Bài giảng Xác suất thống kê

Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành
PHẦN I. XÁC SUẤT

CHƢƠNG I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
§1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Quy tắc cơ bản về phép đếm
1.1. Quy tắc cộng
Một công việc có thể thực hiện theo k phương án độc lập
Phương án thứ nhất có n 1 cách thực hiện.
Phương án thứ hai có n 2 cách thực hiện.
……
Phương án thứ k có n k cách thực hiện.
Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc này là n 1 + n 2 + L + n k .
Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có thể đi bằng một trong 3 phương tiện: máy bay, tàu
hỏa, ôtô. Trong một ngày có 10 chuyến bay, 20 chuyến tàu hỏa và 30 chuyến ôtô khởi hành từ A
đến B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B trong một ngày?
Giải. Ta có 3 phương án đi từ A đến B bằng 3 phương tiện:
Phương án 1: đi bằng máy bay, có n1  10 cách,
Phương án 2: đi bằng tàu hỏa, có n2  20 cách,
Phương án 3: đi bằng ơtơ, có n2  30 cách.
Vậy theo quy tắc cộng có 10  20  30  60 cách đi từ A đến B trong một ngày.■
1.2. Quy tắc nhân
Một công việc phải thực hiện thông qua k giai đoạn có mối liên hệ với nhau.
Giai đoạn 1 có n 1 cách thực hiện.
Giai đoạn 2 có n 2 cách thực hiện.
……
Giai đoạn k có n k cách thực hiện.
Khi đó, số cách để hồn thành công việc A là n 1 ´ n 2 ´ L ´ n k .

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

1


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Ví dụ 2. Từ A đến B có 2 con đường, từ B đến C có 3 con đường.
a) Có bao nhiêu cách đi từ A qua B rồi đến C?
b) Người ta mở thêm 2 con đường đi trực tiếp từ A đến C, hỏi khi đó có bao nhiêu cách đi từ
A đến C.
Giải.
a) Giai đoạn 1 đi từ A đến B có 2 cách, giai đoạn 2 đi từ B đến C có 3 cách. Vậy theo quy
tắc nhân có 2 ´ 3 = 6 cách đi từ A qua B rồi đến C.

A

B

C

b) Phương án 1: đi từ A qua B rồi đến C, theo câu a) có 6 cách,
Phương án 2: đi trực tiếp từ A đến C (khơng qua B) có 2 cách
Vậy theo quy tắc cộng có 6  2  8 cách đi từ A đến C. ■

A

B

C

2. Chỉnh hợp lặp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử của A , các
phần tử có thể được lấy lặp lại, được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.
Ví dụ 3. Tập A = {a, b, c} có các chỉnh hợp lặp chập 2 là aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. ■
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu B nk và được tính theo cơng thức
B nk = n k .

 Một khoa ở bệnh viện A có 5 phịng điều trị nội trú, hỏi có bao nhiêu cách xếp 3 bệnh
nhân vào khoa này? (không hạn chế số người bệnh trong một phịng)
3. Chỉnh hợp khơng lặp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ có thứ tự gồm k phần tử phân biệt lấy từ n phần tử của
A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ 4. Tập A  {a, b, c} có các chỉnh hợp chập 2 là ab, ba, ac, ca, bc, cb .■
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ank .

Ank = n (n - 1) K (n - k + 1) =

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

n!
(n - k )!

2


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

 Một phòng điều trị nội trú ở bệnh viện A có 5 giường trống. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 3
bệnh nhân vào các giường này biết mỗi giường chỉ chứa khơng q 1 người?
4. Hốn vị
Cho tập hợp A có n phần tử. Một dãy gồm tất cả các phần tử của A sắp xếp theo một thứ tự nào
đó được gọi là một hốn vị của n phần tử này
Ví dụ 5. Tập A  {a, b, c} có các hốn vị là abc, acb, bac, bca, cab, cba .■
Số hốn vị của n phần tử, kí hiệu là Pn .

Pn = n !
 Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi? Câu hỏi tương tự đối với
bàn tròn, với quy ước các hốn vị vịng quanh trên bàn trịn chỉ là một cách xếp.
5. Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ không thứ tự (một tập con) k phần tử lấy từ n phần tử
của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ 6. Tập A  {a, b, c} có các tổ hợp chập 2 là ab, ac, cb .■
Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu C nk .

C =
k
n

Ank
k!

=

n!
k !(n - k )!

Ví dụ 7. Có 5 mẫu máu cần xét nghiệm nhưng chỉ có đủ hóa chất để xét nghiệm cho 3 mẫu. Hỏi
có bao nhiêu cách thực hiện?
Giải. Số cách xét nghiệm chính là số cách chọn 3 mẫu máu (khơng kể thứ tự) từ 5 mẫu máu hay
số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử. Vậy có C53  10 cách. ■
 Phịng khám có 6 bác sĩ nam và 4 bác sĩ nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bác sĩ nam và 2
bác sĩ nữ tham gia một ca hội chẩn?
Ví dụ 8. Một lớp học có 50 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên để:
a) Lập một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ?
b) Lập một nhóm tham sự hội nghị sinh viên tồn trường? (vai trị của các thành viên trong
nhóm như nhau)

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

3


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Giải. a) Mỗi kết quả chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ từ 50 sinh viên tương ứng với
một cách chọn một bộ có thứ tự 3 phần tử từ 50 phần tử hay chính là một chỉnh hợp chập 3 của
50 phần tử. Vậy số kết quả có thể xảy ra là A503 =

50!
= 117600 .
(50 - 3)!

b) Mỗi kết quả là một tổ hợp chập 3 của 50 phần tử. Vậy số kết quả có thể xảy ra là

C 503 =

50!
= 19600 .■
3!(50 - 3)!

 Tủ đựng thuốc có 3 ngăn, hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 hộp thuốc giống nhau vào tủ?
(khơng hạn chế số hộp trong một ngăn)
§2. BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
1. Phép thử và biến cố
Phép thử là một khái niệm cơ bản của xác suất, nó khơng được định nghĩa một cách
chính xác. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một hành động để quan sát một hiện tượng
ngẫu nhiên nào đó, chẳng hạn gieo một con xúc xắc xem xuất hiện mặt mấy chấm, gieo một
đồng xu xem xuất hiện mặt sấp hay ngửa, chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ một kho hàng để
kiểm tra xem chất lượng tốt hay xấu … là những phép thử.
Hiện tượng ngẫu nhiên ta quan sát trong phép thử được gọi là biến cố. Mỗi biến cố chính
là một kết quả (kết cục) của phép thử. Trong một phép thử có thể có nhiều kết quả xảy ra, có kết
quả đơn giản và cũng có kết quả phức hợp. Chẳng hạn, khi gieo xúc xắc, nếu ta chỉ quan tâm tới
mặt xuất hiện có mấy chấm thì 1, 2, 3, 4, 5, 6 là những kết quả đơn giản nhất; trong khi đó sự
xuất hiện của các số chẵn (2, 4, 6) hay lẻ (1, 3, 5) … là những kết quả phức hợp. Kết quả đơn
giản nhất gọi là các biến cố sơ cấp, tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu
hay không gian các biến cố sơ cấp. Như vậy, về phương diện tập hợp, biến cố là một tập con của
không gian mẫu. Ta thường dùng  để ký hiệu cho không gian mẫu; A, B, C,... để ký hiệu cho
các biến cố.
Ví dụ 1.
1. Gieo một đồng xu một lần, khơng gian mẫu là .   {S , N}
2. Gieo một đồng xu hai lần, không gian mẫu là .   {SS , SN , NS , NN} .
3. Gieo một con xúc xắc, không gian mẫu là   {1,2,3,4,5,6} . Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt
chẵn” thì A  {2, 4, 6} ; các kết quả 2, 4, 6 gọi là các kết quả thuận lợi cho biến A; gọi B là biến

cố “xuất hiện mặt chia hết cho 3” thì B  {3, 6} .■
2. Các loại biến cố
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

4


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

2.1. Biến cố chắc chắn (): Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử.
2.2. Biến cố không thể ():Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử.
2.3. Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra khi thực hiện phép thử, các
biến cố này thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa: A, B, C, …
Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có từ 1 đến 6 chấm” là biến cố chắc chắn;
biến cố “xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể; biến cố “xuất hiện mặt 5 chấm” là biến cố
ngẫu nhiên. ■
3. Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố
3.1. Quan hệ kéo theo
Ta nói rằng biến cố A kéo theo biến cố B, ký hiệu A  B , nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra..
Hai biến cố A và B được gọi là tương đương, kí hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược
lại, nghĩa là A  B và B  A.
Ví dụ 3. Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm, B là biến cố xuất hiện
mặt chẵn nhỏ hơn 4 chấm, C là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A = B, A  C .■
3.2. Tổng các biến cố
Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu là A + B hoặc AB, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi
ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Tổng của hữu hạn biến cố A1 + A2 + ¼ + An
được định nghĩa tương tự.
Ví dụ 4.

1. Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng bia, B là
biến cố người thứ hai bắn trúng bia. Khi đó AB là biến cố bia bị trúng đạn.
2. Gieo một con xúc xắc; A  {1,3,6}, B  {3,5,6} thì A  B  {1,3,5,6} .■
Nhận xét: biến cố sơ cấp không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác.
3.3. Tích các biến cố
Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu là AB hoặc AB, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả
hai biến cố A và B đồng thời xảy ra. Tương tự ta có thể định nghĩa tích của hữu hạn biến cố

A1A2 ¼ An .
Ví dụ 5.
1. Hai người cùng bắn vào một bia, gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trệch, B là biến cố
người thứ hai bắn trệch. Khi đó AB là biến cố bia không bị trúng đạn.
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

5


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

2. Gieo một con xúc xắc; A  {1,3,6}, B  {3,5,6} thì AB  {3, 6} .■
3.4. Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không cùng xảy ra trong một phép
thử, tức là AB = .
Họ các biến cố {Ai | i Ỵ I } được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong
chúng là xung khắc nhau, nghĩa là Ai A j = ặ, " i, j ẻ I , i ạ j .
Họ các biến cố {Ai | i Ỵ I } được gọi là họ đầy đủ và xung khắc từng đơi nếu khi thực
hiện phép thử có đúng một biến cố trong họ xảy ra, nghĩa là đây là một họ xung khắc từng đơi và
có tổng là biến cố chắc chắn .

Ví dụ 6. Gieo một con xúc xắc; gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm, i  1, 6 thì {A1 ,...,A6 } là
một họ đầy đủ và xung khắc từng đôi; nếu gọi A  {1,2}, B  {3,4},C  {5,6} thì {A, B, C} cũng
là một họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. ■
3.5. Hai biến cố đối lập
A và B được gọi là hai biến cố đối lập nếu chúng lập thành một hệ đầy đủ và xung khắc,
tức là AB =  và A + B = . Khi đó B được gọi là biến cố đối lập (gọi tắt là biến cố đối) của
biến cố A và được kí hiệu là A . Nói cách khác A và B là hai biến cố đối lập nếu trong một phép
thử chỉ hoặc A hoặc B xảy ra.
Ví dụ 7.
1. Gieo một con xúc xắc; A  {1,2}, B  {3, 4,5,6} thì B  A .
2. Gieo một đồng xu 10 lần, gọi A là biến cố có ít nhất một lần sấp thì biến cố đối của A là
khơng có lần nào sấp hay tất cả cùng ngửa. ■
3.6. Sự đồng khả năng của các biến cố
Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau trong
phép thử.
Ví dụ 8.
1. Gieo một đồng xu cân đối, khi đó khả năng xuất hiện hai mặt sấp, ngửa là như nhau hay
S, N là các biến cố đồng khả năng. Cũng vậy gieo một con xúc xắc cân đối ta có 6 biến
cố đồng khả năng là xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm.

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

6


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

2. Trong một bình đựng các viên bi to nhỏ như nhau, nặng nhẹ như nhau, chỉ khác màu sắc.

Nếu ta lấy ra ngẫu nhiên một viên, không quan tâm tới màu sắc thì các viên bi trong bình
có khả năng được lấy ra như nhau. ■
4. Tính chất của các phép toán trên biến cố
Giả sử A, B, C là các biến cố. Khi đó :
A + A = A, A A = A
A + Ỉ= A, = Ỉ
A + W= W, A W= A

A + B = B + A, A B = BA;
(A + B ) + C = A + (B + C ),(A B )C = A(BC )
(A + B )C = A C + BC ; A(B + C ) = A B + A C

A + B = AB ; A B = A + B , mở rộng A1  ... An  A1...An ; A1... An  A1  ...  An

Ví dụ 9. Ba bệnh nhân nặng cùng điều trị tại bệnh viện, gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố người thứ i
bị cấp cứu trong một giờ. Hãy biểu diễn theo các biến cố Ai (i = 1, 2, 3) các biến cố sau đây:
a. Trong một giờ khơng có ai bị cấp cứu. (Đs: A  A1. A2 . A3 )
b. Trong một giờ có đúng 1 người bị cấp cứu. (Đs: B  A1. A2 . A3  A1. A2 . A3  A1. A2 . A3 )
c. Trong một giờ có đúng 2 người bị cấp cứu. (Đs: C  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )
d. Trong một giờ cả 3 người bị cấp cứu. (Đs: D  A1 A2 A3 )
e. Trong một giờ có ít nhất 1 người bị cấp cứu. (Đs: E  A1  A2  A3 )
f. Trong một giờ có ít nhất 1 người không phải cấp cứu. (Đs: F  A1  A2  A3 ).■
 Tìm các cặp biến cố đối nhau trong ví dụ 9?
§3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
Xác suất của biến cố là đại lượng đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố và được
quy ước bao hàm giữa 0 và 1 sao cho biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1, biến cố khơng thể có
xác suất bằng 0. Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A). Sau đây chúng ta sẽ xét một số
đình nghĩa xác suất:
1. Định nghĩa về xác suất theo quan điểm cổ điển.
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

7


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Giả sử một phép thử có n trường hợp (biến cố sơ cấp) đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có
m trường hợp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bằng cơng
thức:
( )

Ví dụ 1. Gieo con xúc xắc cân đối. Tính xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn.
Giải: Phép thử có n  6 trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra. Trong đó có m  3 trường hợp
thuận lợi cho xuất hiện mặt chẵn gồm A2 (2 chẵn), A4 (4 chẵn), A6 (6 chẵn). Vậy
3 1
m
= = .■
6 2
n

P (A ) =

Ví dụ 2. Gieo hai đồng tiền. Tìm xác xuất để :
a. Hai đồng tiền cùng sấp

(A1 )

b. Hai đồng tiền cùng ngửa

(A2 )

c. Một sấp, một ngửa

(A3 )

Giải. Số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra n = 4; (SS, SN, NS, NN).
Vậy ta có P (A1 ) =

1
1
1
, P (A2 ) = , P (A3 ) = .■
4
4
2

Ví dụ 3. Trong bình có 6 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Tính xác xuất của
các biến cố:
a) A = Lấy được 2 bi đỏ.
b) B = Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi trắng.
c) C = Lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
Giải. Khả năng lấy các viên bi là như nhau nên khi lấy ngẫu nhiên 2 bi trong 10 bi sẽ có n  C102
trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra.
a) Số trường hợp thuận lợi cho A (lấy 2 bi đỏ trong 6 bi đỏ) là m  C . Vậy P (A ) =
2
6

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

C 62
C

2
10

=

1
.
3

8


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

b) Công việc “lấy 1 bi đỏ và 1 bi trắng” gồm 2 giai đoạn; giai đoạn thứ nhất lấy 1 đỏ trong 6 đỏ
có C 61 cách, giai đoạn hai lấy 1 trắng trong 4 trắng có C 41 cách. Theo quy tắc nhân có C 61.C 41
trường hợp thuận lợi cho B. Vậy P (B) =

c) ĐS: P (C) =

C 61.C 41 + C 62
C

2

10

=

C 61.C 41
C

2
10

=

8
.
15

13
.■
15

Định nghĩa xác suất cổ điển tuy đơn giản trong tính tốn nhưng cũng có hạn chế như số trường
hợp xảy ra phải hữu hạn và chúng phải đồng khả năng. Trong thực tế ta có thể gặp những phép
thử có vơ số trường hợp có thể xảy ra hoặc các kết cục không đồng khả năng, tất nhiên không thể
dùng định nghĩa cổ điển cho những phép thử này. Để khắc phục, người ta đưa ra một số định
nghĩa khác, trong phần tiếp theo ta sẽ xét một định nghĩa quan trọng, gắn liền với thực tế.
2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê
Định nghĩa. Giả sử lặp lại n lần một phép thử để quan sát biến cố A ta thấy A xuất hiện m lần thì
tỷ số fn =

m

được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong loạt thử này. Khi số lần thử n thay
n

đổi thì tần suất fn thay đổi một cách ngẫu nhiên nhưng người ta chứng minh được rằng khi n đủ
lớn thì fn dần ổn định về một hằng số p . Ta định nghĩa xác suất của biến cố A chính là hằng số
p này. Nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép th tng lờn vụ hn.

P (A ) = lim
nđ Ơ

m
= p
n

Chú ý:Tất nhiên không thể thực hiện được vô hạn phép thử nên trong thực tế, người ta thường
lấy P( A)  f n khi n đủ lớn.
Ví dụ 5.
1. Chúng ta hãy quan sát số liệu thực nghiệm gieo đồng xu nhiều lần do các nhà toán học Buffon
và Pearson đã thực hiện sau đây:
Người thực hiện

Số lần gieo (n)

Số lần sấp (m)

Tần suất (m/n)

Buffon

4040

2048

0,5069

Pearson

12000

6019

0,5016

Pearson

24000

12012

0,5005

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

9


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Ta cảm nhận rằng khi số lần thử tăng lên tần suất xuất hiện mặt sấp dần ổn định về giá trị 0,5
chính là xác suất tính theo định nghĩa cổ điển nếu đồng xu hoàn toàn cân đối. Trong trường hợp
đồng xu không cân đối, các biến cố sấp, ngửa không đồng khả năng nên không thể áp dụng định
nghĩa cổ điển mà chỉ có thể dùng định nghĩa thống kê, lúc đó dãy tần suất sẽ hội tụ về một giá trị
khác 0,5. ■
2. Để kiểm tra chất lượng của một dây chuyền sản xuất ra một sản phẩm, người ta lấy ra 1000
sản phẩm. Sau khi kiểm tra thấy có 50 phế phẩm, khi đó ta có thể nói xác suất xuất hiện phế
phẩm khi sản xuất một sản phẩm là 5% hay p =

50
1
.■
=
1000 20

Việc định nghĩa xác suất bằng thống kê giúp ta có thể tìm ra quy luật diễn biến phức tạp
của thời tiết, tỉ lệ phế phẩm, lấy kích thước quần áo may sẵn, nghiên cứu cơng hiệu của một loại
thuốc nào đó v.v…

§4. MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1. Cơng thức cộng
Với hai biến cố bất kỳ A và B thì
P (A + B ) = P (A ) + P (B ) - P (A B ) .

Nếu biến cố A là B xung khắc thì

P (A + B ) = P (A ) + P (B )
nghĩa là xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng xác suất của từng biến cố.

 

Hệ quả: P( A)  P A  1
Tổng quát, nếu họ các biến cố A1, A2,..., An là xung khắc từng đơi thì
P (A1 + A2 + L + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + L + P (An ).

Ví dụ 1. Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả
hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người này mắc ít nhất một trong hai loại
bệnh trên. ■
Giải. Gọi A, B lần lượt là các biến cố người được chọn bị mắc bệnh tim, huyết áp thì A  B
chính là biến cố người đó mắc ít nhất một trong hai loại bệnh. Ta có:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)  9%  12%  7%  14%.

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

10


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Ví dụ 2. Trong bình có 6 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Tính xác xuất lấy
được ít nhất 1 bi đỏ. ■
Giải. Ở câu c, ví dụ 3, §3 ta đã dùng định nghĩa cổ điển tính trực tiếp được xác suất lấy được ít
13
. Bây giờ ta sẽ dùng cơng thức cộng hai biến cố xung khắc để giải quyết: gọi
nhất 1 bi đỏ là
15
A = lấy được 1 đỏ + 1 trắng, B = lấy được 2 đỏ, C = lấy được ít nhất 1 đỏ. Thế thì C = A + B và
do A, B xung khắc nên ta có P(C )  P( A)  P( B) 

C61.C41 C62 13
 2  .■
C102
C10 15

Chú ý. Xác suất cần tìm có thể được tính nhanh chóng thơng qua biến cố đối như sau:

 

P(C )  1  P C  1 

C42 13
 .
C102 15

2. Công thức nhân xác suất
2.1. Xác suất có điều kiện
2.1.1. Định nghĩa.
Xác suất của biến cố B xét trong điều kiện biến cố A đã xảy ra gọi là xác suất của biến cố B với
điều kiện biến cố A và ký hiệu là P (B / A ) .
Ví dụ 3. Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấy lần lượt khơng hồn lại 2 viên. Tính xác
suất để lần thứ hai lấy được bi xanh biết lần thứ nhất lấy được bi xanh
Giải. Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi xanh, B là biến cố lần thứ hai lấy được bi xanh.
Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh, tức A xảy ra thì sau lần lấy thứ nhất trong bình cịn lại 5 viên
xanh và 4 viên đỏ. Khi đó, xác suất để lần 2 lấy được bi xanh là P (B / A ) = 5 / 9. ■
 Trong ví dụ 3, tính xác suất lần 2 lấy được bi xanh biết lần 1 lấy được bi đỏ?
Ví dụ 4. Xét nghiệm một nhóm gồm 40 nữ và 60 nam thấy 10 nữ và 15 nam có nhóm máu O.
Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm, tính các xác suất:
a)

b)
c)
d)
e)

Chọn được nữ
Chọn được người có nhóm máu O
Chọn được nữ có nhóm máu O
Chọn được người có nhóm máu O biết người này là nữ.
Chọn được nữ biết người này có nhóm máu O.

Giải. a) Gọi A = chọn được nữ, P( A) 

40
.
100

b) Gọi B = chọn được người có nhóm máu O, P(B) 

25
.
100

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

11


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

c) Gọi C = chọn được nữ có nhóm máu O, P(C) 

10
100

d) Xác suất cần tính chính là P(B/ A) . Khi đã biết người được chọn là nữ, nói cách khác chỉ
chọn trong những người nữ thì số trường hợp có thể xảy ra là 40 trong khi số trường hợp thuận
lợi là 10. Vậy
P( B / A) 

e) P( A / B) 

10
40

10
.■
25

Chú ý: Cần phân biệt xác suất của biến cố tích và xác suất có điều kiện. Ta có thể thấy ở ví dụ 4
10
trên đây, biến cố C chính là tích của 2 biến cố A và B, P( AB) 
.
100
2.1.2. Công thức xác suất có điều kiện
Trong các ví dụ trên ta thấy có thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển để tính xác suất có điều kiện
với lưu ý rằng số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra bị thu hẹp lại khi “điều kiện” đã xảy ra.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp khơng thể tính trực tiếp xác suất có điều kiện từ định nghĩa,

khi đó ta có thể dùng công thức sau:
P( B / A) 

P( AB)
(với P( A)  0 ).
P( A)

Bạn đọc hãy tự chứng minh cơng thức trong mơ hình có hữu hạn kết cục đồng khả năng bằng
đinh nghĩa cổ điển.
Ví dụ 5. Một bệnh nhân trải qua 2 xét nghiệm y khoa liên tiếp. Biết xác suất người này có kết
quả âm tính ở xét nghiệm thứ nhất là 0,8; âm tính ở cả hai xét nghiệm là 0,6. Tính xác suất anh ta
có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ hai biết xét nghiệm thứ nhất cho kết quả âm tính.
Giải. Gọi A là biến cố xét nghiệm 1 âm tính, B là biến cố xét nghiệm 2 âm tính. Theo đề bài ta
có P( A)  0,8; P( AB)  0,6 và ta cần tính P(B/ A) . Áp dụng cơng thức xác suất có điều kiện ta
có ngay P( B / A) 

P( AB) 0, 6

 0, 75 .■
P( A) 0,8

2.2. Công thức nhân xác suất
2.2.1. Công thức nhân tổng qt
Từ cơng thức xác suất có điều kiện ta dễ dàng suy ra công thức sau đây được gọi là công thức
nhân
P (A B ) = P (A )P (B / A ) = P (B )P (A / B ) .

Tổng quát, xác suất của tích n biến cố A1, A2,..., An được tính bởi cơng thức :
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

12


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

P (A1A2 ...An ) = P (A1 )P (A2 / A1 )P (A3 / A1A2 )...P (An / A1A2...An - 1 ).

Ví dụ 6. Một hộp có 6 viên bi đỏ, 4 viên xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần 1 bi,
khơng hồn lại. Tính xác suất :
a)
b)
c)
d)

Lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh.
Lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 lấy được bi đỏ.
Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh.
Cả 2 lần đều lấy được bi đỏ

Giải. Gọi Ai (i  1, 2) là biến cố lần thứ i lấy được bi đỏ.
a) Xác suất cần tìm là P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 / A1 ) 

6 4 4
.  .
10 9 15

b) Xác suất cần tìm là P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 / A1 ) 

4 6 4
. 
10 9 15

xk

c) Xác suất cần tìm là P( A1 A2  A1 A2 )  P( A1 A2 )  P( A1 A2 ) 
d) Xác suất cần tìm là P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 / A1 ) 

4 4
8
  .
15 15 15

6 5 1
.  .■
10 9 3

 Tính các xác suất ở câu c và d ví dụ 6 trong trường hợp lấy đồng thời 2 bi, so sánh kết
quả trong 2 trường hợp lấy đồng thời và lấy lần lượt không hồn lại ?
Ví dụ 7. Một người bán thuốc tây để 5 loại thuốc khác nhau vào 5 hộp giống nhau nhưng sơ suất
khơng dán nhãn bên ngồi hộp. Anh ta cần tìm 1 loại thuốc trong 5 loại để bán cho khách hàng
nên phải mở thử lần lượt từng hộp để lấy loại thuốc đó. Tính xác suất người này phải mở thử 3
hộp mới lấy được loại thuốc cần bán.
Giải. Gọi Ai (i  1, 2,3) là biến cố người này mở hộp thứ i được đúng loại thuốc. Anh ta phải mở
thử 3 hộp mới lấy được đúng thuốc có nghĩa là 2 lần mở đầu khơng đúng thuốc và lần thứ 3
đúng. Biến cố này chính là A1. A2 . A3 . Theo công thức nhân ta có :

4 3 1 1
P( A1. A2 . A3 )  P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1. A2 )  . .  .■

5 4 3 5
2.2.2. Công thức nhân trong trƣờng hợp các biến cố độc lập
a) Sự độc lập của các biến cố
Định nghĩa. Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra hay không của biến cố này
khơng ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
Ví dụ 8.

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

13


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

1. Gieo hai đồng xu, gọi A = „„đồng xu thứ nhất sấp‟‟, B = „„đồng xu thứ hai sấp‟‟. Rõ ràng đồng
xu thứ nhất sấp hay ngửa, tức A có xảy ra hay khơng cũng khơng ảnh hưởng đến xác suất đồng
thứ hai sấp (biến cố B), nên A và B độc lập.
2. Trong ví dụ 3, phần 2.1 (xác suất có điều kiện) ta thấy nếu A xảy ra thì xác suất của B là
P (B / A ) = 5 / 9 cịn nếu A khơng xảy ra thì xác suất của B là P (B / A ) = 6 / 9 . Như vậy, hai
biến cố A và B không độc lập. ■
Nhận xét. Nếu hai biến cố A, B độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập : A và B ; A và
B ; A và B cũng độc lập.

Tổng quát, ta định nghĩa họ các biến cố {A1 ,..., An } được gọi là độc lập (hay còn gọi độc lập tồn
phần) nếu sự xảy ra hay khơng của tích một nhóm các biến cố bất kỳ khơng ảnh hưởng tới xác
suất của các biến cố cịn lại.
b) Cơng thức nhân trong trƣờng hợp các biến cố độc lập


 P( A / B)  P( A / B)  P( A)
Theo định nghĩa, A và B độc lập  
, nên nếu A và B độc lập thì :

 P( B / A)  P( B / A)  P( B)
P (A B ) = P (A )P (B ).
Tổng quát, nếu họ n biến cố A1, A2,..., An là độc lập tồn phần thì
P (A1A2 ...An ) = P (A1 )P (A2 )...P (An ).

Ví dụ 9. Hai bệnh nhân cùng được làm một xét nghiệm, người thứ nhất có khả năng dương tính
là 0,7; người thứ hai có khả năng dương tính là 0,8. Tính xác suất:
a) Cả hai đều có kết quả dương tính
b) Một người có kết quả dương tính và một người âm tính.
c) Có ít nhất một người có kết quả dương tính.
Giải. Gọi Ai (i  1, 2) là biến cố người thứ i có kết quả xét nghiệm dương tính. Theo đề bài ta có
P( A1 )  0,7; P( A2 )  0,8 .

a) Gọi A là biến cố cả hai người đều có kết quả dương tính, ta có A  A1 A2 . Do A1 và A2 độc lập
nên:
P( A)  P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 )  0,7.0,8  0,56.

b) Gọi B là biến cố một người dương tính, một người âm tính

P( B)  P( A1 A2  A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 )  P( A1 ).P( A2 )  0,3.0,8  0,7.0, 2  0,38
(ở đây P( A1 )  1  P( A1 )  0,3; P( A2 )  1  P( A2 )  0, 2 )
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

14

Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

c) Gọi C là biến cố có it nhất một người dương tính. Có thể tính P(C) theo các cách sau :
xk

Cách 1 : P(C )  P( A  B)  0,56  0,38  0,94.
Cách 2 : P(C )  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 A2 )

 P( A1 )  P( A2 )  P( A1 ).P( A2 )


0, 7 

0,8  0, 7.0,8

 0,94

Cách 3. : P(C )  1  P(C )  1  P( A1. A2 )  1  P( A1 ).P( A2 )  1  0,3.0, 2  0,94 .■
Ví dụ 10. Một hộp có 6 viên bi đỏ, 4 viên xanh. Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần 1 bi, có hồn lại
(lấy ra bi thứ nhất quan sát xem đỏ hay xanh trả lại vào hộp rồi mới lấy bi thứ hai). Tính xác
suất :
a) Lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh.
b) Lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 lấy được bi đỏ.
c) Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh.
Giải. Gọi Ai (i  1, 2) là biến cố lần thứ i lấy được bi đỏ. Khác với ví dụ 6, do lấy có hồn lại
nên các biến cố Ai (i  1, 2) độc lập với nhau và ta tính được các xác suất như sau :
a) P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 ) 

6 4
6
. 
10 10 25

b) P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 ) 

4 6
6
. 
10 10 25

xk

c) P( A1 A2  A1 A2 )  P( A1 A2 )  P( A1 A2 ) 

6
6 12
.■


25 25 25

Ví dụ 11. Ba bệnh nhân nặng cùng điều trị tại bệnh viện, xác suất mỗi người phải cấp cứu trong
một giờ lần lượt là 0.7 ; 0.8 ; 0.9. Tính xác suất trong một giờ nào đó:
a) Có đúng 1 người bị cấp cứu.
b) Có đúng 2 người bị cấp cứu.
c) Cả 3 người đều bị cấp cứu.
d) Có ít nhất một người bị cấp cứu.

e) Người thứ nhất bị cấp cứu biết rằng có ít nhất 1 người bị cấp cứu.
Giải. Gọi:

Ai , i = 1, 2, 3 là biến cố người thứ i bị cấp cứu trong giờ,
a. Ta có A = A1 A2 A3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 là biến cố có đúng 1 người bị cấp cứu trong giờ
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

15


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

P (A ) = P (A1 A2 A3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 )
xk

= P (A1 A2 A3 ) + P (A1A2 A3 ) + P (A1 A2A3 )
dl

= P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
= 0, 7.0, 2.0,1 + 0, 3.0, 8.0,1 + 0, 3.0, 2.0, 9 = 0, 092

b. Tương tự câu a :
P (B ) = P (A1A2 A3 + A1 A2A3 + A1 A2A3 ) = 0, 7.0, 8.0,1 + 0, 7.0, 2.0, 9 + 0, 3.0, 8.0, 9 = 0, 398

c. P (C ) = P (A1A2A3 ) = 0, 7.0, 8.0, 9 = 0, 504
d, Ta dùng biến cố đối :

P (D ) = 1 - P (D ) = 1 - P (A1 A2 A3 ) = 1 - P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = 1 - 0.3 ´ 0.2 ´ 0.1 = 0.994

e. Ta cần tính xác suất có điều kiện P (A1 / D ) , để ý rằng A1 Ð D nên A1D = A1 , áp dụng công
thức xác suất có điều kiện ta có:

P (A1 / D) =

P (A1D )
P (D )

=

P (A1 )
P (D )

=

0.7
= 0.704 .■
0.994

 Khả năng kháng INT, PAS, Streptomycin của vi khuẩn lao lần lượt là 20%, 40% và
30%. Dùng phối hợp 3 kháng sinh trên thì khả năng kháng thuốc của vi khuẩn lao là
bao nhiêu?
3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
3.1. Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử {A1, A2,..., An } là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi và B là một biến cố bất k (thuc cựng
phộp th). Ta cú:

ử xk n
ổn
ử

ổ n
ỗỗ BA ữ
ữ
=
P
P (B ) = P (B .W) = P ỗỗỗB å Ai ÷
å i ø÷÷÷= å P (B Ai ) .
ữ
ữ
ỗố i = 1 ứ
ốỗỗ i = 1
i= 1
p dng cơng thức nhân cho các tích BAi ta được:
P (B ) = P (A1 )P (B / A1 ) + P (A2 )P (B / A2 ) + L + P (An )P (B / An ).

Công thức này được gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

16


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Ta hãy hình dung một phép thử có một và chỉ một trong n trường hợp (A1, A2,..., An ) có thể xảy
ra, nếu biết một trường hợp bất kỳ nào từ A1 đến An xảy ra ta đều có ngay xác suất của biến cố B
nhưng lại không biết trường hợp nào trong chúng xảy ra. Khi đó để tính P(B) ta sẽ dùng cơng
thức xác suất đầy đủ với họ đầy đủ là {A1, A2,..., An } .

Ví dụ 12. Có 2 hộp chứa các lọ thuốc. Tỷ lệ lọ thuốc hỏng ở hộp thứ nhất là 3%, hộp thứ hai là
5% . Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 lọ. Tính xác suất gặp lọ hỏng.
Giải. Gọi Ai , i  1, 2 là biến cố hộp thứ i được chọn; B là biến cố lọ lấy ra là lọ hỏng. Rõ ràng

 A1 , A2 

là nhóm đầy đủ.

Vì khả năng lấy mỗi hộp là như nhau nên P (A1 ) = P (A2 ) =

1
, ngoài ra P (B / Ai ) i = 1, 2 chính
2

là tỷ lệ lọ hỏng ở hộp thứ i nên P (B / A1 ) = 0, 03; P (B / A2 ) = 0, 05 . Vậy theo công thức xác
suất đầy đủ:
P (B ) = P (A1 )P (B / A1 ) + P (A2 )P (B / A2 ) =

1
1
.0, 03 + .0, 05 = 0, 04 .■
2
2

Ví dụ 13. Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh A là 1/1000, có một loại xét nghiệm mà người
có bệnh A khi xét nghiệm ln cho phản ứng dương tính nhưng người khơng có bệnh A khi xét
nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính với xác suất 0,05. Chọn ngẫu nhiên 1 người ở địa
phương này làm xét nghiệm, tính xác suất gặp kết quả dương tính.
Giải. Gọi A1 là biến cố người được chọn bị bệnh A
A2 là biến cố người được chọn không bị bệnh A

B là biến cố người được chọn có kết quả xét nghiệm dương tính.

Ta có  A1 , A2  tạo thành nhóm đầy đủ và theo đề bài P  A1  

1
999
.
; P  A2  
1000
1000

Máy xét nghiệm cho người có bệnh ln được kết quả dương tính tức là P  B / A1   1 ;
Máy xét nghiệm cho người khơng bệnh cho kết quả dương tính với xác suất 0,05 tức là
P  B / A1   0,05 .
Theo công thức xác suất đầy đủ :
P (B ) = P (A1 )P (B / A1 ) + P (A2 )P (B / A2 ) =

1
999
.1 +
.0, 05 = 0, 05095 .■
1000
1000

3.2. Công thức Bayes
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

17

Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Giả sử {Ai | i = 1, 2,.., n } là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi và B là một biến cố bất kỳ có xác
suất khác 0. Khi đó:

P (Ak / B ) =

P (Ak B )
P (B )

=

P (Ak )P (B / Ak )
P (A1 )P (B / A1 ) + P (A2 )P (B / A2 ) + L + P (An )P (B / An )

.

Công thức này được gọi là công thức Bayes.
Công thức Bayes dễ dàng được suy ra từ công thức xác suất có điều kiện, cơng thức nhân và
cơng thức xác suất đầy đủ (bạn đọc hãy tự chứng minh !).
Ví dụ 14. Ở ví dụ 12, nếu chọn phải lọ thuốc hỏng, tính xác suất để lọ này thuộc hộp thứ nhất ?
Giải. Ký hiệu các biến cố như trong ví dụ 12. Ta cần tính P (A1 / B ) , dùng công thức Bayes :

1
.0, 03
3
2
= .■

=
P (A1 / B ) =
8
1
1
P (A1 ).P (B / A1 ) + P (A2 ).P (B / A2 )
.0, 03 + .0, 05
2
2
P (A1 ).P (B / A1 )

 Trong ví dụ 14, tính xác suất để lọ thuốc hỏng đã chọn thuộc hộp thứ hai, hỏi khả năng lo
hỏng này thuộc hộp nào cao hơn?
Ví dụ 15. Tỷ lệ người mắc bệnh A trong cộng đồng là 1/1000, có một loại xét nghiệm mà người
mắc bệnh khi xét nghiệm ln cho phản ứng dương tính nhưng người khơng mắc bệnh khi xét
nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính với tỷ lệ 5%. Hỏi khi một người xét nghiệm bị phản
ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu?
Giải. Bài này giống ví dụ 13, tuy nhiên ở đây biết biến cố B (dương tính) đã xảy ra. Ta cần tính
xác suất người đó mắc bệnh trong điều kiện xét nghiệm kết quả dương tính:

1
.1
1000
P (A1 / B ) =
=
= 0, 0196 .
P (A1 ).P (B / A1 ) + P (A2 ).P (B / A2 )
1
999
.1 +

.0, 05
1000
1000
P (A1 ).P (B / A1 )

Như vậy, cho dù kết quả dương tính nhưng chỉ có 1,96% khả năng người đó mắc bệnh.
(Đây là bài toán được các nhà toán học Cassels, Shoenberger và Grayboys đem đố 60 sinh viên
và cán bộ y khoa Havard Medical School năm 1978 và rất tiếc, hầu hết trả lời là 100% - 5% =
95%).■
Ý nghĩa: Nếu như công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác suất của một biến cố B dựa
vào hệ đầy đủ {A1, A2,..., An } khi đã biết các P( Ai ) thì cơng thức Bayes giúp ta tính (lại) xác suất
của các biến cố Ai ; i = 1, n trong điều kiện B đã xảy ra, tức là tính P( Ai / B) . Các xác suất
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

18


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

P( Ai ) gọi là các xác suất tiên nghiệm; các xác suất P( Ai / B) gọi là các xác suất hậu nghiệm.

Cơng thức Bayes cịn gọi là cơng thức xác suất hậu nghiệm.
4. Công thức Bernoulli
4. 1 Công thức Bernoulli
Dãy phép thử Bernuolli là dãy phép thử độc lập (xác suất của mỗi biến cố trong bất kỳ một phép
thử nào đều không phụ thuộc vào kết quả của các phép thử còn lại), cùng quan sát biến cố A và
trong mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất bằng p không đổi.
Chẳng hạn gieo một con xúc xắc cân đối 10 lần, quan sát biến cố xuất hiện mặt 6 chấm (biến cố

1
A) là dãy 10 phép thử Bernoulli với p  hay một người bắn 5 viên đạn vào một tấm bia, xác
6
suất bắn trúng bia mỗi lần bắn bằng 0,8, là dãy phép thử Bernoulli.
Giả sử có dãy n phép thử Bernoulli. Ta gọi mỗi lần A xảy ra là một thành cơng. Khi đó xác suất
để có k (0  k  n) thành công tức biến cố A xảy ra k lần trong n phép thử này, ký hiệu là
B (k, n , p) (hoặc đơn giản Pn (k ) khi khơng có sự nhầm lẫn về p), được tính bởi công thức:
B (k, n , p) = C nk p kqn - k , với q  1  p.

Công thức này được gọi là công thức Bernoulli.
Từ đây suy ra xác suất xuất hiện biến cố A từ k1 đến k2 lần là:
Pn (k1, k2 ) =

k2

å

C nk p kqn - k .

k1

Ví dụ 16. Đề thi trắc nghiệm gồm 10 câu, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1
phương án đúng. Một sinh viên làm bài thi bằng cách chọn hú họa cả 10 câu.
a) Tính xác suất sinh viên này làm bài đúng được 5 câu.
b) Nếu làm đúng từ 5 câu trở lên thì đậu, tính xác suất sinh viên thi đậu.
Giải. Việc sinh viên chọn hú họa cả 10 câu chính là thực hiện một dãy n  10 phép thử
1
Bernoulli, xác suất của biến cố“chọn đúng” (biến cố A) trong mỗi lần thử là p  .
4
a) Xác suất sinh viên làm đúng được 5 câu là

5

5

1 3
P10 (5)  C      0, 058
4  4
5
10

b) Xác suất sinh viên thi đậu là xác suất để có từ 5 đến 10 thành cơng trong 10 lần thử:
P10 (5;10)  P10 (5)  P10 (6)  ...  P10 (10)

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

19


Bài giảng Xác suất-Thống kê

5

5

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

6

4

10

0

1 3
1  3
10  1   3 
 C105      C106      ...  C10
     0, 078 .■
4 4
 4  4
 4  4

 Tỷ lệ K phổi trong cộng đồng là 0,07. Khám ngẫu nhiên 5 người, tính xác suất có ít nhất
1 người K phổi?
BÀI TẬP
Bài 1. Một công ty cần tuyển 3 nhân viên, có 8 nam và 5 nữ nộp đơn. Khả năng được tuyển của
mỗi ứng viên là như nhau. Tính xác suất:
a) Có đúng 2 nữ được chọn.
b) Có ít nhất 1 nữ được chọn.
Bài 2. Tung 2 con súc sắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Tổng số chấm của hai con xúc xắc bằng 8.
b) Tổng số chấm của hai con xúc xắc khơng q 5.
c) Hai con xúc xắc có số chấm bằng nhau.
d) Số chấm của 2 con xúc xắc chênh lệch nhau 1 đơn vị.
Bài 3. Một người để quên chìa khóa phịng, bèn mượn chùm chìa khóa của bạn trọ cùng phịng
để mở cửa. Biết rằng chùm này có 5 chìa, nhưng khơng biết là chìa nào bèn chọn ngẫu nhiên lần
lượt từng chìa loại một để tra vào ổ. Tính xác suất:
a) Người này mở được khóa ngay lần thử đầu tiên.
b) Người này mở được khóa sau 3 lần thử.

Bài 4 . Có 6 khách hàng khơng quen biết nhau cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 5 quầy
hàng. Biết sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập. Tính xác suất:
a) Cả 6 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng.
b) Có 3 người vào cùng 1 quầy.
c) Có đúng 2 quầy có khách.
d) Mỗi quầy đều có người mua.
Bài 5. Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất bị hỏng trong 1 ca làm việc của
các máy tương ứng là 0,01; 0,02; 0,03. Tính xác suất:
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

20


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

a) Cả 3 máy đều không hỏng trong 1 ca làm việc.
b) Có 2 máy bị hỏng trong 1 ca làm việc.
c) Có ít nhất 1 máy khơng hỏng trong 1 ca làm viêc.
d) Có 1 máy bị hỏng trong 1 ca làm việc.
e) Máy thứ 3 bị hỏng, biết rằng có 1 máy bị hỏng trong 1 ca làm việc.
Bài 6. Một hộp có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại lần lượt từng
sản phẩm để kiểm tra cho đến khi lấy đủ 2 phế phẩm thì dừng lại.
a) Tính xác suất việc kiểm tra dừng lại sau lần lấy thứ 2.
b) Tính xác suất việc kiểm tra dừng lại sau lần lấy thứ 4.
Bài 7. Hộp thứ nhất có 8 chính phẩm và 6 phế phẩm. Hộp thứ hai có 7 chính phẩm và 3 phế
phẩm.
1. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
a). Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm.

b). Biết rằng có 1 chính phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra, tính xác suất phế phẩm
được lấy ra từ hộp thứ nhất.
2. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
a). Tính xác suất lấy được chính phẩm.
b). Biết rằng đã lấy được chính phẩm, nhiều khả năng nhất hộp nào được chọn?
3. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai lấy
ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
a). Tính xác suất lấy được phế phẩm ở hộp thứ hai.
b). Biết rằng lấy được phế phẩm ở hộp thứ hai, tính xác suất lấy được phế phẩm ở
hộp thứ nhất.
Bài 8. Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%
a) Chọn ngẫu nhiên có hồn lại lần lượt từng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì
dừng. Tính xác suất phải chọn đến lần thứ 4.
Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

21


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

b) Chọn ngẫu nhiên có hồn lại lần lượt từng sản phẩm từ lô hàng. Phải chọn bao nhiêu
lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm khơng nhỏ hơn 90%.
Bài 9. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05.
Tính xác suất:
c) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có 3 phế phẩm.
d) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 1 phế phẩm.
e) Cần cho máy sản xuất tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để xác suất có phế phẩm tối thiểu
là 90%.

Bài 10. Có 20 hộp sản phẩm, trong đó mỗi hộp có 7 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy
ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất:
a) Có 2 sản phẩm loại B trong số sản phẩm lấy ra.
b) Có 7 sản phẩm loại A trong số sản phẩm lấy ra.
c) Có ít nhất 1 sản phẩm loại A trong số sản phẩm lấy ra.
Bài 11. Một hộp có 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 3 người lần lượt lấy ngẫu
nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất:
a) Người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng.
b) Người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng biết trong 2 người đầu đã có 1 người lấy
được phiếu trúng thưởng.
c) Giả sử người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng thì khả năng người thứ nhất lấy được
phiếu trúng thưởng là bao nhiêu?.
Bài 12. Có 3 hộp chứa các lọ thuốc. Tỷ lệ lọ thuốc hỏng ở hộp thứ 1 là 1%, ở hộp thứ 2 là 0,5%,
hộp thứ 3 là 1,5%.
1. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 lọ. Tính xác suất:
a) Lọ lấy ra là lọ hỏng.
b) Lọ lấy ra ở hộp thứ 3 biết rằng lấy được lọ không bị hỏng.
2. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 5 lọ. Tính xác suất:

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

22


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

a) Cả 5 lọ lấy ra đều không bị hỏng.
b) Có ít nhất một lọ khơng bị hỏng.

Bài 13. Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Sản lượng của các nhà máy
sản xuất ra chiếm tỉ lệ 35%; 40%; 25% toàn bộ sản lượng của phân xưởng. Tỉ lệ phế phẩm của
các máy này tương ứng là 1%; 2%; 1,5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của phân xưởng để
kiểm tra.
a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm
b) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm, nhiều khả năng sản phẩm đó do máy nào sản xuất
ra?
Bài 14. Một hộp có 15 sản phẩm trong đó có 10 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Khách
hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Sau đó khách hàng thứ 2 mua ngẫu nhiên 2 sản
phẩm. Tính xác suất trong số sản phẩm người thứ 2 mua có 1 sản phẩm loại II.
Bài 15. Trong kho có 15 máy tính. Trong đó có 9 máy cịn mới và 6 máy đã qua sử dụng. Lần
đầu tiên người ta lấy ngẫu nhiên ra 3 máy sử dụng, sau đó trả lại trong kho. Lần thứ 2 cũng lấy
ngẫu nhiên 3 máy ra sử dụng. Tính xác suất trong lần thứ 2 có máy đã qua sử dụng.

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

23


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

CHƢƠNG II: ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
§1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
Hiện tượng ngẫu nhiên có thể có biểu hiện về mặt định tính (bóng đèn có thể cháy sáng
hoặc không cháy sáng; lấy được bi xanh hay đỏ; bắn trúng hay khơng trúng mục tiêu,…) đó là
các biến cố ngẫu nhiên ta đã biết ở chương trước; hoặc về mặt định lượng (con xúc xắc xuất hiện
mặt 2 chấm hay 3 chấm,v.v..). Trong chương này ta nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên biểu
hiện về mặt định lượng hay những con số, những số này được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên.

1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là đại lượng lấy giá trị là số thực, tùy
thuộc vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử. Thơng thường kí hiệu X,Y,Z là đại lượng ngẫu nhiên,
dùng các chữ nhỏ để ký hiệu các giá trị cụ thể: x1 , x2 ...xn
Có hai loại đại lƣợng ngẫu nhiên:
 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là loại chỉ nhận hữu hạn hoặc đếm được các giá trị.
Nếu mô tả các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên này nhận được trên trục số thực ¡
ta được các điểm “cách quãng” nhau, chẳng hạn, gọi X là số chấm xuất hiện khi
tung một con xúc xắc thì X nhận một trong các giá trị (rời rạc) 1, 2, 3, 4, 5, 6. , gọi
Y là số lần sấp khi gieo một đồng xu 2 lần thì Y nhận một trong các giá trị 0, 1, 2;
gọi Z là số sinh viên vắng mặt trong một buổi học ở một lớp sĩ số 50 sinh viên thì
Z nhận giá trị ngẫu nhiên là các số nguyên từ 0 đến 50; …
 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp
đầy một hoặc một số khoảng nào đó trên trục số thực ¡ , hoặc toàn bộ trục số
thực ¡ . Chẳng hạn nhiệt độ tại một thời điểm trong một ngày là một đại lượng
ngẫu nhiên nhận giá trị trên đoạn [cmin ; cmax ] với cmin ; cmax lần lượt là nhiệt độ thấp
nhất và cao nhất trong ngày hay thời gian hoạt động bình thường của một bóng
đèn điện tử, trong lượng của một loại sản phẩm, đường kính của trục sản xuất từ
máy điện tự động,… là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
2. Phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên
Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, không những chúng ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên đó
có thể nhận những giá trị nào mà còn phải biết đại lượng ngẫu nhiên này nhận giá trị tại một
điểm hay trên một khoảng với xác suất bằng bao nhiêu.
a) Bảng phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

24


Bài giảng Xác suất-Thống kê

Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc gồm 2 dòng; dòng trên liệt kê các giá trị mà
biến ngẫu nhiên có thể nhận (thường theo thứ tự tăng dần), dòng dưới ghi các xác suất để biến
ngẫu nhiên nhận những giá trị tương ứng với dòng trên
X

x1

x2

…

xk

…

P

p1

p2

…

pk

…

nghĩa là ta có Pk = P (X = x k ). .
Nhận xét:


pi ³ 0, " i



å



P (a < X < b) =

pi = 1

å

a < xi < b

pi

Ví dụ 1. Số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân
phối xác suất là:
X

1

2

3

4

5

6

P

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

P(2  X  5)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4) 

3
.
6

Ví dụ 2. Một xạ thủ có 3 viên đạn, anh ta chỉ dừng lại khi bắn trúng bia hoặc bắn hết 3 viên. Xác
suất trúng đích là 0.8. Gọi X là số viên đạn phải bắn. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

Giải. X có thể nhận các giá trị 1,2,3.


X=1 : bắn viên đạn đầu tiên trúng ngay P( X  1)  0.8



X=2 : bắn viên đầu trượt, viên 2 trúng P( X  2)  0.2  0.8  0.16



X= 3: bắn 2 viên đầu trượt

P( X  3)  0.2  0.2  0.04
X

1

2

3

P

0.8

0.16

0.04

b) Hàm mật độ xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục

Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên

25