Hướng dẫn giải đề kiểm tra định kỳ số 1 - 2013 môn toán thầy phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (245.87 KB, 5 trang )
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1:
Cho hàm số:
3 2
3 1 ( )
m
y x x mx C
= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 3 (C
3
)
b. Chứng minh rằng: (C
m
) cắt (C):
3 2
2 7
y x x
= + +
tại 2 ñiểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung ñiểm
I của ñoạn AB.
c. Tìm m ñể (C
m
) cắt ñường thẳng (d): y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt C, D, E với C(0; 1). Tìm m ñể tiếp
tuyến tại D, E với (C
m
) vuông góc nhau.
Giải:
a) Với m = 3
3 2
3
3 3 1 ( )
y x x x C
⇒ = + + +
Học sinh tự khảo sát và vẽ ñồ thị (C
3
)
b) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C
m
) và (C):
3 2 3 2
2
2
3 1 2 7
6 0 (1)
24 0
x x mx x x
x mx
m m
+ + + = + +
⇔ + − =
∆ = + > ∀
⇒
(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
. Vậy (C
m
) và (C) luôn cắt nhau tại 2 ñiểm phân biệt
1 1 2 2
( ; ); ( ; )
A x y B x y
( ) ( )
1 2
3 3 2 2
1 2 1 2
2
2 14
2
I
I
x x
x
x x x x
y
+
=
⇒
+ + + +
=
Áp dụng ñịnh lý Viet cho phương trình (1) ta có:
1 2
1 2
. 6
b
x x m
a
c
x x
a
+ = − = −
= = −
Vậy
( )
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2 14
2
I
I
m
x
x x x x x x x x x x
y
= −
⇒
+ + − + + − +
=
( )
( )
2
2
1 2 1 2
2
3 2 12 14
2
I
I
m
x
m x x x x m
y
−
=
⇔
− + − + + +
=
HƯỚNG DẪN GIẢI
ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KỲ SỐ 01
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
2 2 3 2
2
( 18) 2 24 14 2 18 38
2 2
I
I
m
x
m m m m m m
y
−
=
⇔
− + + + + − + − +
= =
Thay
2
I
m x
= −
ta ñược:
3 2 3 2
3 2
( 2 ) 2( 2 ) 18( 2 ) 38 8 8 36 38
2 2
4 4 18 19
I I I I I I
I
I I I I
x x x x x x
y
y x x x
− − + − − − + + + +
= =
= + + +
Vậy quỹ tích của I là ñường cong có phương trình:
3 2
4 4 18 19
y x x x
= + + +
c)
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C
m
) và (d):
3 2 3 2
2
2
3 1 1 3 0
0 (2)
( 3 ) 0
3 0 (3)
x x mx x x mx
x
x x x m
x x m
+ + + = ⇔ + + =
=
⇔ + + = ⇔
+ + =
Yêu cầu bài toán
⇔
pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
ñều khác 0, ñồng thời:
1 2
'( ). '( ) 1
f x f x
= −
.
Trong ñó
3 2
( ) 3 1
f x x x mx
= + + +
ycbt
( )( )
2 2
1 1 2 2
9 4 0
0
3 6 3 6 1
m
m
x x m x x m
∆ = − >
⇔ ≠
+ + + + = −
Do x
1
, x
2
là nghiệm của (3) nên
2
1 1
3 0
x x m
+ + =
và
2
2 2
3 0
x x m
+ + =
2
1 1
2
2 2
3
3
x m x
x m x
= − −
⇒
= − −
[ ][ ]
1 1 2 2
9
4
0
3( 3 ) 6 3( 3 ) 6 1
m
m
x m x m x m x m
<
⇔ ≠
− − + + − − + + = −
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 9
0 0
4 4
9 6( ) 4 1 9 6( ) 4 1 0
m m
x x x x m m x x x x m m
≠ < ≠ <
⇔ ⇔
+ + + = − + + + + =
Áp dụng ñịnh lý Viet vào phương trình (3) ta có:
1 2
1 2
3
.
b
x x
a
c
x x m
a
+ = − = −
= =
2 2
9
0
9 9
0 0
4
4 4
9 65
9 18 4 1 0 4 9 1 0
8
m
m m
m m m m m
m
≠ <
≠ < ≠ <
⇔ ⇔ ⇔
±
− + + = − + =
=
Kết luận
: Vậy với
9 65
8
m
±
=
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Câu 2:
Cho hàm số:
3 2
3 (2 1) 3 ( )
m
y mx mx m x m C
= − + + + −
Tìm m sao cho hàm số có cực ñại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi ñó ñường thẳng nối hai ñiểm cực ñại,
cực tiểu của (C
m
) luôn ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh.
Giải:
TXð: D = R
•
2
' 3 6 2 1
y mx mx m
= − + +
(C
m
) có cực ñại và cực tiểu
' 0
y
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt.
2 2
0 0
0
0
9 3 (2 1) 0 3 3 0
0
0 1
0 1
m m
m
m m m m m
m
m m
m m
≠ ≠
≠
⇔ ⇔ ⇔
∆ >
− + > − >
≠
⇔ ⇔ < ∨ >
< ∨ >
• Lấy y’ chia cho y ta ñược:
1 2(1 ) 10
'
3 3 3 3
x m m
y y x
− −
= − + +
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là tọa ñộ 2 ñiểm cực trị
, ,
1 1 2 2
'( ) '( ) 0
y f x y f x
⇒ = = = =
1 1
2 2
2(1 ) 10
3 3
2(1 ) 10
3 3
m m
y x
m m
y x
− −
= +
⇒
− −
= +
⇒
Hai ñiểm cực trị của (C
m
) cùng nằm trên ñường thẳng có phương trình:
2(1 ) 10
( ):
3 3
m m
y x
− −
∆ = +
( )
⇒ ∆
chính là ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của (C
m
)
• Gọi A(x
0
; y
0
) là ñiểm cố ñịnh:
0 0
2(1 ) 10
0 1
3 3
m m
y x m m
− −
⇔ = + ∀ < ∨ >
0 0 0
0 0 0
0
0
0 0
0
3 2 2 10 0 1
(2 1) 3 2 10 0 0 1
1
2 1 0
2
3 2 10 0
3
y x mx m m m
m x y x m m
x
x
y x
y
⇔ = − + − ∀ < ∨ >
⇔ + + − − = ∀ < ∨ >
+ =
= −
⇔ ⇔
− − =
=
• Vậy
( )
∆
luôn ñi qua ñiểm
1
;3
2
A
−
cố ñịnh.
Câu 3:
Cho hàm số:
1
( )
2
x
y C
x
+
=
−
Tìm ñiểm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục tọa ñộ là nhỏ nhất.
Giải:
Xét ñiểm M(x; y)
1
( ):
2
x
C y
x
+
∈ =
−
1
( ,Ox) ( , )
2
x
d M d M Oy x y x
x
+
+ = + = +
−
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
Xét
1
( )
2
x
f x x
x
+
= +
−
Ta có:
1
(0)
2
f
=
TH
1
:
1 1
( )
2 2
x f x x
> ⇔ ≥ >
TH
2
:
1 1
( )
2 2
x
x f x x
x
+
≤ ⇔ = +
−
(vì
1 0
x
+ >
và
1
2 0
2
x x
− > ∀ ≤
)
1 1
0
2 2
( )
1 1
0
2 2
x
x khi x
x
f x
x
x khi x
x
+
− + − ≤ ≤
−
⇒ =
+
+ < ≤
−
Từ ñó ta có bảng biến thiên
x
-1/2 0 1/2
f’(x) - +
f(x)
7/10 3/2
1/2
1 1
( )
2 2
f x x
⇒ ≥ ∀ ≤
1
( )
2
f x
=
khi và chỉ khi x = 0.
Vậy
1
0;
2
M
−
Câu 4:
Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:
3 3
1 1
x x m
+ + − =
Giải:
ðặt
3 3
( ) 1 1
f x x x
= + + −
2 2
3 3
1 1
'( )
3 (1 ) 3 (1 )
f x
x x
= −
+ −
2 2
3 3
2 2
3 3
1 1
'( ) 0 0
3 (1 ) 3 (1 )
1
(1 ) (1 ) 0
f x
x x
x
x x
≥ ⇔ − ≥
+ −
≠ ±
− − + ≥
2 2 2 2
1 1
1
1 0
4 0
(1 ) (1 ) 1 2 1 2
x x
x
x
x
x x x x x x
≠ ± ≠ ±
≠ ±
⇔ ⇔ ⇔ − ≠ ≤
− ≥
− ≥ + − + ≥ + +
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
Bảng biến thiên:
x
−∞
-1 0 1
+∞
f’(x) + + 0 - -
f(x)
2
3
2
3
2
0 0
3 3
2 2 2
3 3 3
1 1
lim ( ) lim ( 1 1 lim 0
(1 ) (1 ) ( 1)
x x x
x x
f x x x
x x x
→±∞ →±∞ → ∞
+ − +
= + + − = =
+ + − + −
∓
Tập giá trị của
[
]
( ) 0;2
f x ∈
Vậy ñể phương trình có nghiệm
0 2
m
⇔ ≤ ≤
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
