BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1 HÌNH LỚP 11

Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
1
ÔN TẬP HÌNH CHƯƠNG 1 – LỚP 11 – PHÉP BIẾN HÌNH

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

(-3 ; 2 ), điểm A( 2 ; 1 ) và đường thẳng d có
phương trình 2x – y – 3 = 0.
1/ Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

.
2/ Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(2;-1) bán kính R=2.
1/ Viết phương trình đường tròn (I,2).
2/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (I,2) qua phép đối xứng trục Ox.
3/ Viết phương trình ảnh của đường tròn (I,2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên
tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Oy.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

(-2 ; 1 ), điểm A(1 ; -2 ) và đường thẳng d
có phương trình 2x – y – 4 = 0.
1/ Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ

v

.
2/ Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo
vectơ
v

.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1;-1) bán kính R=2.
1/ Viết phương trình đường tròn (I,2).
2/ Viết phương trình ảnh của đường tròn (I,2) qua phép đối xứng trục Oy.
3/ Viết phương trình ảnh của đường tròn (I,2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên
tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép đối xứng qua trục Ox.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (3; -1) và đường thẳng d có phương trình:
x + 2y – 1 = 0. Tìm ảnh của A và d qua:
1/ Phép đối xứng qua trục Ox
2/ Phép tịnh tiến theo véc tơ
v
(2;1)

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (I,2) Trong đó I(1;-1)
1/ Viết phương trình đường tròn (I,2).
2/ Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (I,2) qua việc thực hiện liên tiếp phép đối
xứng tâm O và phép vị tự tâm O tỉ số 3.

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (3; -1) và đường thẳng d có phương trình:
x + 2y – 1 = 0. Tìm ảnh của A và d qua:
1/ Phép đối xứng qua trục Oy.

2/ Phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (I,3) Trong đó I(-2;3)
1/ Viết phương trình đường tròn (I,3).
2/ Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (I,3) qua việc thực hiện liên tiếp phép đối
xứng tâm O và phép tịnh tiến theo véc tơ
v
(-3,2)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
2
Bài 9:Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;3) trong phép tịnh tiến
→
u
T
với
→
u
=(−1;5)
Bài 10:Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d:2x−y+1=0 trong phép tịnh
tiến
→
u
T
với
→
u
=(3;−4)

Bài 11: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x−1)
2
+(y+2)
2
=4 trong
phép tịnh tiến
→
u
T
với
→
u
=(−2;3)
Bài 12: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d:x−2y+1=0 và điểm I(2;−1).
a/ Chứng minh rằng I∉d. Viết phương trình của đường thẳng (∆) đi qua I và (∆) song song với d.
b/ Cho A(−3;2) và B(5;0). Chứng minh A và B không nằm ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường
thẳng d và (∆).
c/ Tìm tọa độ của M∈d và của N∈(∆) sao cho AM+BN ngắn nhất.
Giải:
a/ Thay tọa độ của I(2;−1) vào vế trái phương trình đường thẳng d: 2−2(−1)+1=5≠0⇒ I∉d.
Vì (∆) song song với d nên (∆) và d có cùng vectơ pháp tuyến
→
n
=(1;−2).
Phương trình (∆): 1(x−2)−2(y+1)=0 ⇔ x−2y−4=0.


b/ Ta có: d//(∆)
Từ d:x−2y+1=0, xét F(x,y)= x−2y+1 và từ (∆):x−2y−4=0 xét G(x,y)= x−2y−4. Chọn O(0;0) nằm
ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (∆).

Vì F(0;0)=1>0 và G(0,0)= −4<0 nên ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (∆) ta có
F(x,y).G(x,y)<0
Vì F(x
A
,y
A
).G(x
A
,y
A
)= F(−3,2).G(−3,2)= −6. (−11)>0 nên A không nằm ở phần mặt phẳng ở giữa
hai đường thẳng d và (∆).
Vì F(x
B
,y
B
).G(x
B
,y
B
)= F(5,0).G(5,0)= 6.1>0 nên B không nằm ở phần mặt phẳng ở giữa hai
đường thẳng d và (∆).
Vì F(x
A
,y
A
)=−6<0 và G(x
A
,y
A

)= −11<0 và vì F(x
B
,y
B
)=6>0 và G(x
B
,y
B
)=1>0 nên A và B nằm về
hai phía khác nhau so với phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (∆).
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
3
Ta xác định được hình chiếu vuông góc của I trên d là H(1;1). Vậy trong phép tịnh tiến theo
vectơ
)5;1(HI −=
→
đường thẳng d biến thành đường thẳng (∆).
Dựng
→
'
AA
=
)2;1(HI −=
→
ta có A’(−2;0), điểm N cần xác định là giao điểm của A’B với (∆).
Phương trình A’B: y=0 .
Vậy tọa độ của N là nghiệm của hệ:




=
=
⇔



=−−
=
0y
4x
04y2x
0y
⇒N(4;0), dựng MN⊥d và M∈d
Đường thẳng MN đi qua N(4;0) và có vectơ chỉ phương
)2;1(HI −=
→
nên có vectơ pháp tuyến
→
'
n
=(2;1). Vậy MN có phương trình 2(x−4)+1(y−0)=0 ⇔2x+y−8=0.
Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:



=
=

⇔



=+−
=−+
2y
3x
01y2x
08yx2
⇒M(3;2)
Vì AA’NM là một hình bình hành nên AM=A’N.
Vì A’, N và B thẳng hàng nên A’N+NB=AM+BN ngắn nhất.
Vậy M(3;2) và N(4;0) là hai điểm cần tìm.

Bài 13:Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;−1) qua phép đối
xứng trục d: x−2y+1=0.

Bài 14:Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(−1;1) và B(2;4). Tìm trên Ox điểm M
sao cho tổng AM+BM nhỏ nhất.

Giải:

Vì
y
A
.y
B
=1.4=4>0 nên A và B nằm về cùng một phía so với Ox:y=0.
Gọi A’(−1;−1) là điểm đối xứng với A(−1;1) qua Ox.
Nếu A’B cắt Ox tại M thì AM=A’M. Vì A’, M, B thẳng hàng nên A’M+MB=AM+BM
ngắn nhất. Vậy M cần tìm là giao điểm của A’B với Ox.

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
4
Đường thẳng A’B đi qua A’(−1;−1) và có vectơ chỉ phương
)5;3(B'A =
→
nên A’B có
vectơ pháp tuyến
)3;5(n −=
→
.
Vậy A’B: 5(x+1)−3(y+1)=0 ⇔ 5x−3y+2=0
Tọa độ của M là nghiệm của hệ:






=
−
=
⇔



=
=+−
0y
5
2
x
0y
02y3x5

Vậy
)0;
5
2
(M −
là điểm cần tìm.
Bài 14:Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):(x−1)
2
+(y+2)

2
=9. Tìm ảnh của (C)
trong phép đối xứng qua đường phân giác d:y=x.
Bài 15:Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có A(4;0), B(0;2) và C(−1; −5).
a/ Chứng minh rằng tam giác ABC có góc A nhọn. Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC.
b/ Viết phương trình của các đường thẳng AB và AC.
c/ Tìm tọa độ các điểm M∈AB và N∈AC để tam giác GMN có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
a/ Ta có
)2;4(AB −=
→
và
)5;5(AC −−=
→
. Khi đó:
10
1
)5()5(.2)4(
)5.(2)5(4
|AC|.|AB|
AC.AB
Acos
2222
=
−+−+−
−+−−
==
→→
→→

⇒ cosA>0 ⇒ A nhọn
G là trọng tâm của tam giác ABC⇔
)OCOBOA(
3
1
OG
→→→→
++=
nên trọng tâm G của tam giác
ABC có tọa độ:







−=
++
=
=
++
=
1
3
yyy
y
1
3
xxx

x
CBA
G
CBA
G
⇒ G(1;−1)
b/ Phương trình AB có dạng đoạn chắn:
1
2
y
4
x
1
y
y
x
x
BA
=+⇔=+
⇔x+2y−4=0
AC đi qua A(4;0) và có vectơ chỉ phương
)5;5(AC −−=
→
nên có vectơ pháp tuyến
)1;1(n −=
→

nên có phương trình:1(x−4)−1(y−0)⇔x−y−4=0
c/ Vì G nằm trong góc nhọn BAC nên :
www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
5

Ta tìm được I(3;3) đối xứng với G qua AB và J(3;−3) đối xứng với G qua AC (dựa vào cách tìm
một điểm đối xứng với một điểm cho trước qua 1 trục). Gọi M và N lần lượt là giao điểm của IJ
với AB và AC. Ta có GM=IM, GN=NJ.
Vì 4 điểm I, M, N, J thẳng hàng nên IM+MN+NJ=GM+MN+GN nhỏ nhất.
Đường thẳng IJ: x=3 cắt AB tại M(3;
2
1
) và c
ắ
t AC t
ạ
i N(3;
−
1).
V
ậ
y v
ớ
i M(3;
2
1
)
∈
AB và N(3;
−

1)
∈
AC thì tam giác GMN có chu vi nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 15:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, cho ba
đườ
ng th
ẳ
ng d:x
−
2y+1=0 và (
∆
): x
−
2y
−
4=0, d
1
:
x+y+1=0.
a/ Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng (
∆
) song song v
ớ
i d. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
(
∆
) qua d.
b/ Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng d
1
c
ắ
t d, tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m I c
ủ
a d và d
1
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng
th
ẳ

ng d
2

đố
i x
ứ
ng v
ớ
i d
1
qua d.

Bài 16:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a M’ là
ả
nh c
ủ
a M(2;
−

1) qua phép
đố
i x
ứ
ng
tâm I(3; 1).

Bài 17:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, tìm
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d:x+y
−
1=0 qua phép
đố
i x
ứ
ng
tâm I(3; 1).

Bài18: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, tìm
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn (C):(x
−
1)
2
+(y
−
1)
2
=4 qua phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(3; 1).

Bài 19: Trong h
ệ
t
ọ

a
độ
vuông góc Oxy, tìm
ả
nh c
ủ
a M(1;2) trong phép v
ị
t
ự
tâm I(3;
−
2) t
ỉ
s
ố

k=
−
3.

Bài 20:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, tìm
ả
nh c

ủ
a d: 2x+4y
−
1=0 trong phép v
ị
t
ự
tâm I(1; 2) t
ỉ

s
ố
k=2.

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
6
Bài 21:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, tìm
ả
nh c
ủ
a (C):x

2
+y
2
=1 trong phép v
ị
t
ự
tâm I(
−
1;1) t
ỉ

s
ố
k=
−
2.

Bài 22:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, cho hai
đườ
ng tròn (C):x
2
+y
2

=1 và (C’):
(x+3)
2
+(y
−
3)
2
=4. L
ậ
p ph
ươ
ng trình các ti
ế
p tuy
ế
n chung c
ủ
a hai
đườ
ng tròn trên.
Gi
ả
i:
Đườ
ng tròn (C) có tâm O, bán kính R
1
=1 và
đườ
ng tròn (C’) có tâm O’(
−

3;3), bán kính R
2
=2.
Vì :



=+
=
3RR
23'OO
21

⇒
OO’>R
1
+R
2

⇒
(C) và (C’) ngoài nhau.
V
ậ
y (C) và (C’) có chung 4 ti
ế
p tuy
ế
n.
Vì R
1

≠
R
2
nên (C) và (C’) có tâm v
ị
t
ự
trong I
1
và tâm v
ị
t
ự
ngoài I
2





Tìm ph
ươ
ng trình c
ủ
a 2 ti
ế
p tuy
ế
n chung trong:
Phép v

ị
t
ự
t
ỉ
s
ố
k
1
=
−

1
2
R
R
(k
1
<0), tâm v
ị
t
ự
trong I
1
bi
ế
n
đườ
ng tròn (C) thành
đườ

ng tròn (C’). Ta có:
→
→
→
−== OI2OIk'OI
1111

Dùng công th
ứ
c tính t
ọ
a
độ
c
ủ
a I
1
chia
đ
o
ạ
n O’O theo t
ỉ
s
ố
k
1
=
−
2 ta tìm

đượ
c
I
1
(
−
1;1).
Ti
ế
p tuy
ế
n chung trong c
ủ
a (C) và (C’) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua I
1
(
−
1;1) và ti
ế
p
xúc v
ớ

i (C).
G
ọ
i vect
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
)B;A(n =
→
, A
2
+B
2
≠
0, ph
ươ
ng trình
c
ủ
a (
∆

): A(x+1)+B(y
−
1)=0 (1)
(
∆
) ti
ế
p xúc v
ớ
i (C)
⇔
d(O,
∆
)=R
⇔
1
BA
|
)
1
0
(
B
)
1
0
(
A
|
22

=
+
−
+
+

⇔

22
BA|BA| +=−

⇔
(A-B)
2
= A
2
+B
2
⇔
A.B=0
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
7
⇔
A=0 ho
ặ
c B=0
Vì A

2
+B
2
≠
0 nên v
ớ
i A=0 ta ch
ọ
n B=1; v
ớ
i B=0 ta ch
ọ
n A=1.
Thay các c
ặ
p (A;B) này vào (1) ta có ph
ươ
ng trình c
ủ
a 2 ti
ế
p tuy
ế
n chung trong
c
ủ
a (C) và (C’) là:
y
−
1=0

x+1=0

Tìm ph
ươ
ng trình c
ủ
a 2 ti
ế
p tuy
ế
n chung ngoài:
Phép v
ị
t
ự
t
ỉ
s
ố
k
2
=
1
2
R
R
=2 (k
2
>0), tâm v
ị

t
ự
ngoài I
2
bi
ế
n
đườ
ng tròn (C) thành
đườ
ng tròn (C’). Ta có:
→
→
→
== OI2OIk'OI
2222

Dùng công th
ứ
c tính t
ọ
a
độ
c
ủ
a I
2
chia
đ
o

ạ
n O’O theo t
ỉ
s
ố
k
2
=2 ta tìm
đượ
c I
2
(3;
−
3).
Ti
ế
p tuy
ế
n chung ngoài c
ủ
a (C) và (C’) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
đ
i qua I
2

(3;
−
3) và ti
ế
p
xúc v
ớ
i (C).
T
ươ
ng t
ự
ta có ph
ươ
ng trình c
ủ
a 2 ti
ế
p tuy
ế
n chung ngoài c
ủ
a (C) và (C’) là:
(9
−
17
)x+8y+3
17
−
3=0

(9+
17
)x+8y
−
3
17
−
3=0
K
ế
t lu
ậ
n: Hai
đườ
ng tròn (C) và (C’) có 4 ti
ế
p tuy
ế
n chung có ph
ươ
ng trình:
y
−
1=0;
x+1=0;
(9
−
17
)x+8y+3
17

−
3=0;
(9+
17
)x+8y
−
3
17
−
3=0.
Bài 23:Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, cho ba
đ
i
ể
m A(1;
−
1), B(3;2) và C(7;
−
5). Ta th
ự
c hi
ệ
n
liên ti

ế
p 2 phép bi
ế
n hình: Phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k=
−
2 và phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(
−
1;3) bi
ế
n A, B, C
l
ầ
n l
ượ
t thành A’, B’ và C’.
a/ Tìm t
ọ
a

độ
c
ủ
a A’, B’ và C’.
b/ Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hai tam giác ABC và A’B’C’
đồ
ng d
ạ
ng.
Gi
ả
i:
a/ Trong phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k
đ
i
ể
m M(x;y) có
ả

nh là M’(x’;y’) th
ỏ
a h
ệ
th
ứ
c:



=
=
ky'y
kx
'
x

V
ớ
i k=
−
2 ta tìm
đượ
c
ả
nh c
ủ
a A, B, C l
ầ
n l

ượ
t là A
1
(
−
2;2), B
1
(
−
6;
−
4); C
1
(
−
14;10).
Trong phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(a;b)
đ
i
ể
m M’(x’;y’) có
ả
nh là M’’(x’’;y’’) th
ỏ
a h
ệ

th
ứ
c:



−=
−
=
'yb2''y
'
x
a
2
'
'
x

nên ta tìm
đượ
c
ả
nh c
ủ
a A
1
, B
1
, C
1

l
ầ
n l
ượ
t là A’(0;4), B’(4;10); C’(12;
−
4).
V
ậ
y qua phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k=
−
2 và phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(
−
1;3) ba
đ
i
ể
m A(1;

−
1), B(3;2) và
C(7;
−
5) có
ả
nh là ba
đ
i
ể
m A’(0;4), B’(4;10); C’(12;
−
4).
b/Tacó:
→
CA
=(
−
6;4),
→
CB
=(
−
4;7),
→
AB
=(2;3),
→
'
A

'
C
=(
−
12;8),

→
'
B
'
C
=(
−
8;14) và
→
'
B
'
A
=(4;6).
Vì
→
'
A
'
C
=2
→
CA
,

→
'
B
'
C
=2
→
CB
và
→
'
B
'
A
=2
→
AB
nên tam giác A’B’C’
đồ
ng d
ạ
ng tam giác ABC
theo t
ỉ
s
ố
k’=2.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
8
V
ậ
y qua phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k=
−
2 và phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(
−
1;3) ta có phép
đồ
ng d
ạ
ng t
ỉ
s
ố

k’=|k|=2 bi

ế
n tam giác ABC thành tam giác A’B’C’
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i nó.

Bài 24: Cho phép bi
ế
n hình f th
ỏ
a bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(x
−
2;y+1)
a.

Ch
ứ
ng minh f là m
ộ

t phép d
ờ
i hình.
b.

Tìm
ả
nh c
ủ
a elip (E):
1
4
y
16
x
2
2
=+
qua phép bi
ế
n hình f.
H
ướ
ng d
ẫ
n ho
ặ
c k
ế
t qu

ả
:
a.
f là m
ộ
t phép d
ờ
i hình vì f(M)=M’ và f(N)=N’ có M’N’=MN

b. Ả
nh c
ủ
a elip trên là elip:
1
4
)1y(
16
)2x(
2
2
=
−
+
+


Bài 25:Cho phép bi
ế
n hình f th
ỏ

a bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(x’;y’) sao cho:



=
=
y2'y
x
2
'
x
.
f có ph
ả
i là m
ộ
t phép d
ờ
i hình không? t
ạ
i sao?
Hướng dẩn giải:

f không là m
ộ
t phép d
ờ
i hình vì f(M)=M’ và f(N)=N’ có M’N’=2MN

Bài 26:V
ớ
i
α
cho tr
ướ
c, xét phép bi
ế
n hình f bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(x’;y’), trong
đ
ó:



α+α=
α

−
α
=
cosysinx'y
sin
y
cos
x
'
x

f có ph
ả
i là m
ộ
t phép d
ờ
i hình hay không?
Hướng dẩn giải:
f là m
ộ
t phép d
ờ
i hình vì f(M)=M’ và f(N)=N’ có M’N’=MN, chú ý
sin
2
α
+cos
2
α

=1

Bài 27:Cho phép bi
ế
n hình f bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(x’;y’), trong
đ
ó:



+=
−
=
1y'y
2
x
'
x

a)

Ch

ứ
ng minh f là m
ộ
t phép d
ờ
i hình.
b)

Tìm
ả
nh c
ủ
a elíp (E):

1
4
y
16
x
2
2
=+

qua phép d
ờ
i hình f.
Hướng dẩn giải:

a)

f là m
ộ
t phép d
ờ
i hình vì f(M)=M’ và f(N)=N’ có M’N’=MN
b)
Ả
nh là elip (E’):
1
4
)1y(
16
)2x(
2
2
=
−
+
+


Bài 28:Cho
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
:3x
−
y

−
7=0. Tìm
ả
nh c
ủ
a A(
−
1;0) qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c
∆
.
Kết quả
: A’(2;
−
1)

Bài 29:Tìm
ả
nh c
ủ
a parabol (P): y=ax
2
qua phép t
ị
nh ti

ế
n theo vect
ơ

→
v
=(m;n) .
Kết quả
: (P’): y=a(x
−
m)
2
+n
Bài 30:Phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
=(3;m)
≠
→
0
bi
ế
n
đườ

ng th
ẳ
ng (
∆
):4x+6y
−
1=0 thành chính
nó. Giá tr
ị
c
ủ
a m b
ằ
ng bao nhiêu?
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
9
Kết quả
: m=
−
2

Bài 31:Phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
≠
→
0
bi
ế
n
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):3x
−
y
−
2=0 thành
đườ
ng th
ẳ
ng
(
∆
’):3x
−
y+18=0. Tìm t
ọ
a

độ
c
ủ
a
→
v
bi
ế
t
→
v
vuông góc v
ớ
i (
∆
) và (
∆
’).
Kết quả
:
→
v
=(
−
6;2) ho
ặ
c
→
v
=(6;

−
2).

Bài 32:Phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
=(2;
−
3) bi
ế
n
đườ
ng tròn (C):x
2
+y
2
−
6x+2y
−
5=0 thành
đườ
ng
tròn (C’) có tâm I’. Tìm t
ọ

a
độ
c
ủ
a I’.
Kết quả
: I’(5;
−
4)

Bài 33: Có hay không m
ộ
t phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
bi
ế
n
đườ
ng tròn (C):(x+1)
2
+(y
−
3)

2
=8
thành
đườ
ng tròn (C’):x
2
+y
2
+4x+8y+12=0?
Hướng dẫn và kết quả
: (C’) và (C) có cùng bán kính R’=R=2
2
, (C) có tâm I(
−
1;3) và (C’)
có tâm I’(
−
2;
−
4), phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
=
→

'
II
=(
−
1;
−
7) bi
ế
n
đườ
ng tròn (C) thành
đườ
ng
tròn (C’).

Bài 34:Cho hình bình hành OABC v
ớ
i A(
−
2;1) và B
ở
trên
đườ
ng th
ẳ
ng d:2x
−
y
−
5=0. T

ậ
p h
ợ
p
c
ủ
a C là
đườ
ng nào?
Hướng dẫn và kết quả
:





Vì OABC là m
ộ
t hình bình hành nên
)1;2(OABC −==
→
→
. V
ậ
y C là
ả
nh c
ủ
a B qua phép
t

ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

)1;2(v −=
→
.
V
ớ
i m
ỗ
i B(x;y)
∈
d
⇔
2x
−
y
−
5=0 (1)
G
ọ
i C(x’;y’) ta có:



+=
+

−
=
'y1y
'
x
2
x

Thay c
ặ
p (x;y) này vào (1):2(
−
2+x’)
−
(1+y’)
−
5=0
⇔
2x’
−
y’
−
10=0
V
ậ
y C(x’;y’)
∈
d’: 2x
−
y

−
10=0
T
ậ
p h
ợ
p c
ủ
a C là
đườ
ng th
ẳ
ng d’:2x
−
y
−
10=0.
Bài 35:Phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(2;
−
5) bi
ế
n
đườ
ng tròn (C):x
2
+y

2
−
10x+2y
−
1=0 thành
đườ
ng tròn (C’).
Tìm ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng tròn (C’)
Kết quả
: (C’): x
2
+y
2
+2x+18y+55=0 (1)

Bài 36:Phép quay tâm O góc quay 45
0
bi
ế
n A(0;3) thành A’ có t
ọ
a
độ
nh

ư
th
ế
nào?
Hướng dẫn và kết quả
: Dùng công th
ứ
c
d
C A
O B
d
d’
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
10



ϕ+ϕ=
ϕ
−
ϕ
=
cosysinx'y
sin
y
cos

x
'
x
⇒







=+=
−=−=
2
23
45cos345sin0'y
2
23
45sin345cos0'x
00
00

tìm A’(
−
2
2
3
;
2
2

3
)

Bài 37:Phép quay tâm O góc quay 90
0
bi
ế
n
đườ
ng tròn (C): x
2
+y
2
+4y
−
5=0 thành
đườ
ng tròn
(C’). Tìm ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng tròn (C’)
Hướng dẫn và kết quả
:
∀
M(x;y)
∈

(C)
⇔
x
2
+y
2
+4y
−
5=0 (1)
Phép quay tâm O góc quay 90
0
bi
ế
n
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(x’;y’) v
ớ
i:



=
−
=
x'y
y
'
x

⇒



−=
=
'xy
'
y
x

Thay c
ặ
p (x;y) vào (1): y’
2
+(
−
x’)
2
+4(
−
x’)
−
5=0
⇔
x’
2
+y’
2
−

4x’
−
5=0
V
ậ
y M’(x’;y’)
∈
(C’): x
2
+y
2
−
4x
−
5=0.

Bài 38:Phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ
s
ố
k=
2
3
bi
ế
n

đ
i
ể
m A(6;
−
2) thành A’ có t
ọ
a
độ
nào?
Kết quả
: A’(9;
−
3)

Bài 39:Cho ba
đ
i
ể
m A(0;3), B(2;
−
1) và C(
−
1;5). Có hay không m
ộ
t phép v
ị
t
ự
tâm A, bi

ế
n
đ
i
ể
m
B thành C?
Hướng dẫn và kết quả
: Tính
→
AC
=(
−
1;2) và
→
AB
=(2;
−
4)
⇒
→
AC
=
2
1
−
→
AB
. V
ậ

y phép
v
ị
t
ự
tâm A, t
ỉ
s
ố
k=
2
1
−
bi
ế
n B thành C.
Bài 40:Cho b
ố
n
đ
i
ể
m A(
−
1;2), B(2;4), C(4;8) và D(
−
2;4). Tìm tâm c
ủ
a phép v
ị

t
ự
bi
ế
n
→
AB

thành
→
DC
?
Hướng dẫn và kết quả
:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
11

Ta có:
→
AB
=(3;2),
→
AC
=(5;6) và
→
DC
=(6;4). Vì

→
DC
=2
→
AB
⇒

→
DC
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i
→
AB
và 5:6
≠
3:2 nên
→
AB
không cùng ph
ươ
ng
→
AC
nên t
ứ
giác ABCD là m
ộ

t hình
thang.
Đườ
ng th
ẳ
ng BC:2x
−
y=0 c
ắ
t AD: 2x+y=0 t
ạ
i O.
V
ậ
y qua phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ
s
ố
k=2 bi
ế
n
→
AB
thành
→
DC

Bài 41:Phép v
ị
t
ự
tâm I(3;5) , t
ỉ
s
ố
k=2 bi
ế
n
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
:x+3y
−
8=0 thành
đườ
ng th
ẳ
ng
'
1
d
;
bi
ế

n
đườ
ng th
ẳ
ng d
2
:x
−
2y+2=0 thành
đườ
ng th
ẳ
ng
'
2
d

c)

Tìm ph
ươ
ng trình c
ủ
a
'
1
d
và
'
2

d
.
d)

Ch
ứ
ng minh (
'
1
d
,
'
2
d
)=(d
1
,d
2
) và tính s
ố

đ
o c
ủ
a góc t
ạ
o b
ở
i d
1

và d
2
.
Hướng dẫn và kết quả
:

a)
∀
M(x;y)
∈
d
1
⇔
x+3y
−
8=0 (1)
Phép v
ị
t
ự
tâm I(3;5), t
ỉ
s
ố
k=2 bi
ế
n
đ
i
ể

m M(x;y) thành
đ
i
ể
m M’(x’;y’) th
ỏ
a:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
12








+
=
−+
=
+
=
−
+
=
2

5'y
2
5)12('y
y
2
3
'
x
2
3
)
1
2
(
'
x
x

Thay c
ặ
p (x;y) này vào (1):
2
3
'
x
+
+3
2
5
'

y
+
−
8=0
⇔
x’+3y’+2=0
V
ậ
y M’(x’;y’)
∈

'
1
d
: x+3y+2=0
T
ươ
ng t
ự

'
2
d
: x
−
2y
−
3=0
b) Hai
đườ

ng th
ẳ
ng d
1
và
'
1
d
song song v
ớ
i nhau vì chúng có cùng vect
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
)3;1(n
1
=
→
. Hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
2
và
'
2

d
song song v
ớ
i nhau vì chúng có cùng vect
ơ
ch
ỉ

ph
ươ
ng )2;1(n
2
−=
→
.
V
ậ
y : (
'
1
d
,
'
2
d
)=(d
1
,d
2
)

e)

G
ọ
i
α
là góc t
ạ
o b
ở
i d
1
và d
2
ta có:
2
2
5.10
)2(31.1
|n||n|
|n.n|
cos
21
21
=
−+
==α
→→
→
→

⇒

α
=45
0
.

Bài 42:Phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ
s
ố
k=
−
2 bi
ế
n
đườ
ng tròn (C): (x
−
1)
2
+(y+2)
2
=5 thành
đườ

ng tròn
(C’). Tìm ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng tròn (C’).
Hướng dẫn và kết quả
:
∀
M(x;y)
∈
(C)
⇔
(x
−
1)
2
+(y+2)
2
=5 (1)
Phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ
s
ố

k=
−
2 bi
ế
n
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(x’;y’) v
ớ
i:







−=
−=
2
'y
y
2
'
x
x

Thay c
ặ

p (x;y) này vào (1): (
−
2
'
x
−
1)
2
+(
2
'
y
− +2)
2
=5
⇔
(x’+2)
2
+(y’
−
4)
2
=20
V
ậ
y M’(x’;y’)
∈
(C’): (x+2)
2
+(y

−
4)
2
=20
Bài 43:Cho
đườ
ng tròn (C): (x
−
1)
2
+(y
−
2)
2
=4. Phép
đồ
ng d
ạ
ng h
ợ
p thành b
ở
i phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ

s

ố
k=
−
2 và phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Ox bi
ế
n
đườ
ng tròn (C) thành
đườ
ng tròn (C’). Tìm ph
ươ
ng trình
c
ủ
a
đườ
ng tròn (C’).
Kết quả
: (C’):(x+2)
2
+(y
−
4)
2

=4
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
13
M
ộ
t s
ố

đề
tr
ắ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng pháp t
ọ
a
độ
trong phép bi
ế
n hình

1)

Cho phép bi
ế
n hình f bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(
−
x;y). Kh
ẳ
ng
đị
nh nào sau
đ
ây sai?
a)

f là m
ộ
t phép d
ờ
i hình.
b)

N
ế

u A(0;a) thì f(A)=A.
c)

M và f(M)
đố
i x
ứ
ng qua Ox.
d)

f(M(2;3))
ở
trên
đườ
ng th
ẳ
ng d: 2x+y+1=0.

2)

Cho phép bi
ế
n hình f bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể

m M(x;y) thành M’ sao cho
→
→
→
+
=
v
OM
'
OM
v
ớ
i
→
v
=(3;
−
2). Kh
ẳ
ng
đị
nh nào sau
đ
ây
đ
úng?
a) M’(3x;
−
2y) b) M’(x+3;y
−

2)
c) M’(3
−
x;
−
2
−
y) d) M’(x
−
2;y+3)

3)

Cho 2 phép bi
ế
n hình f
1
và f
2
: V
ớ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) ta có f
1
(M)=M

1
(x;
−
y) và
f
2
(M)=M
2
(
−
x;
−
y). Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m C bi
ế
t f
2
(A(
−
3;1))=B và f
1

(B)=C ?
a) C(
−
3;
−
1) b) C(3;1)
c) C(3;
−
1) d) C(
−
3;1)

4)

Cho phép bi
ế
n hình f bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(
−
2x;y+1). Qua f ,
ả
nh c
ủ

a
đườ
ng
th
ẳ
ng d:x
−
3y
−
2=0 là
đườ
ng th
ẳ
ng d’ có ph
ươ
ng trình nào sau
đ
ây?
a) x+6y
−
2=0 b) 2x
−
y
−
3=0
c) 3x+2y+1=0 d) x
−
3y+6=0

5)

Cho phép bi
ế
n hình f bi
ế
n m
ỗ
i
đ
i
ể
m M(x;y) thành M’(
y3;
2
x
−
). Kh
ẳ
ng
đị
nh nào sau
đ
ây
sai?
a)

f (O)=O.
b)

f(A(a;0))

∈
Ox.
c)

f(B(0;b))
∈
Oy.
d)

f(M(2;
−
3)) là M’(1;
−
9).

6)

Cho 2 phép bi
ế
n hình f
1
và f
2
: V
ớ
i m
ỗ
i
đ
i

ể
m M(x;y) ta có f
1
(M)=M
1
(x+2;y
−
4) và
f
2
(M)=M
2
(
−
x;
−
y). Tìm
ả
nh c
ủ
a A(4;
−
1) trong phép bi
ế
n hình f
2
(f
1
(A)) (qua f
1

r
ồ
i qua f
2
):
a) (0;
−
4) b) (
−
6;5)
c) (
−
5;0) d) (6;
−
3)

7)

Cho 3 phép bi
ế
n hình f
1,
f
2
và f
3
: V
ớ
i m
ỗ

i
đ
i
ể
m M(x;y) ta có f
1
(M)=M
1
(
−
x;y),
f
2
(M)=M
2
(
−
x;
−
y) và f
3
(M)=M
3
(x;
−
y). Các phép bi
ế
n hình nào là phép
đố
i x

ứ
ng tr
ụ
c:
a) f
1
và f
2
b) f
2
và f
3

c) f
1
và f
3
d) f
1
, f
2
và f
3


8)

Cho
đườ
ng th

ẳ
ng d:x+y=0. Qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c d
đ
i
ể
m A(
−
4;1) có
ả
nh là B có t
ọ
a
độ
:
a) (4;
−
1) b) (
−
4;
−
1)
c) (1;
−
4) d) (

−
1;4)

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
14
9)

Qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Ox
đ
i
ể
m M(x;y) có
ả
nh là M’ và qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Oy
đ

i
ể
m
M’ có
ả
nh là M’’ có t
ọ
a
độ
:
a) (2x; 2y) b) (
−
2x;
−
2y)
c) (y; x) d) (
−
x;
−
y)

10)

Cho tam giác ABC v
ớ
i A(
−
1;6), B(0;1) và C(1;6). Kh
ẳ
ng

đị
nh nào sau
đ
ây sai?
f)

Tam giác ABC là tam giác cân
ở
B.
g)

Tam giác ABC có m
ộ
t tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng.
h)

Qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Ox tam giác ABC bi
ế

n thành chính nó.
i)

Tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác ABC bi
ế
n thành chính nó trong phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Oy.

11)

Cho 4
đ
i
ể
m A(0;
−
2), B(4;1), C(
−
1;4) và D(2;
−
3). Trong các tam giác sau, tam giác nào có

tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng?
a) Tam giác OAB b) Tam giác OBC
c) Tam giác OCD d) Tam giác ODA

12)

Phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
=(
−
2;5) bi
ế
n
đườ
ng th
ẳ
ng (

∆
) thành
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’):
x+4y
−
5=0. Ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là:
a) x+4y+2=0 b) x+4y
−
10=0
c) x+4y+13=0 d) x+4y
−
5=0
13)

Phép t

ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
≠
→
0
bi
ế
n
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):6x+2y
−
1=0 thành chính nó. Vect
ơ

→
v
là vect
ơ
nào trong các vect
ơ

sau
đ
ây?
a)
→
v
=(6;
−
2) b)
→
v
=(1;
−
3)
c)
→
v
=(2;6) d)
→
v
=(1;3)

14)

Cho tam giác ABC có A(3;0), B(
−
2;4) và C(
−
4;5). G
ọ

i G là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC.
Phép t
ị
nh ti
ế
n theo vect
ơ

→
v
=
→
AG
bi
ế
n G thành G’ có t
ọ
a
độ
là:
a) G’(0;
−
3) b) G’(4;0)
c) G’(
−
5;6) d) G’(

−
6;2)

15)

Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng d:x
−
3y
−
8=0 và d’:2x
−
6y+5=0. Phép
đố
i x
ứ
ng tâm I(0;m) bi
ế
n d
thành d’ và ng
ượ
c l
ạ
i, tính m ?
a) m=
4
11

b) m=
4
15

c) m=
12
11
−
d) m=
12
13
−


16)

Có hay không m
ộ
t phép
đố
i x
ứ
ng tâm I bi
ế
n
đườ
ng tròn (C):(x
−
2)
2

+(y+8)
2
=12 thành
đườ
ng tròn (C’):x
2
+y
2
+2x
−
6y
−
7=0?
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
15
a) Không có b) Có, I(
2
5
;
2
1
)
c) Có, I(
2
5
;
2

1
−−
) d) Có, I(
2
5
;
2
1
−
)

17)

Phép quay tâm O góc quay 135
0
bi
ế
n A(2;2) thành A’ có t
ọ
a
độ
nh
ư
th
ế
nào?
a) A’(0;2) b) A’(2;0)
c) A’(0;
−
2

2
) d) A’(
−
2
2
;0)

18)

Cho hai
đ
i
ể
m A(4;0) và B(0;
−
6), phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ
s
ố
k=
OA
OB
bi
ế
n vect
ơ

→
v
=(
−
8;2)
thành vect
ơ

→
'
v
có t
ọ
a
độ
:
a) (
−
4;1) b) (
−
10;4)
c) (
−
12;3) d) (
−
6;1)

19)

Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng d:2x
−
y
−
4=0 và d’:2x
−
y
−
6=0. Phép v
ị
t
ự
tâm O t
ỉ
s
ố
k bi
ế
n
đườ
ng
th
ẳ
ng d thành
đườ
ng th

ẳ
ng d’. T
ỉ
s
ố
k b
ằ
ng:
a)
2
3
b)
3
2

c)
2
1
− d)
−
2

20)

Phép
đồ
ng d
ạ
ng h
ợ

p thành b
ở
i phép v
ị
t
ự
tâm O, t
ỉ
s
ố
k=
−
2 và phép quay tâm O, góc
quay 90
0
bi
ế
n
đ
i
ể
m A(2;0) thành
đ
i
ể
m A’ có t
ọ
a
độ
:

a) (0;6) b) (
−
3;0)
c) (0;
−
4) d) (5;0)

Đ
áp án:
1) c 2) b 3) b 4) a 5) d 6) b 7) c 8) d 9) d 10) c
11)b 12)c 13)b 14)c 15)c 16)a 17)d 18)c 19)b 20) c


M
Ộ
T S
Ố
BÀI T
Ậ
P
Bài 1: Trong mp t
ọ
a
độ
Oxy, cho phép t
ị
nh ti
ế
n T theo vect
ơ

(
)
;
u a b
=

.
1/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d: Ax + By + C = 0 qua phép t
ị
nh ti
ế
n T.
2/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình

ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn ( C ) : x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 qua phép t
ị
nh ti
ế
n T.
3/ Qua phép t
ị
nh ti
ế
n T,
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
y = kx
2
có
ả

nh là
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
nào ?
4/ Qua phép t
ị
nh ti
ế
n T,
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

1
y
x
=
có
ả
nh là
đồ

th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
nào ?
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
16
Bài 2: Cho t
ứ
giác ABCD n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn (O, R), trong
đ
ó AD = R. D
ự
ng các hình bình hành
DABM, DACN. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tâm

đườ
ng tròn ng
ọ
ai ti
ế
p tam giác DNM n
ằ
m trên (O, R).
Bài 3: Trong mp Oxy, cho
đ
i
ể
m A(1;3) và
(
)
2;4
u = −

. Xác
đị
nh
đ
i
ể
m M’,
ả
nh c
ủ
a
đ

i
ể
m M cho
b
ở
i phép t
ị
nh ti
ế
n T(
u

).
Bài 4: Trong mp Oxy, cho vect
ơ

(
)
1;2
u =

. Tìm
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn (C): x
2
+ y

2
– 4x– 2y – 4 = 0
Cho b
ở
i phép t
ị
nh ti
ế
n T(
u

).
Bài 5: Trong mp Oxy, cho vect
ơ

(
)
1;2
u =

. Tìm
ả
nh cho b
ở
i phép t
ị
nh ti
ế
n T(
u


) c
ủ
a các
đườ
ng
conic sau:
a/ Parabol (P): y
2
= 4x.
b/ Elip (E):
2 2
1
16 9
x y
+ =

c/ Hyperbol (H):
2 2
1
16 9
x y
− =

Bài 6: Trong mp Oxy, cho vect
ơ

(
)
2;4

u = −

. Tìm
ả
nh cho b
ở
i phép t
ị
nh ti
ế
n T(
u

) c
ủ
a các
đườ
ng
a/ Parabol (P): y
2
= 2x.
b/ Elip (E): 4x
2
+ y
2
= 4
c/ Hyperbol (H): x
2
– 4y
2

= 4
d/
Đườ
ng tròn ( C ): x
2
+ y
2
– 4x + 6y = 0
Bài 7: Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho véct
ơ

(
)
1;2
u = −

và hai
đ
i
ể
m A(3;5), B(-1;1) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
có ph

ươ
ng trình x – 2y + 3 = 0
a/ Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m A’, B’ theo th
ứ
t
ự
là
ả
nh c
ủ
a A và B qua phép t
ị
nh ti
ế
n theo véct
ơ

u

.
b/ Tìm t
ọ

a
độ

đ
i
ể
m C sao cho A là
ả
nh c
ủ
a C qua phép t
ị
nh ti
ế
n theo véct
ơ

u

.
c/ Tìm ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d’ là
ả
nh c
ủ

a d qua phép t
ị
nh ti
ế
n theo véct
ơ

u

.
Bài 8: Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho phép t
ị
nh ti
ế
n T theo véct
ơ

(
)
1; 2
u
= −


a/ Vi
ế

t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a m
ỗ
i
đườ
ng th
ẳ
ng sau
đ
ây qua phép t
ị
nh ti
ế
n T
+
đườ
ng th
ẳ
ng a có ph
ươ
ng trình 3x – 5y + 1 = 0
+
đườ
ng th
ẳ

ng b có ph
ươ
ng trình 2x + y + 100 = 0
b/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn x
2
+ y
2
– 4x + y – 1 = 0 qua phép t
ị
nh ti
ế
n T.
Bài 9: Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho hai
đườ
ng th
ẳ

ng a: Ax + By + C = 0 và a’:Ax + By + C’ = 0.
Tìm nh
ữ
ng véct
ơ

u

sao cho phép t
ị
nh ti
ế
n T theo véct
ơ

đ
ó bi
ế
n a thành a’.
Bài 10: Cho tam giác ABC c
ố

đị
nh, tr
ự
c tâm H. V
ẽ
hình thoi BCDE. K
ẻ
DD’⊥AB, EE’⊥AC;

DD’ và EE’ giao nhau t
ạ
i M. Tìm t
ậ
p h
ợ
p
đ
i
ể
m M khi hình thoi BCDE thay
đổ
i.
Bài 11: Cho
đườ
ng tròn (O) tâm O, bán kính R. Trên (O), l
ấ
y hai
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh A, B và m
ộ
t
đ
i

ể
m
C di
độ
ng. Tìm t
ậ
p h
ợ
p tr
ự
c tâm H c
ủ
a tam giác ABC.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
17
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có hai
đỉ
nh A, B c
ố

đị
nh. Tìm t
ậ
p h
ợ
p
đỉ

nh D khi:
a/ C di
độ
ng trên
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ố

đị
nh cho tr
ướ
c.
b/ C di
độ
ng trên
đườ
ng tròn (O) tâm O c
ố

đị
nh, bán kính R cho tr
ướ
c.
Bài 13: Gi
ả
s
ử
phép d

ờ
i hình f bi
ế
n tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a/ Tr
ọ
ng tâm tam giác ABC bi
ế
n thành tr
ọ
ng tâm tam giác A’B’C’.
b/ Tr
ự
c tâm tam giác ABC bi
ế
n thành tr
ự
c tâm tam giác A’B’C’.
c/ Tâm
đườ
ng tròn ng
ọ
ai ti
ế
p, n
ộ

i ti
ế
p tam giác ABC l
ầ
n l
ượ
t bi
ế
n thành tâm
đườ
ng tròn ng
ọ
ai
ti
ế
p, n
ộ
i ti
ế
p tam giác A’B’C’.
Bài 14: Trong mp Oxy, xét phép bi
ế
n hình f bi
ế
n
đ
i
ể
m M(x;y) thành
đ

i
ể
m M(y;-x). Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
đ
ây là phép d
ờ
i hình.
Bài 15: Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho hai
đ
i
ể
m A(1;-2), B(3;1). Tìm
ả
nh c
ủ
a A, B và
đườ
ng th
ẳ
ng
AB qua phép

đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Ox; phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Oy.
Bài 16. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x – y + 2 = 0. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
d’ là

ả
nh c
ủ
a d qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Oy
Bài 17 Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho
đườ
ng th
ẳ
ng d và
đườ
ng tròn (C) có ph
ươ
ng trình:
d: Ax + By + C = 0
(C): x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0
1/ Vi

ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Ox.
2/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn ( C ) qua phép
đố

i x
ứ
ng tr
ụ
c Oy
3/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn ( C ) qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c có tr
ụ
c là
đườ
ng th
ẳ
ng
bx – ay = 0
Bài 17. Trong mp Oxy, cho Parabol (P): y = x

2
. Tìm hình
đố
i x
ứ
ng (P’) c
ủ
a (P) qua
đườ
ng th
ẳ
ng
(d): y – x = 0.
Bài 18. Trong mp Oxy cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d): x – 2y + 2 = 0 và
đườ
ng tròn ©: x
2
+ y
2
– 2x = 0
1/ Tìm
ả
nh c
ủ
a M(1;0) qua phép
đố

i x
ứ
ng tr
ụ
c d
2/ Tìm
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c Ox
3/ Tìm
ả
nh c
ủ
a © qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ

c Oy
4/ Tìm
ả
nh c
ủ
a © qua phép
đố
i x
ứ
ng tr
ụ
c d.
Bài 19. Trong mp Oxy cho
đườ
ng tròn ©: x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 4 = 0 và
đườ
ng Elíp
(E): x
2
+ 4y
2
= 1
1/ Tìm
ả
nh c
ủ

a © qua
Đ
d

v
ớ
i d: x + y = 0
2/ Tìm
ả
nh c
ủ
a (E) qua
Đ
Oy
.
Bài 20: Cho phép quay tâm O v
ớ
i góc quay là ϕ và cho
đườ
ng th
ẳ
ng d.
1/ Hãy nêu cách d
ự
ng
ả
nh d’ c
ủ
a d qua phép quay Q(O, ϕ)
2/ Góc h

ợ
p b
ở
i hai
đườ
ng th
ẳ
ng d và d’ có quan h
ệ
v
ớ
i góc ϕ nh
ư
th
ế
nào?
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
18
Bài 21: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung
đỉ
nh O sao cho O n
ằ
m trên
đọ
an
th
ẳ

ng AB’ và n
ằ
m ngoài
đọ
an th
ẳ
ng A’B. G
ọ
i G và G’ l
ầ
n l
ượ
t là tr
ọ
ng tâm tam giác OAA’ và
OBB’. Ch
ứ
ng minh GOG’ là tam giác vuông cân.
Bài 22: Cho phép
đố
i x
ứ
ng tâm
Đ
O
và
đườ
ng th
ẳ
ng d không

đ
i qua O.
1/ Hãy nêu cách d
ự
ng
ả
nh d’ c
ủ
a d qua
Đ
O
.
2/ Cách d
ự
ng
đ
ó có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c hay không n
ế
u ch
ỉ
s
ử

d
ụ
ng compa m
ộ
t l
ầ
n và th
ướ
c th
ẳ
ng
ba l
ầ
n.
Bài 23: Cho t
ứ
giác l
ồ
i ABCD. Trên các c
ạ
nh AB và CD, v
ề
phiá ngoài, ta d
ự
ng các tam giác
đề
u
ABM và CDP. Trên hai c
ạ
nh còn l

ạ
i, v
ề
phía trong t
ứ
giác, ta d
ự
ng các tam giác
đề
u BCN và
ADK. Ch
ứ
ng minh MN = PK.
Bài 24: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng (∆): Ax + By + C = 0 và
đ
i
ể
m I(a;b). Phép
Đ
I

(
đố
i
x
ứ
ng tâm I) bi
ế
n
đườ
ng th
ẳ
ng ∆ thành
đườ
ng th
ẳ
ng ∆’.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ∆’.
Bài 25: Cho hình vuông ABCD. M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ

ng d c
ắ
t các
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD t
ươ
ng
ứ
ng
t
ạ
i các
đ
i
ể
m M, N. M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d’ vuông góc v
ớ
i d c
ắ
t các
đườ
ng th

ẳ
ng AD và BC t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i các
đ
i
ể
m P và Q. CMR: MN = PQ
Bài 26: Trong h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đ
i
ể
m I(1;2),
đườ
ng th
ẳ
ng (d) có ph
ươ
ng trình: 3x – y + 9 = 0
và

đườ
ng tròn (C) có ph
ươ
ng trình: x
2
+ y
2
+ 2x – 6y + 6 = 0. Hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ả
nh c
ủ
a d
và (c) qua phép
đố
i x
ứ
ng tâm I.
Bài 27: CMR g
ố
c t
ọ
a
độ
là tâm
đố
i x

ứ
ng c
ủ
a
đườ
ng elíp có ph
ươ
ng trình:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
và
đườ
ng
hypebol có ph
ươ
ng trình
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
.
Bài 28: 1/ CMR n
ế
u m

ộ
t hình có hai tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng vuông góc nhau thì hình
đ
ó có tâm
đố
i x
ứ
ng.
Cho ví d
ụ
.
2/
Đả
o l
ạ
i, n
ế
u m
ộ
t hình có tâm
đố
i x
ứ
ng thì nó có hai tr

ụ
c
đố
i x
ứ
ng vuông gócnhau:
đ
úng hay
sai. Cho ví d
ụ
minh h
ọ
a k
ẳ
hng
đị
nh
đ
ó.
Bài 29: Cho tam giác ABC, Trên các c
ạ
nh AB, AC ta d
ự
ng ra phía ngòai các hình vuông ABMN
và ACPQ.
a.

Ch
ứ
ng minh: NC⊥BQ và NC = BQ

b.

G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, ch
ứ
ng minh AM ⊥ QN và
2
NQ
AM = .
Bài 30: Gi
ả
s
ử
phép
đố
i x
ứ
ng tâm
Đ
O
bi
ế
n

đườ
ng th
ẳ
ng d thành
đườ
ng th
ẳ
ng d’. Ch
ứ
ng minh:
a) N
ế
u d không
đ
i qua tâm
đố
i x
ứ
ng O thì d’ song song v
ớ
i d, O cách
đề
u d và d’
b) Hai
đườ
ng th
ẳ
ng d và d’ trùng nhau khi và ch
ỉ
khi d

đ
i qua O.
Bài 31: Ch
ỉ
ra các tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a các hình sau
đ
ây:
a) Hình g
ồ
m hai
đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t nhau;
b) Hình g
ồ
m hai
đườ
ng th
ẳ
ng song song;
c) Hình g

ồ
m hai
đườ
ng tròn b
ằ
ng nhau;
d)
Đườ
ng elip;
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264
19
e)
Đườ
ng hypebol
Bài 32: Cho hai
đ
i
ể
m B, C c
ố

đị
nh trên
đườ
ng tròn (O; R) và m
ộ
t

đ
i
ể
m A thay
đổ
i trên
đườ
ng
tròn
đ
ó. Hãy dùng phép
đố
i x
ứ
ng tâm
để
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tr
ự
c tâm H c
ủ
a tam giác ABC n
ằ
m
trên m
ộ
t

đườ
ng tròn c
ố

đị
nh. (hình 1)
Bài 33: Cho
đườ
ng tròn (O; R);
đườ
ng th
ẳ
ng ∆ và
đ
i
ể
m I. Tìm
đ
i
ể
m A trên (O; R) và
đ
i
ể
m B trên
∆ sao cho I là trung
đ
i
ể
m c

ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng HM. (hình 2)











Bài 34: Cho tam giác ABC n
ộ
i ti
ế
p trong
đườ
ng tròn (O;R). G
ọ
i H là tr
ự
c tâm c

ủ
a tam giác ABC.
Ch
ứ
ng minh
đườ
ng tròn ng
ọ
ai ti
ế
p các tam giác HBC, HCA, HAB có bán kính b
ằ
ng bán kính
đườ
ng tròn (O).
Bài 35: Trong h
ệ
tr
ụ
c Oxy, cho hai parabol (P) và (P’) l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình y = ax
2
và
y = ax
2

+ bx + c ( a ≠ 0 ). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hai parabol
đ
ó b
ằ
ng nhau.
Bài 36: Các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đ
ây có ph
ả
i là
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ

để
ai hình t

ứ
giác l
ồ
i ABCD và A’B’C’D’
b
ằ
ng nhau không?
1/ Có các c
ặ
p c
ạ
nh t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng nhau (AB = A’B, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’).
2/ Có các c
ặ
p c
ạ
nh t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng nhau và m
ộ

t
đườ
ng chéo t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng nhau ( ch
ẳ
ng h
ạ
n
AC = A’C’ )
3/ Có các c
ặ
p c
ạ
nh t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng nhau và m
ộ
t c
ặ
p góc t
ươ

ng
ứ
ng b
ằ
ng nhau
Bài 37: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hai hình ch
ữ
nh
ậ
t có cùng kích th
ướ
c (cùng chi
ề
u dài chi
ề
u r
ộ
ng) thì
b
ằ
ng nhau.
Bài 38: Cho hình bình hành ABCD. G
ọ
i O là giao
đ
i

ể
m c
ủ
a AC và BD
1/ Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng O là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a hình bình hành
2/ Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng b
ấ
t kì
đườ
ng th
ẳ
ng d nào
đ
i qua O c
ũ
ng chia hình bình hành thành hai hình

b
ằ
ng nhau
3/ Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Hãy v
ẽ
m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng chia m
ỗ
i hình bình
hành
đ
ó thành hai hình b
ằ
ng nhau.
Bài 39: Trong h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho hai
đườ
ng tròn có ph

ươ
ng trình
( x – 1 )
2
+ ( y – 3 )
2
= 1 và ( x – 4 )
2
+ ( y – 3 )
2
= 4
I
H
M
O
A
C
B

∆
∆
B
A
O
I

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Ôn chương 1 – Hình 11 – Phép biến hình
Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & (059)3.828264

20
a/ Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm v
ị
t
ự
ngoài c
ủ
a hai
đườ
ng tròn
đ
ó.
b/ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các ti
ế
p tuy
ế
n chung ngòai c
ủ
a hai
đườ

ng tròn
đ
ó.
Bài 40: Cho tam giác ABC v
ớ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh BC, CA, AB; H, G, O
l
ầ
n l
ượ
t là tr
ự
c tâm, tr
ọ
ng tâm, tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ

i ti
ế
p c
ủ
a tam giác ABC, I là tâm c
ủ
a d ABC,
I là tâm c
ủ
a
đườ
ng tròn (MNP).
a/ Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác MNP là
ả
nh c
ủ
a tam giác ABC trong phép v
ị
t
ự
tâm G, t
ỉ
s
ố

1

2
−
.
T
ừ

đ
ó suy ra 4
đ
i
ể
m O, G, I, H th
ẳ
ng hàng và I là trung
đ
i
ể
m
đ
o
ạ
n OH.
b/ Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng phép v
ị
t
ự

tâm H, t
ỉ
s
ố

1
2
bi
ế
n
đườ
ng tròn (ABC) thành
đườ
ng tròn (MNP).
T
ừ

đ
ó suy ra r
ằ
ng, trong m
ộ
t tam giác, trung
đ
i
ể
m 3 c
ạ
nh, chân 3
đườ

g cao và trung
đ
i
ể
m các
đọ
an n
ố
i tr
ự
c tâm v
ớ
i 3
đỉ
nh là 9
đ
i
ể
m cùng
ở
trên m
ộ
t
đườ
ng tròn.
Bài 41: Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t

ọ
a
độ
Oxy cho
đ
i
ể
m A(-2;2) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A có h
ệ
s
ố
góc
b
ằ
ng 1. G
ọ
i B là
đ
i
ể
m di
độ
ng trên d. G
ọ

i C là
đ
i
ể
m sao cho t
ứ
giác OABC là m
ộ
t hình bình
hành. Tìm ph
ươ
ng trình t
ậ
p h
ợ
p:
a/ Các tâm
đố
i x
ứ
ng I c
ủ
a hình bình hành.
b/ Các tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác ABC.
Bài 42: Cho
đườ

ng tròn (O) c
ố

đị
nh và tam giác ABC n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn (O) có hai
đỉ
nh A, B c
ố

đị
nh, còn C di
độ
ng.
a/ Tìm qu
ỹ
tích tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác ABC.
b/ T
ừ

đ

ó suy ra qu
ỹ
tích tr
ự
c tâm H c
ủ
a tam giác ABC.
Bài 43: Cho
đườ
ng tròn (O) có
đườ
ng kính AB. G
ọ
i C là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i A qua B và PQ là
đườ
ng kính thay
đổ
i c
ủ
a (O) khác v

ớ
i
đườ
ng kính AB.
Đườ
ng th
ẳ
ng CQ c
ắ
t PA và PB l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
Mvà N.
a/ Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng Q là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CM, N là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a CQ.
b/ Tìm qu
ỹ
tích các
đ
i
ể
m M và N khi
đườ
ng kính PQ thay
đổ
i.


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com