Bài toán hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy LTĐH

Bài 03: Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 4


BÀI 03: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Cũng như các khối chóp tam giác. Các phương pháp xác định chiều cao khi tính thể tích hoàn
toàn tương tự nhau. Thuộc loại quan hệ vuông góc giữa 2 mặt phẳng này. Thầy xin nhấn mạnh lại
cho các bạn 2 cách xác định chiều cao như sau:
I. Các phương pháp xác định chiều cao:
1. Phương pháp 1: Trong hình chóp nếu có một mặt bên hay một mặt chéo vuông góc với
đáy thì chiều cao chính là chiều cao của mặt bên. ( Chú ý: Hình chóp tam giác có thể là
chiều cao của mặt đáy vì tất cả các mặt là tam giác, còn trong hình chóp tứ giác nó phải
là chiều cao của mặt bên)
2. Phương pháp 2: Trong hình chóp nếu có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì
chiều cao của hình chóp chính là giao tuyến của 2 mặt bên đó
Sau đây sẽ là các ví dụ sử dụng các tính chất trên trong quá trình tính thể tích:

II. Các ví dụ minh họa:
1.Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 2a. Biết SA = a,SB =
3
a
và mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC. Tính thể tích hình chóp S.BMDN
theo a.
Giải:
• Ta có:
(
)

(
)
( ) ( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
⊥

⇒

∩ =


Trong tam giác SAB dựng
SH AB h SH
⊥ ⇒ =

• Nhưng do
2 2 2 2 2 2
4 3
a AB SA SB a a SAB
= = + = + ⇒

vuông tại S nên
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
3 3 2
a
h
h SA SB a a a
= + = + = ⇒ =

• Ta đi tính diện tích tứ giác BMDN (Có 2 cách tính sau)
- Cách 1:
2 2 2
2
4 4 2
BMDN ABCD SDM CDN
a a a
S S S S a= − − = − − =
   

Bài 03: Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
- Cách 2:
( )
2
2
1 1 1
. . . 2
2 4 4 2
BMDN
a
S MN BD AC BD a= = = =


Vậy
2 3
.
1 1 3 3

. . .
3 3 2 2 12
S BMDN BMDN
a a a
V SH S= = =


2.Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Hai đường chéo
2 3;
AC a=

2
BD a
=
và cắt nhau tại O. Hai mặt phẳng (SAC) và
(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến (SAB) bằng
3
4
a
, Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
Ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )

( )
SAC SBD SO
SAC ABCD SO ABCD h SO
ABD ABCD
∩ =

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =


⊥

Trong đáy ABCD dựng
(
)
(
)
( )
SO AB SO ABCD
OH AB AB SOH
OH AB

⊥ ⊥

⊥ ⇒ ⇒ ⊥

⊥



Trong tam giác SOH dựng

(
)
(
)
( )
OK AB AB SOH
OK SH OK SAB
OK SH

⊥ ⊥

⊥ ⇒ ⇒ ⊥

⊥



3
4
a
OK
⇒
=
. Do tam giác AOB vuông tại O và tam giác SOH vuông tại O nên:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
.

1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 16 1 1 4
3 3 2
1 1 1 3
. . . .2 3.2
3 3 2 2 3
S ABCD ABCD
OH OA OB
OK SO OA OB
OK SO OH
a
SO
h SO OK OA OB a a a a
a a
V SO S a a

= +


⇒ = + +


= +


⇒ = = − − = − − = ⇒ =
⇒ = = =


3.Ví dụ 3: (ĐH – Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông
tại A và D, AB =AD =2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
.
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 03: Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4
Giải
Ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
SBI SCI SI
SBI ABCD SI ABCD h SI
SCI ABCD
∩ =

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =


⊥


Trong đáy ta dựng
(
)
(
)
IJ
; IJ
SBC ABCD BC
BC
SJ BC BC
∩ =

⊥ ⇒

⊥ ⊥



(
)
(
)
(
)
0
; IJ 60
SBC ABCD S⇒ = =
 
. Tam giác SIJ vuông

tại I nên ta có:
0
IJ.tan 60 IJ 3
h SI= = =
.
Có 2 cách tính IJ như sau:
-
( )
2
2 2
2 3
2
2
2
3 5
IJ
5
5
ABCD CDI ABI
IBC
a
a a
S S S
S
a
BC BC
a
 
− −
 

− −
 
= = = =
  


- Gọi K là trung điểm của BC ta có:

2 2
3 3 2 3 5
IJ cos IJ cos . .
2 2 2 5
4
AB CD a CL a a a
IK K BCL
BC
a a
+
= = = = =
+
 
(L là trung điểm AB)
Vậy thể tích hình chóp S. ABCD là:
3
.
1 3 5 3 .2 3 15
. . 3.
3 5 2 5
S ABCD
a a a a

V = =

4. Ví dụ 4: (ĐH – Khối A - 2007) Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. (SAD)
⊥
(ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Tính
thể tích hình chóp CMNP.
Giải:
Gọi I là trugn điểm AD ta có:
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
SAD ABCD AD
SAD ABCD SI ABCD
SI AD
∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥


Trong Tam giác SIB dựng MH // SI ta có:
Bài 03: Hình chóp tứ giác có mặt bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
- Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4
( ) ( )

3
2 4
1
. .
2 2 2
CPN
SI a
h MH
MH ABCD MH CPN
a a
B S

= = =


⊥ ⇒ ⊥ ⇒


= =



2 3
.
1 3 3
. .
3 4 8 96
C MNP
a a a
V⇒

= =

5. Ví dụ 5:
Cho hình chóp SABCD có
đáy ABCD là hình thang với AB = BC = CD =
1
2

AD. ∆
SBD vuông t
ạ
i S và n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
đ
áy. SB = 8a, SD = 15a.
Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD.

Giải
Trong tam giác vuông SBD dựng SH
⊥
BD ta có:

(
)
(
)
( ) ( ) ( )
SBD ABCD BD
SBD ABCD SH ABCD
SH BD
∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥


Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 289 120
64 225 14400 17
a
SH
SH SB SC a a a
= + = + = ⇒ =

Gi
ả
s
ử
c

ạ
nh AB = BC = CD = x => AD = 2x lúc này:
( )
2
2
2 2
2
3
.
1 3 3 3
3 .
3 3 289
.
2 2 4
4 3
64 225 17 3
1 120 3 3 289
. . . 170 3
3 17 4 3
ABCD
ABCD
S ABCD
x x
S x
a
S
BD a a a x
a a
V a


= =

⇒ =


= + = =

⇒ = =




====================Hết===================


Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn:
Hocmai.vn