Hướng dẫn giải đề kiểm tra định kỳ số 4 - 2013 môn toán thầy phương

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-


J
E
N
M
A
B
C
S
D
I
K


Bài 1:
Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông tại S, SA = SB = SC = a. Gọi M, N,
E lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, AC, BC. D là ñiểm ñối xứng của S qua E, I là giao ñiểm của
ñường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của
khối tứ diện MBSI.

Giải:

• Xác ñịnh giao ñiểm I của ñường thẳng AD với mp(SMN):
ðiểm
( )
S SAD
∈
và
( )
S SMN
∈

Gọi J là trung ñiểm của ñoạn MN.
Do ABC là tam giác ñều (cạnh AB = AC = BC
2
a
=
)
Và M; N là trung ñiểm của AB, AC
nên J là trung ñiểm của AE
⊂
(SAD).
Vậy J cũng là giao ñiểm của mp(SMN) và (SAD).
Suy ra SJ kéo dài cắt ñường thẳng AD tại giao ñiểm I.
Từ E là trung ñiểm của SD kẻ ñường thẳng song song với SI
cắt AD tại K.
Suy ra AI = IK = KD.
Trong tam giác vuông cân BSC ta có:
2
' '

3 3
.
3cos 3cos
BCC B
a a
S a
α α
= =
1 2
2 2
a
SE BC= =
2
SD a
⇒ =
AS
⊥
BS, AS
⊥
CS nên AS
⊥
SD
2 2 2 2 2 2
AS 2 3
AD SD a a a
⇒ = + = + =

3
3
3

a
AD a AI IK KD
⇒ = ⇒ = = =

Trong tam giác vuông ASD ta có:
2 2 2
3
, . . 3
3
a
SA a AI AD a a
= = =
, tức là
2
.
SA AI AD
=

Vậy I trùng với chân ñường cao kẻ từ S, tức là
SI AD
⊥
.
ðể tính thể tích khối tứ diện MBSI, trước tiên ta chứng minh
( )
SM MBI
⊥
.
Thật vậy trong tam giác cân ASB, M là trung ñiểm của cạnh AB nên
SM AB
⊥

.
Lại có: BD // SC mà SC
⊥
(SAB) nên BD
⊥
SM.
Vậy SM
⊥
(ABD) tức SM
⊥
(MBI)
.
1
. ( )
3
S MBI
V SM dt MBI
= ∆
Ta có:
1 2
2 2
a
SM AB= =
Vì M là trung ñiểm của AB nên
( ) ( )
dt MBI dt MAI
∆ = ∆

HƯỚNG DẪN GIẢI
ð

Ề
KI
Ể
M TRA ð
Ị
NH K
Ỳ
S
Ố
04

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


I
B
C
D
A
M
J
Lại có:

( ) . 1 1 1
.
( ) . 2 3 6
dt MBI MA AI
dt BAD BA DA
∆
= = =
∆

Và vì
∆
BAD vuông tại ñỉnh B nên dt(
∆
BAD)
2
1 1 2
. 2.
2 2 2
a
AB BD a a= = =

Suy ra
2
2
( )
12
a
dt MBI∆ =
Từ ñó:
3

.
1
. ( )
3 36
S MBI
a
V SM dt MBI= ∆ = (ñvtt)

Bài 2:
Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác ñều cạnh a, các mặt ACD và BCD
vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số ño của góc giữa hai ñường
thẳng AD, BC.


Giải:

Theo giả thiết AB = BC = BD = AC = AD = a
Nên gọi I là trung ñiểm cạnh CD ta có: DC
⊥
AI
Mà mp(ACD)
⊥
(BCD)

0
( ) 90
AI BCD AIB⇒ ⊥ ⇒ =
,
do ñó:
2 2 2 2

AI BI AB a
+ = =

Nhưng AI = BI (do hai
CAD CBD
∆ = ∆
)
Nên
2
a
AI BI= =

Từ ñó
2 2
2 2 2 2 2
2 2
a a
IC ID AD AI a= = − = − =
Vậy
, 2 2
2
a
IC ID CD IC a
= = = =

Thể tích khối tứ diện ABCD là:
3
1 1 1 2
. . . 2.
3 3 2 12

2 2
BCD
a a a
V AI S a
∆
= = =

Gọi J là trung ñiểm của cạnh AB, M là trung ñiểm của cạnh BD
Ta có: MI // BC, MJ // DA nên góc giữa hai ñt AD, BC cũng chính là góc giữa hai ñường thẳng MJ và
MI.
Trong tam giác IMJ ta có:
; IJ
2 2 2
a AB a
MI MJ
= = = =

(do IJ là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABI).
Vậy IMJ là tam giác ñều

0
IMJ 60
⇒ =
ñó cũng chính là góc giữa các ñường thẳng AD và BC.

Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ñáy hình chóp. Cho
AB = a, SA =
2
a

. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.
Chứng minh SC
( )
AHK
⊥
và tính thể tích hình chóp OAHK.
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


I
O
D
C
A
B
S
K
H
M
E
Giải:

+ BC vuông góc với (SAB)
⇒
BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB
⇒
AH vuông góc với (SBC)
⇒
AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
Từ (1) và (2)
⇒
SC vuông góc với (AHK )
2 2 2 2
3
SB AB SA a
= + =

6
SB 3 AH.SB SA.AB AH
3
a
a⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 3 2 3
SH SK
3 3
a a
⇒ = ⇒ =

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
Ta có HK song song với BD nên

2 2
3
HK SH a
HK
BD SB
= ⇒ =
.
Kẻ OE// SC
( )( ( ))
OE AHK doSC AHK
⇒ ⊥ ⊥
suy ra OE là ñường cao của hình chóp OAHK và
2 4 2
IC SC a
OE
= = =
(Vì
∆
SAC cân tại A , AI là ñường cao, là ñường trung tuyến).
Gọi AM là ñường cao của tam giác cân AHK ta có
2
2 2 2
4
9
a
AM AH HM= − =

⇒
AM=
2

3
a

3
1 1 1 2
. . .
3 3 2 2 27
OAHK AHK
a a
V OE S HK AM= = =

C2
: ðể tính hình chóp OAHK ta gắn vào hệ trục tọa ñộ vuông góc
Axyz
có A là gốc tọa ñộ, trục
Ax


hướng theo
AD

, trục
Ay

hướng theo
AB

, trục
Az


hướng theo
AS

. Thế thì:
A(0; 0; 0),
; ;0
2 2
a a
O
 
 
 

Từ tính ñồng dạng của các tam giác vuông SKA và SAD, dễ dàng tính ñược
2 2
3
3 3
SK SD a
= =
,
Suy ra
2 2
; 0;
3 3
K K K
a a
x y z= = =
.
Do tính ñối xứng của hình vẽ ta cũng có:
2 2

0; ;
3 3
H K H
a a
x y z= = =

1
. ,
6
OAHK
V AO AH AK
 
=
 
  

2 2 2 2
0; ; , ;0;
3 3 3 3
a a a a
AO AK
   
= =
   
   
   
 
,
2 2
0; ;

3 3
a a
AH
 
=
 
 
 


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


O
A
C
B
S
H
K
I
2 2 2 2

0 0
3 3 3 3
, ; ;
2
2 2 2
0
0
3
3 3 3
a a a a
AH AK
a
a a a
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 

2 2 2
2 2 2 2 4
; ;
9 9 9
a a a
 

= −
 
 
 

2 2 3
2 2 2 2 2 2
. , . .
2 9 2 9 9
a a a a a
AO AH AK
 
= + =
 
  

3
.
1 2
. ,
6 27
O AHK
a
V AO AH AK
 
⇒ = =
 
  

Bài 4:

Trong mặt phẳng (P) cho nửa ñường tròn ñường kính AB = 2R và ñiểm C thuộc nửa ñường tròn ñó
sao cho AC = R. Trên ñường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy ñiểm S sao cho

0
( , ) 60
SAB SBC =
. Gọi H,
K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC.
Chứng minh tam giác AHK vuông và tính V
S.ABC
.


Giải:

• Chứng minh
∆
AHK là tam giác vuông:
Theo giả thiết SA
⊥
(ABC)
(1)
BC SA
⇒ ⊥

ðiểm C thuộc nửa ñường tròn ñường kính AB,
Nên
(2)
BC AC
⊥

Từ (1) và (2) suy ra
( )
BC SAC
⊥

( ) ( )
SBC SAC
⇒ ⊥
theo giao tuyến SC
Mà AK
⊥
SC, AK
( )
SBC AK KH
⊂ ⇒ ⊥
.
Vậy
AHK
∆
vuông tại ñỉnh K.
• Tính thể tích
.
S ABC
V
theo R
Từ C kẻ CI
⊥
AB. Do giả thiết AC = AO = OC = R
Nên tam giác AOC ñều và

2
R
IA IO
= =
.
Lại ñể ý SA
⊥
(ABC) nên (SAB)
⊥
(ABC)
⇒
CI
⊥
(SAB).
Vậy tam giác SIB là hình chiếu vuông góc của tam giác SCB trên mp(SAB).
Vì
3
4
BI AB
= nên diện tích của
SIB
∆
bằng:
3 3 3
' ( ) ( ) . . (3)
4 8 4
S dt SIB dt SAB SA AB R SA= ∆ = ∆ = =

Gọi
2 2

1
1 1
( ) . . 3.
2 2
S dt SCB BC SC R SA R
= ∆ = = +

Theo ñịnh lý về diện tích hình chiếu, ta có:
0 2 2
1 1
1 3
' os60 (4)
2 4
R
S S c S SA R
= = = +
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


a
a
z

y
x
A
C
B
C
1
B
1
A
1
M
N
Từ (3) và (4) ta có:
2
R
SA
=

Từ ñó:
3
.
1 1 6
. ( ) . .
3 6 12
S ABC
R
V SA dt ABC AC BC SA
= ∆ = =
.

Bài 5:
Cho lăng trụ ñứng ABC.A
1
B
1
C
1
có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA
1
=
2
a
. Gọi
M, N lần lượt là trung ñiểm của ñoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh MN là ñường vuông góc chung của các
ñường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính
1 1
MA BC
V
.

Giải:

Từ giả thiết suy ra ñáy ABC là tam giác vuông cân với ñỉnh là A.
Ta lập hệ tọa ñộ như hình bên.
Ta có: A(0; 0; 0), B (0; a; 0),
( ;0; 2)
C a a
,
2
0;0; , ; ;0
2 2 2
a a a
M N
 
 
 
 
 
 
 

Và tọa ñộ của các vectơ :
( )
1
; ; 2 ; ; ;0
2 2
a a
BC a a a MN
 
= − =

 
 
 

(
)
1
AA 0;0; 2
a=


+ Dễ thấy
1 1
. .AA 0
MN BC MN
= =
   

MN
⇒
là ñường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
.
+ ðể tính thể tích
1 1
MA BC
V
ta xác ñịnh tọa ñộ 3 vectơ:

1 1
2 2 2
0;0; , 0; ; , ;0;
2 2 2
a a a
MA MB a MC a
     
= = − =
     
     
     
  

Sẽ tìm ñược
2
1
2
, ;0;0
2
a
MA MB
 
 
=
 
 
 
 
 

Sau ñó tìm ñược:
3 3
1 1
2 2
, .
2 2
a a
MA MB MC
 
= =
 
  

Thể tích cần tìm sẽ là:
1 1
3 3
1 2 2
.
6 2 12
MA BC
a a
V = =
Nhận xét: Có thể tính
1 1
MA BC
V
bởi:
1 1 1 1
3
1 1 1

1 1 1 1 1 2 2
. . . . .
3 3 2 3 2 2 12
MA BC MA C
a a
V h S BA AC MA a a= = = =


Bài 6:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, hình chiếu của ñiểm A’ lên
mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa ñường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-


A
B
C
A'
B'
C'
M
H

ñáy của hình lăng trụ bằng
α
. Chứng minh rằng hai ñường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau. Tính
diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ.


Giải:

Gọi H là trực tâm
ABC
∆
.
Theo giả thiết A’H
⊥
(ABC) nên AH là hình chiếu của
AA’trên mp(ABC)

'
A AH
⇒
là góc tạo bởi cạnh bên
A’A và ñáy

'A AH
α
⇒ =
.
Ta có: A’H
⊥
(ABC), BC

⊥
AH
AA'
BC
⇒ ⊥

(ñịnh lí 3 ñường vuông góc)
'
BC B B
⇒ ⊥
(do A’A // B’B) (tính chất lăng trụ).
Mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật

' '
'.
BCC B
S BB BC
⇒ =
Trong
ABC
∆
ñều cạnh a,
H là trực tâm cũng là trọng tâm
nên AH
3 2 3
.
2 3 3
a a
= = .
Trong tam giác vuông

' :
A AH

3 3
' , ' '
os 3cos 3cos
AH a a
A A BB A A
c
α α α
= = = =
Vậy
2
' '
3 3
.
3cos 3cos
BCC B
a a
S a
α α
= = .





Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn