Hướng dẫn giải đề kiểm tra định kỳ số 6 - 2013 môn toán thầy phương

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
6


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1: Cho mặt phẳng (P):
2 2 1 0
x y z
− + − =
và các ñường thẳng:

1 3
:
1
2 1 2
x y z
d
− −
= =
−
,
5 5
:

2
3 4 2
x y z
d
− +
= =

Tìm các ñiểm
1 2
d , d
A B
∈ ∈
sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1.

Giải:

Tìm các ñiểm
1 2
d , d
A B
∈ ∈
sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1.
1 1 1 1
(2 1, 3, 2 )
A d A t t t
∈ ⇒ + + −

2 2 2 2
(3 5,4 ,2 5)
B d B t t t

∈ ⇒ + −

2 1 2 1 2 1
(3 2 4,4 3, 2 2 5)
AB t t t t t t
= − + − − + −


2 1 2 1 2 1
. 0 2(3 2 4) 4 3 2(2 2 5) 0
p
AB n t t t t t t
= ⇔ − + − + + + + − =
 
2 1
6 1 0
t t
⇔ + + =

( )
1 1 1 1
/( )
4 2 3 4 1 2
/ /( ) 1
3 3
A P
t t t t
AB P d
+ − − − − +
⇒ = = =

1
1
5
1
t
t
= −

⇔

=


Với
1 2
2 8 11
5 ( 9; 2;10), 7; ;
3 3 3
t t A B
−
 
= − ⇒ = ⇒ − −
 
 

1 2
1 4 17
1 (3;4; 2), 4; ;
3 3 3
t t A B

− − −
 
= ⇒ = ⇒ −
 
 

Bài 2:
Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
2 4 6 11 0
x y z x y z
+ + − + − − =
với mặt phẳng (
α
) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng (
β
) song song với (
α
) và cắt (S) theo giao tuyến là ñường tròn có chu vi bằng 6π.


Giải:

Do (β) // (α) nên (β) có phương trình: 2x + 2y – z + D = 0 (D
≠
17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
ðường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới

( )
β
là h =
2 2 2 2
5 3 4
R r
− = − =

Do ñó:
2 2 2
7
2.1 2( 2) 3
4 5 12
17 (loai)
2 2 ( 1)
D
D
D
D
= −
+ − − +

= ⇔ − + = ⇔

=
+ + −


Vậy
( )

β
có phương trình: 2x+2y-z-7=0

Bài 3:
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(2 ; 1 ; 0) và ñường thẳng d với
d :
1 1
2 1 1
x y z
− +
= =
−
.
Viết phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M, cắt và vuông góc với ñường thẳng d và tìm
tọa ñộ của ñiểm M’ ñối xứng với M qua d.
HƯỚNG DẪN GIẢI
ð
Ề
KI
Ể
M TRA ð
Ị
NH K
Ỳ
S
Ố
06

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0

6


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-



Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là ñường thẳng ñi qua M, cắt và vuông góc với d.
d có phương trình tham số là:
1 2
1
x t
y t
z t
= +


= − +


= −


Vì H ∈ d nên tọa ñộ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra :
MH


= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là
u

= (2 ; 1 ; −1), nên :
2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t =
2
3
. Vì thế,
MH

=
1 4 2
; ;
3 3 3
 
− −
 
 

3 (1; 4; 2)
MH
u MH
= = − −
 

Suy ra, phương trình chính tắc của ñường thẳng MH là:
2 1
1 4 2

x y z
− −
= =
− −

Theo trên có
7 1 2
( ; ; )
3 3 3
H
− −
mà H là trung ñiểm của MM’ nên ta có: M’
8 5 4
( ; ; )
3 3 3
− −

Bài 4:
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñường thẳng:

1
4 1 5
:
3 1 2
x y z
d
− − +
= =
− −

2
2 3
:
1 3 1
x y z
d
− +
= =

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai ñường thẳng d
1
và d
2
.


Giải:

Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai ñường thẳng d
1
, d
2
tại hai ñiểm A và B khi ñó ta luôn có:
IA + IB ≥ AB và AB ≥
(
)
1 2
,
d d d
dấu bằng xảy ra khi I là trung ñiểm AB và AB là ñoạn vuông góc chung

của hai ñường thẳng d
1
, d
2
Ta tìm A, B :
'
AB u
AB u

⊥


⊥


 
 
A∈d
1
, B∈d
2
nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)
⇒
AB

(….)…
⇒
A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)
⇒
I(2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=
6

Nên có phương trình là:
( )
2
2 2
2 ( 1) ( 1) 6
x y z
− + − + + =


Bài 5:
Cho ñiểm
(
)
2;5;3
A
và ñường thẳng
1 2
: .
2 1 2
x y z
d
− −
= = Viết phương trình mặt phẳng
(
)
α
chứa

d
sao cho khoảng cách từ
A
ñến
(
)
α
lớn nhất.

Giải:

Gọi K là hình chiếu của A trên d
K
⇒
cố ñịnh;
Gọi
(
)
α
là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên
(
)
α
.
Trong tam giác vuông AHK ta có
.
AH AK
≤

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương

Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
6


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Vậy
(
)
max
AH AK
α
= ⇔
là mặt phẳng qua
K
và vuông góc với
AK.
Gọi
(
)
β
là mặt phẳng qua
A
và vuông góc với
d

(
)
: 2 2 15 0
x y z
β
⇒ + + − =

(
)
3;1;4
K⇒

(
)
α
là mặt phẳng qua
K
và vuông góc với
AK
(
)
: 4 3 0
x y z
α
⇒ − + − =


Bài 6:
Trong không gian toạ ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai ñường thẳng
d

1
:
1 1 2
2 3 1
x y z
+ − −
= =
, d
2
:
2 2
1 5 2
x y z
− +
= =
−

Viết phương trình ñường thẳng d vuông góc với (P) ñồng thời cắt hai ñường thẳng d
1
và d
2
.


Giải:
Phương trình tham số của d
1
và d
2
là:

1 2
1 2 2
: 1 3 ; : 2 5
2 2
x t x m
d y t d y m
z t z m
= − + = +
 
 
= + = − +
 
 
= + = −
 

Giả sử d cắt d
1
tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d
2
tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN
⇒

(3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
Do d ⊥ (P) có VTPT
(2; 1; 5)
P
n

− −

nên
:
p
k MN kn
∃ = ⇔
 
3 2 2
3 5 3
2 2 5
m t k
m t k
m t k
+ − =


− + − = −


− − − = −

có nghiệm
Giải hệ tìm ñược
1
1
m
t
=



=


Khi ñó ñiểm M(1; 4; 3)
⇒
Phương trình d:
1 2
4
3 5
x t
y t
z t
= +


= −


= −

thoả mãn bài toán.
Bài 7:
Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0
và hai ñường thẳng :
(d)
1 3 2
1 1 2
x y z
+ − +

= =
−
và (d’)
1 2
2
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +


Viết phương trình tham số của ñường thẳng (
∆
) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai ñường thẳng (d) và
(d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .


Giải:

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại ñiểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại ñiểm B(9 ; 6 ; 5)
ðường thẳng ∆ cần tìm ñi qua A, B nên có phương trình :

9

6 8
5 15
x t
y t
z t
= −


= −


= −


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
6


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-




( ) ( )
( )
' , '

8
, '
11
, '
MM u u
d d d
u u
 
 
= =
 
 
  
 

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcác vuông góc Oxyz cho hai ñường thẳng :

(d)
1 2
4 5
x t
y t
z t
=


= +


= +


và (d’)
1 2
3
x t
y t
z t
=


= − −


= −


a. CMR hai ñường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
b. Viết phương trình chính tắc của cặp ñường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .


Giải:

+ ðường thẳng (d) ñi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP
(
)
1;1;2
u


+ ðường thẳng (d’) ñi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP

(
)
' 2;1;1
u


Ta có :
•

(
)
' 2; 1;3
MM
= −


•

( )
(
)
1 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 1
' , ' 2; 1;3 ; ; 8 0
MM u u
 
= − = − ≠
 
  

Do ñó (d) và (d’) chéo nhau .(ðpcm)
Khi ñó :
a) + ðường thẳng (d) ñi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP
(
)
1; 2;5
u


+ ðường thẳng (d’) ñi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP
(
)
' 1; 2; 3
u
− −


Nhận thấy (d) và (d’) có một ñiểm chung là
1 3
;0;
2 2
I
 
−
 
 
hay (d) và (d’) cắt nhau . (ðPCM)
b) Ta lấy
15 15 15
. ' ; 2 ; 3

7 7 7
'
u
v u
u
 
= = − −
 
 
 

 

.
Ta ñặt :
15 15 15
1 ;2 2 ;5 3
7 7 7
a u v
 
= + = + − −
 
 
 
  


15 15 15
1 ;2 2 ;5 3
7 7 7

b u v
 
= − = − + +
 
 
 
  

Khi ñó, hai ñường phân giác cần tìm là hai ñường thẳng ñi qua I và lần lượt nhận hai véctơ
,
a b
 
làm VTCP
và chúng có phương trình là :
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
6


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-



1 15
1
2 7
15

2 2
7
3 15
5 3
2 7
x t
y t
z t

 
= − + +

 
 

 

 

= −
 

 
 


 

= + −
 

 

 

và
1 15
1
2 7
15
2 2
7
3 15
5 3
2 7
x t
y t
z t

 
= − + −

 
 

 

 

= +
 


 
 


 

= + +
 
 

 



Bài 9:
Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho 4 ñiểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),
D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:
2 0
x y z
+ + − =
. Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng
Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu ñi qua 4 ñiểm A’, B, C, D. Xác ñịnh toạ ñộ tâm và bán kính của ñường tròn (C) là
giao của (P) và (S).


Giải:

Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) ñi qua A’, B, C, D là:

(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0, 0
x y z ax by cz d a b c d
+ + + + + + = + + − >

Vì
(
)
', , ,
A B C D S
∈
nên ta có hệ:
5
2 2 2 0
2
2 6 4 14 0
1
8 6 4 29 0
1
8 2 4 21 0
1
a b d
a
a b c d
b
a b c d
c
a b c d

d

− + + =
= −




+ + + + =
 
= −
⇔
 
+ + + + =
 
= −
 
− + + − =

= −



Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: 01225
222
=+−−−++ zyxzyx

(S) có tâm
5
;1;1

2
I
 
 
 
, bán kính
29
2
R =
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của ñường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là ñường thẳng ñi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phương là:
(
)
1;1;1
n


Suy ra phương trình của d:
5 / 2
5
1 ;1 ;1
2
1
x t
y t H t t t
z t
= +



 
= + ⇒ + + +

 
 

= +


Do
(
)
( )
H d P
= ∩
nên:
5 5 5
1 1 2 0 3
2 2 6
t t t t t
+ + + + + − = ⇔ = − ⇔ = −

5 1 1
; ;
3 6 6
H
 
⇒
 
 

75 5 3
36 6
IH
= =
, (C) có bán kính
2 2
29 75 31 186
4 36 6 6
r R IH
= − = − = =


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương
Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
6


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-


Bài 10
: Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho
(
)
: 2 5 0
P x y z

+ − + =
và ñường thẳng
3
( ) : 1 3
2
x
d y z
+
= + = −
, ñiểm A( -2; 3; 4). Gọi
∆
là ñường thẳng nằm trên (P) ñi qua giao ñiểm của ( d)
và (P) ñồng thời vuông góc với d. Tìm trên
∆
ñiểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.


Giải:
Chuyển phương trình d về dạng tham số ta ñược:
2 3
1
3
x t
y t
z t
= −


= −



= +


Gọi I là giao ñiểm của (d) và (P)
(
)
2 3; 1; 3
I t t t
⇒ − − +

Do
(
)
(
)
2 3 2( 1) ( 3) 5 0 1 1;0;4
I P t t t t I∈ ⇒ − + − − − + = ⇔ = ⇒ −

* (d) có vectơ chỉ phương là
(2;1;1)
a

, mp( P) có vectơ pháp tuyến là
(
)
1;2; 1
n
−


( )
, 3;3;3
a n
 
⇒ = −
 
 
. Gọi
u

là vectơ chỉ phương của
∆

(
)
1;1;1
u
⇒ −


1
:
4
x u
y u
z u
= −



⇒ ∆ =


= +

. Vì
(
)
1 ; ;4
M M u u u
∈∆ ⇒ − − +
,
(
)
1 ; 3;
AM u u u
⇒ − −


AM ngắn nhất AM
⇔ ⊥ ∆

. 0 1(1 ) 1( 3) 1. 0
AM u AM u u u u
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ − − + − + =
   


4
3

u
⇔ =
. Vậy
7 4 16
; ;
3 3 3
M
−
 
 
 



Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn