SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS

SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, Tốn học là ngơn ngữ chung của vũ trụ. Tốn học là một
môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực. Con người chúng ta trong bất kì
hồn cảnh nào cũng khơng thể thiếu kiến thức về tốn. Nghiên cứu về tốn cũng chính
là nghiên cứu một phần của thế giới. Các kiến thức và phương pháp toán học là công
cụ hỗ trợ đắc lực giúp học sinh học tốt các mơn học khác, hoạt động có hiệu quả trong
mọi lĩnh vực. Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển những năng lực và
phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mĩ của người công
dân.
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không
ngừng. Để đào tạo ra những con người nghiên cứu về Tốn học thì trước hết phải đào
tạo ra những con người có kiến thức vững vàng về mơn Tốn. Đây là nhiệm vụ hết sức
quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo. Do đó địi hỏi mỗi thầy cơ giáo
phải lao động, phải có sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học
hiệu quả giúp học sinh học và giải quyết bài tốn một cách tốt nhất. Phân tích đa thức
thành nhân tử là một nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình tốn học ở
1
1
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


trung học cơ sở. Việc nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
khơng những giúp học sinh làm tốt các bài tốn dạng này mà cịn là công cụ cần thiết
giúp các em vận dụng tốt vào giải các phương trình, chứng minh…….Đặc biệt giúp
học sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất. Qua q trình dạy tốn ở trung
học cơ sở, qua kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tịi của bản
thân tơi đã hệ thống được một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà

thiết nghĩ mỗi thầy cơ giáo dạy tốn đều cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải
tốt các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao tư duy tốn học tạo
điều kiện cho việc học tốn nói riêng và trong q trình học tập nói chung. Phân tích
đa thức thành nhân tử là một dạng toán gặp rất nhiều trong toán trung học cơ sở, nó đa
dạng nên khi giải các bài toán trên học sinh phải biết lựa chọn phương pháp phù hợp
đối với từng bài để phân tích đúng và triệt để đến kết quả cuối cùng. Đối với giáo viên
khi dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình. Đối với học sinh sẽ khắc
phục những hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự tin học tập bộ mơn tốn.
Kĩ năng giải tốn và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài
tập là vấn đề mà giáo viên luôn phải quan tâm. Thông qua bài kiểm tra 15 phút, bài
kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kì cho thấy kĩ năng giải tốn và vận dụng kiến thức phân
tích đa thức thành nhân tử là chưa cao. Đây là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáo
viên dạy toán 8, kể cả tốn 9. Vì vậy, với bản thân trong những năm dạy học ở tốn 8
2
2
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


tôi xây dựng thành “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS Lương
Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk ”
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
a) Mục tiêu
- Giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hiện thành thạo các dạng tốn liên
quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
toán của học sinh lớp 8 trong nhà Trường, phát triển chất lượng đại trà và mũi nhọn
của bộ mơn.
- Giúp học sinh có khả năng thành thạo khi phân tích đa thức thành nhân tử
- Giúp học sinh u thích mơn tốn hơn, đồng thời phát triển năng lực tự học,

tự nguyên cứu.
b) Nhiệm vụ
- Tìm hiểu các sai lầm phổ biến, những khó khăn của học sinh lớp 8 khi phân
tích đa thức thành nhân tử.
- Phân tích tìm ra được các sai lầm khi giải tốn
- Đề xuất các biện pháp để giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử trong giải toán trung học cơ cở.
3. Đối tượng nghiên cứu

3
3
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ đó học sinh biết
vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải toán.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 8A1, 8A3 trường trung học cơ sở Lương Thế vinh huyện Krông Ana
tỉnh Đắklắk năm học 2017- 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SBT, SGV toán 8, chuẩn kiến thức kĩ
năng, nâng cao và pháp triển tốn 8, các tài liệu có liên quan; nghiên cứu qua các quá
trình giải bài tập của học sinh; nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh theo từng
đợt; nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp điều tra, khảo sát.
- Phương pháp đàm thoại – gợi mở.
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
- Phương pháp tác động giáo dục .
- Phương pháp thực nghiệm.

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận

4
4
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Căn cứ công văn hướng dẫn số 04/PGDĐT-TĐKT ngày 06 tháng 01 năm 2015
của Phịng GD-ĐT huyện Krơng Ana về việc hướng dẫn viết, đánh giá SKKN từ năm
học 2015- 2016 (Kèm theo Công văn số 232 /PGDĐT-TĐKT ngày 09 tháng11 năm
2017).
Để việc dạy học đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền
đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm
trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo
và tự giác của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồng
nghiệp, tôi thấy kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về phân tích đa
thức thành nhân tử được thể hiện rất rõ qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15
phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt,
sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều,
thậm chí nhiều bài khơng định hình được cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìm
cho các em những mẹo nhớ, những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải
thiện được chất lượng bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiến
thức này.
Việc dạy học phải bám sát vào chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo
dục phổ thơng để xác định mục tiêu của bài học, chú trọng dạy học nhằm đạt được các
yêu cầu cơ bản và tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, đảm bảo không q tải; mức độ khai
5
5
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

thác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh;
sáng tạo về phương pháp dạy học, phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác của học
sinh tạo niềm vui, phấn khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập cho
học sinh; dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa giáo viên với học sinh, giữa học
sinh với học sinh, chú trọng đến việc động viên, khuyến khích kịp thời tiến độ của học
sinh trong q trình học.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì
trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành
tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương
pháp nâng cao để phân tích, đó là:
a) Phương pháp đặt nhân tử chung A.B + A.C = A ( B + C).
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Duøng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng
thức.
( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6
6
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung

hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
d) Phối hợp các phương pháp cơ bản
Vận dụng và phát triển kỹ năng là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ
bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
e) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ
người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Khái niệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy
nếu đa thức có nghiệm là a thì nó chứa nhân tử x- a.
7
7
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của
hệ số tự do.
Thật vậy giả sử đa thức a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an với các hệ số a0 ; a1 ;
a2 ;a3 ;…….an nguyên, có nghiệm x = a ( a là số nguyên) .
Từ đó suy ra a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an = (x – a) (b0xn-1 + b1xn-2 +…+ bn-1)
Trong đó b0 ; b1 ; b2 ;…….bn-1 nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vế
phải bằng –abn-1, Hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an
Vì vậy –abn-1= an suy ra an chia hết cho a tức a là ước của an
Chú ý khi xét nghiệm nguyên của đa thức, Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự

do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f(x). f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
a-1

và

f(-1)
a+1

đều là

số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
f) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình thường.
+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
8
8
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


g) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử
h) Phương pháp đặt biến phụ (phương pháp đổi biến)
k) Phương pháp hệ số bất định
Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy ra các hệ số cần tìm trong sự

phân tích đa thức thành nhân tử.
m) Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhận tử chứa biến của đa
thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Điểm kiểm tra khảo sát đầu năm mơn tốn các lớp 8A1 và 8A3 kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

Trên Trung bình

Tỉ lệ %

8A1

27

5

18,5%

8A3

32

10

31,3%

Từ kết quả khảo sát trên thông qua việc điều tra tình hình học tập của các em
học sinh tơi nhận thấy một số thuận lợi như:
+ Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của ban giám hiệu nhà trường.
+ Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp.
+ Nhà trường có tương đối đầy đủ phương tiện trang thiết bị phục vụ cho dạy
học.
Tuy nhiên vẫn cịn nhiều khó khăn:
9
9
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


+ Trình độ nhận thức của các em khơng đồng đều (có nhiều học sinh khá giỏi
nhưng cũng có khơng ít học sinh yếu kém).
+ Đa số học sinh chưa xác định được mục đích của việc học.
+ Học sinh khơng có sự ơn luyện hè ở nhà.
+ Học sinh cịn chịu ảnh hưởng của bệnh thành tích ở những năm trước không
cần học cũng vẫn lên lớp.
+ Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học
+ Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử
đặc biệt là các bài tốn khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.
Khi gặp một bài tốn học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết đi theo hướng nào ?
Khơng biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. Suy luận
kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. Trình
bày khơng rõ ràng, thiếu khoa học, lơgic. Các em chưa có phương pháp học tập tốt
thường học vẹt, học máy móc thiếu kiên nhẫn khi gặp bài tốn khó.
+ Một số em hổng kiến thức từ dưới (lên cấp II mà bảng cửu chương chưa
thuộc).
+ Môn đại số 8 lượng kiến thức lớn, trình bày cần logic chặt chẽ nhưng lứa tuổi
các em còn bỡ ngỡ và lập luận hay ngộ nhận, thiếu căn cứ.

+ Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếu
kém.
10
10
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


+ Nhiều gia đình kinh tế khó khăn, bố mẹ thường xuyên vào rẫy xa để trồng mía,
trồng sắn... chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập.
Từ những thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao để các
em học sinh ngày thêm u thích mơn tốn hơn, hình thành cho học sinh kĩ năng giải
toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo.
Từ những ngun nhân các yếu tố tác động tơi có thể phân tích các vấn đề về
thực trạng như sau:
+ Đối với học sinh : Có thể nói sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thì
học sinh gặp ngay một dạng tốn mới tương đối khó đó là phân tích đa thức thành
nhân tử. Ta đã biết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trị rất quan trọng trong việc
giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em phần lớn
chưa tốt, cịn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Hơn nữa,
một số kĩ năng phục vụ cho bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử như nhân – chia
đơn thức, qui tắc dấu ngoặc, một số công thức về lũy thừa là chưa thành thạo. Chính vì
thế mà kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao.
Đối với giáo viên: Có thể trong tiết luyện tập, ơn tập về nội dung bài tốn liên
quan đến phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên chưa nắm bắt được những đặc
điểm trên của học sinh. Cũng có thể hướng dẫn cho học sinh từng bài cụ thể nhưng
chưa định hướng cách giải chung cho dạng tốn này.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp
11
11
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

a. Mục tiêu của giải pháp
Đề xuất các biện pháp sư phạm để giúp học sinh biết sử dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn. Góp phần nâng cao chất
lượng dạy học tốn ở lớp 8. Tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học
như: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm
động lực, niềm phấn khích đối với các em… để các em có thể tiếp thu kiến thức một
cách tốt nhất.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
* Biện pháp 1: Củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản.
Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh phải nắm vững các kiến thức liên
quan đã học. Vì vậy giáo viên phải củng cố, khắc sâu cho hc sinh của mình các
đơn vị kiến thức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép nhân
đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn
thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa
thức đà sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận
dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
c bit giỏo viờn phi cho hc sinh nắm vững bản chất của việc
phân tích đa thức thành nhân tử.

12
12
Giỏo viờn: on Cụng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến
đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Khi gii mt s bi toỏn đơn giản người ta có thể sử dụng một trong các phương pháp
giải thơng thường như:

+ Đặt nhân tử chung.
Ví dụ1: x2 – 2x= x( x–2)
+ Dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2
+ Nhóm nhiều hạng tử (thường thì ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác nhau)
Ví dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y)
= (1– 3y)(x+ 1+3y)
Tuy nhiên khi thực hành giải toán địi hỏi chúng ta khơng những thành thạo các
phương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể trên để có
thể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A=

3x 2 + 5y − 3xy − 5x

= ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y)

(Nhóm các hạng tử)

= 3x( x–y) –5( x–y)

(Đặt nhân tử chung)

= ( x–y) ( 3x –5)

(Đặt nhân tử chung)

13
13
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
B = x - 2y + x2 - 4xy + 4y2
= (x - 2y) + (x2 - 4xy + 4y2)

(Nhóm các hạng tử)

= (x - 2y) + (x - 2y)2

(Dùng hằng đẳng thức)

= (x- 2y) (1 + x - 2y)

(Đặt nhân tử chung)

Vậy muốn các em phối hợp tốt các phương pháp trên giáo viên cần nhắc các em
lưu ý một số bước sau:
+ Ta đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể để từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào hay khơng ?
+ Nếu khơng có nhân tử chung, hoặc khơng có hằng đẳng thức thì phải biết cách
nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng
đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
M = x4 +2x3 + x2 - 9x2y2
Nhìn vào biểu thức ta cần dùng phương pháp nào trước để phân tích? Ta thấy các
hạng tử có nhân tử chung là x2
+ Đặt nhân tử chung: x2( x2 +2x + 1- 9y2)
Trong ngoặc có 4 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào khơng
+ Nhóm hạng tử:

M = x2[(x2 - 2x + 1 ) - 9y2 ]

14
14
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


+Dùng hằng đẳng thức: M = x2 [( x - 1)2 - (3 y)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc
có dạng hằng đẳng thức nào.Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M = x2 (x - 1+ 3y) (x - 1 - 3y)
Vậy để phân tích tốt bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi chúng ta cần
quan sát kĩ bài tốn và sử dụng linh hoạt các phương pháp trên giải bài tốn một cách
logic và chính xác.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a - a = a( a2- 1 ) = am(a+1)(a-1)
* Biện pháp 2: Cung cấp thêm, mở rog các phương pháp thông thường
cho HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế làm toán nhiều trường hợp chúng ta sử dụng linh hoạt hầu hết tất cả các
phương pháp trên nhưng vẫn chưa đưa đến kết quả mong muốn, do đó chúng ta cần
giúp HS biết thêm một số phương pháp khác khi làm một số bài tốn phức tạp hơn đó
là:
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp đặt biến phụ
15
15

Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:
1. Phương pháp tách hạng tử
Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với các
hạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung với các
hạng tử cịn lại để từ đó ta phân tích được bài tốn.
Ngồi cách tách hạng tử tự do ta cịn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách tách
tam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx +c thành nhân tử chung, ta
làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 7:Phân tích đa thức thành nhân tử:
N = 3x2 + 4x – 7.
Cách 1: N = 3x2 +4x - 4 - 3 (Tách -7 = -4 - 3)
= (3x2 - 3) +(4x- 4)

(Nhóm hạng tử)

= 3(x2 - 1) + 7(x - 1)

(Đặt nhân tử chung)

= 3(x - 1)(x+1)+7(x - 1)

(Dùng hằng đẳng thức)

= (x - 1) (3x+7)

(Đặt nhân tử chung)

16
16
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Cách 2: 3x2 +7x - 3x- 7

(Tách 4x = 7x - 3x

= (3x2 - 3x) + (7x - 7)

(Nhóm hạng tử)

= 3x (x - 1) + 7(x - 1)

(Đặt nhân tử chung)

= (x - 1) (3x+7)

(Đặt nhân tử chung)

Ngoài ra tùy từng bài tốn cụ thể ta có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự
do, hạng tử bậc nhất)
2. Phương pháp thêm bớt hạng tử
a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương

Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = x4 + 324 = x4 + 182 = x4 + 182 + 36x2 - 36x2 ( thêm bớt 36x2)
= (x2 + 18)2- (6x)2 ( nhóm hạng tử)
= (x2 + 6x + 18)(x2 - 6x + 18) ( dùng hằng đẳng thức)
b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Q = a5 + a + 1
b) P= x7 + x2 + 1
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
a) Q = a5 + a + 1
= a5 + a + 1+ a2 - a2
= (a5 - a2 )+( a2 + a + 1)

( Thêm bớt a2)
( Nhóm hạng tử)

= a2(a- 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức)
= ( a2 + a + 1)(a3 - a2 + 1)

(Đặt nhân tử chung )

17
17
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


b) P= x7 + x2 + 1
= x7 – x + x2 + x + 1
(Thêm bớt x )
3

3
2
= x(x +1) (x -1)+ (x + x + 1 )
(Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
3
2
2
= x(x +1)(x-1)(x + x + 1) +(x + x +1) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
= (x2 + x + 1 )(x5 – x4 + x2 - x + 1 )
Chú ý: Các đa thức dạng x3m+1 + x3n+2 +1 như x7 + x2 + 1, x7 + x5 + 1, x + x5 + 1,
…. Đều chứa nhân tử x2 + x + 1
Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên cần
thông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị. Vậy ta có thể
đặt ẩn phụ để đưa bài toán đơn giản hơn.
Đặt t = x2 + x+1 khi đó A = t(t + 1) -12 = t2 + t - 12
Sau đó có thể phân tích t2 + t - 12 = t2 + 4t - 3t - 12 ( tách t = 4t - 3t)
=( t2 + 4t) - (3t + 12) ( nhóm hạng tử)
= t( t + 4) - 3( t + 4) = (t + 4)( t - 3) ( đặt nhân tử chung)
Hay A = (x2 + x+5)( x2 + x - 2)
18
18
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

Ta x2 + x+5= (x+ )2 + ≥ 0 nên khơng phân tích được nữa
cịn x2 + x - 2= (x-1)(x+2)
vậy A = (x2 + x+5)(x -1 )( x+ 2)
b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128= (x2+ 10x)(x2+10x +24)+128
Đặt x2+10x +12 = y đa thức đã cho có dạng
( y +12) ( y-12) +128 = y2 – 16 =( y +4) ( y-4)
= ( x2+10x +16)( x2+10x +8)
= ( x+2)(x+8)( x2+10x +8)
Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biết, ta đã đứa đa thức bậc bốn đối
với x thành đa thức bậc hai đối với biến y
4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1)
Phương pháp:Nếu đa thức (1) có nghiệm thì theo định lí Bơ Zu có m là nghiệm
của (1)thì đa thức chứa nhân tử (x – m) khi đó dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
được dựa vào các phương pháp nêu trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Chú ý: khi xét nghiệm nguyên của đa thức, cần sử dụng định lí bổ sung sau:

19
19
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f(x). f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
a-1

và

f(-1)
a+1

đều

là số ngun. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
+ Cũng có thể tìm nghiệm bằng máy tính casio rồi từ đó phân tích đa thức thành
nhân tử.
Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 .
b) B(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 .
c) C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
a) A = x3 - 5x2 + 8x - 4 xét tổng các hệ số ta thấy
a + b + c +d = 1 +(-5)+ 8+ (-4) = 0 ⇒ x1 = 1
A = (x - 1) (x2 - 4x + 4) (Chia hết cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã có để các em làm tiếp
A= (x - 1) (x - 2)2
20
20
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

b) B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
Ta thấy các ước của 18 là ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18
B(1) = -18 ; B(-1) = -44 vì vậy ±1 không phải là nghiệm của B(x) .
Ta thấy -18/(-3-1); -18/(±6-1); -18/(±9-1); -18/(±18-1) không nguyên nên ; -3; ±6; ±9;
±18 không là nghiệm của B(x)
Ta thấy -44/ (2+1) không nguyên nên 2 khơng là nghiệm của B(x). Chỉ cịn -2 và 3
kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của B(x) do đó ta tách hạng tử để xuất hiện nhân tử
chung là x – 3 như sau:
B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
= 4x3 - 12x2- x2 +3x + 6x - 18
= 4x2(x – 3) – x(x-3) +6 ( x-3)
= ( x – 3) (4x2– x+6 )
Các em có thể lấy đa thức B chia cho x – 3 được thương là (4x2– x+6 ) số dư là 0
Các em cũng có thể dùng máy tính casio tìm nghiệm của B rồi dùng sơ đơ hoocne để
phân tích đa thức thành nhân tử.
Ấn như sau:
4 aphal x ^ 3 -13 aphal x ^ 2 + 9 aphal x – 18= 0 shift solve
Nghiệm là x = 3
Ta có sơ đồ hoocne như sau:
4
3
4
3
2
B = 4x - 13x + 9x - 18
= ( x – 3) (4x2– x+6 )
c) C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x – 5

-13

-1

9
6

-18
0

21
21
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức khơng có nghiệm
ngun. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữa tỉ khác. Ta chứng minh được rằng
trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữa tỉ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là
ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
Vì vậy ta xét các số ±1/3; ±5/3 thì 1/3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa
thừa số 3x-1 nên ta tách đa thức có nhân tử chung là 3x- 1 như sau:
C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x – 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2( 3x -1) –2x(3x -1) +5(3x -1)
= ( 3x -1) (x2–2x+ 5)
5. Phương pháp dùng hệ số bất định (Đồng nhất hệ số)
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở
hai đa thức phải có hệ số bằng nhau . Chẳng hạn
P(x) = bx2 + 2cx- 3
Q(x) = x2 - 4x - p
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có b = 1 (Hệ số của lũy thừa 2)
2c = -4 ⇒ C = -2

p=3

(Hệ số của lũy thừa 1)
(Hạng tử khơng đổi)

Ví dụ 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
22
22
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Đa thức 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 có nghiệm x = 2 nên có nhân tử x - 2
Do đó 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)(2x3 + ax2 + bx+ c)
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 =2x4 +( a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c

Suy ra:

 a − 4 = −3
b − 2a = −7


c − 2b = 6

 − 2c = 8

Vậy a = 1, b = -5 , c = - 4
Khi đó H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)(2x3 + x2 - 5x- 4)
2x3 + x2 - 5x- 4 = ( x + 1)(2x2 -x- 4)
Do đó: H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)( x + 1)(2x2 - x- 4)

Các ví dụ trên là một trong những bài toán cơ bản dùng phối kết hợp các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó giúp các em nắm bắt được
một số bài tốn khó khi phân tích đa thức thành nhân tử. Đồng thời từ đó giúp HS
có cơng cụ sắc bén để giải quyết các bài tốn rút gọn phân thức cũng như giải
phương trình.
6. Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của
đa thức, rồi gán các biến có giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại.
23
23
Giáo viên: Đồn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Ví dụ 13 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A= x2 (y – z) + y2( z-x) +z2( x – y)
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
Thử thay x bởi y thì A = y2 (y – z) + y2( z-y) +z2( y – y)= 0
Như vậy A chia hết cho x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì A khơng đổi ta nói đa thức A có thể
hốn vị vịng quanh x yzx . Do đó nếu A chia hết cho x – y thì cũng chia hết cho y
– z , z – x.do đó A có dạng k (x – y )(y – z )( z – x) và k là hằng số.
Vì A có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, cịn tích (x – y )(y – z )( z – x) cũng có
bậc 3 đối với các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2 (y – z) + y2( z-x) +z2( x – y) = k (x – y )(y – z )( z – x) đúng với
mọi x, y, z nên ta gán x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y= 1, z= 0 chỉ cần
chúng đôi một khác nhau ta được kết quả như sau:
4.1+1.(-2)+0=k 1.1.(-2)
Suy ra k = -1
Vậy A = -1 (x – y )(y – z )( z – x)
* Biện pháp 3: Giúp HS sử dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử vào giải tốn
Bài 1:Giải phương trình:
a) 6x4 – x3 – 7x2 + x +1 = 0
24
24
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


⇔
⇔
⇔

6x4 – x3 – x2 - 6x 2 + x +1 = 0
x2( 6x 2 – x – 1) – ( 6x 2 - x – 1) = 0
(x2- 1)(2x-1)(3x+1) = 0
1
1
−
2
3

Nghiệm là -1;1; ;

b) x3 – 5x 2+ 8x-4 = 0
Ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình (vì 1-5+8-4=0)
do đó : x 3 – 5x 2+ 8x-4 chia hết cho x-1.
Thực hiện phép chia đa thức được thương x 2- 4x +4
Khi đó x3 – 5x 2+ 8x-4 = 0

⇔

(x-1)(x2- 4x +4) = 0

⇔

(x-1)(x- 2) 2 = 0

Nghiệm của phương trình là 1 và 2
Bài 2:Rút gọn phân thức

A=

B=

B=

4 x 2 − 1 4 xy − 2 y + 2 x − 1
−
2x − 1
2y +1

3x 3 − 7 x 2 + 5 x − 1
2x3 − x 2 − 4x + 3

=

=

(2 x + 1)( 2 x − 1) (2 x − 1)( 2 y + 1)
−

2x − 1
2y +1

= 2

3x 3 − x 2 − 6 x 2 + 2 x + 3x − 1
2 x 3 − 4 x 2 + 3x 2 − 6 x + 2 x + 3

(3 x − 1)( x − 1) 2
3x − 1
=
2
2x + 3
(2 x + 3)( x − 1)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
25
25
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk