bài 7: Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng có tổng là 30 và tổng các nghịch đảo của chúng là
25
36
. Hãy tìm
4 số đó.
Bài 8: Năm số lập thành cấp số cộng, trong đó tổng của số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm bằng tổng số hạng
thứ hai và thứ tư. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Bài 9: Cho một cấp số cộng biết rằng
2
2
( )= ¹
n
m
S
n
m n
S
m
. Tính tỉ số
2007
1945
u
u
Bài 10: Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 29 và tổng tất cả các số hạng là 155.
Hãy tính công sai của cấp số cộng đó.
Bài 11: Tìm số tự nhiên n sao cho
a)

1 4 7 3 2 590+ + + + - =n
b)
(2 1) (2 2) 3 2265+ + + + + =n n n
Bài 12: Tính các tổng sau đây:
a)
2 4 6 2= + + + +S n
b)
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 1) (2 2) (2 3) 4 3 2 1= - - + - - - + + - + -S n n n n
Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
Bài 13: Cho cấp số cộng (a
n
). Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 1
vôùi k=1,2,3, n
- +
+ = +
n k n k
a a a a
b)
3 1 2
3 3
+ + +
+ = +
n n n n
S S S S
;
c)
3 4

2( )- =
n n n
S S S
Bài 14: Cho 3 số a,b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
2 2
2 2+ = +a bc c ab
b)
3 3 3
8 6- - =b a c abc
Bài 15: Cho cấp số cộng (a
n
) có các số hạng có các số hạng là số dương. Chứng minh rằng:
a)
1 3 3 5 2 1 2 1 2 4 2
1 1 1 1 1 1 1

2
- +
æ ö
÷
ç
÷
+ + + = + + +
ç
÷
ç
÷
÷
ç

+ + +
è ø
n n n
a a a a a a a a a
….Lưu hành nội bộ….
9
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
b)
1 2 2 3 1 1
1 1 1 1

-
-
+ + + =
+ + + +
n n n
n
a a a a a a a a
Chứng minh một dãy số là cấp số cộng
Bài 16: Chứng minh rằng các dãy số cho bởi các công thức sau đây là cấp số cộng. Tính tổng n số hạng đầu
tiên của mỗi cấp số cộng đó.
a)
4 3= +
n
u n
b)
3 2=- +
n
u n
Bài 17: Cho dãy số (a

n
) thỏa mãn hệ thức
1
1
3
( 1)
+
- + =
+
n n
a a
n n
với mọi
1³n
a) Chứng minh rằng dãy số
1
( 1)= - ³
n n
b a n
n
lập thành cấp số cộng.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (a
n
) biết a
1
=2.
§4. CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: (u
n

) là cấp số nhân
⇔
u
n+1
= u
n
.q với n
∈
N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
−
=
với n
≥
2
3. Tính chất các số hạng:
2
1 1
.
k k k
u u u
− +
=
với k

≥
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
u q
S vôù i q
q

= =

−

= ≠

−

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân 2, 6, 18, 54, 162… Tính
1 10 10
, , ,u q u S

Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u
n
) biết:
a)
7 10
5, 135=- =u u
b)
10 15 7
32 3, 16= =u u u
Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau:
a)
4 2
5 3
54
108
ì
ï
- =
ï
í
ï
- =
ï
î
u u
u u
b)
1 2 3
4 5 6
35

180
ì
ï
+ + =
ï
í
ï
+ + =
ï
î
u u u
u u u
Vi dụ 4: Cho a,b dương. Hãy thêm 5 số giữa hai số
vaø
b a
a b
để được cấp số nhân.
Ví dụ 5: Hãy tìm các số x,y sao cho x,y,12 lập thành cấp số nhân và x,y,9 lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 6: Tìm giá trị của x sao cho ba số
cos( ),sin ,cos( )
4 4
p p
- +x x x
lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 7: Tính các tổng sau:
….Lưu hành nội bộ….
10
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
a)
2

1 5 5 5= + + + +
n
S
b)
2 3
1 1 1 1
( 1)
2
2 2 2
=- + - + + -
n
n
T
c)
2 2006
1 2.3 3.3 2007.3= + + + +R
Ví dụ 8: Cho hai tổng
; ( 1)
2 4 2 4 8
2 2
= + + + + = - + - + + -
n
n n
n n
a a a b b b b
S a T b
. Tìm điều kiện của a và b
sao cho tòn tại n để
=
n n

S T
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi công thức
1
3
2
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
n
n
u
với mọi
*
Î ¥n
. Chứng minh rằng dãy (u
n
)
là một cấp số nhân.
Ví dụ 2: Cho dãy (a

n
) được xác định bởi
1 1
2, 3 4
+
= = +
n n
a a a
.
a) Chứng minh rằng dãy số (b
n
) được xác định bởi
1= +
n n
b a
là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tổng quát của a
n
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a) Nếu a,b,c lập thành một cấp số nhân thì ab,b
2
, cb cũng lập thành cấp số nhân.
b) Nếu 4 số dương a,b,c,d lập thành cấp số nhân thì 3 số
, ,ab bc cd
cũng lập thành cấp số nhân.
Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (a
n

). Chứng minh rằng:
1 1
. .
- +
=
n k n k
a a a a
với
* *
, ,£ £ ΠΥ ¥a k n k n
Ví dụ 2: Cho a,b,c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2
( )( )+ + - + = + +a b c a b c a b c
b)
2 2 2
4 4 8 ( 2 2 )+ - + = - -a c ab bc a b c
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Bài 1: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết:
a)
3 6
16, 128u u= =-
b)
2 4 6
3 5
91
30
u u u
u u

ì
ï
+ + =
ï
í
ï
+ =
ï
î
c)
1 3 5
1 7
85
425
u u u
u u
ì
ï
- + =-
ï
í
ï
+ =-
ï
î
d)
7 5 12
11, 80u u S- = =
Bài 2: Cho dãy số a,b,c lập thành cấp số nhân. Tìm a,b,c biết:
a)

3 3 3
64
584
abc
a b c
ì
ï
=
ï
í
ï
+ + =
ï
î
b)
1 1 1
14
7
108
a b c
ab bc ca
ì
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
í
ï

ï
+ + =-
ï
ï
ï
î
Bài 3:
a) Cho cấp số nhân a,b,c. Tìm a,b,c biết a<b<c, abc=216 và a+b+c=19
….Lưu hành nội bộ….
11
Cố lên, tiêu diệt hết đống này thôi ! <3 Ối giồi ôi, Tết là đây… Fighting!
b) Một cấp số nhân có công bội bằng
3
5
số hạng đầu và tổng của 4 số hạng đầu tiên bằng
102
125
. Tính S
10
.
Bài 4: Một cấp số nhân gồm 5 số hạng có tổng là 40 và tổng các nghịch đảo là 10. Hãy xác định cấp số nhân
đó.
Bài 5: Tìm hai số a và b sao cho
2 2
1, ,a b
là cấp số cộng và
2, 2, 3a b+ -
là cấp số nhân.
Bài 6: Tính các tổng sau đây:
a)

2 2 2
2
2
1 1 1
( 1, 0)
n
n
S x x x x x
x
x x
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= + + + + + + ¹ ± ¹
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
b)
2 3
2 3
n
T x x x nx= + + + +
Bài 7:
a) Ba số 3,x, y lập thanh cấp số nhân và ba số x,y,9 lập thành cấp số cộng. Hãy tính giá trị của x và y.
b) Tìm 3 số tự nhiên a,b,c biết rằng chúng vừa lập thành một cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân
theo thứ tự đó.

Bài 8: Cho tam giác ABC biết sinA, sinB, sinC theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân và
60
o
C A- =
. Tính
góc B.
Bài 9: Các số 3,4,5 có thể là các số hạng của một cấp số nhân được hay không?
Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
Bài 10: Cho cấp số nhân
1 2
, ,
n
a a a
với công bội q. Chứng minh rằng:
a)
. .
m n m k n k
a a a a
- +
=
với mọi m,n,k và m>k
b)
. .
m n
m n n m
S q S S q S+ = +
với mọi m, n.
Bài 11: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh các hệ thức:
a)
1 1 1

a b c ac
a b c
æ ö
÷
ç
÷
+ + = + +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
với
0abc ¹
b)
( )( )a b c a b c a b c+ + - + = + +
Bài 12: Cho 4 số a,b,c,d lập thành cấp số nhân. Chứng minh các hệ thức:
a)
2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )a b c b c d ab bc cd+ + + + = + +
b)
2
( )( )( )( ) ( )a b c b c d a b c b c d ab bc cd+ + + + - + - + = + +
Bài 13: Cho 5 số a,b,c,d,e lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )a c b d c e a e- + - + - = -
b)
2

( )( )( ) ( )a b c b c d c d e b c d+ + + + + + = + +
Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Bài 14: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi
1 1
1, 2 1
n n
u u u
+
= = +
với mọi
1n ³
.
a) Chứng minh rằng dãy số (v
n
) được xác định bởi
1
n n
v u= +
là một cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát của (u
n
).
Bài 15: Cho cấp số nhân
1 2
, ,
n
a a a
có công bội

1q ¹
. Chứng minh rằng các dãy số
1 2
1 1 1
, , , ,
n
a a a
và
2
3 4
1 2
, , , ,
n
n
a
a a
a a a
+
cũng là cấp số nhân và tính công bội của chúng.
….Lưu hành nội bộ….
12